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专题复习九----统计、统计案例及概率
§9.1 随机抽样
一、要点梳理
1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中____________抽取n个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时，总体内的各个个体被抽到的机会都________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：__________和______________．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体________；
(2)确定______________，对编号进行________，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)在第1段用__________________确定第一个个体编号l (l ≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号____________，再加k得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成____________的层，然后按照____________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由________________________组成时，往往选用分层抽样．
二、难点正本　疑点清源
1．简单随机抽样的特点
总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．
2．系统抽样的特点
适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
3．分层抽样的特点
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
三、基础自测
1．一支篮球队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则男、女运动员各抽取的人数为____．
2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
3．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法
为________________．
4．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别
为 (　　)
A．3,2 B．2,3 C．2,30 D．30,2
5．某高中在校学生2 000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：
高一
年级
高二
年级
高三
年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
Z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取 (　　)
A．36人 B．60人 C．24人 D．30人
四、题型分类 深度剖析
题型一　简单随机抽样
例1　第十六届亚洲运动会于2010年11月12日在广州举行，广州某大学为了支持亚运会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
探究提高：(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
变式训练1 有一批瓶装“山泉”牌矿泉水，编号为1,2,3，…，112，为调查该批矿泉水的质量问题，打算抽取10瓶入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？
题型二　系统抽样
例2　某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施．
探究提高：系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
变式训练2 一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数，
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
题型三　分层抽样
例3　某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
探究提高：分层抽样的操作步骤及特点
(1)操作步骤
①将总体按一定标准进行分层；
②计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；
③在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．
(2)特点
①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
②更充分地反映了总体的情况；
③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是.
变式训练3 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该在高________学生中剔除人，高一、高二、高三抽取的人数依次是______________．
五、解题思想方法示范（五审图表数据找规律）
试题：(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1 200
小计
160
320
480
1 040
2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
审题路线图　
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚，人数确定)
要以老、中、青分层，用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚、人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层、用分层抽样
要抽20人调查对广州亚运会举办情况了解
↓(可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当)
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2 000人)
人员较多，可采用系统抽样
规范解答
解：(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取， [1分]
抽取比例为＝. [2分]
故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人， [4分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取， [5分]
抽取比例为＝， [6分]
故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人． [8分]
(3)用系统抽样
对全部2 000人随机编号，号码从1～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本． [12分]
点评：(1)本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确．
(2)本题易错点是，对于第(2)问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层抽样.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，由定义应抓住以下特点：(1)它要求总体个数较少；(2)它是从总体中逐个抽取的；(3)它是一种不放回抽样．
2．系统抽样又称等距抽样，号码序列一确定，样本即确定了，但要求总体中不能含有一定的周期性，否则其样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．
3．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中的第一均衡部分，可采用简单随机抽样，分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样．
失误与防范
分析总体特征、选择合理的抽样方法．§9.1 随机抽样
A组　专项基础训练
一、选择题
1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 (　　)
　 A．6 B．8 C．10 D．12
2．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本的老年职工抽取人数为 (　　)
A．9 B．18 C．27 D．36
3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为 (　　)
A．50 B．60 C．70 D．80
4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270
关于上述样本的下列结论中，正确的是 (　　)
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
二、填空题
5．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为______．
6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与
m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
7．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是______________________________________．
三、解答题
8．某单位有职工550人，现为调查职工的健康状况，先决定将职工分成三类：青年人、
中年人、老年人，经统计后知青年人的人数恰是中年人的人数的两倍，而中年人的人数
比老年人的人数多50人．若采用分层抽样，从中抽取22人的样本，则青年人、中年人、
老年人应该分别抽取多少人？
B组　专项能力提升
一、选择题
1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种类之和是 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．用系统抽样法(按等距离的规则)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码
是 (　　)
A．7 B．5 C．4 D．3
3．(1)某学校为了了解2011年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．
Ⅰ.简单随机抽样法　 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．
问题与方法配对正确的是 (　　)
A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ
C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ
4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到 300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 (　　)
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
二、填空题
5．某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人．
6．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名
职工作样本，采用系统抽 样方法，按1～200编号
为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5
组抽取号码为22，第8组抽取号码为 .若采
用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取 人．
7．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与
m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
三、解答题
8．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人
20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确
定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
§9.1 随机抽样 答案
要点梳理
1．(1)逐个不放回地　相等 (2)抽签法　随机数法
2．(1)编号　(2)分段间隔k　分段 (3)简单随机抽样　(4)(l＋k)　(l＋2k)
3．(1)互不交叉　一定的比例 (2)差异明显的几个部分
基础自测
1．8、6　2.16 3．简单随机抽样　4.A　5.A
题型分类·深度剖析
例1　解　抽签法：
第一步：将60名志愿者编号，编号为1,2,3，…，60；
第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
随机数表法：
第一步：将60名志愿者编号，编号为01,02,03，…，60；
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的数7开始，向右读；
第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01～60中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12,58,07,44,39,52,38,33,21,34；
第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
变式训练1　解：　方法一　(抽签法)：把每瓶矿泉水都编上号码001,002,003，…，112，并制作112个号签，把112个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本．
方法二：　(随机数表法)：第一步，将原来的编号调整为001,002,003，…，112.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如：选第9行第7列的数3，向右读．
第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.
