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第16章 二次根式
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【考点总结】
要点一、二次根式相关概念
1．二次根式：
一般地，形如的代数式叫做二次根式，a叫做被开方数．
2．n次根式：
形如的代数式叫做n次根式，其中若n为偶数，则必须满足．
3．最简二次根式：
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式；
②被开方数中不含有能开方的因数或因式．
4．两个重要性质：
；
5．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式．
要点二、二次根式的四则运算
1．乘除法：
；．
2．加减法：
，．
3．混合运算：
遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用．
4．乘法公式的推广：
①；
②；
③．
5．二次根式的分母有理化
定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程．
方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）．
6．（1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：．
（2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式．
例：．
【例题讲解】
类型一、二次根式的概念与性质
例1．当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】二次根式有意义的条件是，据此解题．
【详解】二次根式在实数范围内有意义的条件是
故选：A．
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.
【训练】若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出的取值范围．
【详解】∵式子在实数范围内有意义，
∴x＋1≥0
∴x≥﹣1
故选：B
【训练】若有意义，则a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．－ D．－4
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式求解，即可判断．
【详解】依题意可得4a+1≥0
解得a≥-
∴a能取的最小整数为0
故选A．
例2．已知的算术平方根是8，且,则的平方根是_______.
【答案】±5
【解析】根据实数的性质，算术平方根的定义可得方程=0,从而求得x,y的值，代入可得答案．
解：根据二次根式的意义，=0，
则a=0
由题意，得
，
解得x=9，y=1．
∴3x-2y=25，
∴3x-2y的平方根是±=±5．
故答案为±5.
【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即=，同时联系绝对值的意义正确解答.
【训练】已知﹣=2，则+的值为_____________．
【答案】5.
解：∵﹣=2，
∴=+2，
两边平方得，25﹣x2=4+15﹣x2+4，
∴2=3，
两边平方得4（15﹣x2）=9，
化简，得x2=，
∴+=+=5．
故答案为：5．
例3.二次根式 中最简二次根式是______．
【答案】、、
解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数，
第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数，
第三个根式为最简二次根式，
第四个根式为最简二次根式，
第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式，
第六个根式为最简二次根式，
故答案为
【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.21世纪教育网版权所有
类型二、二次根式的运算
例4．计算：
（1） （2）
（1）解：原式=，
=，
=；
（2）解：原式=-（3-2+2）-，
=2+3-3+2-2-，
=；
【总结升华】本题考查了二次根 ( http: / / www.21cnjy.com )式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．21教育网
【训练】解答题
（1）计算：.
（2）已知，求代数的值.
解：（1）原式，
．
（2）将代入代数式中有：
．
【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.21cnjy.com
例5．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，
这样，，
那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
．
由上述例题的方法化简：
（1）．
（2）．
（3）．
【分析】先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
解：（1）
．
（2）
．
（3）．
【总结升华】本题考查二次根式根号内含有根号 ( http: / / www.21cnjy.com )的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
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