资源简介

第十八章 平行四边形
18.5 《平行四边形》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点二、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点三、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、平行四边形
例1、如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
【答案与解析】
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．
举一反三：
【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．
【答案】
证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠BAC＝90°
∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形，
∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC ,
∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°
∴∠1＝∠2
易证△BAC≌△BDF（SAS），
∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°
同理可证△BAC≌△FEC
∴AB＝AD＝EF＝3
∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵DF∥AE，DF⊥BD
延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点
∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×＝6.
类型二、矩形
例2、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2，求矩形ABCD的面积．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝0B＝OC＝OD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即：OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO＝∠DGC＝90°，
又∵DG＝DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD＝OD，
∵F是BO中点，OF＝2，
∴BO＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝BO＝4，
∴DC＝4，DB＝8，
∴CB＝，
∴矩形ABCD的面积＝4×．
【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
举一反三：
【变式】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，
连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC=90°，
∵CF=9，BF=12，
∴BC==15，
∴AD=BC=15，
∴AD=DF=15，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
例3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．
【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．
∵EF⊥AC，
∴∠4=∠5=90°．
∴∠3=∠4．
在△ABC和△EAF中，
∵，，
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在Rt△ABC中，AB=.
∴AE=．
∵ED⊥BC，
∴∠7=∠6=∠5=90°．
∴四边形EFCD是矩形．
∴CD=EF=9，ED=FC=5．
∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．
类型三、菱形
例4、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．
【答案与解析】
（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，
又AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.
∴△AOF≌△COE
∴AF＝CE
（3）四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，，
∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，
∴∠AOF＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.
举一反三：
【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.
　
【答案】
证明：∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，∠EBD=∠EDB.
　　　又∵∠EBD= ∠FBD，
∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，
　　∴四边形BFDE是平行四边形.
　　又∵EB=ED，
∴四边形BFDE是菱形.
例5、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．
（1）求证：EF=BF；
（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．
【思路点拨】
（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；
（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=BC，求出EG∥BC，EG=BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，
∵BD=2AB，
∴AB=BO，
∵E为OA中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∵F为BC中点，
∴EF=BF=CF，
即EF=BF；
（2）四边形EBFG是菱形，
证明：连接CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，
∴BD=2AB=2CD，
∴OC=CD，
∵BG：GD=3：1，OB=OD，
∴G为OD中点，
∴CG⊥OD（三线合一定理），
即∠CGB=90°，
∵F为BC中点，
∴GF=BC=AD，
∵E为OA中点，G为OD中点，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴EG∥BC，EG=BC，
∵F为BC中点，
∴BF=BC，EG=GF，
即EG∥BF，EG=BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵EG=GF，
∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
类型四、正方形
例6、正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【答案与解析】
解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF＋∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）设EF＝MF＝，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，
∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－，
∵EB＝AB－AE＝3－1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2＋BF2＝EF2，
即，
解得：，则EF＝．
【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
举一反三：
【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．
（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．
（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．
　 　　　　
【答案】
解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；
　　　理由是：延长BG交DE于点H，
　　　因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE
所以△BCG≌△DCE，
所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．
由于∠CDE＋∠CED＝90°，
所以∠GBC＋∠DEC＝90°， 得∠BHE＝90°．
