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(共21张PPT)
北师大版 七年级下
1.6.1完全平方公式的认识
情境引入
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式的乘法法则
利用多项式乘多项式计算下面两个式子。
=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+2×3m+9
=m2+6m+9
=(2+3x)(2+3x)
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4+12x+9x2
（1）(m+3)2
（2）（2+3x）2
你有什么发现？
合作学习
（1）（m+3）2
（2）（2+3x）2
=m2+6m+9
=4+12x+9x2
一个二项式（两数和）的平方
两数的平方和加上这两数乘积的2倍
（3）（a+b）2
=a2+2ab+b2.
观察算式及其运算结果，你有什么发现？
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
【思考】两数差的完全平方公式是什么？
(a-b)2 = a2-2ab+b2.
（1）你能用多项式的乘法法则来说明这个公式成立吗？
(a－b) 2
=（a-b）（a-b）
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
【思考】两数差的完全平方公式是什么？
(a-b)2 = a2-2ab+b2.
(a b)2
=[a+( b)]2
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
（2）小米写出了如下的算式：(a-b)2=[a+(-b)]2，她是怎么想的？你能继续做下去吗？
【思考】你能设计一个图形解释这个公式吗
(a-b)2 = a2-2ab+b2.
a-b
b
a
b
a
a-b
(a-b)2
b2
b(a-b)
b(a-b)
你能解释这个图形吗？
提炼概念
【总结归纳】
完全平方公式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a -b) 2=a2－2ab+b2
1.结构特征：左边是二项式（两数和或差）的平方；
右边是两数的平方和加（或减）这两数乘积的2倍.
例1 运用完全平方公式计算：
解: (3x－2)2=
=9x2
(1)(3x－2)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab ＋ b2
(3x)2
－2 (3x) 2
＋22
－12x
＋94；
确定a,b
典例精讲
(a ＋ b)2= a2 ＋ 2 ab ＋ b2
( 5x )2
(2) ( 5x＋ 4y )2；
=25x2＋40xy＋16y2.
＋ ( 4y )2
＋2 4x 5y
解：( 5x＋4y )2 =
(a － b)2= a2 － 2 ab ＋ b2
( mn )2
(3) ( mn－a )2.
=m2n2－2mna＋a2.
＋ a2
－2 mn a
解：( mn－a )2 =
归纳概念
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
公式特征：
简记为：
“首平方，尾平方，
2倍乘积在中央”
课堂练习
1. 若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(　　)
A．9 B．－9
C．±9 D．±3
2 . 计算(－a－b)2等于(　　)
A．a2＋b2 B．a2－b2
C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
A
C
3．如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：①　 　 　 ；
② 　 　 ，这两个代数式表示同一块面积，由此得到完全平方公式③ 　 　 　 　 　 　 ．
4.利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2；(4) (a+b－5)2.
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(4)原式= [(a+b)－5]2 = (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25.
5. 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝13＋2×6＝25；
(a－b)2＝a2＋b2－2ab
＝13－2×6＝1.
课堂总结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.6.1完全平方公式的认识 教案
课题 1.6.1完全平方公式的认识 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;2.会运用公式进行简单的运算.
重点 体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.
难点 判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题多项式乘多项式的法则是什么？公式：(a+b)(m+n)=________________________am+an+bm+bn多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9= m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9， ( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2 ．一个二项式（两数和）的平方两数的平方和加上这两数乘积的2倍。一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. 直接求：总面积=（a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？（a+b)2=a2+2ab+b2【思考】两数差的完全平方公式是什么？（a – b）2 = ？你是怎样做的？一种：（a – b）2= （a – b）（a – b）= a2 – 2ab + b2二种：（a – b）2= [a+（– b）]2= a2 +2a（– b）+（– b）2= a2 – 2ab + b2【思考】你能设计一个图形解释这个公式吗 (a-b)2 = a2-2ab+b2.阴影部分的面积是：阴影部分的面积也可以由大正方形减去______和_________所以（a-b)2=a2-ab-b(a-b)=a2-2ab+b2 思考自议引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述. 设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备
讲授新课 提炼概念 【总结归纳】(a+b) 2=a2+2ab+b2(a -b) 2=a2－2ab+b2上面两个公式称为完全平方公式。语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.三、典例精讲【例1】计算： (2x－3)2 (2) (4x+5y)2； (3) (mn－a)2【解】(1) (2x－3)2 (2) (4x+5y)2= (2x)2－2·2x·3+32 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2= 4x2－12x + 9； = 16x2 +40xy+ 25y2 ；(3) (mn－a)2 = (mn)2－2·mn·a+a2 = m2n2－2amn+a2.【总结归纳】完全平方公式的特征：1.乘积为二次三项式；2.积中的两项为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.能运用该法则准确进行有理数的加法运算.在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能. 进一步熟悉完全平方公式的本质特征，掌握运用完全平方公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律.
