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万有引力与宇宙航行问题
目录
考点一、开普勒定律 3
1.开普勒第一定律（轨道定律） 3
2.开普勒第二定律（面积定律） 3
3.开普勒第三定律（面积定律） 4
4.练习题 4
考点二、万有引力定律 6
1.内容 6
2.表达式 6
3.方向 6
4.适用条件 6
5.对万有引力的理解 7
6.引力常量 7
7．万有引力与重力的关系 7
8.星体表面上的重力加速度 8
9．万有引力的“两个推论” 9
10.练习题 9
考点三、计算中心天体质量、密度 12
1.“自力更生” 12
2.“借助外援” 12
3.练习题 12
考点三、天体运动的分析与计算 19
1.基本思路 19
2.常用关系 19
3.天体运行的各物理量 20
4.宇宙速度 20
5.练习题 21
考点四、同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较问题 28
1.卫星的运行轨道 28
2.地球同步卫星 28
3.重要常识 29
4.两个向心加速度 29
5.两种周期 29
6.同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较 29
7.练习题 30
考点五、人造卫星的发射、变轨与对接 34
1.发射问题 34
2.变轨问题 34
3. 对接问题 35
4.练习题 36
考点六、多星模型 46
1．双星模型 46
2．三星模型 47
3.四星模型 48
4.练习题 48
考点七、天体中的“追及相遇”问题 56
1.相距最近 56
2.相距最远 57
3.天体相遇次数问题 57
4.练习题 57
考点八、万有引力定律与几何知识的结合 60
1.练习题 60
答案解析 63
考点一、开普勒定律
1.开普勒第一定律（轨道定律）
　图1　　　　　　　　图2
行星的轨道都是椭圆，如图1所示，不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图2所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳.因此开普勒第一定律又叫轨道定律.
2.开普勒第二定律（面积定律）
(1)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
(2)如图所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大.因此开普勒第二定律又叫面积定律.
(3)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点.同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小.
(4)如图，近日点速度为vb、远日点速度为va，则在极端时间t内，远日点A与太阳的连线扫过的面积SA＝，近日点B与太阳的连线扫过的面积SB＝，根据开普勒第二定律，得＝，即vb＝va。
3.开普勒第三定律（面积定律）
(1)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.即＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量.
(2)如图所示，由＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，因此第三定律也叫周期定律.常数k与行星无关，只与太阳有关.
(3)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，其中常数k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定.
(4)不同行星绕同一中心天体运动，常列。
4.练习题
1.(多选)关于卫星绕地球的运动，根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论有(　　)
A.人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B.卫星绕地球运动的过程中，其速率与卫星到地心的距离有关，距离小时速率小
C.卫星离地球越远，周期越大
D.同一卫星绕不同的行星运动，的值都相同
2.长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于(　　)
A.15天 B.25天
C.35天 D.45天
3.太阳系中的八大行星的轨道均可近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象.图中坐标系的横轴是lg()，纵轴是lg()；这里的T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是(　　)
4.(多选) (2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　)
A.从P到M所用的时间等于
B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小
D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
5.(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
6.(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为(　　)
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
7.(2020·山东等级考模拟卷·5)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间．已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为(　　)
A. R0 B. R0 C. R0 D. R0
8.(多选)(2016·高考江苏卷)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)
A．TA>TB B．EkA>EkB
C．SA＝SB D.＝
考点二、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.
2.表达式
F＝G，G为引力常量：由卡文迪许测得G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3.方向
在两个物体的连线上，指向施力物体
4.适用条件
(1)在以下三种情况下可以直接使用公式F＝G计算：
①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离.
②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离.
③一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力：r指质点到球心的距离.
(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于r→0，物体已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用.
(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力.
5.对万有引力的理解
(1)普遍性:它普遍存在于宇宙中任何有质量的物体之间，是物质之间的四大基 本相互作用之一．
(2)相互性:两物体间的引力，是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律．
(3)独立性:两物体间的引力，只与它们的质量及距离有关，不管它们之间是否还有其它作用力．
(4)宏观性:只有质量巨大的天体间，万有引力的存在才有宏观物理意义.
6.引力常量
(1)G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出.
(2)测定G值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值.
(3)G值的物理含义：两个质量为1kg的物体相距1m时，它们之间万有引力为6.67×10-11 N.
(4)卡文迪许被称为“第一个称量地球质量的人”！
7．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
(4)越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
8.星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′：
mg′＝，得g′＝＝
(3)在距地球表面深d处的重力加速度为g′：　
以R为半径的地球质量为M＝πR3ρ.（质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零）以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝π(R－d)3ρ，得M′＝3M，则g′＝＝，
9．万有引力的“两个推论”
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
10.练习题
1.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)
A. B.
C. D.
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.万有引力定律F＝G适用于两质点间的作用力计算
B.据F＝G，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C.把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G
D.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
3.如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
4.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点.现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为(　　)
A. B.
C. D.
5.两个完全相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为(　　)
A.2F B.4F C.8F D.16F
6.(2020·济南市5月高考模拟)1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是(　　)
A．牛顿计算出了地球对月球的万有引力的数值，从而完成了月—地检验
B．牛顿计算出了月球对月球表面物体的万有引力的数值，从而完成了月—地检验
C．牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
D．牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
7．已知地球两极处的重力加速度大小约为9.8 m/s2，贴近地球表面飞行的卫星的运行周期约为1.5小时，试结合生活常识，估算一质量为60 kg的人站在地球赤道上随地球自转所需要的向心力约为(　　)
A．0.2 N B．0.4 N C．2 N D．4 N
8.(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)
9.(2020·高考全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2　　　　　　　　　 B．0.4
C．2.0 D．2.5
10.（2020·山东卷）我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（　　）
A. B. C. D.
11.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d(矿井宽度很小).已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A.1－ B.1＋
C.2 D.2
考点三、计算中心天体质量、密度
1.“自力更生”
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g，物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G （忽略了天体自转），
天体(如地球)质量：M＝
天体密度：ρ＝＝
2.“借助外援”
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动，行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r＝m＝mω2r，
中心天体质量：M＝＝＝，
天体密度：ρ＝＝(以T为例)，
当轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.
