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解三角形专题练(8)：角的最值或范围问题
求角的最值或取值范围的问题，通常是综合运用正余弦定理、三角形内角和定理、和差公式、倍角公式、辅助角公式、结合基本不等式与三角函数等知识求解.
一、知识点
基本不等式 ；
正弦定理 ，余弦定理 等；
；
.
三角函数的值域：.
典型例题
1.利用三角函数的值域求
【例1】：若△ABC的三边a,b,c所对的角依次为A,B,C，且满足，则sinB+cosB的取值范围是 .
【解析】：因为，又由余弦定理知，
所以，又且,
所以,
即的取值范围是.
2.利用基本不等式求
【例2】:设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为（　　）
B． C． D．
【解析】：因为，所以结合正弦定理，得，
因为，得，所以，
整理得，同除以，得，
由此可得，
因为A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，所以A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
因为，所以，
当且仅当，即时，的最大值为．
故选：D．
三、巩固练习
1．在△ABC中，，，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.△ABC各角的对应边分别为,满足,则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知锐角△ABC中,角A,B满足2tanA＝tan(A＋B),则tanB的最大值为
A． B． C． D．
4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B=2A,，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，，的最大值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.△ABC中，若，,且B为锐角，则p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知△ABC的面积为,,则的取值范围是 ．
8.已知锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若，则的取值范围
是_______，的取值范围为　 　．
在锐角△ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为_________．
已知△ABC中，，则的取值范围是 .
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a=2c,则sinC的最大值为 ．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为　 　．
（2020浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
14.设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，．
（1）求B的大小；
（2）求的取值范围．
15．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，的面积记为，满足．
（1）求C；
（2）若，求的取值范围．
16．已知△ABC中，角，，的对边分别为，，，且满足，点M是BC的中点．
（1）求角A的大小；
（2）求的最大值．
17．在中,角所对的边分别为．已知．[来源
（Ⅰ）若,求的面积；
（Ⅱ）求的取值范围．
18.(2021 江苏盐城三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝与
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
答案与解析
1.【解析】：，所以，所以，
因，必为锐角，故.故选B.
2.【解析】：由，得，
由余弦定理得，所以，故选A.
3.【解析】：锐角A,B满足2tanA＝tan(A＋B),令tanA＝x,tanB＝y(x、y＞0)．则有 ,
即 ,当且仅当且x＞0时取等号,
故y＝tanB的最大值为,故选D．
4.【解析】：由，得,
又，则有：，
所以故选D.
5.【解析】：由，得：即,所以.
所以
易知： ，
所以（,原式取得最大值）.故选A.
6.【解析】：由及正弦定理得：
又，且角B为锐角，则，
所以.故选B.
7.【解析】：由,得,即,
又,所以．
＝＋
＝＝＝．
因为,,
所以当时,,
当或时,,
所以,
即的取值范围是．
8.【解析】：由正弦定理得,
即，
由锐角△ABC得，，
且由，得，,
因为， ,所以的取值范围是；
所以，
因为,所以，所以，
所以的范围为.
9.【解析】：由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，因为，
所以，，化简，得：，解得：x＝3y
，，，
＝＝=
＝，当且仅当时取得最小值.
10.【解析】：由，由正弦定理可得.
由余弦定理可得. 所以.
令.,.
所以.
所以.
11.【解析】：根据余弦定理,可以求得,当且仅当，即时取得等号，此时取到最大值．
12.【解析】：因为在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，所以，
所以
．当且仅当时，取等号，
所以的最小值为．
13.【解析】：（I）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
14.【解析】：(1)由，根据正弦定理得，所以，
由△ABC为锐角三角形得．
(2)
．
由△ABC为锐角三角形知，，．，
所以．由此有，
所以的取值范围为．
15.【解析】：(1)因为，所以，
由C为三角形内角得；
(2)由正弦定理得，所以，
所以
，
由．
故的取值范围．
16.【解析】：(1)因为，由正弦定理得，，
整理得，，即，
因为，所以，
由A为三角形内角得，，
(2)因为点是的中点，所以，，
因为，当且仅当b=c时取等号，
由正弦定理得，，当且仅当b=c时取等号，
故的最大值．
17.【解析】：(I)在中,因为,所以,
由正弦定理可得则．
又为锐角,则,所以．
所以 ．
(II) ==
．
因为,所以． 则．
所以的取值范围是．
18.【解析】:(1)因为＝0，所以(＋)＝0，即(＋)＝0，所以，
因为b＝c，所以，
因为0＜A＜π，所以．
(2)因为＝(＋)＝，
所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0，
，
因为0＜B＜π，所以B的最大值为．

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