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必考点05 复数
题型一 复数的有关概念
例题1．已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.
例题2 已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
【答案】C
【解析】由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.
【解题技巧提炼】
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
题型二 复数的运算
例题1若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【答案】D
【解析】由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
例题2已知i为虚数单位，则＝(　　)
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
【答案】A
【解析】＝＝5，故选A.
【解题技巧提炼】
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
题型三 复数的几何意义
例题1设z＝－3＋2i，则在复平面内　对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】＝－3－2i，故 对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.
例题2设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
【答案】C
【解析】由已知条件，可得z＝x＋yi.∵ |z－i|＝1，
∴ |x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.故选C.
【解题技巧提炼】
1．准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
题型一 复数的有关概念
1．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)
A．1　　　　　　　 B．－1
C．i D．－i
【答案】B
【解析】∵(1＋i)z＝2，∴z＝＝＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B.
3．已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.
【答案】
【解析】|z|＝＝＝＝.
题型二 复数的运算
1．已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．i B．－1＋i
C．－1－i D．－i
【答案】C
【解析】由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.
2．设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．
C．1 D.
【答案】C
【解析】∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.
题型三 复数的几何意义
1．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得∴x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
【答案】B
【解析】因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以解得a<－1.
3．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)
A．1＋i B．＋i
C．1＋i D．1＋i
【答案】B
【解析】因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.
4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
【答案】1
【解析】由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ，得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴解得
∴λ＋μ＝1.
一、单选题
1．若复数满足，则复数的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设（），则，
化简得，
根据对应相等得，解得，，故选：C.
2．已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】因为，所以，即，所以，所以，则的虚部为；故选：D
3．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.故选：B.
4．若复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，.故选：C.
5．已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以.故选：B.
6．已知复数z满足，则在复平面内，z的共轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】依题意，
于是 ，其对应的点为（2，2），位于第一象限，故选：A.
7．设（i是虚数单位），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】，则.故选：D.
8．若，其中，i为虚数单位，则复数所对应复平面内的点Z位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，解得：，
所以对应的点为，位于第四象限.故选：D
二、多选题
9．已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是纯虚数
B．
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
【答案】ABD
【解析】
对于A，，为纯虚数，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.故选：ABD.
10．设，，为复数，下列命题中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则为纯虚数 D．若，且，则
【答案】AC
【解析】A：取，则，故A错误；
B：设()，
则，
，
又，
所以，故B正确；
C：取，则为实数，故C错误；
D：由，得，则，
所以，又，所以，故D正确.故选：AC.
11．已知为虚数单位，复数，，，则（ ）
A． B．与互为共轭复数
C．为纯虚数 D．
【答案】AC
【解析】依题意，复数，，，
对于A，，，A正确；
对于B，复数的共轭复数为，B不正确；
对于C，，C正确；
对于D，因，则，D不正确.故选：AC
三、填空题
12．在复平面内，复数和对应的点分别是和，则_______.
【答案】##
【解析】由题意得，，
所以.
故答案为：
13．已知复数（为虚数单位），则__________．
【答案】
【解析】由题意可得，则，因此，.故答案为：.
14．若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】，
因为复数在复平面上所对应的点在第二象限
所以，解不等式组得
故答案为：
四、解答题
15．已知复数（）在复平面上对应的点为，求实数取什么值时，点：
(1)在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在第一象限.
【解析】(1)点在实轴上，即复数为实数，由得或，
∴当或时，点在实轴上；
(2)
点在虚轴上，即复数为纯虚数或，由得或，
∴当或时，点在虚轴上；
(3)
点在第一象限，即复数的实部虚部均大于，
由，即，解得或，
∴当或时，点在第一象限.
16．设（），试判断复数能否为纯虚数？并说明理由.
【解析】假设复数能为纯虚数，则，
所以，解得，
所以不存在使复数为纯虚数.
17．若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件．
【答案】a＝0或2
【解析】∵复数对应的点在虚轴上，
∴，解得或.
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必考点05 复数
题型一 复数的有关概念
例题1．已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
例题2 已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
【解题技巧提炼】
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
题型二 复数的运算
例题1若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
例题2已知i为虚数单位，则＝(　　)
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
【解题技巧提炼】
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
题型三 复数的几何意义
例题1设z＝－3＋2i，则在复平面内　对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
例题2设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
【解题技巧提炼】
1．准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
题型一 复数的有关概念
1．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)
A．1　　　　　　　 B．－1
C．i D．－i
3．已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.
题型二 复数的运算
1．已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．i B．－1＋i
C．－1－i D．－i
2．设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．
C．1 D.
题型三 复数的几何意义
1．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
3．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)
A．1＋i B．＋i
C．1＋i D．1＋i
因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.
4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
一、单选题
1．若复数满足，则复数的实部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
3．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．若复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知复数z满足，则在复平面内，z的共轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．设（i是虚数单位），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．若，其中，i为虚数单位，则复数所对应复平面内的点Z位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是纯虚数
B．
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．设，，为复数，下列命题中错误的是（ ）
A． B．
C．若，则为纯虚数 D．若，且，则
11．已知为虚数单位，复数，，，则（ ）
A． B．与互为共轭复数
C．为纯虚数 D．
三、填空题
12．在复平面内，复数和对应的点分别是和，则_______.
13．已知复数（为虚数单位），则__________．
14．若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______．
四、解答题
15．已知复数（）在复平面上对应的点为，求实数取什么值时，点：
(1)在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在第一象限.
16．设（），试判断复数能否为纯虚数？并说明理由.
17．若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件．
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