课堂检测 四、巩固训练 1. 若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(　　)A．9 B．－9 C．±9 D．±3A2 . 计算(－a－b)2等于(　　)A．a2＋b2 B．a2－b2C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2C3．如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：① ；② ，这两个代数式表示同一块面积，由此得到完全平方公式③ 　 　 　 　 　 　 (a＋b)2
a2＋2ab＋b2
． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
4.利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.(4) (a+b－5)2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.(4)原式= [(a+b)－5]2 = (a+b)2－10(a+b)+52 = a2+2ab+b2－10a－10b+25. 5. 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab ＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab ＝13－2×6＝1.
课堂小结 这节课你学到了什么？完全平方公式(a±b)2= a2 ±2ab+b2两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
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1.6.1完全平方公式的认识 学案
课题 1.6.1完全平方公式的认识 单元 第1单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;2.会运用公式进行简单的运算.
重点 体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.
难点 判别要计算的代数式是哪两个数的和(或差)的平方.
教学过程
导入新课 【引入思考】多项式乘多项式的法则是什么？公式：(a+b)(m+n)=________________________利用多项式乘多项式计算下面两个式子.（1）(m+3)2 （2）（2+3x）2你有什么发现？一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米。形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图)。你能用式子表示出实验田的总面积吗？__________________________________________________你能写出每一块土地的面积吗？__________________________________________________这块土地的总面积：___________________________________________________________________________两种方法所求得的总面积是相等的，于是我们得到了：________________________________________________________________观察算式及其运算结果，你有什么发现？算式左边是___________________________；右边是___________________________.【归纳】(a+b)2 =_______________.__________的平方等于这两数的__________加上这__________的2倍。再举两例验证你的发现.【思考】两数差的完全平方公式是什么？_______________________________________（1）你能用多项式的乘法法则来说明这个公式成立吗？小米写出了如下的算式：(a-b)2=[a+(-b)]2，她是怎么想的？你能继续做下去吗？总结：两数差的平方等于_____________________________________________。(a-b)2 =________________________【思考】你能设计一个图形解释这个公式吗 【总结归纳】(a+b)2=a2+2ab+b2(a -b)2=a2－2ab+b21.结构特征：______________________________________________________________________________________________________________________________2.语言表述：________________________________________________________________________________________________________________________
新知讲解 提炼概念(a+b) 2=a2+2ab+b2(a -b) 2=a2－2ab+b2上面两个公式称为完全平方公式。语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.典例精讲 【例1】计算： (2x－3)2 (2) (4x+5y)2； (3) (mn－a)2
课堂练习 巩固训练1. 若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(　　)A．9 B．－9 C．±9 D．±32 . 计算(－a－b)2等于(　　)A．a2＋b2 B．a2－b2C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b23．如图，最大正方形的面积可用两种形式表示：① ；② ，这两个代数式表示同一块面积，由此得到完全平方公式③ 　 　 　 　 　 　 ．4.利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.(4) (a+b－5)2. 5. 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值. 答案引入思考am+an+bm+bn多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（1）( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9= m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9， （2）( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2 ．直接求：总面积=（a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？（a+b)2=a2+2ab+b2（a – b）2 = ？你是怎样做的？一种：（a – b）2= （a – b）（a – b）= a2 – 2ab + b2二种：（a – b）2= [a+（– b）]2= a2 +2a（– b）+（– b）2= a2 – 2ab + b2（a-b)2=a2-ab-b(a-b)=a2-2ab+b2提炼概念典例精讲 【解】(1) (2x－3)2 (2) (4x+5y)2= (2x)2－2·2x·3+32 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2= 4x2－12x + 9； = 16x2 +40xy+ 25y2 ；(3) (mn－a)2 = (mn)2－2·mn·a+a2 = m2n2－2amn+a2.巩固训练1.A2.C3. (a＋b)2
a2＋2ab＋b2
． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
4.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.(4)原式= [(a+b)－5]2 = (a+b)2－10(a+b)+52 = a2+2ab+b2－10a－10b+25. 5.解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab ＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab ＝13－2×6＝1.
课堂小结 这节课你学到了什么？完全平方公式(a±b)2= a2 ±2ab+b2两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
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