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华东师大版九年级数学上册 第23章 图形的相似
班级： 姓名： 学习时间：
23.3 相似三角形
2. 相似三角形的判定
第1课时　用角的关系判定三角形相似
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1．掌握相似三角形的判定定理1；
2．会应用该定理判定两个三角形相似．
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1．相似三角形的判定定理1：
两角分别________的两个三角形相似；
2．符号语言表述(如图)：
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在△ABC与△A′B′C′中，
∵∠A＝______，∠B＝______，
∴△ABC∽△A′B′C′.
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1．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上．
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(1)若∠1＝∠2，则________∽________；
(2)若∠2＝∠B，则________∽________．
2．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C.
求证：△ABD∽△CBA.
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我们在判定三角形全等时，若根据定义判定两个三角形相似，要证明三个角对应相等且三边对应成比例，相当麻烦，若从角的方面考虑，是否有更简单的判定两个三角形相似的方法呢？
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1．观察你的一副小三角板和老师的一副大三角板，含同样度数(30°与60°，或45°与45°)的角的三角板有什么关系？
2．动手操作：
(1)在课本P163方格图中，画出两个格点三角形，使其三个角分别对应相等(实际上只需画________个角对应相等)；
(2)用刻度尺分别量出两三角形三边的长度，并计算对应边的比，你发现了什么？
(3)跟你小组的同学交流一下，他们发现了什么？
(4)归纳所有同学的发现，你发现了什么结论？
3．仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？你能举例说明吗？
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例1 如图①，△ABC中，CE⊥AB，垂足为点E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有(　　)
A．6对 B．5对 C．4对　　　 D．3对
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　 　②
例2 如图②，添加一个条件____________可使△ADE∽△ABC.
例3 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，若AC＝6，AD＝4，求BD的长．
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1．如图，点P是线段BC上一动点，AB⊥BC，DC⊥BC，已知BC＝8，AB＝4，CD＝3，当∠APD＝90°时，BP的长是____________．
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(第1题) (第2题)
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中的相似三角形有____________________________．
3．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1.
(1)求证△ABP∽△PCD；
(2)求△ABC的边长．
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1．相似三角形的判定定理1是什么？
2．运用相似三角形的判定定理1时，关键是对应角相等，在找对应角相等时，要重视隐含条件，如______、对顶角、______等．
3．今天我们还学习了数学从特殊到一般的思想方法．
参考答案
第23章 图形的相似
23.3　相似三角形
2. 相似三角形的判定
第1课时 用角的关系判定三角形相似
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1．相等　2.∠A′；∠B′
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1．(1)△ADE；△ACD
(2)△ACD；△ABC
2．证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA.
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有更简单的方法．
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1．含同样度数的角的三角板是相似三角形．
2．(1)图略．两
(2)测量与计算略．发现两个三角形的对应边的比相等，即三边对应成比例；
(3)他们也发现两个三角形的三边对应成比例；
(4)发现两角分别相等的两个三角形相似．
3．不一定相似，比如一副三角板中的两个三角板都有一个角为90°，但是这两个三角板不相似．
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例1.A　【点拨】∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEF＝∠CDF＝90°.
∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，
∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF.
∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BDA，
∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，
∴共有6对相似三角形，故选A.
例2.∠ADE＝∠B(或∠AED＝∠C)
例3.解：∵∠ACD＝∠ABC，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，∴AC2＝AD·AB.
∵AD＝4，AC＝6，∴AB＝9.
∵BD＝AB－AD，∴BD＝9－4＝5.
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1．2或6
2．△ABC∽△ACD∽△CBD
3．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°.
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°，且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°.
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD.
(2)解：∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴CD＝.
∵△ABP∽△PCD，∴＝.
设AB＝x，则PC＝x－1，∴＝，
∴x＝3，即AB＝3.
∴△ABC的边长为3.
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1．相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
2．公共角；直角
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