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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形（能力提升）
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
例1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
　　　　　
【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形．
　　　∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
　　　∵ □ABCD的周长是60．
　　　∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
　　　又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．
　　　即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ②
　　　由①②有
　　　解得
　　　∴AB，BC的长分别是19和11．
【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
举一反三：
【变式】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
　　（1）求证：AE⊥BE；
　　（2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
　　　　　
【答案】
　解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
　　∴∠ABC+∠BAD=180°，
　　∵BE、AE分别平分∠ABC和∠BAD，
　　∴∠ABE+∠BAE=×180°=90°，
　　∴∠AEB=90°，
　　即AE⊥BE；
　　（2）∵AE⊥BE
　　∴S△ABE=AE×BE÷2=3，
　　∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABE=6．
类型二、平行四边形的判定
例2、已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．
　　求证：四边形PBQD是平行四边形．
　　　
【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．
【答案与解析】
证明：连接BD交AC与O点，
　　∵四边形ABCD是平行四边形，
　　∴AO=CO，BO=DO，
　　又∵AP=CQ，
　　∴AP+AO=CQ+CO，
　　即PO=QO，
　　∴四边形PBQD是平行四边形．
　　　　
【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．
举一反三：
【变式】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
【答案】
证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
类型三、构造平行四边形，应用性质
例3、在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
　　　　　　　
【答案与解析】
解：延长FP交AB于G, 延长DP交BC于H，
∵四边形AGPD，EBHP为平行四边形，
∴PD＝AG，PH＝BE.
　∵PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，△ABC是等边三角形，
∴∠GEP＝∠EGP＝∠EPG＝∠PHF＝∠PFH＝∠HPF＝60°，
∴ΔGEP，ΔPHF为等边三角形
∴PF＝PH＝BE, PE＝GE,
　　∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.
【总结升华】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法.
类型四、三角形的中位线
例4、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．
【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．
【答案与解析】
解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．
举一反三：
【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．
A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
【提升练习】
一.选择题
1．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是( )．
A.8和16 B.10和16 C.8和14 D.8和12
2．如图，口ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（　　）
　　　
A．6cm　 　 B．8cm　 　 C．10cm　 　 D．12cm
3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．
A.5 B.6 C.8 D.12
4. 如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（ ）个平行四边形.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5. 如图，在ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O. E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( ).
A. AE＝CF B.DE＝BF
C. D.
6．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）.
A．7 B．9 C．10 D．11
二.填空题
7. 如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 .
8. 如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．
9. 在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4和3的两条线段, 则ABCD的周长为_______________.
10.如图，在ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________.
11.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则______________秒时四边形ADFE是平行四边形．
　　
12．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，，则△CEF的周长为______．
三.解答题
13. 在ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.
14.如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．
图1 图2
15.（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
　　（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．
　　　　　　　　　　　　
答案与解析
一.选择题
1．【答案】B；
【解析】设对角线长为，需满足，只有B选项符合题意.
2．【答案】C；
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
　　 　∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
　　 　∵ ABCD的周长为20cm，
　　 　∴AD+DC=10cm，
　　 　又∵OE⊥AC，
　　 　∴AE=CE，
　　 　∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm；
　　 　故选：C．
3．【答案】D；
【解析】过C点作CF垂直于BD的延长线，CF就是两短边间的距离，如图所示，∠C＝30°，CF＝.
4.【答案】C；
【解析】在ABCD中，∵ EF∥AB，GH∥AD．∴ EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC．∴ 除ABCD外，还有8个平行四边形：AGHD、BGHC、ABFE、DEFC、DEOH、HOFC、AEOG、OGBF．即图中有9个平行四边形．
5.【答案】B；
【解析】C选项和D选项均可证明△ADE≌△CBF，从而得到AE＝CF，EO＝FO，BO＝DO，所以可证四边形DEBF是平行四边形.
6.【答案】D；
【解析】EF＝HG＝BC，EH＝FG＝AD，所以四边形EFGH是平行四边形，由勾股定理BC＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11.
二.填空题
7.【答案】PQ∥AB，PQ＝AB；
【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.
8.【答案】6；
【解析】易证△AEF≌△DCF，所以AF＝DF，由CF平分∠BCD，AD∥BC可证AB＝DC＝DF＝3，所以BC＝AD＝6.
9.【答案】20或22；
【解析】由题意，AB可能是4，也可能是3，故周长为20或22.
10.【答案】；
【解析】由题意，平行四边形的高为，
.
11.【答案】3；
【解析】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；
　　 　　　理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，
　　 　　　即t=9﹣2t，
　　 　　　解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．
　　 　　　故答案为：3．
12．【答案】7；
【解析】可证△ABE与△CEF均为等腰三角形，AB＝BE＝6，CE＝CF＝9－6＝3，由勾股定理算得AG＝EG＝2，所以EF＝AF－AE＝5－4＝1，△CEF的周长为7.
二.解答题
13.【解析】
证明：在ABCD中
AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO
∴∠GAO＝∠HCO
在△AGO和△CHO中
∴△AGO≌△CHO
∴GO＝HO
又∵BO＝DO，BE＝DF
∴EO＝FO
∴四边形EHFG为平行四边形.
14.【解析】
解： (1)DE＋DF＝AB．
理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF是平行四边形，
所以DF＝AE．
又因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C．
因为DE∥AF，所以∠C＝∠EDB．
所以∠B＝∠EDB．所以△BDE是等腰三角形，所以BE＝DE，
所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB．
(2)若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB．
理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以四边形AFDE是平行四边形．
所以DF＝AE，DE＝AF．
因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠ACB．
又因为∠ACB＝∠FCD，所以∠B＝∠FCD．
又因为AB∥DF，所以∠B＝∠FDC．所以∠FCD＝∠FDC，所以DF＝FC，
所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB．
15.【解析】
（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．
　　　　　∵E、F分别是BC、AD的中点，
　　　　　∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，
　　　　　∵∠BME=∠CNE，
　　　　　∴HE=HF，
　　　　　∴AB=CD；
　　　（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，
　　　　　∵AB=CD，
　　　　　∴HO=HE，
　　　　　∴∠HOE=∠HEO，
　　　　　∵∠OEC=60°，
　　　　　∴∠HEO=∠AGO=60°，
　　　　　∴△OEH是等边三角形，
　　　　　∵AB=DC=5，
　　　　　∴OE=．
　　　　　

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