第四步，对应原来编号74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的瓶装矿泉水便是要抽取的对象．
例2　解：　(1)将每个人编一个号由0001至1003；
(2)利用简单随机抽样法找到3个号将这3名工人剔除；
(3)将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000；
(4)分段，取间隔k＝＝100，将总体平均分为10段，每段含100名工人；
(5)从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l；
(6)按编号将l,100＋l,200＋l，…，900＋l共10个号选出，
这10个号所对应的工人组成样本．
变式训练2　解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取的样本的10个号码依次为：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297；又抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90，所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
例3　解：　(1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为
a、b、c，则有＝47.5%，
＝10%，解得b＝50%，c＝10%，则a＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60(人)；
抽取的中年人数为200××50%＝75(人)；
抽取的老年人数为200××10%＝15(人)．
变式训练3　二　80、60、50
A组　专项基础训练
1．B　2．B　3．C　4．D　5．2 6．63 7．分层抽样、简单随机抽样
8．解　设该单位职工中老年人的人数为x，
则中年人的人数为x＋50，青年人的人数为2(x＋50)．
∴x＋x＋50＋2(x＋50)＝550，
∴x＝100，x＋50＝150,2(x＋50)＝300.
所以该单位有青年人300人、中年人150人、老年人100人．
由题意知抽样比例为＝，
所以青年人、中年人、老年人应分别抽取12人、6人、4人．
B组　专项能力提升
C　2．B　3．A　4．B　5．182 6．37　20 7．76
8．解　用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
(1)∵20∶100＝1∶5，
∴＝2，＝14，＝4，
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．
§9.2 用样本估计总体
一、要点梳理
1．频率分布直方图
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是___________________，另一种是用________________________________．
(2)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用________________________表示，各小长方形的面积总和等于______．
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着______________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为__________________，它能够更加精细的反映出________________________________________．
(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以
，而且__________________，给数据的________和________都带来方便．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在__________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
平均数：样本数据的算术平均数，即_______________________________.
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该________．
(2)样本方差、标准差
标准差s＝ ，
其中x n是样本数据的第n项，n是________，是______________________．
__________是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差________．通常用样本方差估计总体方差，当________________________________时，样本方差很接近总体方差．
二、难点正本　疑点清源
1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．
频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．
2．对标准差与方差的理解
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
三、基础自测
1．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为________．
2．已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a3．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.
4．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20),2；[20,30),
3；[30,40)，x；[40,50),5；[50,60),4；[60,70),2；则x＝________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的概率约为________．
5．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 (　　)
8
9
7
9
3
1
6
4
0
2
A．91.5和91.5　 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
四、题型分类 深度剖析
题型一　频率分布直方图的绘制与应用
例1　某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：
组别
频数
频率
145.5～149.5
8
0.16
149.5～153.5
6
0.12
153.5～157.5
14
0.28
157.5～161.5
10
0.20
161.5～165.5
8
0.16
165.5～169.5
m
n
合计
M
N
(1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值；
(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；
(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？
探究提高:　用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.
变式训练1 从全校参加科技知识竞赛的学生试卷
中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布．将样本分成
5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小
组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最右边一
组的频数是6. 请结合频率分布直方图提供的信息，解
答下列问题：
(1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表；
(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；
(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比．
题型二　茎叶图的应用
例2　某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：
甲：512　554　528　549　536　556　534　541　522　538
乙：515　558　521　543　532　559　536　548　527　531
(1)用茎叶图表示两学生的成绩；
(2)分别求两学生成绩的中位数和平均数．
探究提高:　(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．
(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据 的数字特征，进一步估计总体情况．
变式训练2 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,
430,434,443, 445,445,451,454
品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,
407,410,412,415,416,422,430
(1)作出数据的茎叶图；
(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
题型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3　甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
探究提高:　(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
(2)平均数、方差的公式推广
①若数据x1，x2，…，x n的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，m x n＋a的平均数是m＋a.
②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
a．s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]；
b．数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
c．数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
变式训练3甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算两组数据的平均数； (2)分别计算两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．
五、易错题（统计图表中概念不清、识图不准致误）
试题：(5分)如图所示是某公司(共有员工300人)2011年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有________人．
学生常误解为：　180
审题视角　(1)计算1.4万元～1.6万元之间的频率．(2)由频率和总人数求年薪在1.4万元～1.6万元之间的人数．
正确答案　72
批阅笔记：　解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10)×2＝0.60，从而得到员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.60＝180(人)的错误答案.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．
2．若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为
x1p1＋x2p2＋…＋xn p n；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则
ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.
