资源简介 解三角形专题练(7):边的最值或范围问题求边的最值或取值范围的问题,通常是综合运用正余弦定理、三角形内角和定理、和差公式、倍角公式、辅助角公式、结合基本不等式与三角函数等知识求解.一、知识点基本不等式:;正弦定理:,余弦定理:等;;.三角函数的值域:.典型例题1.化边为角,利用三角函数的有界限求【例1】:在锐角△ABC中,A=2B,则的取值范围是_________.【解析】:由且,得,所以,又, 所以.故答案为(1,2).【例2】:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为,则的最大值是( )A.8 B. 6 C. D.4【解析】:由已知得,在△ABC中,,即,又由余弦定理得,即,所以.故选D.利用基本不等式求【例3】.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.【解析】:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此故答案为9.【例4】.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若△ABC的面积为,则ab的最小值为( )A.56 B.48 C.36 D.28【解答】:由正弦定理,有,又2c cosB=2a+b,可得:2sinC cosB=2sinA+sinB,由,得,则,即2sinB cosC+sinB=0,又,sinB>0,得,因为,得,则△ABC的面积为,即,由余弦定理,得c2=a2+b2﹣2ab cosC,化简,得,由于:a2+b2≥2ab,当仅当a=b时取等号,可得:,即ab≥48,故ab的最小值是48.故选:B.3.其它方法求解【例5】:(2015·新课标I)在平面四边形ABCD中,,BC=2,则AB的取值范围是__________.【解析】: 如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合于E点时,AB最长,在△BCE中,,,BC=2,由正弦定理可得,解得;平移AD,当D与C重合时,AB最短,此时在△BCF中,,,由正弦定理知 ,解得,所以AB的取值范围为.【例6】.已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,a=4,,,则c的取值范围为________.【解答】:由正弦定理得,,故c=8cosA,因为16=b2+c2﹣2bccosA,所以16﹣b2=64cos2A﹣16bcos2A,因为b≠4,所以,所以,故.三、练习1.(2021 宁夏中卫三模 理)设锐角ABC的三内角A,B,C所对边的边分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为________.2.在△ABC中,,∠C=30°,则a+b的最大值___________.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角B为锐角,且, 则的取值范围为_________.4.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于_______,AC的取值范围为 ______.5.(2011 新课标)在△ABC中,B=60°,,则AB+2BC的最大值为________.6.在锐角三角形△ABC中,A+C=2B,b=1,则a+c的取值范围________.7.在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a2ab+b2=1,c=1,则a﹣b的取值范围为_____.8. △ABC为锐角三角形,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知,且,则的取值范围是______________.9. 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,c=2,当取得最大值时的值为_____.10.(2021 河南郑州二模 文T16.)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1,A=,若λb+c有最大值,则实数λ的取值范围是 .11.(2014重庆理)已知△ABC的内角A,B,C满足,面积S满足,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A.bc(b+c)>8 B.ac(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤2412.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求A;(2)若,求的取值范围.13.(2021 浙江丽水湖州衢州二模)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB+sin(A﹣C)=cosC..(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)当时,求a2+b2的取值范围.14.△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知.(Ⅰ)求角A;(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.15.如图,平面四边形ABCD的对角线相交于四边形内部,,.(1)若,求的值;(2)记,当变化时,求BD长度的最大值.16.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,求:(1)若,求△ABC的外接圆直径;(2)若△ABC的周长为6,求边c的取值范围.17.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求的取值范围.18.己知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,(1)求角C大小;(2)当c=1时,求ab的取值范围.19.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C所对的边,且满足,若P为边AB上靠近A的三等分点,CP=1,求:(1)求C的值;(2)若△ABC为锐角三角形,c=2,求b的取值范围.(3)求a+2b的最大值.20.在△ABC中,角,,的对边分别为,,,已知.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若的平分线交于,且,求的最小值.21.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若,求边BC的中线AD长度的最小值.22.(2021 安徽马鞍山三模 理)如图,在△ABC中,,D为AC边上一点且AB⊥BD,BD=2.(1)若,求△BCD的面积;(2)求的取值范围.23.已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,.