3.练习题
1.(2018·全国卷Ⅱ，16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
2.（2019·高考全国卷Ⅰ）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A.M与N的密度相等 B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
3.（2019·浙江选考）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4.　(2017·北京理综，17)利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
5.(2019·济南模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为(　　)
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 ＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 ＝6
A.3∶2 B.2∶3 C.4∶1 D.6∶1
6.一宇航员在地球表面和某未知星球的表面上分别做高度和初速度相同的平抛运动实验：在离地面h高处让小球以v0的初速度水平抛出，他测出在地球上小球落地点与抛出点的水平距离为2x，在未知星球上小球落地点与抛出点的水平距离为x，已知地球的半径为R，未知星球的半径为2R，万有引力常量为G，则(　　)
地球表面的重力加速度是未知星球表面重力加速度4倍
B．未知星球的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2倍
C．未知星球的质量约为
D．未知星球的密度约为
7.半径为R的某均匀球形天体上，两“极点”处的重力加速度大小为g，“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的.已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．该天体的质量为
B．该天体的平均密度为
C．该天体的第一宇宙速度为
D．该天体的自转周期为2π
8.2018年12月8日凌晨，我国在西昌卫星发射中心利用长征三号乙改进型运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，对月球背面南极艾特肯盆地开展着陆巡视探测，实现了人类首次月球背面软着陆和巡视勘察．假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(小于绕行周期)，运动的弧长为s，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，则(　　)
A．探测器的轨道半径为 B．探测器的环绕周期为
C．月球的质量为 D．月球的密度为
9.(多选)卫星绕某行星做匀速圆周运动的速率的平方(v2)与卫星的轨道半径的倒数的关系如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．行星的半径为kb B．行星的质量为
C．行星的密度为 D．行星的第一宇宙速度为
10.(多选)(2021·辽宁省1月适应性测试)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是(　　)
A．月球平均密度为 B．月球平均密度为
C．月球表面重力加速度为 D．月球表面重力加速度为
11.(多选)2019年4月10日，“事件视界望远镜”项目(EHT)正式公布了人类历史上第一张黑洞照片，引起了人们探索太空的极大热情．星球表面的物体脱离星球束缚能达到无穷远的最小速度称为该星球的逃逸速度，可表示为v＝，其中M表示星球质量，R表示星球半径，G为万有引力常量．如果某天体的逃逸速度超过光速c，说明即便是光也不能摆脱其束缚，这种天体称为黑洞，下列说法正确的是(　　)
A．若某天体最后演变成黑洞时质量为M0，其最大半径为
B．若某天体最后演变成黑洞时质量为M0，其最大半径为
C．若某黑洞的平均密度为ρ，其最小半径为
D．若某黑洞的平均密度为ρ，其最小半径为
12.(多选)宇航员抵达一半径为R的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动．若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF.已知万有引力常量为G，根据题中提供的条件和测量结果，可知(　　)
A．该星球表面的重力加速度为 B．该星球表面的重力加速度为
C．该星球的质量为 D．该星球的质量为
13.2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射X射线调制望远镜卫星“慧眼”。“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领城由地面观测向天地联合观测的超越。“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象。在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L(黑洞的半径远小于黑洞之间的距离)，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为(　　)
A. B. C. D.
14.（2021·全国高考真题）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A． B． C． D．
15.（2021·广东高考真题）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
16.（2021·全国高考真题）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　）
A．6×105m B．6×106m C．6×107m D．6×108m
17.2020年7月23日我国用“长征五号”大型运载火箭发射首枚火星探测器“天问一号”，“天问一号”火星探测将通过一次发射实现火星环绕、着陆和巡视三项任务，这在人类火星探测史上开创了先河。2021年2月24日，探测器由调相轨道到达近火点时进行变轨，进入停泊轨道，为着陆做准备。若停泊轨道的近火点高度为a、远火点高度为b，周期为T，已知引力常量为G，火星半径为R，则火星的质量为（　　）
A. B.
C. D.
18.年月日，我国首个火星探测器“天问一号”传回了火星照片，如图所示。多年以后，小明作为一位火星移民，于太阳光直射赤道的某天晚上，在火星赤道上某处仰望天空。某时，他在西边的地平线附近恰能看到一颗火星人造卫星出现，之后极快地变暗而看不到了，他记下此时正是火星上日落后约小时分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为的探测卫星，查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为小时分，已知万有引力常量为。根据以上信息，分析可得火星密度的表达式为（　　）
A. B. C. D.
19、北京时间2020年12月2日4时53分，探月工程“嫦娥五号”的着陆器和上升器组合体完成了月壤采样及封装。封装结束后上升器的总质量为m，它将从着陆器上发射，离开月面。已知月球质量为M，表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略月球的自转。
(1)求月球的半径R；
(2)月球表面没有大气层。上升器从着陆器上发射时，通过推进剂燃烧产生高温高压气体，从尾部向下喷出而获得动力，如图所示。已知喷口横截面积为S，喷出气体的密度为ρ，若发射之初上升器加速度大小为a，方向竖直向上，不考虑上升器由于喷气带来的质量变化，求喷出气体的速度大小v；
(3)不计其它作用力时，上升器绕月飞行可认为是上升器与月球在彼此的万有引力作用下，绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动。若认为在O点有一静止的“等效月球”，替代月球对上升器的作用，上升器绕“等效月球”做匀速圆周运动，周期不变。求“等效月球”的质量。
考点三、天体运动的分析与计算
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向.
