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第9章 整式乘法与因式分解
【学习目标】
1.复习整式乘法、乘法公式和因式分解的内容，能熟练地进行基本运算或变形。
2.提高对整式乘法与因式分解两者关系的认识，初步感受矛盾对立统一的辩证思想。
【考点总结】
一、整式的乘法
1.单项式相乘
单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.21·cn·jy·com
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式相乘
多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.www.21-cn-jy.com
二、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.2·1·c·n·j·y
三、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.21·世纪*教育网
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【例题讲解】
类型一、整式的乘法运算
例1、
【答案】
【分析】先利用积的乘方公式分别计算，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项即可．
解：原式＝
＝
＝
【点拨】本题主要考查积的乘方公式和单项式乘单项式．熟记相关公式（法则）是解题关键．
【训练】先化简，再求值：，其中：，．
【答案】原式，
【分析】
运用单项式乘以单项式及积的乘方法则进行化简后，代入数值即可．
解：原式
当，时，原式
【点拨】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的各运算法则是关键．
例2、阅读下列解题过程，并回答问题．
在（x2+ax+b）(2x2-3x-1)的积中，x3项的系数为-3,x2项的系数为-5,求a,b的值.www-2-1-cnjy-com
解: （x2+ax+b）(2x2-3x-1)
=2x4-3x3+2ax3-3ax2+2bx-3bx ①
=2x4-(3-2a)x3-(3a-2b)x2-3bx ②
根据对应项系数相等,得 ③
解得 ④
(1)上述解题过程是否正确 若不正确,从第几步开始出错
(2)写出正确的解题过程.
【答案】(1)上述解题过程不正确;从第①步开始出错;(2) a=0,b=-2
【解析】
分析：首先根据多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项，根据项的系数列出关于a和b的二元一次方程组，从而得出答案．2-1-c-n-j-y
详解：(1)上述解题过程不正确，从第①步开始出错;
（2）正确解法为：
=
=
根据题意得：-（3-2a）=-3， －(3a-2b+1)=-5， 解得a=0，b=－2．
点拨：本题主要考查的是多项式的乘法计算法则以及解二元一次方程组，属于基础题型．明白多项式的乘法法则是解题的关键．21*cnjy*com
【训练】欢欢与乐乐两人共同计算，欢欢抄错为，得到的结果为；乐乐抄错为，得到的结果为．
式子中的a、b的值各是多少？
请计算出原题的正确答案．
【答案】（1），；（2）
【分析】
根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为，可知，于是；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得到，解关于的方程组即可求出a、b的值；
把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
解：根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为，
那么，
可得
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，
可知
即，
可得，
解关于的方程组，可得，；
正确的式子：
【点拨】本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键．
类型三、乘法公式
例3、先化简，再求值：其中，
【答案】，40
【分析】
先提公因式，然后计算括号内的运算，得到最简整式，然后把，代入计算，即可得到答案．
解：原式
．
当，时，
原式．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行化简．
【训练】解下列方程(组)：
例4、先化简，再求值：
，其中，满足．
【答案】，10
【分析】首先利用平方差公 ( http: / / www.21cnjy.com )式、完全平方公式、多项式乘以多项式计算中括号里面的式子，再合并同类项，化简后，计算括号外的除法，最后代入x、y的值即可．21世纪教育网版权所有
解：原式
．
∵，
∴，，
∴，．
∴原式．
【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式乘、除、加、减的各种运算法则．
类型四、因式分解
例5、因式分解：（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）首先提公因式2，再利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提公因式x，再利用完全平方公式进行分解即可．【出处：21教育名师】
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点拨】此题主要考查了提公因式法与公 ( http: / / www.21cnjy.com )式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【来源：21cnj*y.co*m】
【训练】分解因式：
【答案】
【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式，进行分解因式．
解：原式．
【点拨】本题考查分解因式，熟练掌握公式法是关键．
类型五、多项式乘法与因式分解综合练习
例6.请利用多项式的乘法验代数恒等式：，并根据此结论解答下列问题：
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）已知，，求的值．
【答案】验证过程见详解；（1）；（2）；（3）－18
【分析】
利用乘法分配律进行展开计算即可验证恒等式；
（1）根据题中的恒等式计算即可；
（2）逆用题中的恒等式分解即可；
（3）已知等式利用完全平方公式展开，计算求出的值，原式分解后代入计算即可求出值．
解：
＝
＝；
（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3），即：，
∵ ，
∴＝10，
∴原式＝＝－18．
【点拨】本题考查多项式乘法、完全平方公式、因式分解，解题的关键是灵活运用题目中的信息．
例7．数学活动课上，张老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．21教育网
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观察图，请你写出代数式之间的等量关系是 ；
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据中的等量关系，解决下列问题；
已知，求的值；
已知，求的值．
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】
(1)整体看是一个边长为（a+b）的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形，局部看它有一个边长为a，b的正方形，两个长为b，宽为a的矩形组成，根据图形的面积相等即可确定它们之间的关系；21cnjy.com
(2)①公式变形为ab=计算即可；
②把x-2020变形成(x-2019)-1, 把x-2018变形成(x-2019)+1，用整体思想展开公式计算即可.
解：；
理由如下：
图是边长为的正方形，
图可看成个边长为的正方形，个边长为的正方形以及个长为宽为的长方形的组合图形，
．
，
即．
又
；
设
则，
，
，
即
．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何意义，公式的应用，以及公式的整体思想代换应用，熟练掌握公式的几何意义和公式的变形是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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