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2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市滨江初中教育集团九年级（下）月考数学试卷（3月份）
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
的绝对值是
A. B. C. D.
预计到年，中国用户将超过将用科学记数法表示为
A. B. C. D.
如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是
A.
B.
C.
D.
下列计算错误的是
A. B. C. D.
如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到号卡片的概率是
A. B. C. D.
如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是
A. B. C. D.
如图，中，，，它的周长为若与，，三边分别切于，，点，则的长为
A.
B.
C.
D.
函数的图象上有三个点分别为，，，则，，的大小关系为
A. B.
C. D. ，，的大小不确定
某天，甲、乙两车同时从地出发，驶向终点地，途中乙车由于出现故障，停车修理了一段时间，修理完毕后，乙车加快了速度匀速驶向地；甲车从地到地速度始终保持不变，乙车的速度始终小于甲车的速度．甲、乙两车之间的距离与两车出发时间的函数图象如图所示．下列说法：甲到达地终点时，乙车距离终点还有；故障排除前，乙的速度为；线段所在直线的解析式；当，时，甲、乙两人之间相距千米．其中说法正确的序号是
A. B. C. D.
某社区运动会共设置了，，，，五个比赛项目，甲、乙、丙、丁、戊五人一起去报名参加比赛，每人至少报名参加一个比赛项目．已知甲、乙、丙、丁分别报名参加了其中，，，个比赛项目，而，，，四个比赛项目在这五人中分别有，，，人报名，则这五人中报名参加比赛项目的人数有
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
因式分解：______．
正十边形的一个外角为______ 度．
已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为______．
内接于圆，且，圆的直径为，，则______．
如图，已知为反比例函数图象上一点，为轴正半轴上一点，过点作轴交反比例函数图象于点，连结，，当，的面积等于时，的值为______．
如图，在中，，，，为边上一点，将沿着过点的直线折叠，使得点落在边上，记，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）
计算：；
解分式方程：．
某班组织学生进行交通安全知识竞赛活动，竞赛成绩分为四个等级，根据竞赛成绩分别制作了条形统计图和扇形统计图请根据相关信息，解答下列问题：
求该班的学生总人数，并补全条形统计图；
求出扇形统计图中等级所对应的扇形圆心角度数；
已知等级的名学生中有名男生，名女生，现从这名学生中抽取两名同学参加校级竞赛，用树状图或列表法求出被抽到的两名学生恰好是一男一女的概率．
如图，在方格中，点，，在格点上，按要求画图：
在图中画出，使得，点为格点．
在图中画出，使得，点为格点．
图，图分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支撑点到箱底的距离，：：，于点，，请根据以上信息，解决下列问题：
求水平滑杆的长度；
求拉杆端点到水平滑杆的距离的值结果保留到参考数据：，，．
农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量千克与销售价格元千克之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格元千克
日销售量千克
请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；
农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
如图，点是圆直径延长线上的一点，切圆于点，点是圆上的一点，连接，，，，．
求证：；
若，，求的长．
定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．
【基础巩固】
如图，在等腰中，，为边上的高，已知上一点满足，，求______；
【尝试应用】
如图，等边三角形边长为，为高线上的点，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，连接，请你在此基础上继续探究求出等边三角形的“最近值”；
【拓展提高】
如图，在菱形中，过的中点作垂线交的延长线于点，连接、，已知，，求三角形“最近值”的平方．
如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点、分别是边、边上的动点，均不与端点重合，连接，把沿着动直线翻折，得到．
如图，当点的对应点落在上，且时，则______；
如图，点，连接交于点，直线交于点，当四边形为平行四边形时，
证明：；
求的长；
当点、在问题中的位置时，把绕点逆时针旋转度得到，设直线与轴、直线分别交于点、，当时，直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其．中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】
解：将用科学记数法表示为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】
【解析】解：、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算错误，符合题意；
D、，计算正确，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和合并同类项解答即可．
此题考查同底数幂的除法和乘法以及幂的乘方和合并同类项，关键是根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和合并同类项的法则解答．
5.【答案】
【解析】解：共有张卡片，其中写有号的有张，
从中任意摸出一张，摸到号卡片的概率是．
故选：．
根据概率公式直接求解即可．
此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】
【解析】解：需要添加的条件是；
理由如下：
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故选：．
由已知条件得出四边形是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形是菱形．
本题考查了菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：与，，三边分别切于，，点，
，，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据切线长定理求出，，，得出等边三角形，推出，根据，求出，求出，即可求出答案．
本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
8.【答案】
【解析】解：二次函数的解析式，
该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为．
，，为的图象上三个点，
且三点横坐标距离对称轴的距离远近顺序为：
、、，
三点纵坐标的大小关系为：．
故选：．
二次函数的抛物线开口向上，对称轴为根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】
【解析】解：由图象可得，
到达地终点时，乙车距离终点还有，故错误；
故障排除后，乙的速度为，
设故障排除前，乙的速度为，
则甲的速度为：，
，
解得，
即故障排除前，乙的速度为，故正确；
，
点的坐标为，
设线段所在直线的解析式，
，解得，
即线段所在直线的解析式，故正确；
，
当时，甲、乙两人之间相距，
，
当时，甲、乙两人之间相距，故错误；
故选：．
根据函数图象中的数据和题意，可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】
