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必考点09 立体几何综合
题型一 空间几何体的距离问题
例题11．如图，正方体的棱长为2，F为的中点．则（ ）
A．
B．直线AD与BF所成角的正切值为
C．平面截正方体所得的截面面积为4
D．点C与点D到平面的距离相等
例题2 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点E为棱的中点，点O为边的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面底面，且，，，，求点B到平面的距离.
【解题技巧提炼】
空间几何体的距离问题
解决空间中的距离问题，常用几何法，其中等体积法作为求高，即点到平面的距离是一种常见方法，其次可以利用构造，投影，直角三角形等解三角形，解决长度问题
题型二 空间几何体的角度问题
例题1如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)求二面角P－BC－A的平面角的大小.
例题2已知正方体.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与BD所成的角.
【解题技巧提炼】
空间中的角分为线线角、线面角和面面角，其中线线角可以将直线平移到同一个平面内，利用正余弦定理解三角形求夹角，线面角需要将直线投影到平面上，则直线与直线投影所成的夹角就是线面角，常利用直角三角形处理，面面角（二面角）是往交线上作垂线，则两垂线之间的夹角就是二面角。
题型一 空间几何体的距离问题
1．已知三棱锥三条侧棱、、两两互相垂直，且，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则、两点间距离的最小值为______.
2．如图，三棱柱中，侧面为菱形，，且.
(1)证明：；
(2)若，，，求点到平面的距离.
题型二 空间几何体的夹角问题
1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正切值．
【解析】(1)证明：过在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，则，
平面，平面，，
，平面，平面，.
(2)解：过点在平面内作，垂足为点，连接，
由（1）知平面，平面，，
，，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，为二面角的平面角，
平面，平面，，
，，则，
为的中点，所以，，
由，
，因此，二面角的正切值为.
1．如图1，在等腰梯形中，，，，．将与分别沿，折起，使得点、重合（记为点），形成图2，且是等腰直角三角形．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若，求四棱锥的体积．
一、解答题
1．多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.
(1)求证：平面ECD；
(2)求多面体ABCDE的体积.
2．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求三棱锥的体积．
3．在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，M四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，．
(1)求证：平面MBC；
(2)已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离
4．如图，四棱锥S-ABCD的底面是长方形，SA⊥底面ABCD，3CE=CD，SC⊥BE.
(1)证明：平面SBE⊥平面SAC；
(2)若，AD=1，求CD及三棱锥C-SBE的体积.
.
5．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．
(1)求证：平面；
(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．
6．如图，是边长为的等边三角形，分别在边上，且，为边的中点，交于点，沿将折到的位置，使.
(1)证明：平面；
(2)若平面内的直线平面，且与边交于点，是线段的中点，求三棱锥的体积.
7．如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，，，.
(1)求的长；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
8．如图，在多面体中，为等边三角形，，，，，F为EB的中点.
(1)证明：平面；
(2)求多面体的体积.
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必考点09 立体几何综合
题型一 空间几何体的距离问题
例题11．如图，正方体的棱长为2，F为的中点．则（ ）
A．
B．直线AD与BF所成角的正切值为
C．平面截正方体所得的截面面积为4
D．点C与点D到平面的距离相等
【答案】AD
【解析】
对选项A，由正方体的性质知平面，平面，所以，故A正确；
对B，因为，所以直线AD与BF所成的角即为BC与BF所成的角，
连接CF，易得△BCF是直角三角形，且，，所以，
所以直线AD与BF所成角的正切值为，故B错误；
对C，在平面内，延长交AD的延长线于G，连接BG交CD于E点，
易得E为CD的中点，所以且，所以四边形为等腰梯形，
所以四边形的面积，
所以平面截正方体所得的截面面积为，故C错误；
对D，由选项C知，E为CD的中点，所以点C与点D到平面的距离相等，故D正确．故选：AD
例题2 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点E为棱的中点，点O为边的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面底面，且，，，，求点B到平面的距离.