失误与防范
1．不要把直方图错以为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度．连续随机变量在某一点上是没有频率的．
2．几种表示频率分布的方法的优点与不足：
(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．
(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．
(4)用茎叶图的优点是原有信息不会被抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．§9.2 用样本估计总体
A组　专项基础训练
一、选择题
1．如右图是某电视台综艺节目举办的挑战
主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎
叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数
据的平均数和方差分别为 (　　)
A．84, 4.84 B．84, 1.6 C．85, 4 D．85, 1.6
2．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是 (　　)
A．32 B．27 C．24 D．33
3．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为 (　　)
A．0.27,78 B．0.27,83 C．2.7,78 D．2.7,83
二、填空题
4．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
5．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．
6．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)
三、解答题
7．某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．
(1)求居民收入在[3 000,3 500)的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取多少人？
B组　专项能力提升
一、选择题
1．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用甲、乙表示，则下列结论正确的是 (　　)
A．甲>乙，且甲比乙成绩稳定 B．甲>乙，且乙比甲成绩稳定
C．甲<乙，且甲比乙成绩稳定 D．甲<乙，且乙比甲成绩稳定
2．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根
据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的
频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，
样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 (　　)
A．90 B．75 C．60 D．45
3．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝___ ___.
5．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
6．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________、________.
三、解答题
7．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：
[0,0.5),4；[0.5,1),8；[1,1.5),15；[1.5,2),22；[2,2.5),25；[2.5,3),14；[3,3.5),6；[3.5,4),4；[4,4.5),2.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
§9.2 用样本估计总体 答案
要点梳理
1．(1)样本的频率分布估计总体的分布　样本的数字特征估计总体的数字特征　(2)　各小长方形的面积　1　(3)样本容量 组数　总体密度曲线　总体在各个范围内取值的百分比　(4)保留所有信息　可以随时记录　 记录 　表示
2．(1)最多　最中间　(x1＋x2＋…＋xn)　相等　(2)样本容量　平均数　标准差 平方　样本容量接近总体容量
基础自测
1．5　2.c　　 3．3.2 　4.4　0.7　 5.A
题型分类·深度剖析
例1　解　(1)由题意M＝＝50，落在区间165.5～169.5内数据频数
m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，
频率为n＝0.08，总频率N＝1.00.
(2)频率分布直方图如下图：
(3)该所学校高一女生身高在149.5～165.5 cm之间的比例为
0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为
450×0.76＝342(人)．
变式训练1　解：　(1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为，，，，.设该样本容量为n，则＝，所以样本容量为n＝48.
(2)由以上得频率分布表如下：
成绩
频数
频率
[50.5,60.5)
3

[60.5,70.5)
9

[70.5,80.5)
18

[80.5,90.5)
12

[90.5,100.5)
6

合计
48
1
(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多，该组的频数和频率分别是18和.
(4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为×100%＝93.75%.
例2　解　(1)两学生成绩的茎叶图如图所示．
(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：
甲：512　522　528　534　536　538　541　549　554　556
乙：515　521　527　531　532　536　543　548　558　559
从以上排列可知甲学生成绩的中位数为＝537，
乙学生成绩的中位数为＝534.
甲学生成绩的平均数为500＋＝537，
乙学生成绩的平均数为500＋ ＝537.
变式训练2　解　(1)如下图
(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．
(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．
例3　解　(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分．
甲＝＝13，
乙＝＝13
s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)由s>s可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
变式训练3　解　(1)甲＝(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]可求得s2甲＝3.0(环2)，
s2乙＝1.2(环2)．
(3)由甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；
又∵s2甲>s2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．
A组　专项基础训练
1．D　2.D　3.A　4.0.030　3　5.160 6．300
7．解　(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.
(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，
0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，
0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，
0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，
∴样本数据的中位数为2 000＋＝2 000＋400＝2 400(元)．
(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，
则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取100×＝25(人)．
B组　专项能力提升
A　2．A　3．C　4. 5．4 6．10.5　10.5
7．解　(1)频率分布表
分组
频数
频率
[0,0.5)
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
合计
100
1
(2)频率分布直方图如图：
众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.
(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约是12%
的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．
§9.3 变量间的相关关系
一、要点梳理
1．两个变量的线性相关
(1)正相关
在散点图中，点散布在从__________到__________的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关
在散点图中，点散布在从__________到__________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在__________，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的________________________的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程
方程＝x＋ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据，，…，的回归方程，其中 ， 是待定参数．
= =
= .
二、难点正本　疑点清源
1．相关关系与函数关系的区别
相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
2．对回归分析的理解
回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法，它主要解决三个问题：
(1)确定两个变量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；
(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；
(3)求出线性回归方程．
三、基础自测
1．有一个同学家开了一个小卖部，卖出的热饮杯数与气温变化的回归方程为
＝－2.352x＋147.767，则当气温为2℃时，大约可卖出热饮的杯数为_____．
2．已知x、y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从所得的散点图分析，y与x线性相关，且 ＝0.95x＋ ，则 ＝________.
