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华东师大版九年级数学上册 第23章 图形的相似
班级： 姓名： 学习时间：
23.3 相似三角形
3. 相似三角形的性质
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1．掌握相似三角形的对应线段、周长比等于相似比；
2．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
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1．相似三角形对应边______，对应角______；
2．相似三角形对应边上的中线、高，对应角的平分线之比等于________；
3．相似三角形周长之比等于________；
4．相似三角形面积之比等于_____________________．
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1．两个相似三角形对应边上的高之比为2∶3，则对应角的平分线之比为________；周长之比为______；面积之比为______．
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F.已知＝，S△BEF＝3.求△CDF的面积．
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公元前6世纪，古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时可能已经运用了相似三角形的性质；我国魏晋时期的数学家刘徽所著《海岛算经》中的远距离测量技术也正是建立在相似三角形的性质之上的，让我们来一起探究一下相似三角形的性质．
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1．在教材P166格点图中画两个三角形使△ABC∽△A′B′C′，分别画出BC、B′C′边上的高AD、A′D′，测量AD、A′D′，计算它们的比等于相似比吗？
2．能用说理的方法说明吗？得到了什么结论？
结论：相似三角形对应边上的高的比等于________．
3．类比归纳：
(1)相似三角形对应边上的中线的比等于________；
(2)相似三角形对应角的平分线的比等于________；
(3)相似三角形的周长的比等于________．
4．深入思考：
两个相似三角形其面积比与相似比有什么关系？请你结合前面的探究过程及三角形的面积公式来探究．
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例1 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为(　　)
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A. B. C. D.
例2 在矩形ABCD中，E为AD上的一点，过B作CE的垂线，垂足为点G，交CD于点F.
(1)求证：△CDE∽△BGC；
(2)若AB＝4，BC＝3，DE＝2，求四边形ABGE的面积．
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1．两个相似三角形对应边上的高分别为6 cm和12 cm，若较大三角形的面积是12 cm2，则较小三角形的面积为________cm2.
2．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC∶S△BDC＝5∶4，CD＝4，则AC的长为________．
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3．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA.
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
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相似三角形的性质：
(1)相似三角形对应边上的高、对应角的平分线、对应中线的比等于____________________；
(2)相似三角形的周长之比等于____________________；
(3)相似三角形的面积之比等于____________________．
参考答案
第23章 图形的相似
23.3　相似三角形
3. 相似三角形的性质
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1．成比例；相等
2．相似比
3．相似比
4．相似比的平方
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1．2∶3；　2∶3；　4∶9
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥DC，AB＝DC，∴△BEF∽△CDF.
∵BE∶AB＝2∶3，∴BE∶DC＝2∶3，
∴S△BEF∶S△DCF＝4∶9，
∴S△DCF＝S△BEF＝×3＝.
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1．测量略．AD、A′D′的比等于相似比．
2．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，＝＝＝k，
AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，
求证：＝k.
证明：∵AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，
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∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴＝＝k.
相似比
3．(1)相似比　(2)相似比　(3)相似比
4．相似三角形的面积比等于相似比的平方；
由1题可得：＝＝＝k，
∴＝＝·＝k2.
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例1.C　【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴△BFE∽△DFC，
∴△BEF与△DCF的面积比＝()2＝()2＝.故选C.
例2.(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°.
∵BG⊥CE，∴∠CGB＝90°，
∴∠D＝∠CGB.
∵∠ECD＋∠BCG＝90°，
∠CBG＋∠BCG＝90°，
∴∠ECD＝∠CBG，∴△CDE∽△BGC.
(2)解：矩形ABCD中，CD＝AB＝4.
在Rt△DCE中，DE＝2，根据勾股定理得：
CE＝＝＝2，
∴S△CDE＝×CD·DE＝×4×2＝4.
∵△CDE∽△BGC，∴＝()2，
∴＝，∴S△BGC＝，
∴四边形ABGE的面积＝S矩形ABCD－S△CDE－S△BGC＝4×3－4－＝.
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1．3　
2．6　
3．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
由折叠可得：AP＝AB，PO＝BO，
∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B.
∴∠APO＝90°.
∴∠APD＝90°－∠CPO＝∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
(2)解：∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，
∴＝＝＝＝.
∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.
∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.
在Rt△PCO中，
∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，
∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5. ∴AB＝AP＝2OP＝10.
∴边AB的长为10.
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(1)相似比　(2)相似比
(3)相似比的平方
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