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波的多解问题
一．造成波动问题多解的三大因素
1.周期性形成多解
(1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
2.双向性形成多解
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。
3.波形的隐含性形成多解
在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。
二．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)．
三．习题
类型一：双向性形成多解
1.(多选)一列横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点．在t时刻A、B两点间形成如图甲所示波形，在(t＋3 s)时刻A、B两点间形成如图乙所示波形，已知A、B两点间距离a＝9 m，则以下说法中正确的是(　　)
A．若周期大于4 s，波可能向右传播
B．若周期为4 s，波一定向右传播
C．若波速为8.5 m/s，波一定向左传播
D．该波波速可能的最小值为0.5 m/s
2.　如图甲所示，一列简谐波沿x轴传播，A、B为平衡位置相距4 m的两个质点，它们的振动图像如图乙所示。求该波的波速。
类型二：周期性形成多解
3.P、Q是一列简谐横波中的两个质点，它们的平衡位置相距30 m，各自的振动图象如图中的实线和虚线所示，且P、Q之间的距离小于一个波长，求：
(1)若P比Q离波源近，该波的波长；
(2)若Q比P离波源近，该波的速度．
4.　(多选)如图所示，这是一列沿x轴传播的简谐横波，实线为t＝0时刻的波形图，经过t1＝6 s，波形图如图中虚线所示。已知波的周期T＞4 s，则下列说法正确的是(　　)
A．该波的波长为8 m
B．该波的周期可能为8 s
C．在t＝9 s时，B质点一定沿y轴正方向运动
D．该列波的波速可能为 m/s
5.　(多选)一列机械波沿直线ab向右传播，＝2 m，a、b两点的振动情况如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．波速可能是 m/s
B．波长可能是 m
C．波速可能大于 m/s
D．波长可能大于 m
6.　如图，实线为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形，虚线是该波在t＝0.20 s时刻的波形，则此列波的波速可能为(　　)
A．25 m/s　 B．20 m/s　
C．35 m/s　 D．55 m/s
7.(多选)(2016·四川高考)简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距10 m的两质点，波先传到P，当波传到Q开始计时，P、Q两质点的振动图象如图所示。则(　　)
A.质点Q开始振动的方向沿y轴正方向
B.该波从P传到Q的时间可能为7 s
C.该波的传播速度可能为2 m/s
D.该波的波长可能为6 m
8. (2018·北京理综，4)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是(　　)
A.0.60 m B.0.30 m C.0.20 m D.0.15 m
类型三：波形的隐含性形成多解
9.机械横波某时刻的波形图如图所示，波沿x轴正方向传播，波长λ＝0.8 m，质点P的坐标x＝0.32 m。从此时刻开始计时。
(1)若每间隔最小时间0.4 s重复出现波形图，求波速；
(2)若P点经0.4 s第一次达到正向最大位移，求波速；
(3)若P点经0.4 s到达平衡位置，求波速。
10.(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5 s。关于该简谐波，下列说法正确的是(　　)
A.波长为2 m
B.波速为6 m/s
C.频率为1.5 Hz
D.t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰
11．一列简谐横波沿x轴正方向传播，沿传播方向上P、Q两点的振动图象如图甲、乙所示，已知P、Q两点平衡位置的坐标分别为xP＝2 m、xQ＝4 m。问：
甲　　　　　　　　　　乙
(1)若该波的波长大于2 m，则波速是多大？
(2)若该波的波长小于2 m，则波长是多少？
12．(多选)(2018·全国卷Ⅲ)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0.20 s时的波形分别如图中实线和虚线所示。已知该波的周期T＞0.20 s。下列说法正确的是________。
A．波速为0.40 m/s
B．波长为0.08 m
C．x＝0.08 m的质点在t＝0.70 s时位于波谷
D．x＝0.08 m的质点在t＝0.12 s时位于波谷
E．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m
答案解析
1.答案　BCD
解析　若波向右传播，3 s＝(n＋)T1，解得T1＝ s(n＝0,1,2…)；若波向左传播，3 s＝(n＋)T2解得，T2＝ s(n＝0,1,2…)；由于n是整数，所以当周期大于4 s时，波向左传播，若周期为4 s，波一定向右传播，故A错误，B正确．由题图知波长λ＝6 m，若波速为8.5 m/s，波传播的距离为x＝vt＝8.5×3 m＝25.5 m＝4λ，根据波形的平移可知，波一定向左传播，故C正确．波向左传播且n＝0时，周期最大，为T2＝12 s，该波波速可能的最小值为v＝＝ m/s＝0.5 m/s，故D正确．
2.答案 沿x轴正方向传播，v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)；沿x轴负方向传播，v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)。
解析　根据题图乙知，该列波周期T＝0.4 s，由A、B振动图像可知，若简谐波沿x轴正方向传播，振动由质点A传播到质点B所需的时间为tAB＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，根据波速定义式有：v＝，联立解得：v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)；由A、B振动图像可知，若简谐波沿x轴负方向传播，振动由质点B传播到质点A所需的时间为tBA＝nT＋T(n＝0，1，2，3，…)，根据波速定义式有：v＝，联立解得：v＝ m/s(n＝0，1，2，3，…)。
3.答案　(1)40 m　(2)30 m/s
解析　(1)若P比Q离波源近，波由P传到Q，则PQ间的距离为：Δx＝(n＋)λ＝30 m　(n＝0,1,2…)，因P、Q之间的距离小于一个波长，则n取0，则得：λ＝40 m
(2)若Q比P离波源近，则有：Δx＝(n＋)λ′＝30 m　(n＝0,1,2…)，因P、Q之间的距离小于一个波长，则n取0，则得：λ′＝120 m，又T＝4 s，解得v＝＝30 m/s.