所以BG⊥DE.
(2)上述结论也存在．
理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，
同理可证△BCG≌△DCE，
得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．
又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，
可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．
所以BG⊥DE.
【提升练习】
一.选择题
1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )
　
　　A. 　　　B.　　　 C. 　　　D.
2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3. 已知平行四边形的一条边长为10cm.其两条对角线长可能是（ ）
A.6cm ,12cm B. 8cm,10cm C. 10cm,12cm D. 8cm,12cm
4. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。点E、F分别是AP,PR的中点。当点P在BC上从B向C移动时，下列结论成立的是（ ）
A. 线段EF的长逐渐变大；
B. 线段EF的长逐渐减小；
C. 线段EF的长不改变；
D. 线段EF的长不能确定.
5.如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
6. 如图，矩形ABCD的周长是20，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68,那么矩形ABCD的面积是　　）
A．21 B．16 C．24 D．9
7. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ ）
Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．25
8．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A.10° B.15° C.20° D.25°
二.填空题
9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________.
10．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．
11．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2……依此类推，则平行边形的面积为___________．
12. 如图所示，在口ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝AC；③DN＝2NF；④．其中正确的结论是________．(只填序号)
13.已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm2.
14.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　 ．
15. 如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________．
16.如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=__________．
三.解答题
17. 如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°．CD⊥AD，．
(1)求证：AB＝BC．
(2)当BE⊥AD于E时，试证明BE＝AE＋CD．
18.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF=___________.
19. 探究问题：
(1)方法感悟：
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．
∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．
即∠GAF＝∠________．
又AG＝AE，AF＝AF
∴ △GAF≌△________．
∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．
(2)方法迁移：
如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
20.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
答案与解析
一.选择题
1.【答案】B；
【解析】由题意先证明△AOE≌△COF，∴S阴影=S△COD=S矩形ABCD.
2．【答案】A；
3.【答案】C；
【解析】由三角形两边之和大于第三边判定.
4.【答案】C；
【解析】由三角形中位线定理，EF长度为AR的一半.
5.【答案】C；
【解析】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，
∴DE=BE+CD﹣BC=6，
∴PQ=DE=3．
故选：C．
6.【答案】B；
【解析】设两个正方形的边长分别为,根据题意得：，
则，解得.
7.【答案】B；
【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.
8.【答案】B；
【解析】证△ECF为等腰直角三角形.
二.填空题
9.【答案】；
【解析】由折叠的特性可知∠DBC′＝∠DBC，由AD∥BC得∠ADB＝∠DBC，因此∠DBC′＝∠ADB，故BE＝DE.可设AE＝，则BE＝4－，在Rt△ABE中，由勾股定理可得，即，解得＝，BE＝.因此阴影部分的面积为.
10．【答案】；
【解析】连接CE，因为A，C关于BD对称，所以CE为所求最小值.
11．【答案】；
【解析】 每一次变化，面积都变为原来的.
12.【答案】①②③；
【解析】易证四边形BEDF是平行四边形，△ABM≌△CDN．∴ ①正确．
由BEDF可得∠BED＝∠BFD，∴∠AEM＝∠NFC．又∵AD∥BC．∴∠EAM＝∠NCF， 又AE＝CF∴ △AME≌△CNF，∴AM＝CN．由FN∥BM，FC＝BF，得CN＝MN，∴CN＝MN＝AM，AM＝AC．∴ ②正确．
∵ AM＝AC，∴ ，∴④不正确．
FN为△BMC的中位线，BM＝2NF，△ABM≌△CDN，则BM＝DN，∴DN＝2NF，
∴③正确．
13.【答案】20；24；
14.【答案】3；
【解析】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP==3．
故答案为：3．
15.【答案】7；
【解析】∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD． 又∵ 以BE为折痕，将△ABE向上翻折到△FBE的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴ BC＋AB－FC＝8．① 又∵ BF＋BC＋FC＝22，即AB＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得FC＝7．
16.【答案】128；
【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．
故答案为128．
三.解答题
17.【解析】
(1)证明：连接AC
∵ ∠ABC＝90°，∴ ．
∴ CD⊥AD，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ AB＝BC．
(2)证明：过C作CF⊥BE于F．
∵ BE⊥AD，
∴ 四边形CDEF是矩形．
∴ CD＝EF．
∵ ∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，
∴ ∠BAE＝∠CBF，
∴ △BAE≌△CBF．
∴ AE＝BF．
∴ BE＝BF＋EF＝AE＋CD．
18.【解析】
解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF=DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠C
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；
（2）图②中：AC+DE=DF．图③中：AC+DF=DE．
（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；
当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2或10．
19. 解：(1)EAF、△EAF、GF．
(2)DE＋BF＝EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵ ，
∴ ．
∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝．
即∠GAF＝∠EAF．
又AG＝AE，AF＝AF．
∴ △GAF≌△EAF．
∴ GF＝EF．
又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF，
∴ DE＋BF＝EF．
20. 【解析】
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．

展开更多......

收起↑