2.常用关系
(1)G＝man＝m＝mω2r＝mr.
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，得：gR2＝GM，称为“黄金代换式”.
3.天体运行的各物理量
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动.
(1)线速度：G＝m，得v＝，r越大，v越小.
(2)向心加速度G＝man，得an＝，r越大，an越小.
(3)角速度：G＝mω2r，得ω＝，r越大，ω越小.
(4)周期：G＝m2r，得T＝2π，r越大，T越大.
结论：“一定四定，高轨低速长周期”.
4.宇宙速度
(1)第一宇宙速度
①第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
②第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
③第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 075 s≈85 min.
(2)第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
(3)第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
(4)宇宙速度与运动轨迹的关系
①v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动．
②7.9 km/s③11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
④v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
5.练习题
1.(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
2.(2019·高考北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方 B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度 D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
3.天文兴趣小组查找资料得知：某天体的质量为地球质量的a倍，其半径为地球半径的b倍，表面无大气层，地球的第一宇宙速度为v。则该天体的第一宇宙速度为(　　)
A．v B．v C.v D.v
4.(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则
A．v1＞v2，v1＝ B．v1＞v2，v1＞
C．v1＜v2，v1＝ D．v1＜v2，v1＞
5.(2019·北京卷·18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
6.我国海南文昌卫星发射场于2013年建成，该发射场是中国陆地纬度最低、距离赤道最近的地区，火箭发射场距离赤道越近、纬度越低，发射卫星时需要的能耗越低，使用同样燃料可达到的速度越大．已知地球的半径为R，地球的自转周期为T，地表的重力加速度为g.要在地球赤道上发射一颗质量为m的近地人造地球卫星，使其轨道在赤道的正上方，若不计空气的阻力，那么(　　)
A．向东发射与向西发射耗能相同，均为mgR－m2
B．向东发射耗能为m2，比向西发射耗能多
C．向东发射与向西发射耗能相同，均为m2
D．向西发射耗能为m2，比向东发射耗能多
7.我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是。在某些特殊情况下，非质点之间的万有引力计算，我们可以利用下面两个结论，快速有效地解决。
a．若质点m放置在质量分布均匀的大球壳M（球壳的厚度也均匀）的空腔之内，那么m和M之间的万有引力总是为零。
b．若质点m放置在质量分布均匀的大球体M之外（r≥r0），那么它们之间的万有引力，式中的r为质点m到球心之间的距离； r0为大球体的半径。
假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，通过地球的南北两极之间能够打通一个如图所示的真空隧道。若地球的半径为R，万有引力常数为G，把一个质量为m的小球从北极的隧道口由静止释放后，小球能够在隧道内运动。求：
（1）小球运动到距地心0.5R处的加速度大小a；
（2）在F-r图中画出质量为m的小球所受引力F与小球到球心之间的距离r的图像；
（3）小球在运动过程中的最大速度vm。
8.2021年5月15日天问一号着陆巡视器成功着陆．已知火星质量约为地球质量的，火星直径约为地球直径的，由此可估算天问一号在火星表面附近绕火星运行的速度约为地球第一宇宙速度的(　　)
A．0.20倍 B．0.47倍
C．2.2倍 D．4.8倍
9.(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
10.(2016·四川理综，3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　)
A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1
C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3
11.(2020·高考全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
12.(2020·全国卷Ⅱ，15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A. B. C. D.
13.(2020·全国卷Ⅰ，15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
14.(2019·全国卷Ⅲ·15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
15.(2019·天津卷·1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”，如图1.已知月球的质量为M、半径为R.探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)
图1
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
16.(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A.周期变大 B.速率变大
C.动能变大 D.向心加速度变大
17.(多选)(2017·江苏单科，6)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其(　　)
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
18.如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是(　　)
A.a、b的线速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2
19.(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图6中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则(　　)
A.P1的平均密度比P2的大
B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C.s1的向心加速度比s2的大
D.s1的公转周期比s2的大
20.(2018·江苏单科)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
21.(多选)(2018·天津理综)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的(　　)
A.密度大小 B.向心力的大小
C.离地高度的大小 D.线速度的大小
22.(2021·河北省选择性考试模考)假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时，轨道是贴近月球表面的圆形轨道。已知地球密度为月球密度的k倍，地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍，则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为(　　)
A． B．
C． D．
23.(2020·新高考天津卷)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)
A．周期大 B．线速度大
C．角速度大 D．加速度大
考点四、同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较问题
1.卫星的运行轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
2.地球同步卫星
(1)定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．
(2)“七个一定”的特点：
①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
③角速度一定：与地球自转的角速度相同．
④高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3.6×107 m.
⑤速率一定：v＝ ＝3.1×103 m/s.
