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第十七章 勾股定理
17.3 《勾股定理》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为的线段.
要点二、勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
3.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
例1、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF．
【思路点拨】连接DE、CE将EF转化为△DCE一边CD上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE的面积，所以利用面积法只需求出CD的长度，即可求出EF的长度，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△DCH中利用勾股定理即可求出DC．
【答案与解析】
解：过点D作DH⊥BC于H，连接DE、CE，则AD＝BH，AB＝DH，
∴ CH＝BC－BH＝ DH＝AB＝，
在Rt△CDH中，，
∴ CD＝25，
∵
又∵ ，
∴ ，∴ EF＝10．
【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．
【答案】
解：在△ABD中，由可知：
，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．
在Rt△ADC中，．
类型二、勾股定理与其他知识结合应用
例2、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．
【答案与解析】
解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：
在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．
∵ 点G、A关于直线CD对称，∴ AI＝GI，AE＝GE．
由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．
最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H，在直角三角形GHB中，
∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，
∴ 由勾股定理得．
∴ GB＝1000，即最短路程为1000米．
【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．
举一反三：
【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．
【答案】
解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，
即最短距离EP＋BP也就是ED．
∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4，
∴ AD＝4，根据勾股定理得： ．
∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5．
例3、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：线段AE,BF,EF之间的数量关系.
【思路点拨】：由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．
【答案与解析】
解：(1)，理由如下：
将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合，
即△ACF′≌△BCF，
∵ 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴ ∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．
∵ ∠ECF＝45°，∴ ∠ACE＋∠BCF＝45°．
∵ ∠ACF′＝∠BCF，∴ ∠ECF′＝45°．
在△ECF和△ECF′中：
∴ △ECF≌△ECF′(SAS)，∴ EF＝EF′．
在Rt△AEF′中，，
∴ ．
【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．
例4、在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．
（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为　 　三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为　 　三角形．
（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：
当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？
【思路点拨】
（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．
【答案与解析】
解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：锐角；钝角；
（2）∵c为最长边，2+4=6，
∴4≤c＜6，
a2+b2=22+42=20，
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，
∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．
【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
类型三、本章中的数学思想方法
1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
例5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.
　　　
【答案与解析】
解：连接AD．因为∠BAC＝90°，AB＝AC．
又因为 AD为△ABC的中线，
所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．
且∠BAD＝∠C＝45°．
因为∠EDA＋∠ADF＝90°．
又因为∠CDF＋∠ADF＝90°．
所以∠EDA＝∠CDF．
所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以 AE＝FC＝5．
同理：AF＝BE＝12．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
，所以EF＝13.
【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.
举一反三：
【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，
求证：
　　
【答案】
解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．
　　由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．
　　∵ BD＝DE，∠BDE＝60°
　　∴ △BDE为等边三角形，BE＝BD
易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB
∵ 四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°
∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°
∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°
∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°
∴
∴
2.方程的思想方法
例6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.
　　
【答案与解析】
解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，
则 ，由勾股定理，得.
因为 ，所以，
，，.
【总结升华】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
举一反三：
【变式1】直角三角形周长为12，斜边长为5，求直角三角形的面积.
【答案】
解：设此直角三角形两直角边长分别是，根据题意得：
　　
　　　由（1）得：，
　　　∴，即 (3)
　　　(3)－(2)，得：
　　　∴直角三角形的面积是＝×12＝6（）
【变式2】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
【答案】
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ=BP BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
【提升练习】
一.选择题
1. 在△中，若，则△ABC是（ ）
A. 锐角三角形 　 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 　 D. 直角三角形
2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30°
3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为1：2：3
B.三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D.三内角之比为3：4：5
4．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )
A. B.或 C. D.或
5. 若三角形的三边长分别等于，则此三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )
A.5 B. C. D.
7. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）
A. 　　　 B. 　　　 C.　　　D.3
二.填空题
9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______.
　　　
10．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．
11．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．
12．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．
13．如图，长方体的底面边长分别为1和3，高为6．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____,如果从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_____.
14．小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　 　（选填“能”或“不能”）．
15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．
16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________.
三.解答题
17.如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，，求：△ABC的面积．
18．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
19.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.
位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；
位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．
（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；
（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）
（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D；
【解析】因为＝4，所以，
，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．
2.【答案】C；
【解析】连接AC，计算AC＝BC＝ ,AB＝,根据勾股定理的逆定理，△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.
3.【答案】D；
【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；
B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．
故选D．
4.【答案】D；
【解析】底边可能是4，也可能是6，故由勾股定理，底边上的高为或.
5.【答案】B；
【解析】因为，所以此三角形为直角三角形，面积为.
6．【答案】B；
【解析】＝169＋2×13×6＝325.
7.【答案】B；
【解析】.
8.【答案】C；
【解析】如图，过D点作DE⊥BC于E,则DE＝AB，AD＝BE，EC＝BC－BE＝3，在Rt△CDE中，DE＝,延长AB至F，使AB＝BF，连接DF，交BC于P点，连接AP，这时候PA＋PD取最小值，∵AD∥BC，B是AF中点，∴BP＝.在Rt△ABP中，AP＝.
∵∴＝
二.填空题
9．【答案】100；
【解析】依题知AC＝60，BC＝80，∴ AB＝＝100.
10．【答案】6；
【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为直角三角形．
11.【答案】3；
【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD＝，则DE＝BD＝，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．
12．【答案】或；
【解析】当△ABC为锐角三角形时，；当△ABC为钝角三角形时，.
13．【答案】10；；
【解析】最短绕一圈，需要，
绕圈需要.
14．【答案】能；
【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为4900＜5000，
所以能放进去．
15.【答案】(3，4)；(2，4)；(8，4)
【解析】以O为等腰三角形的顶点，作等腰三角形，因为＝5，，所以由勾股定理求得，所以，同理，以D为以O为等腰三角形的顶点，可求出.如图所示.
16．【答案】；
【解析】延长AD到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴ CM＝AB＝5 AM＝2AD＝12
在△ACM中 即∴ ∠AMC＝90°在Rt△DCM中 ∴ BC＝2CD＝．
三.解答题
17.【解析】
解：∵ ，设BD＝3，则CD＝2，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，
即AF＝3－2，AE＝4－3，
∴ 3－2＝4－3，解得＝1．∴ BC＝3＋2＝5
又∵ ，即
∴ △ABC是直角三角形，∠A＝90°．
∴
18．【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6
由勾股定理得：AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况．
①如图1，当AB＝AD＝10时，可求CD＝CB＝6得△ABD的周长为32．
图1
②如图2，当AB＝BD＝10时，可求CD＝4
图2
由勾股定理得：，得△ABD的周长为．
③如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝，则CD＝－6，
图3
由勾股定理得：，得△ABD的周长为
19.【解析】
解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，
∵∠NOM=30°，AO=80m，
∴AD=40m，
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；
（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，
∴AD=OA=×80=40m，
在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m，
故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响．
∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，
∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．
答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
20.【解析】
解：（1）∵ 在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变，BC＝，
∴ 在图2中，AC＝BC－AB＝－6，AD＝AC＋CD＝＋9．
（2）位置二的图形见图3．
（3）∵ 在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变，
∴ 在图3中，BC＝，AC＝AB＋BC＝6＋，AD＝＋9．
在△ACD中，∠C＝90°
由勾股定理得．
∴ ．
整理，得．
化简，得6＝180．
解得 ＝30．
即 BC＝30．
∴ AD＝39．

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