解三角形专题练(7):边的最值或范围问题(word含答案解析)

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解三角形专题练(7):边的最值或范围问题(word含答案解析)

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解三角形专题练(7):边的最值或范围问题
求边的最值或取值范围的问题,通常是综合运用正余弦定理、三角形内角和定理、和差公式、倍角公式、辅助角公式、结合基本不等式与三角函数等知识求解.
一、知识点
基本不等式:;
正弦定理:,余弦定理:等;

.
三角函数的值域:.
典型例题
1.化边为角,利用三角函数的有界限求
【例1】:在锐角△ABC中,A=2B,则的取值范围是_________.
【解析】:由且,得,
所以,
又, 所以.
故答案为(1,2).
【例2】:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为,则的最大值是( )
A.8 B. 6 C. D.4
【解析】:由已知得,在△ABC中,,即,
又由余弦定理得,即,
所以.
故选D.
利用基本不等式求
【例3】.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.
【解析】:由题意可知,,
由角平分线性质和三角形面积公式得,
化简得,
因此
故答案为9.
【例4】.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若△ABC的面积为,
则ab的最小值为(  )
A.56 B.48 C.36 D.28
【解答】:由正弦定理,有,
又2c cosB=2a+b,可得:2sinC cosB=2sinA+sinB,
由,得,则,即2sinB cosC+sinB=0,
又,sinB>0,得,
因为,得,则△ABC的面积为,即,
由余弦定理,得c2=a2+b2﹣2ab cosC,化简,得,
由于:a2+b2≥2ab,当仅当a=b时取等号,
可得:,即ab≥48,故ab的最小值是48.
故选:B.
3.其它方法求解
【例5】:(2015·新课标I)在平面四边形ABCD中,,BC=2,则AB的取值范围是__________.
【解析】: 如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合于E点时,AB最长,
在△BCE中,,,BC=2,
由正弦定理可得,解得;
平移AD,当D与C重合时,AB最短,
此时在△BCF中,,,
由正弦定理知 ,解得,
所以AB的取值范围为.
【例6】.已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,a=4,,,则c的取值
范围为________.
【解答】:由正弦定理得,,故c=8cosA,
因为16=b2+c2﹣2bccosA,所以16﹣b2=64cos2A﹣16bcos2A,
因为b≠4,所以,
所以,
故.
三、练习
1.(2021 宁夏中卫三模 理)设锐角ABC的三内角A,B,C所对边的边分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为________.
2.在△ABC中,,∠C=30°,则a+b的最大值___________.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角B为锐角,且, 则的取
值范围为_________.
4.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于_______,AC的取值范围为 ______.
5.(2011 新课标)在△ABC中,B=60°,,则AB+2BC的最大值为________.
6.在锐角三角形△ABC中,A+C=2B,b=1,则a+c的取值范围________.
7.在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a2ab+b2=1,c=1,则a﹣b的取值范围为_____.
8. △ABC为锐角三角形,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知,且,则的取值范围是______________.
9. 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,c=2,当取得最大值时的值为_____.
10.(2021 河南郑州二模 文T16.)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1,A=,若λb+c有最大值,则实数λ的取值范围是  .
11.(2014重庆理)已知△ABC的内角A,B,C满足,面积S满足,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A.bc(b+c)>8 B.ac(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
12.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求A;
(2)若,求的取值范围.
13.(2021 浙江丽水湖州衢州二模)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB+sin(A﹣C)=cosC..
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)当时,求a2+b2的取值范围.
14.△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
15.如图,平面四边形ABCD的对角线相交于四边形内部,,.