⑥向心加速度一定：由G＝ma得a＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．
⑦绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．
(3)物理规律：
①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．
3.重要常识
(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
(3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
4.两个向心加速度
卫星绕地球运行的向心加速度 物体随地球自转的向心加速度
产生原因 由万有引力产生 由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生
方向 指向地心 垂直且指向地轴
大小 a＝(地面附近a近似等于g) a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度
特点 随卫星到地心的距离的增大而减小 从赤道到两极逐渐减小
5.两种周期
(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．
6.同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
近地卫星 (r1、ω1、v1、a1、T1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2、T2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3、T3)
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2＞r3＝r1
角速度 由＝mω2r得ω＝，故ω1＞ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3（T1线速度 由＝得v＝，故v1＞v2 由v＝rω得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加速度 由＝ma得a＝，故a1＞a2 由a＝ω2r得a2＞a3
a1＞a2＞a3
7.练习题
1.有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1，则有(　　)
图1
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是20 h
2.2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．同步卫星运动的周期为2π B．同步卫星运行的线速度为
C．同步轨道处的重力加速度为()2g D．地球的平均密度为
3.卫星携带一探测器在半径为4R的圆轨道I上绕地球做匀速圆周运动。在A点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而卫星沿新的椭圆轨道Ⅱ运动，如图所示，A、B两点分别是其椭圆轨道Ⅱ的远地点和近地点（卫星通过A、B两点时的线速度大小与其距地心距离的乘积相等）。地球质量为M，探测器的质量为m，卫星的质量为，地球半径为R，引力常量为G，已知质量分别为、的两个质点相距为时，它们之间的引力势能为，求：
（1）卫星刚与探测器分离时，卫星的线速度大小；
（2）卫星运行到近地点B时距地心的距离a。
4.(多选)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是(　　)
A．它们均位于赤道正上方
B．它们的周期小于近地卫星的周期
C．它们离地面的高度都相同
D．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯
5.如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星.三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则(　　)
A.ωA＝ωC<ωB B.TA＝TCC.vA＝vCaB
6.“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法正确的是(　　)
A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得速度的
C.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
7.我国首颗极地观测小卫星是我国高校首次面向全球变化研究、特别是极地气候与环境监测需求所研制的遥感科学实验小卫星。假如该卫星飞过两极上空，其轨道平面与赤道平面垂直，已知该卫星从北纬15°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬15°的正上方时所用时间为1 h，则下列说法正确的是(　　)
A.该卫星与同步卫星的轨道半径之比为1∶4
B.该卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度
C.该卫星与同步卫星的加速度之比为∶1
D.该卫星在轨道上运行的机械能一定小于同步卫星在轨道上运行的机械能
8.我国自主研发的“北斗”卫星导航系统中含有地球同步卫星，关于地球同步卫星，下列说法正确的是(　　)
A.同步卫星处于平衡状态
B.同步卫星的速度是不变的
C.同步卫星的高度是一定的
D.同步卫星的线速度应大于第二宇宙速度
9.我国第16颗北斗导航卫星，它是一颗地球静止轨道卫星(即地球同步卫星)，现已与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行并形成区域服务能力。在这16颗北斗导航卫星中，有多颗地球静止轨道卫星，下列关于地球静止轨道卫星的说法中正确的是(　　)
A.它们的运行速度都小于7.9 km/s
B.它们运行周期的大小可能不同
C.它们离地心的距离可能不同
D.它们的向心加速度小于静止在赤道上物体的向心加速度
10. (多选)如图所示，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，c为地球的同步卫星，其轨道半径为r，设地球半径为R，下列说法正确的是(　　)
A.b与c的周期之比为
B.b与c的周期之比为
C.a与c的线速度大小之比为
D.a与c的线速度大小之比为
考点五、人造卫星的发射、变轨与对接
1.发射问题
要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v＞v1＝7.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F向，即G＝m，从而使卫星进入预定轨道.
2.变轨问题
(1)变轨原理
当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁；当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.
如图所示，一般先把卫星发射到较低轨道1上（为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上），然后在P点点火，使卫星加速，让卫星做离心运动，进入轨道2，到达Q点后，再使卫星加速，进入预定轨道3.回收过程与发射过程相反，当卫星到达Q点时，使卫星减速，卫星由轨道3进入轨道2，当到达P点时，再让卫星减速进入轨道1，再减速到达地面.