3．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程： ＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加______万元．
4．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x，则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是_____(填序号)．
5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35，那么表中t 的值为 （ ）
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
四、题型分类 深度剖析
题型一　利用散点图判断两个变量的相关关系
例1　山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)．
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
棉花产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出散点图；
(2)判断是否具有相关关系．
探究提高：　散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度．
变式训练1 在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如下表：
身高(cm)
143
156
159
172
165
171
177
161
164
160
体重(kg)
41
49
61
79
68
69
74
69
68
54
根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．
题型二　求线性回归方程
例2　某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下：
年收入
x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
年饮食支
出y(万元)
0.9
1.4
1.6
2.0
2.1
1.9
1.8
2.1
2.2
2.3
(1)根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出是否具有相关关系；
(2)若(1)具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．
探究提高：从本题可以看出，求线性回归方程，关键在于正确求出系数 ， ，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的线性回归方程才有意义．
变式训练2 在2011年春节期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量y与商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y关于商品的价格x的线性回归方程为____________．(参考公式：
＝， ＝－ )
题型三　利用线性回归方程对总体进行估计
例3　某种产品的宣传费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？
探究提高：利用线性回归方程可以对总体进行预测估计，线性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制的依据，依据自变量的取值估计和预报因变量的值，在现实生活中有广泛的应用．
变式训练3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
＝ x＋ ；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
五、解题思想方法示范（线性回归分析问题）
试题：(12分)一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有
缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
(1)对变量y与x进行相关性检验；
(2)如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留整数)
审题视角　(1)对变量y与x进行相关性检验；(2)在确定具有线性相关性的前提下，求线性回归方程；(3)利用线性回归方程进行相关分析．规范解答
解：　(1)＝12.5，＝8.25，xi y i＝438，
4 ＝412.5，x2i＝660，y2i＝291， [4分]
所以r＝＝
＝≈≈0.995.
因为r>0.75，所以y与x有很强的线性相关关系． [6分]
(2) ＝≈0.728 6，
 ＝－ ＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5，
∴所求线性回归方程为 ＝0.728 6x－0.857 5. [10分]
(3)要使 ≤10?0.728 6x－0.857 5≤10，
所以x≤14.901 9≈15.
所以机器的转速应控制在15转/秒以下． [12分]
答题模板
第一步：判断两个变量的线性相关性；
第二步：求线性回归方程的斜率和截距；
第三步：确定线性回归方程；
第四步：根据线性回归方程对随机变量作出预测；
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范．
批阅笔记：　(1)本题易错点有两个，一是忽略对变量间的相关性进行检验；二是计算易出错．
(2)如果不先作线性相关性检验，我们虽然也可以求出x与y的线性回归方程，但这时的线性回归方程也许没有任何实际价值，它也就不能确定地反映变量x与y之间的变化规律，只有在x与y之间具有相关关系时，求得的线性回归方程才具有实际意义。
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．求回归方程，关键在于正确求出系数 ， ，由于 ， 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为 ，常数项为 ，这与一次函数的习惯表示不同．)
2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．
失误与防范
1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
2．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
§9.3 变量间的相关关系
A组　专项基础训练
一、选择题
1．对变量x，y有观测数据 (i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u、v有观测数据 (i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断 (　　)
　
　　　 (1) (2)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是 (　　)
A. ＝－10x＋200 B. ＝10x＋200
C. ＝－10x－200 D. ＝10x－200
3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程 ＝ x＋ 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (　　)
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
二、填空题
4．人的身高与手的拃长存在相关关系，且满足 ＝0.303x－31.264(x为身高，y为拃长，单位：cm)，则当拃长为24.8 cm时，身高约为__________ cm.
5．某肉食鸡养殖小区某种病的发病鸡只数呈上升趋势，统计近4个月这种病的新发病鸡只数的线性回归分析如下表所示：
月份
(xi)
该月新发病
鸡只数(yi)
＝6.5，＝2 540.25，
＝ ＝94.7，
＝－ ＝1 924.7
5
2 400
6
2 491
7
2 586
8
2 684
如果不加控制，仍按这个趋势发展下去，请预测从9月初到12月底的4个月时间里，该养殖小区这种病的新发病鸡总数约为________只．
6．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程 ＝ x＋ 中 ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．
7．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：
温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回归直线的斜率 是__________．(结果保留两位小数)
三、解答题
8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩：
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．两个相关变量满足如下表：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
两变量的线性回归方程为 (　　)
A. ＝0.56x＋997.4 B. ＝0.63x－231.2
C. ＝50.2x＋501.4 D. ＝60.4x＋400.7
2．设，，…，是变量想x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是 (　　)
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线l过点(，)
3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为 ＝60＋90x，下列判断正确的是 (　　)
A．劳动生产率为1 000元时，工资为50元
B．劳动生产率提高1 000元时，工资提高150元
C．劳动生产率提高1 000元时，工资提高90元
D．劳动生产率为1 000元时，工资为90元
二、填空题
4．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销售量y(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程 ＝ x＋ 中的 ≈－2.气象部门预测下个月的月平均气温为6℃，则毛衣的销售量约为________件．
5．已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性相关关系，则其线性回归方程是______ __________．
6．(2011·广东)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
三、解答题
7．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
月份
产量(千件)
单位成本(元)
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68
且已知产量x与成本y具有线性相关关系．
(1)求出线性回归方程；
(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？
(3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？
8．现随机抽取了一个学校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次考试数学成绩y，得到如下数据：
学生
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
这10名学生的两次数学考试成绩具有线性相关关系，求出线性回归方程，并计算当
x＝118时，y的估计值．
§9.3 变量间的相关关系 答案
要点梳理
1．(1)左下角　右上角　(2)左上角　右下角　(3)一条直线附近
2．(1)距离的平方和最小
(2)  　 － 
基础自测
1．143　 2. 2.6　 3. 0.254　 4. ③　 5. A　
题型分类·深度剖析
例1　解　(1)散点图如图所示
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．
变式训练1　解　以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．
例2　解　(1)由题意知，年收入x为解释变量，年饮食支出y为预报变量，作散点图如图所示．
从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
(2)∵＝6，＝1.83，x＝406，xiyi＝117.7，∴ ＝≈0.172，
 ＝－ ＝1.83－0.172×6＝0.798.