(1)求角C的大小;(2)如图,设p为△ABC内一点,PA=1,PB=2,且,求AC+BC的最大值.24.在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且有a=2.在下列条件中选择一个条件完成该题目:①;②.(1)求A的大小;(2)求的取值范围.25.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.(Ⅰ)已知_______,计算△ABC的面积;请从①,②b=2,③这三个条件中任选两个,将问题(Ⅰ)补充完整,并作答.(Ⅱ)求的最大值.26.在①;②;③这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,并解答问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_____.(1)求C;(2)若c=2,求的最大值.27.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)当时,求的取值范围.四、答案与解析1.【解析】在锐角三角形中,,即,且B+A=3A,则,即,综上,则,因为a=2,B=2A,所以由正弦定理得,得b=4cosA,因为,所以,即,则b的取值范围是.2.【解析】:因为,所以,从而所以a+b的最大值为.3.【解析】:由及正弦定理,得,又B为锐角,所以,即,所以.4.【解析】: 设, 由正弦定理得,所以,由锐角△ABC得,又,故,所以.5.【解答】:因为B=60°,A+B+C=180°,所以A+C=120°,由正弦定理,有,所以AB=2sinC,BC=2sinA.所以,(其中,)所以AB+2BC的最大值为.另解:设AB=cAC=bBC=a由余弦定理,所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m,代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0,△=84﹣3m2≥0 故,当时,此时,符合题意,因此最大值为.故答案为:6.【解析】:因为A+C=2B,又所以,由正弦定理得,所以,因为△ABC是锐角三角形,所以且,所以所以,即.7.【解析】:因为,,所以,所以.因为,所以.又因为,所以,,..因为,所以,所以.8.【解析】:,因为△ABC为锐角三角形,所以,因为△ABC为锐角三角形,所以,,即,,解得a的取值范围是.9.【解析】:,又,所以,由,所以当,即时,则有:,所以,所以.10.【解析】:因为a=1,,由正弦定理得:,所以,其中,由,λb+c存在最大值,即有解,即,可得,解得,又,解得,则实数λ的取值范围是.11.【解析】:因为A+B+C=π,所以A+C=π-B,C=π-(A+B),[来源由已知, 即,所以,所以,所以,所以.由,得.由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2,所以, 即,所以bc(b+c)>abc=8R3sin Asin Bsin C=R3≥8.故选A.12.【解析】:(1)由余弦定理知:,所以;(2)由正弦定理得:,所以,,所以,又因为,所以.13.【解析】:(Ⅰ)由sinB+sin(A﹣C)=cosC,得sin(A+C)+sin(A﹣C)=cosC,化简2sinAcosC=cosC,由于△ABC为锐角三角形,所以cosC≠0,得,又,故.(Ⅱ)由正弦定理得,得,又,所以,,所以,故3<b<4,由余弦定理得,所以.14.【解】:(Ⅰ)由正弦定理得,所以,即,因为,所以,因为,所以,因为,所以.(Ⅱ),因为△ABC为锐角三角形,所以,,所以,所以,即的取值范围是.15.【解】:(1)在△ABC中,,,由余弦定理,可得,由正弦定理,可得,故.(2)在△ABC中,有,即,由,即,在△ACD中,,,故,在△BCD中,由余弦定理可得,即,因为,故最大时,BD也最大,当,即时,BD最大,,故.16.【解】:(1)由正弦定理知,,因为,所以,所以,即,因为,所以,由余弦定理知,,因为,所以,由,知,所以,所以△ABC的外接圆直径为2.(2)由(1)知,,由正弦定理知,,所以,,因为△ABC的周长为6,所以,所以,因为,,所以.17.【解答】:(1)由题可得,所以,因为,所以,(2)由正弦定理得,所以,因为,所以.18.【解析】:(1)由已知及余弦定理,得,,因为C为锐角,所以,(2)由正弦定理,得,所以,,由,所以,所以.19.【解】:(1)因为,由正弦定理得,可得,即,由,可得,由,可得.(2)由△ABC为锐角三角形,得,解得,,由正弦定理得,,所以.故b的范围(1,4).(3)由题意得,两边平方得,整理得,即,解得,,当且仅当取等号.所以a+2b的最大值是.20.【解】:(Ⅰ)由正弦定理,得,即;由余弦定理得,又,所以;所以.(Ⅱ)由题意得,即,所以,即;则,当且仅当,即,时取等号;所以的最小值为9.21.【解】:(Ⅰ)由正弦定理得,,因为,所以,因为,所以,所以,即,所以,又,即.(Ⅱ)因为,所以,化简得,在△ABC中,由余弦定理得,,所以,因为,当且仅当b=c时,取等号,所以,所以,所以AD长度的最小值为.22.【解析】:(1)因为,且AB⊥BD,所以,在△BCD中,由余弦定理知,CD2=BC2+BD2﹣2BC BD cos∠CBD,所以,即,解得,由图知,,所以BC>BD=2,所以,所以△BCD的面积.(2)在△ABD中,由正弦定理知,在△BCD中,由正弦定理知,,即,所以,又,所以,因为,所以,,故的取值范围为.23.【解】:(1)因为.所以.所以.整理得.易知,所以,又C为三角形内角,所以.(2)由(1)与,得,在△PAB中,由余弦定理,,又在△ABC中,,所以,当且仅当AC=BC时取等“”所以AC+BC的最大值为.24.【解】:(1)若选①,,整理可得,所以,可得,可得,由于,可得,又,所以.若选②,,根据正弦定理化简得:,即,所以,又,所以.(2)因为,a=2,由正弦定理,可得,,可得,又,在锐角△ABC中,可得,所以.25.【解】:(Ⅰ)因为,所以由余弦定理知,,因为,所以.选择①②:因为,所以,即,解得c=3或-1(舍负),所以△ABC的面积.选择①③:由正弦定理知,,因为,所以, (*)因为,所以 (*),由*构成的方程组,解得,,△ABC的面积.选择②③:由正弦定理知,,因为,所以,所以△ABC的面积.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以,所以,因为,故的最大值为1.26.【解】:若选①:因为,所以,即,因为,,故,所以;(2)由余弦定理可得,所以,所以,当且仅当时取等号,所以的最大值是8;若选②:(1)因为,可得,所以,可得,因为,,所以,可得;(2)由余弦定理可得,所以,所以,当且仅当时取等号,所以的最大值是8;若选③:(1)因为,又,所以,因为,可得,因为,所以;(2)由余弦定理可得,所以,所以,当且仅当a=b时取等号,所以的最大值是8.27.【解】:(Ⅰ)由,得,化简,由于△ABC为锐角三角形,所以,得,又,故,(Ⅱ)由正弦定理得,得,又,,故,由余弦定理得,所以.PAGE 展开更多...... 收起↑ 资源预览