【解析】(1)
取线段的中点F，连，
在中，E，F分别为，的中点
∴且
又∵底面是菱形，且O为的中点
∴且
∴且
∴四边形为平行四边形
∴
又∵平面，平面
∴平面
(2)
在菱形中，O为的中点，
所以可得，即
又因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
所以
由，，知，，
令点B到平面的距离为h，则可知
所以
所以点B到平面的距离为.
【解题技巧提炼】
空间几何体的距离问题
解决空间中的距离问题，常用几何法，其中等体积法作为求高，即点到平面的距离是一种常见方法，其次可以利用构造，投影，直角三角形等解三角形，解决长度问题
题型二 空间几何体的角度问题
例题1如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)求二面角P－BC－A的平面角的大小.
【解析】(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥AC，，
所以平面，
又因平面，所以，
因为D为线段AC的中点，，
所以，
又，所以平面PAC，
又因为平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC；
(2)由（1）得平面，
又平面，所以，
因为AB⊥BC，，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角P－BC－A的平面角，
在中，，
所以，所以，
即二面角P－BC－A的平面角的大小为.
例题2已知正方体.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与BD所成的角.
【解析】(1)证明：连接AC，交BD于点O，在正方体中，底面ABCD是正方形，∴，又∵， 平面，，
∴平面，又∵平面，
∴；同理可证，
又∵ 平面，，
∴平面.
(2)解：∵，∴即为异面直线与BD所成的角，
设正方体的边长为a，则易得，
∴为等边三角形，∴，
故异面直线与BD所成的角为.
【解题技巧提炼】
空间中的角分为线线角、线面角和面面角，其中线线角可以将直线平移到同一个平面内，利用正余弦定理解三角形求夹角，线面角需要将直线投影到平面上，则直线与直线投影所成的夹角就是线面角，常利用直角三角形处理，面面角（二面角）是往交线上作垂线，则两垂线之间的夹角就是二面角。
题型一 空间几何体的距离问题
1．已知三棱锥三条侧棱、、两两互相垂直，且，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则、两点间距离的最小值为______.
【答案】
【解析】由已知可将该三棱锥补成正方体，连接，如图所示.
设三棱锥的内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，
易知、、三点均在上，
在正方体中，平面，平面，，
因为四边形为正方形，则，
，平面，
平面，则，同理可证，
，平面，
设内切球的半径为，外接球的半径为，则.
由等体积法可得，
即，
由等体积法可得，得，
、两点间距离的最小值为.故答案为：.
2．如图，三棱柱中，侧面为菱形，，且.
(1)证明：；
(2)若，，，求点到平面的距离.
【解析】(1)因为为菱形，故可得，
又因为，面，
故可得面，又面，故可得；
在△中，因为为的中点，且，
故垂直平分，故可得.
(2)在菱形中，因为，，故△为等边三角形，
则，，
由（1）可知，又，且，故可得，，
故在△中，，故，
由，面，故可得面.
又在三角形中，，故，
又，
设点到平面的距离为，故由可得：
即，解得.
即点到平面的距离为.
题型二 空间几何体的夹角问题
1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正切值．
【解析】(1)证明：过在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，则，
平面，平面，，
，平面，平面，.
(2)解：过点在平面内作，垂足为点，连接，
由（1）知平面，平面，，
，，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，为二面角的平面角，
平面，平面，，
，，则，
为的中点，所以，，
由，
，因此，二面角的正切值为.
1．如图1，在等腰梯形中，，，，．将与分别沿，折起，使得点、重合（记为点），形成图2，且是等腰直角三角形．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若，求四棱锥的体积．
【解析】(1)由题意得：
又,,故平面；
又平面,故平面平面；
(2)如图，连接,分别为的中点，
由（1）知,故,又,所以，
故即为二面角的平面角，
由(1)知, 平面,又平面,故平面平面,
又平面平面,,所以平面,
设，则,,,
,
故二面角的正弦值为：.