【解析】解：甲、乙、丙、丁共报名了个比赛，而且戊至少报名了个比赛，所以这五个人至少报名了个比赛：、、、这种比赛共被报名了人．所以至少被报名了人．因为共有个人，所以最多能被报名人，故这五种报纸最多被报名了人．戊只能是报名了种比赛，比赛有个人报名．
故选：．
利用已知条件，求出至少被多少人报名，可得结论．
本题考查推理与论证，解题的关键是判断出比赛至少被多少人报名，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：正十边形的一个外角为度．
利用正十边形的外角和是度，并且每个外角都相等，即可求出答案．
本题主要考查了正多边形的性质：正多边形的各个外角相等，外角和是度．
13.【答案】
【解析】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
14.【答案】或
【解析】解：如图，延长交于，连接，
，，
，，
在中，，
，
，
；
如图，，
，
，
综上所述：的值为或，
故答案为：或．
分为锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据垂径定理、勾股定理求出、，根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：作轴于点，交于点，
，，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，
，，
，，
∽，
，
，
的面积等于，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
作轴于点，交于点，由可得，设，则，可用含代数式表示出，，的长度关系，然后可得与的面积比，再由与的面积比可得的面积，进而求出与的长度比，从而求出的面积，进而求解．
本题考查反比例函数与三角形的结合，解题关键是熟练掌握反比例函数系数的几何意义，通过添加辅助线求解．
16.【答案】
【解析】解：设点的对称点，过点作交于，过点作交于，连接，
设，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
令，
，
当时，取最小值，此时，
当时，取最大值，此时，
，
故答案为：．
设点的对称点，过点作交于，过点作交于，连接，设，，分别求出，，在中，由勾股定理求出，令，则，针对的取值求出的最值即可求解．
本题考查折叠的性质，熟练掌握图形折叠的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【解析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及二次根式性质计算即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：该班的学生总人数为：人，
则等级的人数为：人，
补全条形统计图如下：
扇形统计图中等级所对应的扇形圆心角度数为：；
画树状图如图：
共有种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有种，
被抽到的两名学生恰好是一男一女的概率为．
【解析】由等级的人数除以所占百分比求出总人数，再求出等级的人数，补全条形统计图即可；
由乘以等级所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：如图，点或点即为所求作．
如图，点或点即为所求作．
【解析】根据要求作出图形答案不唯一．
利用圆内接四边形的性质，根据要求作出图形答案不唯一．
本题考查作图应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：于点，，
在中，，
，
：：，
；
如图，过作，交的延长线于，
，，
，
在中，，
．
【解析】根据三角函数解直角三角形即可得到结论；
过作交的延长线于，根据解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
21.【答案】解：假设与成一次函数关系，设函数关系式为，
则，
解得：，，
，
检验：当，；当，；当，，符合一次函数解析式，
所求的函数关系为；
设日销售利润
即，
，
当时，有最大值，最大值为，
故这批农产品的销售价格定为元，才能使日销售利润最大．
【解析】首先根据表中的数据，可猜想与是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
根据题意列出日销售利润与销售价格之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
22.【答案】证明：如图，连接，
切圆于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，作 于，
为 的直径，
，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
【解析】连接，由切线的性质和等腰三角形的性质得出得出，再由直角三角形的性质即可得出结论；
作 于，由圆周角定理和三角函数得出，，，由直角三角形的性质得出，由三角函数得出，，求出，即可得出结果．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的性质和三角函数是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
，，
；
故答案为：；
由题意可得：，，
为等边三角形，
，
，
、两点均为定点，
当、、、四点共线时，最小，
，，
，
此时点为等边的中心，
，
故等边三角形的“最近值”为；
如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
与均为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
设为上一点，由得：时，最小，
此时：，
，，
，
，
三角形“最近值”的平方为．
为含角直角三角形，可求出、的长度，进而得出结果．
为等边三角形，可得，故当、、、四点共线时，最小，进而可得，即可求出结果．
作于点，可知，进而可推出为等腰直角三角形，结合中的结论，当点满足：时，最小，进而结合中方法求出结果．
本题考查三角形与四边形综合问题，掌握费马点模型可帮助快速解题．
24.【答案】
【解析】解：沿着直线翻折，得到，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
是中点，
，
点，
，
四边形是矩形，
，
；
故答案为：；
证明：点的坐标为，
，
，
点，
，
，
由得：≌，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
；
设，则，
，
，
，
，即，
，
，
在中，，
，
解得：舍去，，
；
解：由得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，则，
，即，
设，则，，，
，，
，，
设直线的解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
过点作于点，于点，设直线交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，
，
点在直线上，
，
解得：，
．
当点在射线上时，如图，
设，则，，
直线解析式为，
设直线与轴交于点，则，
，，
过点作轴于点，作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
将代入，
得：，
解得：，
．
综上所述，或．
由翻折可得≌，再由，可得出，进而得出，根据四边形是矩形，即可求得答案；
由得：≌，可得出，再由四边形是平行四边形得出，即可得出；
由四边形是平行四边形得出，可得，由得，推出，得；设，则，由，可求得，，运用勾股定理即可求得答案；
分两种情况：当点在的延长线上时，过点作于点，则，设，可求得，，运用待定系数法求得直线的解析式为；过点作于点，于点，利用相似三角形性质和勾股定理可求得点，代入直线的解析式计算即可；
当点在射线上时，仿照的方法即可求得答案．
本题是几何变换综合题，考查了矩形性质，平行四边形性质，翻折变换的性质，旋转变换的性质，勾股定理，待定系数法，一次函数图象和性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，综合性强难度大；添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题关键．
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