从而得到线性回归方程为 ＝0.172x＋0.798.
变式训练2:　＝－3.2x＋40
例3　解　(1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：
(2)计算得：＝＝5，＝＝50，
x2i＝145，x iyi＝1 380.
于是可得 ＝＝＝6.5，
 ＝－ ＝50－6.5×5＝17.5，
因此，所求线性回归方程是 ＝6.5x＋17.5.
(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为10万元时，
 ＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，即这种产品的销售额大约为82.5万元．
变式训练3　解:　(1)散点图如下图：
(2)＝＝4.5， ＝＝3.5，
xi yi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x＝32＋42＋52＋62＝86，
∴ ＝＝＝0.7，
 ＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴所求的线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35.
(3)现在生产100吨甲产品用煤 ＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，
∴90－70.35＝19.65(吨)．
∴比技改前大约降低19.65吨标准煤．
A组　专项基础训练
1．C　 2.A　 3.B　 4．185.03　 5.11 676　 6.68　 7.0.88
8．解　(1)＝100＋＝100；
＝100＋＝100；
∴s＝＝142，∴s＝，
从而s>s，∴物理成绩更稳定．
(2)由于x与y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
 ＝＝＝0.5， ＝－ ＝100－0.5×100＝50，
∴线性回归方程为 ＝0.5x＋50.
当y＝115时，x＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．
B组　专项能力提升
1．A　 2. D　 3. C　 4. 46 5.  ＝x＋　 6. 185
7．解:　(1)n＝6，＝3.5，＝71，
x＝79，xi yi＝1 481，
 ＝＝≈－1.82，
 ＝－ ＝71＋1.82×3.5＝77.37，
∴线性回归方程为 ＝ ＋ x＝77.37－1.82x.
(2)因为单位成本平均变动 ＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数b的意义有：产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元．
(3)当产量为6 000件时，即x＝6，代入线性回归方程，得
 ＝77.37－1.82×6＝66.45(元)
∴当产量为6 000件时，单位成本大约为66.45元．
8．解:　由所给数据可求得：
＝(120＋108＋117＋…＋99＋108)＝107.8，
＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
x＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
y＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
xi yi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796.
 ＝＝≈1.309 9，
 ＝－ ≈68－1.309 9×107.8≈－73.207，
∴ ＝1.309 9x－73.207.
∴当x＝118时， ＝1.309 9×118－73.207≈81.361(分)．
§9.4 统计案例
一、要点梳理
1．回归分析
(1)定义：对具有____________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线＝x＋ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝________________， ＝____________.
其中＝____________，＝____________，__________称为样本点的中心．
(3)相关系数
①r＝＝；
②当r>0时，表明两个变量__________；
当r<0时，表明两个变量__________．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性________．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间________________________________．通常|r|大于________时，认为两个变量有很强的线性相关性．
(4)相关指数
R2＝________________________________.
R2的值越大，说明残差平方和________，也就是说模型的拟合效果________．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
2．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的______________，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的__________，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为和，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝____________________，其中n＝____________为样本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量________来判断“两个分类变量__________”的方法称为独立性检验．
二、难点正本　疑点清源
独立性检验是本节内容的重点．独立性检验的一般步骤为：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算K2的值；(3)比较K2与临界值的大小关系作统计推断．值得注意的是，使用K2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，所以，在选取样本容量时一定要注意．
三、基础自测
1．对于回归分析，下列说法错误的是 (　　)
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是 (　　)
A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25
3．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设一个回归方程 ＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归方程＝b x＋a必过(，)；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.
其中错误的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是 (　　)
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”四、题型分类 深度剖析
题型一　线性回归分析
例1　假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
已知x＝90，y＝140.8，xiyi＝112.3， ≈8.9，≈1.4.
