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解三角形专题练(7)：边的最值或范围问题
求边的最值或取值范围的问题，通常是综合运用正余弦定理、三角形内角和定理、和差公式、倍角公式、辅助角公式、结合基本不等式与三角函数等知识求解.
一、知识点
基本不等式:；
正弦定理:，余弦定理:等；
；
.
三角函数的值域：.
典型例题
1.化边为角，利用三角函数的有界限求
【例1】:在锐角△ABC中，A=2B，则的取值范围是_________.
【解析】：由且,得，
所以，
又, 所以.
故答案为(1,2).
【例2】:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为,则的最大值是( )
A.8 B. 6 C. D.4
【解析】:由已知得，在△ABC中,,即,
又由余弦定理得，即，
所以.
故选D.
利用基本不等式求
【例3】．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．
【解析】：由题意可知，,
由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，
因此
故答案为9.
【例4】.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，
则ab的最小值为（　　）
A．56 B．48 C．36 D．28
【解答】：由正弦定理，有，
又2c cosB＝2a+b，可得：2sinC cosB＝2sinA+sinB，
由，得，则，即2sinB cosC+sinB＝0，
又，sinB＞0，得，
因为，得，则△ABC的面积为，即，
由余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2ab cosC，化简，得，
由于：a2+b2≥2ab，当仅当a＝b时取等号，
可得：，即ab≥48，故ab的最小值是48．
故选：B．
3.其它方法求解
【例5】：（2015·新课标I）在平面四边形ABCD中，，BC=2，则AB的取值范围是__________.
【解析】: 如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，
在△BCE中，，，BC=2，
由正弦定理可得，解得；
平移AD，当D与C重合时，AB最短，
此时在△BCF中，，，
由正弦定理知 ，解得，
所以AB的取值范围为.
【例6】.已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，，，则c的取值
范围为________．
【解答】：由正弦定理得，，故c＝8cosA，
因为16＝b2+c2﹣2bccosA，所以16﹣b2＝64cos2A﹣16bcos2A，
因为b≠4，所以，
所以，
故．
三、练习
1.(2021 宁夏中卫三模 理)设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a＝2，B＝2A，则b的取值范围为________.
2.在△ABC中，，∠C=30°,则a+b的最大值___________.
3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，角B为锐角，且, 则的取
值范围为_________.
4.在锐角△ABC中，BC=1,B=2A,则的值等于_______，AC的取值范围为 ______.
5.（2011 新课标）在△ABC中，B＝60°，，则AB+2BC的最大值为________．
6．在锐角三角形△ABC中，A+C=2B，b=1，则a+c的取值范围________.
7．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为_____．
8. △ABC为锐角三角形,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知,且,则的取值范围是______________.
9. 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且,c=2,当取得最大值时的值为_____.
10.(2021 河南郑州二模 文T16．)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，则实数λ的取值范围是　　．
11.(2014重庆理)已知△ABC的内角A,B,C满足，面积S满足,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b＋c)＞8 B.ac(a＋b)＞16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
12．在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A；
（2）若,求的取值范围．
13.(2021 浙江丽水湖州衢州二模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB+sin（A﹣C）＝cosC．．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当时，求a2+b2的取值范围．
14．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
15．如图，平面四边形ABCD的对角线相交于四边形内部，，．
（1）若，求的值；
（2）记，当变化时，求BD长度的最大值．
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求:（1）若，求△ABC的外接圆直径；
（2）若△ABC的周长为6，求边c的取值范围．
17．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求的取值范围．
18.己知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,
(1)求角C大小；
(2)当c=1时,求ab的取值范围.
19．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C所对的边，且满足，若P为边AB上靠近A的三等分点，CP=1，求：
（1）求C的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．
（3）求a+2b的最大值．
20．在△ABC中，角，，的对边分别为，，，已知．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若的平分线交于，且，求的最小值．
21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求边BC的中线AD长度的最小值．
22.(2021 安徽马鞍山三模 理)如图，在△ABC中，，D为AC边上一点且AB⊥BD，BD＝2．
（1）若，求△BCD的面积；
（2）求的取值范围．
23．已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）如图，设p为△ABC内一点，PA=1，PB=2，且，求AC+BC的最大值．
24．在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有a=2．
在下列条件中选择一个条件完成该题目：
①；②．
（1）求A的大小；
（2）求的取值范围．
25．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且．
（Ⅰ）已知_______，计算△ABC的面积；
请从①，②b=2，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．
（Ⅱ）求的最大值．
26.在①；②；
③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题：
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．
（1）求C；
（2）若c=2，求的最大值．
27．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
四、答案与解析
1.【解析】在锐角三角形中，，即，且B+A＝3A，则，即，综上，则，
因为a＝2，B＝2A，所以由正弦定理得，得b＝4cosA，
因为，所以，即，则b的取值范围是．
2.【解析】：因为,所以，
从而
所以a+b的最大值为.
3.【解析】:由及正弦定理，得，
又B为锐角，所以，即，
所以.
4.【解析】: 设, 由正弦定理得，所以，
由锐角△ABC得，
又，故，
所以.
5.【解答】：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，
由正弦定理，有，
所以AB＝2sinC，BC＝2sinA．
所以
，（其中，）
所以AB+2BC的最大值为．
另解：设AB＝cAC＝bBC＝a
由余弦定理，所以a2+c2﹣ac＝b2＝3
设c+2a＝m，代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0，
△＝84﹣3m2≥0 故,
当时，此时，符合题意，因此最大值为.
