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解三角形专题练(4):面积的最值或范围问题
面积问题是边长与角问题的综合,其解题途径一：如果知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求；其途径二：若不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解；其途径三：把面积化为关于某一边的二次函数，利用二次函数求解.
知识点
基本不等式:；
三角形面积公式:；
正弦定理:，余弦定理:等；
和差的正弦：；
和差的余弦：；
三角函数的值域：.
二、典型例题
【例1】:在△ABC中，，若△ABC的外接圆半径为，则△ABC的面积的最大值为 .
【解析】：由及余弦定理得，所以，
又由于，所以，
即，所以，
又由于，
故当且仅当时，的面积取最大值.
【例2】: 如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积的最大值为__________．
【解析】：连接AC，在△ABC中，因为，，
所以△ABC为等边三角形，在中，，，
由余弦定理可得 ，
则四边形ABCD的面积为
，
当，即时，取得最大值1，
四边形ABCD的面积取得最大值为．
三、练习
1. 如图,已知为定角,BC为定长a,求△ABC面积的最大值___________.
2.(2021 山西调研二模 文T16)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为______ .
3.(2014 新课标Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且，则△ABC面积的最大值为 .
4．△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，且，则△ABC的面积最大值为______.
5.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜
求积术”，即△ABC的面积，其中a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.
若，且，则△ABC的面积的最大值为__________．
6. 平面四边形ABCD中，则平面四边形ABCD面积的最大值为_______．
7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，设△ABC的面积为S,若， 则的最大值为________.
8.(2019·全国Ⅲ高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
9.在中，内角，，所对的边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
10．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，且．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若，求△ABC面积的取值范围．
11．已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c，，．
（1）请用含，的式子表示，；
（2）求△ABC面积的最大值．
12．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足：．
（1）求C；
（2）若△ABC周长为6，求△ABC面积的最大值．
13．已知△ABC中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知，，若D,E是边BC上的点，使，求当△ADE面积的最小时，的大小．
14．在△ABC中,已知asinA-csinC=（a-b）sinB, △ABC外接圆的半径为．
（1）求C；
（2）求△ABC的面积S的最大值．
15．已知函数．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，，的角平分线交于，且，求△ABC面积的最小值．
16．已知△ABC中，角为锐角且角A,B,C所对的边分别为a,b,c，．
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，且BD=2DC，且AD=2，求△ABC面积的最大值．
17．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=2,c=4，且．
（1）求角B；
（2）如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，，求△ACD面积的最大值．
18．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知．
（1）求B；
（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．
19．如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且.
（1）求的大小；
（2）若，点A、D在BC的异侧，DB=2，DC=1，求平面四边形ABDC面积最大值.
20．已知平面四边形ABCD内接于圆O，AB=BC=3，．
（1）若，求所对的圆弧的长；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
21．如图，半圆O的直径为，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设．
（1）当时，求四边形OACB的周长；
（2）点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？最大值为多少？
22.如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3 km，km，∠AOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网.
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？
答案与解析
1.【解析】:（1）设,,．
由余弦定理得，,所以,当且仅当x=y时取等号，
所以,
2.【解析】：，
所以，当且仅当，即a+b=1时取等号，
所以，即，a+b=1，
所以，当且仅当a=b时取等号，
所以，则△ABC面积，即面积的最大值.
3.【解析】：由且 ，即，
由及正弦定理得：，所以，
故，所以，
所以，，所以，故答案为.
4.【解析】：由正弦定理可知，，且
所以由 可得，即
又因为B为△ABC内角，，所以，
所以
所以
当即时
5．【解析】：由题设可知，即，由正弦定理可得，所以，当时， ，故填.
6.【解析】：由余弦定理得，
即，即，
又平面四边形ABCD面积，
因此，
即，当且仅当时取等号，
故平面四边形ABCD面积的最大值为
7.【解析】：由得，
所以，所以
又，则有，即，
所以当“”时，.
8.【解析】:(1)由题设及正弦定理得
因为,所以
由,可得,故,
因为,故,因此.
（2）方法一：（角的处理）由题设及(1)知△ABC的面积，
由正弦定理得.
由于△ABC为锐角三角形，故，，
由（1）知,所以，故，从而，
因此面积的取值范围是.