(2)变轨过程分析
①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
②加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同；同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。
③周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。
④机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。
3. 对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
4.练习题
1.我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步。“嫦娥五号”的任务是“回”。2020年11月24日，“嫦娥五号”成功发射，它分为四部分：着陆器、上升器、轨道器和返回器。12月3日，载着珍贵“月壤”的嫦娥5号“上升器”发动机点火，以“着陆器”作为发射台，从月面起飞（如图1），回到预定环月轨道，与绕月飞行的“轨道器与返回器组合体”成功交会对接（如图2），将珍贵的“月壤”转移到“返回器”中。12月17日，“返回器”进入月地转移轨道重返地球，以超高速进入大气层。由于速度太快会使得“返回器”与空气剧烈摩擦产生高温，高温会对“月壤”产生不利影响，甚至温度过高，返回器有燃烧殆尽的风险。为避免这些风险，采用“半弹道跳跃式返回”俗称“太空打水漂”的方式两次进入大气层，梯次气动减速（如图3）。最终在预定地点平稳着陆。根据以上信息，判断下列说法正确的是（　　）
A. “上升器”从点火上升到回到预定环月轨道的过程中，“月壤”一直处于超重状态
B. “月壤”随“返回器”进入环月轨道后，“返回器”的弹力给“月壤”提供向心力
C. 为了利用地球自转，节省燃料，“嫦娥五号”应采用由东向西发射
D. 为了利用地球自转，降低回收过程中的风险，“返回器”应采用由西向东进入大气层回收
2.2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史．如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球．下列说法正确的是(　　)
A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重
B．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等
C．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等
D．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等
3.如图所示，这是“嫦娥五号”探月过程的示意图。探测器在圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，变轨前后的速度分别为v1和v2；到达轨道Ⅱ的近月点B时再次变轨进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，变轨前后的速度分别为v3和v4，则探测器(　　)
A．在A点变轨需要加速
B．在轨道Ⅱ上从A点到B点，速度变小
C．在轨道Ⅱ上B点的加速度大于Ⅲ轨道上B点的加速度
D．四个速度大小关系满足v3＞v4＞v1＞v2
4.(多选)(2021·湖南省适应性考试模考)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是(　　)
A．在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B．甲可以通过增大速度来抬高轨道
C．在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D．返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大
5.2018年12月8日，在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭将嫦娥四号发射；2019年1月3日，嫦娥四号成功登陆月球背面，人类首次实现了月球背面软着陆。如图所示，嫦娥四号在绕月球椭圆轨道上无动力飞向月球，到达近月轨道上P点时的速度为v0，经过短暂“太空刹车”，进入近月轨道绕月球运动。已知月球半径为R，嫦娥四号的质量为m，在近月轨道上运行周期为T，引力常量为G，不计嫦娥四号的质量变化，下列说法正确的是(　　)
A．嫦娥四号在椭圆轨道上运行时的机械能与在近月轨道上运行时的机械能相等
B．月球的平均密度ρ＝
C．嫦娥四号着陆后在月面上受到的重力大小为
D．“太空刹车”过程中火箭发动机对嫦娥四号做的功为mv－
6.嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图所示的是嫦娥五号着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是(　　)
A．在轨道Ⅱ运行时，嫦娥五号在Q点的机械能比在P点的机械能大
B．嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长
C．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等
D．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等
7.2018年6月2日，我国成功发射高分六号遥感卫星．如图所示是卫星发射过程中的某一次变轨示意图，卫星从椭圆轨道Ⅰ上的远地点Q改变速度进入地球同步轨道Ⅱ，P点为椭圆轨道的近地点．下列说法正确的是(　　)
A．卫星在椭圆轨道Ⅰ上运行时，在P点的速度等于在Q点的速度
B．卫星在椭圆轨道Ⅰ上的Q点的速度小于在同步轨道Ⅱ上的Q点的速度
C．卫星在椭圆轨道Ⅰ上的Q点加速度大于在同步轨道Ⅱ上的Q点的加速度
D．卫星耗尽燃料后，在微小阻力的作用下，机械能减小，轨道半径变小，动能变小
8.(多选)2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器在月球背面成功软着陆．发射后“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近成功实施近月制动，被月球捕获．其发射过程简化如下：探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过A点时变轨进入距离月球表面2R高的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经过B点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将变轨到近月圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动，经过一段时间最终在C点着陆，已知月球半径为R.下列说法正确的是(　　)
A．探测器在轨道Ⅰ、Ⅲ上的加速度之比为1∶4
B．探测器在轨道Ⅰ、Ⅱ上运动周期之比为3∶4
C．探测器在轨道Ⅰ上运行速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度
D．探测器在轨道Ⅱ上运行周期等于在轨道Ⅰ上运行的周期
9.如图所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期
C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度
10.(多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3, 则下列说法正确的是(　　)
图4
A.在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B.在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C.T1＜T2＜T3
D.v2＞v1＞v4＞v3
11.2021年10月16日我国的神舟十三号载人飞船成功发射，并于当天与距地表约400km的空间站完成径向交会对接。径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成交会对接。掌握径向对接能力，可以确保中国空间站同时对接多个航天器，以完成不同批次航天员在轨交接班的任务，满足中国空间站不间断长期载人生活和工作的需求。交会对接过程中神舟十三号载人飞船大致经历了以下几个阶段：进入预定轨道后经过多次变轨的远距离导引段，到达空间站后下方52km处；再经过多次变轨的近距离导引段到达距离空间站后下方更近的“中瞄点”；到达“中瞄点”后，边进行姿态调整，边靠近空间站，在空间站正下方200米处调整为垂直姿态（如图所示）；姿态调整完成后逐步向核心舱靠近，完成对接。根据上述材料，结合所学知识，判断以下说法正确的是（　　）
A. 远距离导引完成后，飞船绕地球运行的线速度小于空间站的线速度
B. 近距离导引过程中，飞船的机械能将增加
C. 姿态调整完成后，飞船绕地球运行的周期可能大于24小时
