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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
例1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．
【答案与解析】
证明：∵ 在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA＝∠FAB．
又∵ AF是∠DAB的平分线，
∴ ∠DAF＝∠FAB，
∴ ∠DAF＝∠DFA，
∴ AD＝DF．
同理可得EC＝BC．
∵ 在ABCD中，AD＝BC，
∴ DF＝EC．
【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．
举一反三：
【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.
【答案】
证明：猜想：BE ∥DF且BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CB=AD，CB∥AD
∴∠BCE＝∠DAF
在△BCE和△DAF中
∴△BCE≌△DAF
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA
∴BE∥DF
即 BE ∥DF且BE＝DF.
类型二、平行四边形的判定
例2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．
【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
【答案与解析】
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
举一反三：
【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
　　
【答案】
证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，
　　∴∠1=∠2，
　　∵AB∥CD，
　　∴∠1=∠F，
　　∵CE=CF，
　　∴∠F=∠3，
　　∴∠1=∠3，
　　∴∠2=∠3，
　　∴AD∥BC，
　　∵AB∥CD，
　　∴四边形ABCD是平行四边形．
　　　
类型三、平行四边形与面积有关的计算
例3、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及ABCD的面积．
【思路点拨】在四边形AECF中，由已知条件∠EAF＝60°，可求出∠C＝120°，进而求出∠B＝60°．由于BE＝2，在Rt△ABE中，可求出AB．同理，在Rt△AFD中求出AD．要求ABCD的面积，需求出AE或AF的长．
【答案与解析】
解：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2，
∴ AB＝4，CD＝AB＝4．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6，∴ BC＝AD＝6，
∴ ()．
∴ CD·AF＝＝()．
【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外，还应用了“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质．
举一反三：
【变式】如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，
求该平行四边形的面积.
【答案】
解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝54
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
类型四、三角形的中位线
例4、如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．
　　　
【思路点拨】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM=BC，PN=AD，然后求出PM=PN，再根据等边对等角证明即可．
【答案与解析】
　　证明：∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
　　∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线，
　　∴PM=BC，PN=AD，
　　∵AD=BC，
　　∴PM=PN，
　　∴∠PMN=∠PNM．
【总结升华】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
【巩固练习】
一.选择题
1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（ ）.
A.AC⊥BD B.AB＝CD
C. BO＝OD D.∠BAD＝∠BCD
2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（　　）
　　A．1个　 　 B．2个　 　 C．3个　 　 D．4个
4. 如图所示，在ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是( )．
A．2 B． C．1 D．
5. 平行四边形的一边长是10，那么它的两条对角线的长可以是（　　）.
A.4和6　　B.6和8　　C.8和10　　D.10和12
6. 如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（ ）.
A．1 B．1.5 C．2 D．3
二.填空题
7. 如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 ，BC＝18 ，△AOB的周长为54 ，则△AOD的周长为________．
8. 已知ABCD，如图所示，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，ABCD的面积为____．
9．在ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10，则AC＝______，AB＝______．
10. 在ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10，BC＝15，BE＝6，则ABCD的面积为______．
11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．
12．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为______．
　
三.解答题
13．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．
14.如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：
　　（1）△BEG≌△DFH；
　　（2）四边形GEHF是平行四边形．
　　　　　
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.
答案与解析
一.选择题
1.【答案】A；
2.【答案】C；
【解析】①②③能判定平行四边形.
3.【答案】C；
　【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n
∥PQ，分别交于点D、E、F，
　
　∵DP∥QR，DQ∥PR，
　∴四边形PDQR为平行四边形，
　同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，
　故D、E、F三点为满足条件的M点，
　故选C．
4.【答案】A；
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC．又∵BE＝EC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB＝2．
5.【答案】D；
【解析】设两条对角线的长为.所以,,所以选D.
6.【答案】C；
【解析】因为∠DAE＝∠BAE，∠BAE＝∠DEA，所以AD＝DE＝BC＝3，EC＝DC－DE＝5－3＝2.
二.填空题
7.【答案】48；
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OD＝OB，AD＝BC＝18cm．又因为△AOB的周长为54，所以OA＋OB＋AB＝54，因为AB＝24，所以OA＋OB＝54－24＝30()，所以OA＋OD＝30()，所以OA＋OD＋AD＝30＋18＝48()．即△AOD的周长为48．
8.【答案】40；
【解析】过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∠B＝30°，AB＝8，∴AH＝AB＝4()．∴BC·AH＝10×4＝40()．
9.【答案】5，5；
【解析】由题意，∠DAC＝∠BCA＝30°，AB＝，.
10．【答案】120；
【解析】，所以ABCD的面积为15×8＝120．
11．【答案】平行四边形；
12.【答案】1；
　 【解析】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
　　　 　 ∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
　　　 　　∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．
　　　 　 故答案为：1
三.解答题
13.【解析】
解：沿中位线将三角形分割开，将得到的小三角形绕AC的中点旋转180度再与梯形拼接即可，如图所示：
14.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
　　 　 ∴AB=CD，AB∥DC，
　　 　 ∴∠ABE=∠CDF，
　　 　 ∵AG=CH，
　　 　 ∴BG=DH，
　　 　 在△BEG和△DFH中，
　　 　 ，
　　 　 ∴△BEG≌△DFH（SAS）；
　　 　 （2）∵△BEG≌△DFH（SAS），
　　 　 ∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
　　 　 ∴∠GEF=∠HFB，
　　 　 ∴GE∥FH，
　　 　 ∴四边形GEHF是平行四边形．
　　　　　
15.【解析】
解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2
在Rt△CDE中，由勾股定理．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝．
在Rt△ABC中，由勾股定理．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC＝4
∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋BE＋BA＝10＋.

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