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第十八章 平行四边形
18.2 矩形（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
例1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；
（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．
【答案与解析】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
（2）连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由（1）知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴（6﹣x）2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　_________　．
【答案】；
提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.
类型二、矩形的判定
例2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
（2）四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.
举一反三：
【变式】如图，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
例3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形．
【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．
【答案与解析】
证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
例4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
A．20 B．12 C．14 D．13
【答案】C；
【解析】
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【答案】
解：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
【巩固练习】
一.选择题
1．下列说法中正确的是（　　）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线平分一组对角
D. 矩形的对角线相等且互相平分
2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )．
A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4
3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为( )．
A.14 B.28 C.20 D.22
4．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )
A. B. C. D.
5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角
6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）
A. B. C.4 D.
二.填空题
7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝______，BC＝______．
8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__________.
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是________.
11.如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为　 　．
12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.
三.解答题
13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，
求∠ADB的度数和BD的长.
14.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
　　（1）求证：四边形BFDE是矩形；
　　（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．
　　　　　
15.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.
求证：四边形BCED是矩形．
答案与解析
一.选择题
1.【答案】D；
【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；
　　　∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；
　　　∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；
　　　∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；
2.【答案】B；
【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.
3.【答案】B；
【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6和8，则周长为28.
4.【答案】D；
【解析】∠2＞∠1.
5.【答案】D；
6.【答案】A；
【解析】先证△ADF≌△BEF，则DF为△ABC中位线，再证明四边形BCDE是矩形，BE＝，可求面积.
二.填空题
7．【答案】5，5；
【解析】可证△AOB为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO.
8．【答案】；
【解析】由勾股定理算得斜边AB＝，CD＝AB＝.
9.【答案】5.8；
【解析】设DE＝，则AE＝AB－BE＝AB－DE＝10－.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＋AE2＝DE2，即，解得＝5.8.
10.【答案】；
【解析】根据∠EDC：∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC＝10，求得DE.
11.【答案】5；
【解析】∵矩形ABCD中，E是BC的中点，
∴AB=CD，BE=CE，∠B=∠C=90°，
可证得△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°，
∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴AB=BE=AD=×10=5．
12.【答案】12；
【解析】推出四边形FCGE是矩形，得出FC＝EG，FE＝CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG＝∠B，推出EG＝BG，同理AF＝EF，求出矩形CFEG的周长是CF＋EF＋EG＋CG＝AC＋BC，代入求出即可．
三.解答题
13.【解析】
解：由矩形的性质可知OD＝OC.
又由OE∶BE＝1∶3可知E是OD的中点.
又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，
即△OCD是等边三角形，故∠CDB＝60°.
所以∠ADB＝30°.
又因为CD＝2OF＝8，
即BD＝2OD＝2CD＝16.
14.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
　　 ∴DC∥AB，即DF∥BE，
　　 又∵DF=BE，
　　 ∴四边形DEBF为平行四边形，
　　 又∵DE⊥AB，
　　 ∴∠DEB=90°，
　　 ∴四边形DEBF为矩形；
　（2）∵四边形DEBF为矩形，
　　 ∴∠BFC=90°，
　　 ∵CF=9，BF=12，
　　 ∴BC==15，
　　 ∴AD=BC=15，
　　 ∴AD=DF=15，
　　 ∴∠DAF=∠DFA，
　　 ∵AB∥CD，
　　 ∴∠FAB=∠DFA，
　　 ∴∠FAB=∠DFA，
　　 ∴AF平分∠DAB．
15.【解析】
证明：在△ADB和△AEC中，
∵ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC．
∴ △ADB≌△AEC，∴ BD＝CE．
又∵ DE＝BC，∴ 四边形BCED是平行四边形．
∵ ∠BAD＝∠CAE，
∴ ∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC
即∠DAC＝∠BAE．
在△DAC和△EAB中，
∵ DA＝EA，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB．
∴ △DAC≌△EAB，∴ DC＝EB．
∴ 四边形BCED是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

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