D. 姿态调整完成后，飞船沿径向接近空间站过程中，需要控制飞船绕地球运行的角速度与空间站的角速度相同
12.2021年2月10日，“天问一号”探测器成功被火星捕获，进入环火轨道，探测器被火星捕获后经过多次变轨才能在火星表面着陆。已知火星直径为地球直径的Р倍，火星质量为地球质量的k倍，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。若探测器在半径为r的轨道1上绕火星做匀速圆周运动的动能为，变轨到火星附近的轨道2上做匀速圆周运动后，动能增加了，以下判断正确的是（　　）
A. 轨道2的半径为
B. 轨道2的半径为
C. “天问一号”在轨道2时的速率约为
D. “天问一号”在轨道2时的速率为
13.2021年10月16日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，与天和核心舱成功对接，将中国三名航天员送入“太空家园”。”飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道III上，神舟十三号飞船先被发送至半径为r1的圆轨道I上，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道II运动到远地点B处与天和核心舱对接。关于神舟十三号飞船，下列说法正确的是（　　）
A. 沿轨道II从近地点A运动到远地点B的过程中，速度不断增大
B. 沿轨道I运行时机械能等于沿轨道II运行时的机械能
C. 沿轨道II运行的周期为
D. 沿轨道I运动到A点时的加速度小于沿轨道II运动到A点时的加速度
14.北京时间2020年7月23日12时41分，我国在海南文昌发射场成功发射"天问一号"火星探测器。地球和火星绕太阳运转的轨道近似看作圆轨道，为了节约发射能量，充分利用太阳的引力，让探测器沿如图所示的椭圆轨道——霍曼转移轨道运动，椭圆轨道的近日点P与地球轨道相切、远日点Q与火星轨道相切。已知火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。下列说法正确的是（　　）
A. “天问一号”探测器在P点的发射速度应小于第二宇宙速度
B. “天问一号”探测器在Q点应加速才能进入火星轨道
C. “天问一号”探测器从P点运动到Q点大约需要11个月
D. 下一次适合发射火星探测器的时间大约在2022年7月
15.北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空。飞船在某段时间内的无动力运动可近似为如图所示的情境，圆形轨道I为空间站运行轨道，椭圆轨道II为载人飞船运行轨道，B点为椭圆轨道II的近地点，椭圆轨道II与圆形轨道I相切于A点，设圆形轨道I的半径为r，地球表面重力加速度为g地球半径为R，地球的自转周期为T，椭圆轨道II的半长轴为a，不考虑大气阻力。下列说法正确的是（　　）
A. 空间站运行的周期与载人飞船在椭圆轨道II上运行的周期之比为：
B. 载人飞船由B点飞到A点机械能逐渐减少
C. 载人飞船在轨道I上A点的加速度大于在轨道II 上A点的加速度
D. 根据题中信息，可求出地球的质量M =
16.2021年4月29日，长征五号遥二运载火箭在海南文昌成功将空间站天和核心舱送入离地高约450km的预定轨道。2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，将航天员翟志刚、王亚平、叶光富成功送入了天和核心舱。他们将在核心舱驻留6个月，主要任务是验证中国空间站建造相关技术，为我国空间站后续建造及运营任务奠定基础。下列说法正确的是（　　）
A. 核心舱在轨运行周期小于24小时
B. 组合体在轨运行速度大于7.9km/s
C. 火箭发射升空过程中，发动机喷出的燃气推动空气，空气推动火箭上升
D. 在宇宙飞船加速升空过程中，宇航员处于超重状态；当宇航员进入空间站仍然受重力作用，但处于失重状态
17.探月工程中，“嫦娥三号”探测器的发射过程可以简化如下：卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100公里的圆形轨道1，在轨道1上经过Q点时变轨进入椭圆轨道2，轨道2与月球相切于M点，月球车将在M点着陆月球表面。下列说法正确的是(　　)
A．“嫦娥三号”在轨道1上的速度比月球的第一宇宙速度小
B．“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道1上经过P点时大
C．“嫦娥三号”在轨道1上的运动周期比在轨道2上小
D．“嫦娥三号”在轨道1上经过Q点时的加速度小于在轨道2上经过Q点时的加速度
18.2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚．对于该过程，下列说法正确的是(　　)
A．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期
C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度
D．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大
19.2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图所示，B为近月点，A为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在B点的加速度
B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态
C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加
D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B点时的动能
20.2018年2月6日，“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空．假设其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力， 则以下说法正确的是(　　)
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率一定大于火星绕日的速率
D．跑车由A到C的过程中动能减小，机械能也减小
21.如图所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M点与空间站对接，航天飞机在即将到达M点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是(　　)
A．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期
B．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态
C．航天飞机与空间站对接前后机械能增加
D．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变
22.(多选)如图所示，设地球半径为R，假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是(　　)
图5
A．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率
B．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小
C．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小
D．地球的质量可表示为
考点六、多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即对m1：＝m1r1ω2，对m2：＝m2r2ω2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L，r1＝，r2＝.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．三星模型
(1)如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡．运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma.
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(2)如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供．
×2×cos30°＝ma，其中L＝2rcos30°.
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
3.四星模型
(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动．
×2×cos45°＋＝ma，其中r＝L.
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(2)如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动．
×2×cos30°＋＝ma.其中L＝2rcos30°.
