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华东师大版九年级数学上册 第23章 图形的相似
班级： 姓名： 学习时间：
23.4 中位线
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1．理解中位线的概念和性质，并能利用中位线性质解决相关问题；
2．了解重心的概念及其性质，并能利用重心的性质进行相关计算．
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1．三角形中位线的概念：连结三角形______的线段叫做三角形的中位线；
2．三角形中位线定理：三角形的中位线__________第三边，并且等于第三边的____________________；
3．三角形重心的概念：三角形三条边上的________交于一点，这个点就是三角形的重心；
4．三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的___________________．
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1．如图，在△ABC中，DE为中位线，连结CD，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．BC＝2DE B．∠EDC＝∠BCD
C．S△ADC＝S△BDC D．C△ABC＝2C△DEC
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2．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若BC＝10，AC＝4，求DF的长．
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相传，北宋大文学家苏轼在凤翔为官时，为官清正，秉公执法，深受百姓爱戴．一天兄弟四人前来告状．苏轼展开状纸一看，上面写着“小民杨大毛，家住场南寨．先父临终时，留下两顷田．只因分不均，兄弟成反目．青天大老爷，请把理来断．”苏轼接过地契，沉思片刻，当场就划分好了，四兄弟遂满面带笑、叩头不迭．若该田地形状如图所示，学完本课时，你将知道能使划分后的四块田地形状相同、面积相等的分法．
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1．动手操作，大胆猜想：
(1)苏轼的划分方式如下图所示，用刻度尺测量线段的长度，发现点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点；
(2)你猜想DE与BC有什么位置关系？用刻度尺测量一下DE与BC的长度，你发现了什么？
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2．请与你的小组同学讨论并证明你们的猜想．
3．(1)三角形中位线的概念：连结三角形________的线段；
(2)三角形的中位线与三角形的中线一样吗？请你说一说．
(3)三角形中位线定理：
三角形的中位线________第三边，并且等于第三边的________．
4．自学P78例2与P79拓展，发现三角形的三条中线交于一点，这个点叫做什么？它具有什么性质？
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例 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，求EF的长．
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1．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为5 cm、4 cm，点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，则四边形A1B1C1D1的周长为______cm.
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2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，求AD的长．
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1．三角形中位线的概念及三角形中位线定理．
注意：三角形的中位线与三角形的中线是不同的．
2．三角形重心的概念及三角形重心的性质．
参考答案
第23章 图形的相似
23.4 中位线
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1．两边中点
2．平行于；一半
3．中线
4.
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1．D　【点拨】∵△ABC中，DE为中位线，
∴BC＝2DE，故A正确；∵BC∥DE，
∴∠EDC＝∠BCD，故B正确；∵D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC，故C正确；故选D.
2．解：∵D，E分别为AB，AC的中点，BC＝10，AC＝4，
∴DE＝BC＝5，DE∥BC，EC＝AC＝2，
∴∠EFC＝∠BCF.
∵CF平分∠ACB，∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠EFC＝∠ECF.∴EF＝EC＝2，
∴DF＝DE－EF＝5－2＝3.
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1．(2)DE∥BC，DE＝BC.
2．已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，DE＝BC.
证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴＝＝.
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，＝＝，∴DE∥BC，DE＝BC.
3．(1)两边中点
(2)不一样，三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点；三角形的中位线的两个端点分别是三角形两边的中点．
(3)平行于；一半
4．这个点叫做三角形的重心，三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的(即：三角形的重心与顶点的距离和重心到对边中点的距离之比是2∶1)．
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例．解：∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，
∴EF∥BC，
延长FE交CD于点G，如图所示：
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∴FG∥BC，
∴FG是△BCD的中位线，∴FG＝BC＝2.5.
∵AD∥BC，∴EG∥AD，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG＝AD＝1，
∴EF＝FG－EG＝1.5.
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1．9　【点拨】∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，
∴A1B1＝BD，C1D1＝BD，A1D1＝AC，B1C1＝AC，
∴四边形A1B1C1D1的周长是：A1B1＋C1D1＋A1D1＋B1C1
＝(AC＋BD＋AC＋BD)＝AC＋BD＝9cm.故答案为9.
2．解：连结DN.∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，
∴ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大．
∵线段EF的最大值为2.5，∴DN＝2EF＝5.
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝5，∴AD＝3.
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