(1)若,求的值;
(2)记,当变化时,求BD长度的最大值.
16.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,求:(1)若,求△ABC的外接圆直径;
(2)若△ABC的周长为6,求边c的取值范围.
17.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,求的取值范围.
18.己知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,
(1)求角C大小;
(2)当c=1时,求ab的取值范围.
19.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C所对的边,且满足,若P为边AB上靠近A的三等分点,CP=1,求:
(1)求C的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,c=2,求b的取值范围.
(3)求a+2b的最大值.
20.在△ABC中,角,,的对边分别为,,,已知.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若的平分线交于,且,求的最小值.
21.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若,求边BC的中线AD长度的最小值.
22.(2021 安徽马鞍山三模 理)如图,在△ABC中,,D为AC边上一点且AB⊥BD,BD=2.
(1)若,求△BCD的面积;
(2)求的取值范围.
23.已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,.
(1)求角C的大小;
(2)如图,设p为△ABC内一点,PA=1,PB=2,且,求AC+BC的最大值.
24.在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且有a=2.
在下列条件中选择一个条件完成该题目:
①;②.
(1)求A的大小;
(2)求的取值范围.
25.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.
(Ⅰ)已知_______,计算△ABC的面积;
请从①,②b=2,③这三个条件中任选两个,将问题(Ⅰ)补充完整,并作答.
(Ⅱ)求的最大值.
26.在①;②;
③这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,并解答问题:
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_____.
(1)求C;
(2)若c=2,求的最大值.
27.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)当时,求的取值范围.
四、答案与解析
1.【解析】在锐角三角形中,,即,且B+A=3A,则,即,综上,则,
因为a=2,B=2A,所以由正弦定理得,得b=4cosA,
因为,所以,即,则b的取值范围是.
2.【解析】:因为,所以,
从而
所以a+b的最大值为.
3.【解析】:由及正弦定理,得,
又B为锐角,所以,即,
所以.
4.【解析】: 设, 由正弦定理得,所以,
由锐角△ABC得,
又,故,
所以.
5.【解答】:因为B=60°,A+B+C=180°,所以A+C=120°,
由正弦定理,有,
所以AB=2sinC,BC=2sinA.
所以
,(其中,)
所以AB+2BC的最大值为.
另解:设AB=cAC=bBC=a
由余弦定理,所以a2+c2﹣ac=b2=3
设c+2a=m,代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0,
△=84﹣3m2≥0 故,
当时,此时,符合题意,因此最大值为.
故答案为:
6.【解析】:因为A+C=2B,又所以,
由正弦定理得,
所以
,
因为△ABC是锐角三角形,所以且,
所以
所以,
即.
7.【解析】:因为,,所以,
所以.
因为,所以.
又因为,所以,,..
因为,所以,
所以.
8.【解析】:
,
因为△ABC为锐角三角形,所以,
因为△ABC为锐角三角形,所以,,即,,
解得a的取值范围是.
9.【解析】:,
又,所以,
由,
所以当,即时,则有:,所以,
所以.
10.【解析】:因为a=1,,由正弦定理得:,所以
,其中,
由,λb+c存在最大值,即有解,即,可得,解得,又,解得,则实数λ的取值范围是.
11.【解析】:因为A+B+C=π,所以A+C=π-B,C=π-(A+B),[来源
由已知, 即,
所以,
所以,
所以,所以.
由,得.由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2,所以, 即,
所以bc(b+c)>abc=8R3sin Asin Bsin C=R3≥8.故选A.
12.【解析】:(1)由余弦定理知:,所以;
(2)由正弦定理得:,所以,,
所以
,
又因为,
所以.
13.【解析】:(Ⅰ)由sinB+sin(A﹣C)=cosC,得sin(A+C)+sin(A﹣C)=cosC,化简2sinAcosC=cosC,
由于△ABC为锐角三角形,所以cosC≠0,得,
又,故.
(Ⅱ)由正弦定理得,得,
又,所以,,所以,故3<b<4,
由余弦定理得,
所以.
14.【解】:(Ⅰ)由正弦定理得,
所以,
即,
因为,所以,
因为,所以,
因为,
所以.
(Ⅱ),
因为△ABC为锐角三角形,所以,,
所以,所以,
即的取值范围是.
15.【解】:(1)在△ABC中,,,
由余弦定理,可得,
由正弦定理,可得,
故.
(2)在△ABC中,有,
即,
由,即,
在△ACD中,,,故,
在△BCD中,由余弦定理可得,