外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等．
4.练习题
1.(多选)其实地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们作出了不懈努力．如图5所示，1767年欧拉推导出L1、L2、L3三个位置，1772年拉格朗日又推导出L4、L5两个位置．现在科学家把L1、L2、L3、L4、L5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是(　　)
图5
A．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律
B．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同
C．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L1点开展工程任务实验
D．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L2点开展工程任务实验
2.(多选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的．根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中(　　)
A．双星做圆周运动的角速度不断减小
B．双星做圆周运动的角速度不断增大
C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小
D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
3.天文学家经过长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，这些“双星”系统一般与其他星体距离很远，受到其他天体引力的影响可以忽略不计．根据一对“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中两个星体的质量均为m，而绕系统中心转动的实际周期是理论计算的周期的k倍(k<1)，究其原因，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中可能均匀分布着暗物质．若此暗物质确定存在，其质量应为(　　)
A.(－1) B.(－1)
C.(－4) D.(－1)
4.如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)
A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同
5.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则 (　　)
直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝ R
D．三角形三星系统的线速度大小为
6.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是(　　)
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
7.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
8.(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
9. (2020·辽南协作校第一次模拟)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M的星体位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R。并绕其中心O做匀速圆周运动。如果忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G。以下对该三星系统的说法正确的是(　　)
A．每颗星做圆周运动的角速度为3
B．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关
C．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则角速度变为原来的2倍
D．若距离R和每颗星的质量M都变为原来的2倍，则线速度大小不变
10.某双星系统由两颗恒星构成，质量分别为m1和m2，距中心的距离分别为r1和r2，且r1＞r2，则下面的表述正确的是(　　)
A.它们运转的周期相同
B.它们的线速度大小相同
C.m2＞m1
D.它们的加速度大小相同
11.“食双星”是一种双星系统，两颗恒星互相绕行的轨道几乎在视线方向，这两颗恒星会交互通过对方，造成双星系统的光度发生周期性的变化。双星的光变周期就是它们的绕转周期。如大熊座UX星，光变周期为4小时43分，该双星由A星和B星组成，A星为2.3个太阳质量，B星为0.98个太阳质量，A星的表面物质开始受B星的引力离开A星表面流向B星表面，短时间内可认为两星之间距离不发生变化，不考虑因核反应产生的质量亏损。关于该过程描述正确的是(　　)
A.光变周期将变小 B.光变周期不变
C.A星的线速度将增大 D.B星的线速度增大
12.(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法正确的是(　　)
A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B.四颗星的轨道半径均为
C.四颗星表面的重力加速度均为
D.四颗星的周期均为2πa
13.(多选)如图所示，A、B、C三颗行星组成一个独立的三星系统，在相互的万有引力作用下，绕一个共同的圆心O做角速度相等的圆周运动，已知A、B两星的质量均为m，C星的质量为2m，等边三角形的每边长为L，则(　　)
A.C星做圆周运动的向心力大小为G
B.A星所受的合力大小为G
C.B星的轨道半径为L
D.三个星体做圆周运动的周期为2π
14.(多选)如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则(　　)
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越大
15.(多选)美国在2016年2月11日宣布“探测到引力波的存在”。天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是两个黑洞并合的事件。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞，绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小。若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其它星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
B.甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等
C.随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小
D.甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
16.两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统。双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。现将“地—月系统”看做双星系统，如图所示，O1位地球球心、O2位月球球心，它们绕着O1O2连线上的O点以角速度做圆周运动。P点到O1、O2距离相等且等于O1O2间距离，该点处小物体受地球引力和月球引力的合力F，方向恰好指向O，提供向心力，可使小物体也绕着O点以角速度做圆周运动。因此P点是一个拉格朗日点。现沿O1O2连线方向为x轴，过O1与O1O2垂直方向为y轴建立直角坐标系。A、B、C分别为P关于x轴、y轴和原点O1的对称点，D为x轴负半轴上一点，到O1的距离小于P点到O1的距离。根据以上信息可以判断
A．A点一定是拉格朗日点 B．B点一定是拉格朗日点
C．C点可能是拉格朗日点 D．D点可能是拉格朗日点
17.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是(　　)
图8
A．两颗恒星相距
B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1
C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1
18.(多选)如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
19.天文学家经过长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，这些“双星”系统一般与其他星体距离很远，受到其他天体引力的影响可以忽略不计．根据一对“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中两个星体的质量均为m，而绕系统中心转动的实际周期是理论计算的周期的k倍(k<1)，究其原因，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中可能均匀分布着暗物质．若此暗物质确定存在，其质量应为(　　)
A.(－1) B.(－1)
C.(－4) D.(－1)
20.如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)
A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同
21.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)
直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝ R
D．三角形三星系统的线速度大小为
考点七、天体中的“追及相遇”问题
在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象。即天体的“追及、相遇”现象。
1.相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
2.相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)。
3.天体相遇次数问题
当两运行天体A、B的轨道平面在同一平面内时，若运行方向相同，则内侧天体B比A每多运行一圈时相遇一次，在Δt时间内相遇的次数n＝－＝Δt.
若运行方向相反时，则A、B每转过的圆心角之和等于2π时发生一次相遇，在Δt时间内相遇的次数为：n＝＝＋.
4.练习题
1.设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为(　　)
A.R B．R
C．R D．R
2.在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球半径的3.3倍，三颗卫星自西向东环绕地球转动．某时刻其中一颗人造卫星处于A城市的正上方，已知地球的自转周期为T，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则A城市正上方出现下一颗人造卫星至少间隔的时间约为 (　　)
A．0.18T　　　　　　　　 B．0.24T
C．0.32T D．0.48T
3.(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列判断正确的是(　　)
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B.在2015年内一定会出现木星冲日
C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
4.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上(相距最近)，如图所示。该行星与地球的公转半径之比为(　　)
A. 　 B.
C. 　　　 D.
5.当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是(　　)
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
6.(多选)如图5，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法正确的有(　　)
图5
A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
7.军用卫星指的是用于各种军事目的的人造地球卫星，在现代战争中大显身手，作用越来越重要，一颗军事卫星在距离地面高度为地球半径的圆形轨道上运行，卫星轨道平面与赤道平面重合，侦察信息通过无线电传输方式发送到位于赤道上的地面接收站，已知人造地球卫星的最小周期约为85 min，则下列判断正确的是(　　)
该军事卫星的周期约480 min
B．该军事卫星的运行速度约为7 km/s
C．该军事卫星连续两次通过接收站正上方的时间间隔约为576 min
D．地面接收站能连续接收的信息的时间约为96 min
8.(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω0，地球的质量为M，引力常量为G。若某一时刻卫星A恰在物体B的正上方，下列说法正确的是(　　)
A．物体B受到地球的引力为mRω
B．卫星A的线速度为
C．卫星A再次到达物体B上方的时间为
D．卫星A与物体B的向心加速度之比为
9.火星和地球之间的距离成周期性变化，为人类探测火星每隔一定时间会提供一次最佳窗口期。已知火星和地球的公转轨道几乎在同一平面内，公转方向相同，火星的轨道半径约是地球轨道半径的1.5倍，则最佳窗口期大约每隔多长时间会出现一次（　　）
A. 18个月 B. 24个月 C. 26个月 D. 36个月
考点八、万有引力定律与几何知识的结合
人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来．
1.练习题
1.2014年12月7日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04星”在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G，则地球的密度为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
2.如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与AO连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为(　　)
A．sinθ B.