(3)
由(2)得, 平面,又，所以,
故四棱锥的体积为.
一、解答题
1．多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.
(1)求证：平面ECD；
(2)求多面体ABCDE的体积.
【解析】(1)证明：因为为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC.
所以AF⊥平面BCD，取CD的中点G，连接EG，因为是等边三角形，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面BCD，交线为CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以，
又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.
(2)
设多面体ABCDE的体积为V，则，连接DF，
因为与均为边长为2的等边三角形，
为腰长为的等腰三角形，所以，，
所以，
因为，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
所以
故.
2．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：连接HE，，GF
∵在正方体中，GF分别是棱、BC的中点
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
又在中，H，E分别是，AB的中点
∴，∴
∴E，F，G．H四点共面
(2)
在底面ABCD中，
.
又由点G到平面DEF的距离为2，所以.
所以.
3．在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，M四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，．
(1)求证：平面MBC；
(2)已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离
【解析】(1)由题意得，
取CD的中点E，连接BE、NE，则且，
故四边形是平行四边形，所以，
又平面，所以平面，
又且，且，
则且，故四边形是平行四边形，
所以，又平面，所以平面，
由得，平面平面，
因为平面，所以平面；
(2)
因为矩形平面，所以平面，
又，所以四边形为菱形，
则，直线AN与AE所成角为，
设AM的长为x，则，
在中，由余弦定理，得，
即，由解得，
所以，得，
在中，，
所以的高为，故，
设点C到平面MBD的距离为h，
则，
由，得，解得.
即点C到平面MBD的距离为.
4．如图，四棱锥S-ABCD的底面是长方形，SA⊥底面ABCD，3CE=CD，SC⊥BE.
(1)证明：平面SBE⊥平面SAC；
(2)若，AD=1，求CD及三棱锥C-SBE的体积.
【解析】(1)因为平面ABCD，又平面ABCD，
所以.
又，且，
所以平面SAC，
又平面SBE，
所以平面平面SAC.
(2)连接AC交BE于H，因为，
所以，
故，，
设CE=x，则在Rt△BCE中，，
在Rt△ABC中，，
所以，
解得，
故.
所以.
5．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．
(1)求证：平面；
(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．
【解析】(1)∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面，
又∵平面，∴．
在中，，根据勾股定理逆定理可得：，又，
∴平面，而平面，所以，
在中，，F为的中点，∴，
又∵，∴平面．
(2)
根据题意，，∵平面，∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
6．如图，是边长为的等边三角形，分别在边上，且，为边的中点，交于点，沿将折到的位置，使.
(1)证明：平面；
(2)若平面内的直线平面，且与边交于点，是线段的中点，求三棱锥的体积.
【解析】(1)为等边三角形，为中点，，；
，即，，，，
则在中，，，，
，即；
，为中点，又，；
，平面，平面.
(2)连接，过在平面上作交于点，
平面，平面，平面，
此时四边形为平行四边形，，
，
即三棱锥的体积为.
7．如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，，，.
(1)求的长；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】(1)解：如图所示：
连接交于点，
由题意知，平面，所以，
又因为，，
所以平面，则，
因为，为斜边的中点，
所以，则，
因为，
所以，则，
所以；
(2)
如图所示：
连接，
因为，，为斜边，
所以，
因为，所以，，
过点A作的平行线交的延长线于点，
则，，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
8．如图，在多面体中，为等边三角形，，，，，F为EB的中点.
(1)证明：平面；
(2)求多面体的体积.
【解析】(1)取EC中点M，连结DM,MF，因为F是EB的中点，所以MF∥BC，
∵ ， ，∴四边形AFMD为平行四边形
∴∥.又平面，平面，∥平面.
(2)
∵，∴，
又∵，，∴平面，平面
∴平面平面，
过E作AB的垂线，垂足为H，
则EH为四棱锥的高.由题知.
底面四边形为直角梯形，其面积，
∴.
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