4.答案　BD
解析　分析波形图，可知波长λ＝4 m，A错误；设波沿x轴正方向传播，则t1＝T，n＝0，1，2，…，其中T＞4 s，则n＝0时，T＝24 s，波速v＝＝ m/s ；n＝1时，T＝ s，波速v＝ m/s；设波沿x轴负方向传播，则t1＝T，n＝0，1，2，…，其中T＞4 s，则n＝0时，T＝8 s，波速v＝0.5 m/s，B、D正确；当波沿x轴负方向传播时，T＝8 s，在t＝9 s时，B质点在平衡位置下方，沿y轴负方向运动，C错误。
5.答案　AB
解析　由振动图像可知质点振动周期T＝4 s，在t＝0时刻，a点位于波谷，b点经过平衡位置向上，结合波形得：＝λ(n＝0，1，2，…)，得：λ＝ m(n＝0，1，2，…)，波速为v＝＝ m/s (n＝0，1，2，…)。当n＝0时，波长最长，最长波长为 m，波速最大，最大波速为 m/s，A、B正确，C、D错误。
6.答案 A
解析 设波的周期为T，波沿x轴正方向传播，则t＝T(n＝0，1，2，…)，得到T＝＝ s(n＝0，1，2，…)。当n＝0时，T1＝0.80 s；当n＝1时，T2＝0.16 s；当n＝2时，T3＝ s…，再依据v＝，那么当n＝0时，v1＝5 m/s；当n＝1时，v2＝25 m/s；当n＝2时，v3＝45 m/s…，A正确，B、C、D错误。
7.答案　AD
解析　由图可知，质点Q的起振方向沿y轴正方向，选项A正确；简谐横波的传播方向从P到Q，由图可知，周期T＝6 s，从P传到Q的时间Δt＝(4＋nT) s ，n＝0，1，2，…，即Δt＝4 s，10 s，16 s，…，所以选项B错误；由v＝＝ m/s，n＝0，1，2，…，速度v可能为2.5 m/s，1 m/s，0.625 m/s，…，所以选项C错误；同理，由波的波长λ＝vT 可得，波长可能为15 m，6 m，3.75 m，…，所以选项D正确。
8.答案　B
解析　由题意，P、Q两点之间的距离为＋nλ＝0.15 m，n＝0，1，2，…，故n＝0时，λ＝0.30 m，n＝1时，λ＝0.10 m，选项B正确，其余选项错误。
9.答案 (1)2 m/s　(2)0.3 m/s　(3)(0.8＋n) m/s(n＝0，1，2，3，…)
解析 (1)依题意，周期T＝0.4 s，波速v＝＝ m/s＝2m/s。
(2)波沿x轴正方向传播，当x＝0.2 m的振动传到P点，P点恰好第一次达到正向最大位移。波传播的距离Δx＝0.32 m－0.2 m＝0.12 m，波速v＝＝ m/s＝0.3 m/s。
(3)波沿x轴正方向传播，若P点恰好第一次到达平衡位置则Δx＝0.32 m，由周期性，可知波传播的可能距离Δx＝(0.32＋n) m(n＝0，1，2，3，…)，可能波速v＝＝ m/s＝(0.8＋n) m/s(n＝0，1，2，3，…)。
10.答案　BC
解析　由波形图可知，波长λ＝4 m，故A错误；横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图。又该简谐波的周期大于0.5 s，波传播的距离Δx＝λ，T＝0.5 s，故周期T＝ s，频率为1.5 Hz，波速v＝λf＝6 m/s，故B、C正确；t＝1 s＝T时，x＝1 m处的质点处于波谷位置，故D错误。
11.答案　(1) m/s　(2) m(n＝2,3,4…)
解析　由P、Q两点的振动图象得周期T＝2 s，，Q点的振动方程yQ＝Asin(ωt＋φ)，当t＝0时，yQ＝ym，则yQ＝5sin m；P点的振动方程：yP＝5sin πt(m)，波从P传到Q点用时为Δt，πΔt＋＝2nπ，n＝1,2,3，…
(1)若该波的波长大于2 m，Δt′(2)若该波的波长小于2 m，Δt>T，n＝2,3,4…，Δt′＝ s(n＝2,3,4…)，v′＝＝(n＝2,3,4…)，可得：λ＝v′T＝ m(n＝2,3,4…)。
12.答案 ACE
解析 因周期T＞0.20 s，故波在t＝0到t＝0.20 s时间内传播的距离小于波长λ，由y x图像可知传播距离Δx＝0.08 m，故波速v＝＝0.40 m/s，故A正确。由y x图像可知波长λ＝0.16 m，故B错误。由v＝得，波的周期T＝＝0.4 s，根据振动与波动的关系知t＝0时，x＝0.08 m的质点沿＋y方向振动，t＝0.7 s＝1T，故此时该质点位于波谷；因为T＜0.12 s＜，此时x＝0.08 m的质点在x轴上方沿－y方向振动，故C正确，D错误。根据λ＝得波速变为0.80 m/s时波长λ＝0.32 m，故E正确。

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