因为,故最大时,BD也最大,
当,即时,BD最大,,
故.
16.【解】:(1)由正弦定理知,,
因为,
所以,
所以,即,
因为,所以,由余弦定理知,,
因为,所以,由,知,所以,
所以△ABC的外接圆直径为2.
(2)由(1)知,,
由正弦定理知,,所以,,
因为△ABC的周长为6,
所以

所以,
因为,,
所以.
17.【解答】:(1)由题可得,所以,
因为,所以,
(2)由正弦定理得,
所以,
因为,
所以.
18.【解析】:(1)由已知及余弦定理,得,,
因为C为锐角,所以,
(2)由正弦定理,得,
所以,

由,所以,
所以.
19.【解】:(1)因为,
由正弦定理得,
可得,即,
由,可得,
由,可得.
(2)由△ABC为锐角三角形,得,解得,,
由正弦定理得,,
所以.
故b的范围(1,4).
(3)由题意得,两边平方得,
整理得,即,
解得,,当且仅当取等号.
所以a+2b的最大值是.
20.【解】:(Ⅰ)由正弦定理,得,即;
由余弦定理得,
又,所以;所以.
(Ⅱ)由题意得,即,
所以,即;
则,当且仅当,即,时取等号;
所以的最小值为9.
21.【解】:(Ⅰ)由正弦定理得,,
因为,所以,
因为,所以,
所以,即,所以,
又,即.
(Ⅱ)因为,
所以,化简得,
在△ABC中,由余弦定理得,,所以,
因为,当且仅当b=c时,取等号,所以,
所以,
所以AD长度的最小值为.
22.【解析】:(1)因为,且AB⊥BD,所以,
在△BCD中,由余弦定理知,CD2=BC2+BD2﹣2BC BD cos∠CBD,
所以,即,解得,
由图知,,所以BC>BD=2,所以,
所以△BCD的面积.
(2)在△ABD中,由正弦定理知,
在△BCD中,由正弦定理知,,即,所以,
又,
所以,
因为,所以,,
故的取值范围为.
23.【解】:(1)因为.所以.
所以.整理得.
易知,所以,
又C为三角形内角,所以.
(2)由(1)与,得,
在△PAB中,由余弦定理,,
又在△ABC中,

所以,当且仅当AC=BC时取等“”所以AC+BC的最大值为.
24.【解】:(1)若选①,,
整理可得,所以,
可得,
可得,
由于,可得,
又,所以.
若选②,,
根据正弦定理化简得:,
即,所以,
又,所以.
(2)因为,a=2,由正弦定理,可得,,
可得

又,在锐角△ABC中,可得,
所以.
25.【解】:(Ⅰ)因为,
所以由余弦定理知,,
因为,所以.
选择①②:
因为,所以,即,解得c=3或-1(舍负),
所以△ABC的面积.
选择①③:
由正弦定理知,,
因为,所以, (*)
因为,所以 (*),
由*构成的方程组,解得,,
△ABC的面积.
选择②③:
由正弦定理知,,
因为,所以,所以△ABC的面积.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以,
所以,
因为,
故的最大值为1.
26.【解】:若选①:
因为,所以,
即,
因为,,故,所以;
(2)由余弦定理可得,
所以,
所以,当且仅当时取等号,
所以的最大值是8;
若选②:
(1)因为,可得,
所以,可得,
因为,,所以,可得;
(2)由余弦定理可得,所以,
所以,当且仅当时取等号,
所以的最大值是8;
若选③:
(1)因为,
又,所以,
因为,可得,
因为,所以;
(2)由余弦定理可得,所以,
所以,当且仅当a=b时取等号,
所以的最大值是8.
27.【解】:(Ⅰ)由,得,
化简,
由于△ABC为锐角三角形,所以,得,
又,故,
(Ⅱ)由正弦定理得,得,
又,,故,
由余弦定理得,
所以.
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