(1)求，； (2)对x，y进行线性相关性检验；
(3)如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程；
(4)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
探究提高:　在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系．若它们之间具有相关关系，再求回归方程，否则，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．
变式训练1 许多因素都会影响贫穷，教育也是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的线性回归方程为 ＝0.8x＋4.6，斜率的估计值等于0.8说明____________________________________________________，成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数________(填“大于0”或“小于0”)．
题型二　独立性检验
例2　在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？
探究提高:　利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出等高条形图，但从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，它不能给出我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，若要作出精确的判断，应该进行独立性检验的有关计算．作图时应注意单位统一、图形准确．
变式训练2 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：下图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；
(2)根据以上数据完成2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
50岁以上
合计
(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．
附：K2＝
下表
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题型三　独立性检验的综合应用
例3　为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
　　　 性别
是否需要志愿者　
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
探究提高:　(1)根据样本估计总体是抽样分析的一个重要内容．要使估计的结论更加准确，抽样取得的样本很关键．
(2)根据独立性检验知，需要提供服务的老人与性别有关，因此在调查时，采取男、女分层抽样的方法更好，从而看出独立性检验的作用．
变式训练3为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
5
女生
10
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
五、解题思想方法示范（统计中的数形结合思想）
试题：(12分)下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量　15　20　25　30　35　40　45
水稻产量　320 330 360 410 460 470 480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？
审题视角　(1)分析观测数据、制图．(2)分析散点图，给出结果．
规范解答
解:　(1)散点图如下：
[6分]
(2)①从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．②不会，水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长． [12分]
批阅笔记:　(1)在统计中，用样本的频率分布表、频率分布直方图、统计图表中的茎叶图、折线图、条形图，去估计总体的相关问题，以及用散点图判断相关变量的相关性等都体现了数与形的完美结合．借助于形的直观，去统计数据，分析数据，无不体现了数形结合的思想．(2)本题利用散点图分析两变量间的相关关系，充分体现了数形结合思想的应用．(3)本题易错点为：散点图画的不准确，导致判断错误.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求r，R2，再作判断即可．
2．独立性检验没有直观性，必须依靠K2的观测值k作判断．
失误与防范
1．r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据．
2．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2<2.706应判断为没有充分证据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断．
§9.4 统计案例
A组　专项基础训练
一、选择题
1．若回归方程中的回归系数 ＝0时，则相关系数为 (　　)
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定
2．相关系数度量 (　　)
A．两个变量之间线性相关关系的强度 B．散点图是否显示有意义的模型
C．两个变量之间是否存在因果关系 D．两个变量之间是否存在关系
3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 (　　)
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A．① B．①③ C．③ D．②
4．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力 (　　)
A．平均数与方差 B．线性回归方程
C．独立性检验 D．概率
二、填空题
5．①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上．
上面是关于相关系数r的几种说法，其中正确的序号是________．
6．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到k＝≈4.844.
则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
7．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表的数据，可以有________的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重
不超重
合计
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
合计
7
13
20
独立性检验界值表
P(K2≥k0)
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验随机变量K2值的计算公式：K2＝.
三、解答题
8．对某校学生进行心理障碍测试，得到如下列联表.
焦虑
说谎
懒惰
总计
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
B组　专项能力提升
一、选择题
1．(2011·江西)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)
A．r2C．r2<02．以下四个命题，其中正确的是 (　　)
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 ；
③在线性回归方程 ＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.2个单位；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
3．若变量y与x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间(　　)
A．不具有线性相关关系 B．具有线性相关关系
C．它们的线性相关关系还要进一步确定 D．不确定
二、填空题
4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)．
5．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过
心脏病
未发作过
心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算K2≈____________(保留两位小数)，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别_________________________________________________
__________________________.
6．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
①p∧綈q； ②綈p∧q； ③(綈p∧綈q)∧(r∨s)； ④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
三、解答题
7．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加
班级工作
不太主动参
加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．
§9.4 统计案例 答案
要点梳理
1．(1)相关关系　(2)　 － 　xi　yi　(，)
(3)②正相关　负相关　越强　几乎不存在线性相关关系　0.75　(4)1－　越小　越好
2．(1)不同类别　(2)频数表 　a＋b＋c＋d (3)K2　有关系
基础自测 1．D　 2.A 　3.C　 4.A
题型分类·深度剖析
例1　解　(1)＝＝4，
＝＝5.
(2)xiyi－5 ＝112.3－5×4×5＝12.3，
x－52＝90－5×42＝10，
y－52＝140.8－125＝15.8，
∴r＝＝≈0.979.
∵r>0.75，
所以认为x与y之间具有线性相关关系，求线性回归方程是有意义的．
(3) ＝＝＝1.23，
 ＝－ ＝5－1.23×4＝0.08，
所以线性回归方程为 ＝1.23x＋0.08.