C. D.
3.(多选)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则(　　)
A．飞船绕地球运动的线速度为
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为
D．飞船周期为T＝
答案解析
考点一、开普勒定律
1.答案　AC
解析　由开普勒第一定律知：所有地球卫星的轨道都是椭圆，且地球位于所有椭圆的公共焦点上，A正确；由开普勒第二定律知：卫星离地心的距离越小，速率越大，B项错误；由开普勒第三定律知：卫星离地球越远，周期越大，C正确；开普勒第三定律成立的条件是对同一行星的不同卫星，有＝常量，对于绕不同行星运动的卫星，该常数不同，D错误.
2.答案　B
解析　据开普勒第三定律得：＝，
T2＝ 天≈24.5 天.
3.答案　B
解析　根据开普勒第三定律：＝k可得，T2＝R3，T＝R，两式相除后取对数，得lg()＝lg()，整理得2lg()＝3lg()，结合数学知识可知，B正确.
4.答案　CD
解析　由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。
5.答案　B
解析　在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律。
6.答案　C
解析　由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。
7.答案　A
解析　由开普勒第三定律可知：＝，所以R＝ R0.
8.答案　AD
解析 卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝m＝mR，得v＝，T＝2π，由RA>RB，可知，TA>TB，vA考点二、万有引力定律
1.答案　B
解析　物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m()2R＝G，又M＝πR3ρ，联立以上三式解得地球的密度ρ＝，故选项B正确，A、C、D错误．
2.答案　AD
解析　万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力.故A、D项正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B项错误；大球M球心周围物体对小球m的引力合力为零，故C项错误.
3.答案　D
解析　两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G，故选D.
4.答案　A
解析　质量为M的球体对质点m的万有引力：F1＝G＝G
挖去的球体的质量M′＝M＝
质量为M′的球体对质点m的万有引力：F2＝G＝G
则剩余部分对质点m的万有引力：F＝F1－F2＝G－G＝.故选项A正确.
5.答案　D
解析　两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为＝＝.故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F.故选D.
6.答案　D
解析 牛顿当时还没有测量出引力常量，后来卡文迪许测出的引力常量，所以牛顿并没有计算出地球对月球的万有引力的数值和月球对月球表面物体的万有引力的数值，故A、B错误；对任一物体在星球表面受到的重力等于星球对物体的万有引力，即＝mg，根据题意无法知道地球质量与月球质量的关系以及地球半径与月球半径的关系，故无法求出月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的大小关系，故C错误；设物体质量为m，地球质量为M，地球半径为R，月球轨道半径r＝60R，物体在月球轨道上运动时的加速度为a，由牛顿第二定律G＝ma，地球表面物体重力等于万有引力G＝mg，联立解得＝，故D正确。
7.答案　C
解析　在两极：G＝mg；
对贴近地球表面飞行的卫星G＝m′R，解得R＝；
则站在地球赤道上随地球自转的人所受的向心力：F向＝m人R＝m人×＝m人g＝60×9.8×()2 N≈2 N，故选C.
8.答案　D
解析　在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
9.答案　B
解析　设物体的质量为m，地球的质量为M地，地球半径为R地，地球对该物体的引力大小为F地，火星的质量为M火，火星半径为R火，火星对该物体的引力大小为F火，根据万有引力定律F地＝，F火＝，根据题意知，R地＝2R火，M地＝10M火，联立解得＝0.4，故B正确，A、C、D错误。
10. 答案 B
解析 忽略星球的自转，万有引力等于重力，则，解得，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知，解得，匀减速过程，根据牛顿第二定律得，解得着陆器受到的制动力大小为，ACD错误，B正确。故选B。
11.答案　A
解析　设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝.地球质量可表示为M＝πR3ρ.质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为＝1－，选项A正确.
考点三、计算中心天体质量、密度
1.答案　C
解析　毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确。
2.答案 AC.
解析 设P、Q的质量分别为mP、mQ；M、N的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分别为g1、g2.在星球M上，弹簧压缩量为0时有mPg1＝3mPa0，所以g1＝3a0＝G等，密度ρ1＝＝；在星球N上，弹簧压缩量为0时有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝G，密度ρ2＝＝；因为R1＝3R2，所以有ρ1＝ρ2，选项A正确．当物体的加速度为0时有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝2kx0，解得mQ＝6mP，选项B错误．根据a－x图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，EkmP＝mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C正确．根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误.
3.答案 D
解析 直线推进时，根据动量定理可得，解得飞船的质量为，绕孤立星球运动时，根据公式，又，解得，D正确。
4.答案　D
解析　因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即＝mg，得M地＝，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m卫和T＝，得M地＝，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m月r，得M地＝，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m地r，得M太＝，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题选项D正确。
5.答案　A
解析　在星球表面附近，万有引力等于重力，即G＝mg，解得星球质量M＝，再由密度公式ρ＝，体积公式V＝πR3，联立解得地球和

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