故答案为：
6.【解析】：因为A+C=2B，又所以，
由正弦定理得，
所以
,
因为△ABC是锐角三角形，所以且，
所以
所以，
即.
7.【解析】:因为，，所以,
所以.
因为，所以.
又因为，所以，，..
因为，所以，
所以.
8.【解析】:
,
因为△ABC为锐角三角形,所以,
因为△ABC为锐角三角形,所以,，即，，
解得a的取值范围是.
9.【解析】：,
又,所以，
由,
所以当,即时，则有：，所以,
所以.
10.【解析】:因为a＝1，，由正弦定理得：，所以
，其中，
由，λb+c存在最大值，即有解，即，可得，解得，又，解得，则实数λ的取值范围是．
11.【解析】：因为A＋B＋C＝π,所以A＋C＝π－B,C＝π－(A＋B),[来源
由已知, 即,
所以,
所以,
所以,所以.
由,得.由正弦定理得a＝2Rsin A,b＝2Rsin B,c＝2Rsin C,
所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2,所以, 即,
所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.故选A.
12.【解析】:（1）由余弦定理知：,所以；
(2)由正弦定理得：,所以,,
所以
,
又因为,
所以．
13.【解析】:（Ⅰ）由sinB+sin（A﹣C）＝cosC，得sin（A+C）+sin（A﹣C）＝cosC，化简2sinAcosC＝cosC，
由于△ABC为锐角三角形，所以cosC≠0，得，
又,故．
（Ⅱ）由正弦定理得，得，
又，所以，，所以,故3＜b＜4，
由余弦定理得，
所以．
14.【解】：（Ⅰ）由正弦定理得，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以．
（Ⅱ），
因为△ABC为锐角三角形，所以，，
所以，所以，
即的取值范围是．
15.【解】：（1）在△ABC中，，，
由余弦定理，可得，
由正弦定理，可得，
故．
（2）在△ABC中，有，
即，
由，即，
在△ACD中，，，故，
在△BCD中，由余弦定理可得，
即
，
因为，故最大时，BD也最大，
当，即时，BD最大，，
故．
16.【解】：（1）由正弦定理知，，
因为，
所以，
所以，即，
因为，所以，由余弦定理知，，
因为，所以，由，知，所以，
所以△ABC的外接圆直径为2．
（2）由（1）知，，
由正弦定理知，，所以，，
因为△ABC的周长为6，
所以
，
所以，
因为，，
所以．
17.【解答】：（1）由题可得，所以，
因为，所以，
（2）由正弦定理得，
所以，
因为，
所以．
18.【解析】：(1)由已知及余弦定理,得,,
因为C为锐角,所以,
(2)由正弦定理,得,
所以，
，
由，所以,
所以.
19.【解】：（1）因为，
由正弦定理得，
可得，即，
由，可得，
由，可得．
（2）由△ABC为锐角三角形，得，解得，，
由正弦定理得，，
所以.
故b的范围(1,4)．
（3）由题意得，两边平方得，
整理得，即，
解得，，当且仅当取等号．
所以a+2b的最大值是．
20.【解】：（Ⅰ）由正弦定理，得，即；
由余弦定理得，
又，所以；所以．
（Ⅱ）由题意得，即，
所以，即；
则，当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为9．
21.【解】：（Ⅰ）由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，即，所以，
又，即．
（Ⅱ）因为，
所以，化简得，
在△ABC中，由余弦定理得，，所以，
因为，当且仅当b=c时，取等号，所以，
所以，
所以AD长度的最小值为．
22.【解析】:（1）因为，且AB⊥BD，所以，
在△BCD中，由余弦定理知，CD2＝BC2+BD2﹣2BC BD cos∠CBD，
所以，即，解得，
由图知，，所以BC＞BD＝2，所以，
所以△BCD的面积．
（2）在△ABD中，由正弦定理知,
在△BCD中，由正弦定理知，，即，所以，
又，
所以，
因为，所以，,
故的取值范围为．
23.【解】：（1）因为．所以．
所以．整理得．
易知，所以，
又C为三角形内角，所以．
（2）由（1）与，得，
在△PAB中，由余弦定理，,
又在△ABC中，
，
所以，当且仅当AC=BC时取等“”所以AC+BC的最大值为．
24.【解】：（1）若选①，，
整理可得，所以，
可得，
可得，
由于，可得，
又，所以．
若选②，，
根据正弦定理化简得：，
即，所以，
又，所以．
（2）因为，a=2，由正弦定理，可得，，
可得
，
又，在锐角△ABC中，可得，
所以．
25.【解】：（Ⅰ）因为，
所以由余弦定理知，，
因为，所以．
选择①②：
因为，所以，即，解得c=3或-1（舍负），
所以△ABC的面积．
选择①③：
由正弦定理知，，
因为，所以， （*）
因为，所以 （*），
由*构成的方程组，解得，，
△ABC的面积．
选择②③：
由正弦定理知，，
因为，所以，所以△ABC的面积．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，
所以,
因为，
故的最大值为1．
26.【解】：若选①：
因为，所以，
即，
因为，，故，所以；
（2）由余弦定理可得，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是8；
若选②：
（1）因为，可得，
所以，可得，
因为，，所以，可得；
（2）由余弦定理可得，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是8；
若选③：
（1）因为，
又，所以，
因为，可得，
因为，所以；
（2）由余弦定理可得，所以，
所以，当且仅当a=b时取等号，
所以的最大值是8．
27.【解】：（Ⅰ）由，得，
化简，
由于△ABC为锐角三角形，所以，得，
又，故，
（Ⅱ）由正弦定理得，得，
又，,故，
由余弦定理得，
所以．
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