(4)当x＝10时， ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．
变式训练1　一个地区受9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右　大于0
例2　解:　根据题目所给的数据作出如下的列联表：
色盲
不色盲
总计
男
38
442
480
女
6
514
520
总计
44
956
1 000
根据列联表作出相应的等高条形图，如图所示．
从等高条形图来看，男性患色盲的频率要高一些，因此直观上可以认为色盲与性别有关．
根据列联表中所给的数据可以有
a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋b＝480，c＋d＝520，
a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1 000，
代入公式K2＝，
得K2＝≈27.1.
由于K2＝27.1>10.828，所以我们有99.9%的把握认为性别与患色盲有关．
这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效．
变式训练2　解:　(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．
(2)如表所示.
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
(3)K2＝＝＝10>6.635.
∴有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
例3　解　(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%.
(2)K2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
变式训练3　解:　(1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
(2)∵K2＝≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
(3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，(A4，B1，C1)，(A4，B1，C2)，(A4，B2，C1)，(A4，B2，C2)，(A4，B3，C1)，(A4，B3，C2)，(A5，B1，C1)，(A5，B1，C2)，(A5，B2，C1)，(A5，B2，C2)，(A5，B3，C1)，(A5，B3，C2)，
基本事件的总数为30.
用M表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，(A4，B1，C1)，(A5，B1，C1)共5个基本事件组成，所以P()＝＝.
由对立事件的概率公式得
P(M)＝1－P()＝1－＝.
A组　专项基础训练
1．C　2.A　3.C　4.C 5．①③ 6．5% 7．97.5%
8．解　对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量K21，K22，K23.
由表中数据可得
K21＝≈0.863<2.706，
K22＝≈6.366>5.024，
K23＝≈1.410<2.706.
所以没有充分的证据显示焦虑与性别有关，有97.5%的把握认为说谎与性别有关，没有充分的证据显示懒惰与性别有关．
B组　专项能力提升
1．C　2.D　3．B　4．有关 5．1.78　不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 6．①④
7．解　(1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24(人)，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝＝，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P2＝.
(2)由K2统计量的计算公式得
K2＝≈11.538，
由于11.538>10.828，所以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．
§9.5 随机事件的概率
一、要点梳理
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的____________．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的________________．
(3)________________________________统称为确定事件．
(4)________________________________的事件，叫做随机事件．
(5)_____________和_________统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的________fn(A)稳定在某个__________上，把这个________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B________事件A(；或称事件A包含
于事件B)
________
(或A?B)
相等关系
若B?A且A?B
________
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的________(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当__________且__________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B
互斥
A∩B＝?
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：__________. (2)必然事件的概率P(E)＝______.
(3)不可能事件的概率P(F)＝______.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________________________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)____________________________
二、难点正本　疑点清源
1．随机事件和随机试验是两个不同的概念
在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．
2．对概率定义的进一步理解
(1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．
(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．
(3)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法．
3．互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
三、基础自测
1．(1)在标准大气压下，把水加热到100℃，沸腾；(2)导体通电，发热；
(3)同性电荷，互相吸引； (4)实心铁块丢入水中，铁块浮起；
(5)买一张福利彩票，中奖； (6)掷一枚硬币，正面朝上．
上述事件中是确定性事件的是__________，是随机事件的是________．
2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．
3．给出下列三个命题，其中正确命题有________ 个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9
四、题型分类 深度剖析
题型一　事件的分类与事件关系的判断
例1　一口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任取两球．记“取到一白一黑”为事件A1，“取到两白球”为事件A2，“取到两黑球”为事件A3.
解答下列问题：
(1)记“取到2个黄球”为事件M，判断事件M是什么事件？
(2)记“取到至少1个白球”为事件A，试分析A与A1、A2、A3的关系．
探究提高:　在分析事件的关系时，要特别注意试验前提，关注“试验”和“事件”是解决概率问题的关键．
变式训练1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.
题型二　随机事件的频率与概率
例2　某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环次数m
8
19
44
93
178
453
击中10环频率
(1)计算表中击中10环的各个频率；
(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
探究提高:　利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率．
变式训练2 某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
抽取球数n
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数m
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
题型三　互斥事件、对立事件的概率
例3　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张
奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
探究提高:(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
变式训练3 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次
(1)射中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
五、易错题(忽略概率加法公式的前提条件致误)
试题：(12分)抛掷一枚骰子，事件A表示“朝上一面的点数是奇数”，事件B表示“朝上一面的点数不超过2”．
求：(1)P(A)；(2)P(B)；(3)P(A∪B)．
学生易错解为：（3）P(A∪B)= P(A)+ P(B)=
审题视角　(1)基本事件总数为6，事件A包括3个基本事件，事件B包括2个基本事件．(2)事件A与事件B并不互斥，事件A∪B包括4个基本事件．
规范解答
解：　基本事件总数为6个． [2分]
(1)事件A包括出现1,3,5，共三个基本事件，
∴P(A)＝＝. [4分]
(2)事件B包括出现1,2，共两个基本事件，
∴P(B)＝＝. [8分]
(3)事件A∪B包括出现1,2,3,5，共四个基本事件，
∴P(A∪B)＝＝. [12分]
批阅笔记：　(1)本题重点考查了随机事件的概率，尤其是事件间的关系．(2)本题易错原因是学生错用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)来解决，因为这个公式的前提条件是A、B彼此互斥，而本题中的事件A、B并不互斥．所以在应用公式时，要特别注意是否具备应用公式的条件.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．
2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.
