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第十八章 平行四边形
18.3 菱形（基础巩固）
【要点梳理】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
要点诠释：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释：
前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【典型例题】
类型一、菱形的性质
例1、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
　
【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．
【答案与解析】
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF=BE．
【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．
举一反三：
【变式1】如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=　 　度．
【答案】50；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CBO=∠CDO=50°．
【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．
A. B.4 C.1 D.2
【答案】C；
提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于×2＝1.
类型二、菱形的判定
例2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗 试说明理由．
【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．
【答案与解析】
解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．
举一反三：
【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗 请说明理由．
【答案】
解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F． 求证：四边形AEFG是菱形．
【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．
【答案与解析】
证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．∴ EFAG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．
举一反三：
【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．
【答案】
证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
类型三、菱形的应用
例4、如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：
(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块
(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形
【答案与解析】
解：墙壁长4.2，宽2.8，矩形瓷砖长0.3，宽0.2，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．
(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．
(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．
【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．
【巩固练习】
一.选择题
1．下列说法中，错误的是（　　）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边
C．菱形的对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )
A.4 B.8
C.12 D.16
4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
5.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )
A.1 B. 2 C. D.
二.填空题
7．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______．
8．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 .
9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8, BD ＝ 6, 则菱形的高为________.
10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　 　．
11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.
三.解答题
13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
15、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
答案与解析
一.选择题
1.【答案】D；
2.【答案】D
【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选D．
3.【答案】D；
【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.
4.【答案】B；
【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，故可得△ABC的周长=3AB=15．
5.【答案】C；
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．
6.【答案】D；
【解析】∠DAF＝∠FAO＝∠OAE＝30°，所以2BE＝CE＝AE，3BE＝3，BC＝BE＝.
二.填空题
7.【答案】；
【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为.
8．【答案】1：；
【解析】如图，设AC，BD相较于点O，
∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB=BC=2cm，
∵高AE长为cm，
∴BE==1（cm），
∴CE=BE=1cm，
∴AC=AB=2cm，
∵OA=1cm，AC⊥BD，
∴OB==（cm），
∴BD=2OB=2cm，
∴AC：BD=1：．
9.【答案】；
【解析】菱形的边长为5，面积为 ，则高为.
10.【答案】.
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，
在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，
∴BC==5，
∵OE⊥BC，
∴OE BC=OB OC，
∴OE==．
故答案为．
11.【答案】60；
【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB＝12，BD＝2OB＝24，DE＝2OC＝10，BE＝2BC＝26，△BDE的周长为60．
12.【答案】（3,4）；
【解析】过B点作BD⊥OA于D，过C点作CE⊥OA于E，BD＝4，OA＝，AD＝8－，，解得，所以OE＝AD＝8－5＝3，C点坐标为（3,4）.
三.解答题
13.【解析】
解：∵∠ABC＝120°
∴∠BCD＝∠BAD＝60°；
∵菱形ABCD中， AB＝AD
∴△ABD是等边三角形；
又∵E是AB边的中点， B关于AC的对称点是D ，DE⊥AB
连接DE ，DE与AC交于P ，PB＝PD ；
DE的长就是PB＋PE的最小值；
设AE＝，AD＝，
DE＝，所以，AB＝.
14.【解析】
四边形BFDE是菱形，
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且AB是斜边，
∵E为AB的中点，
∴DE＝AB＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵F为DC中点，E为AB中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE＝EB，
∴四边形BFDE是菱形．
15.【解析】
证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，
∴BD=AC，
∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF=AC，
∴BD=DF；
（2）证明：∵BD=DF，
∴四边形BGFD是菱形，
（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．

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