（2）方法二：（边的处理）由余弦定理得：，
因为△ABC为锐角三角形，且，
所以，可得，可得：，
所以△ABC面积．
9.【详解】：（1）选①：因为，由正弦定理可得，
因为，，则，可得，因此，；
选②：，可化为，即，
由余弦定理可得，因为，所以，；
选③：因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
（2）由（1）知，，
由正弦定理有，
由为锐角三角形，有，得，
有，可得，
故的面积的取值范围为．
10.【解析】：(Ⅰ)因为，
所以，可得：，
可得：，所以，或，所以，
可得：．
（Ⅱ）由（Ⅰ），，
由正弦定理可得，可得，，
所以△ABC的面积，
因为，，，，，
所以△ABC的面积，．
11.【解析】：（1）由正弦定理，则，，
所以．
（2）又，则，即，
所以，
当且仅当，时取得“”，
即时，△ABC面积的最大值是．
12.【解析】：（1）由正弦定理得：，得：，
又，故；
（2）由，故，代入，解得：，
整理得：，当且仅当时“”成立，
令，则，解得：或，
故或，
而，故，
故的面积为：，
即△ABC面积的最大值为．
13.【解析】：（Ⅰ）因为，所以，
因为，所以，得，
又，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，△ABC为直角三角形，且，
因为，所以AC=100，设，，，
则，在中，由，得，
由，，得，
在中，由，得，
由．
因为，所以，可得当，即时，取得最小值，
故当△ADE面积的最小时，．
14.【解析】：(1)由正弦定理得，
所以，
又因为C是 △ABC内角，所以，所以；
(2)
,
所以当时，
15.【解析】：因为，所以或，
故或，，
又，所以，故．
在△ABD中由正弦定理可得：，故，同理可得：，
所以
，
因为，所以，所以，
所以当即时，取得最小值．
16.【解析】：（1）因为，即，
由正弦定理可得：，即，
可得，可得，
因为，解得，由为锐角，可得．
（2）根据题意可得：，
所以：，
即，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以．
17.【解析】：（1）由题意可得：，
由正弦定理可得：，可得：，
所以：，
所以：，由于为三角形内角，可得
（2）在△ABC中，由余弦定理可得：，可得：，
在△ACD中，，由余弦定理可得：，
即：，
由均值定理可得：，当且仅当时取等号，
可得：，所以：．
可得：△ACD面积的最大值
18.【解析】：（1）因为，
由正弦定理得，，
所以，故，即，
因为为三角形内角，所以；
（2）方法一：（利用向量处理）因为D为AC的中点，则，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，解得，
面积．
方法二：（利用余弦定理处理）延长线段BD至E，满足BD=DE，连接AE，
在△ABE中，BE=2BD=4，AE=a，，，
由余弦定理，有，
可得，解得，当且仅当时取等号，
所以，
即△ABC的面积的最大值为．
19.【解析】：（1）因为，且，所以
在△ABC中，，所以
所以，所以
因为在△ABC中，，所以
因为C是△ABC的内角，所以.
（2）在△BCD中，
因为△ABC是等腰直角三角形，
所以，
所以平面四边形的面积
因为，所以 ，所以当时，，
此时平面四边形的面积有最大值
20.【解析】：（1）连接AC，
因为AB=BC=3，，△ABC为等边三角形，AC=3，
因为平面四边形ABCD内接于圆O，所以（四点共圆），所以，
由余弦定理可得，．，所以，
设△ABC的外接圆半径为R，，
因为AC=3，，所以，所以△OAD为等边三角形，
所以圆弧所对于应的角，．
（2）在中，，
因为，，所以，
因为，所以，当且仅当时等式成立，
所以，
所以四边形ABCD面积．
21.【解析】：（1）在△OAB中，由余弦定理得，
即，
于是四边形OACB的周长为；
（2）在△OAB中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形OACB的面积为
，
当，即时，四边形OACB的面积取得最大值．
22.【解析】：（1）因为，，，所以，.
在△OAM中，由余弦定理得：.所以.
由正弦定理得：，即，
所以.所以.所以.
所以△AON是等边三角形.所以的周长.
所以防护网的总长度为9 km.
(2)设，则，，.
在中，由正弦定理得，
即. 所以，
在中，由正弦定理得，
即， 所以，
所以.
所以当且仅当，即时，km2.

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