3．随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．
4．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解．
失误与防范
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”语句的含义．
§9.5 随机事件的概率
A组　专项基础训练
一、选择题
1．从1,2，…，9中任取2个数，其中
①恰有1个是偶数和恰有1个是奇数；②至少有1个是奇数和2个都是奇数；③至少有1个是奇数和2个都是偶数；④至少有1个是奇数和至少有1个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是 (　　)
　　A．① B．②④ C．③ D．①③
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 (　　)
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
3．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为 (　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.8 D．0.7
二、填空题
4．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________和________．
5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．
6．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
三、解答题
7．射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
8．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率；
(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？
B组　专项能力提升
一、选择题
1．袋中有红色、黄色、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么 (　　)
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是 (　　)
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
二、填空题
4．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率
为________．
5．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有______个．
6．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外
兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个
成员，一些成员参加了不止一个小组，具
体情况如图所示． 现随机选取一个成员，
他属于至少2个小组的概率是 ，他
属于不超过2个小组的概率是 .
7．甲盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，乙盒子中装有5个编号分别为1,2,3,4,5的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出两个小球编号之积为奇数的概率为________．
三、解答题
8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
§9.5 随机事件的概率 答案
要点梳理
1．(1)必然事件　(2)不可能事件　(3)必然事件与不可能事件　(4)在条件S下可能发生也可能不发生　(5)确定事件　随机事件
2．(1)　(2)频率　 常数　 常数
3．包含　B?A　A＝B　并事件　事件A发生　事件B发生
4．(1)0≤P(A)≤1　 (2)1　 (3)0 (4)①P(A)＋P(B)　②1－P(B)
基础自测
1．(1)(2)(3)(4)　 (5)(6)　 2.　 3.0　 4.A
题型分类·深度剖析
例1　解：　(1)事件M不可能发生，故为不可能事件．
(2)事件A1或A2发生，则事件A必发生，故A1?A，A2?A，且A＝A1＋A2.又A∩A3为不可能事件，A∪A3为必然事件，故A与A3对立．
变式训练1　解　(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
例2　解：　(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.
(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.
变式训练2　解：　(1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
例3　解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，
则M＝A∪B∪C.
∵A、B、C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
变式训练3　解：　记事件“射击一次，命中k环”为A k (k ∈N，k≤10)，则事件A k彼此互斥．
(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得
P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.
(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得
P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”．
∴P()＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
A组　专项基础训练
1．C　2．D　3.D 4．0.97　 0.03 5.  6. 　 
7．解　(1)记：“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中 ，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为
A＋B.
故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
(2)记“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件．
∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03. 所以不够7环的概率为0.03.
8．解　(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．
故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.
(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，
1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，
故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．
B组　专项能力提升
1．B　[P＝＝.] 2．B　3．D　4．0.225 5．15 6.　 7.
8．解　分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，根据已知得到
解得
∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.
§9.6 古典概型
一、要点梳理
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成______________的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件______________．
(2)每个基本事件出现的可能性________．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是______；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝______.
4．古典概型的概率公式
P(A)＝________________________.
二、难点正本　疑点清源
对古典概型的理解
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．
2．古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．
3．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．
故P(A)＝＝.
三、基础自测
1．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是________．
2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为________．
3．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率
是________．
4．(2011·新课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
5．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
四、题型分类 深度剖析
题型一　基本事件及事件的构成
例1　有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数， y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”；
(3)事件“出现点数相等”．
探究提高：解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．
变式训练1 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；
(2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．
题型二　古典概型的概率问题
例2　现有8名世博会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、
B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
探究提高：解决古典概型的关键是：列出所有的基本事件，并且确定构成事件的基本事件．第(2)问既可以转化为求事件和的概率，也可以运用对立事件求解．一般涉及“至多”、“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑求其对立事件的概率，从而简化运算．
变式训练2 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
题型三　古典概型概率的综合应用
例3　某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次
为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
探究提高：在古典概型条件下，当基本事件总数为n时，每一个基本事件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m，再由古典概型概率公式P(A)＝求出事件A的概率．
变式训练3 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
五、解题思想方法示范（注意细节，完善过程）
试题：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n审题路线图
(1)基本事件为取两个球
↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)
把取两个球的所有结果列举出来
↓
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓两球编号之和不大于4
(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)
↓{1,2}，{1,3}
利用古典概型概率公式P＝＝
(2)两球分两次取，且有放回
↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)
基本事件的总数可用列举法表示
↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)
n↓计算n≥ m＋2的概率
↓n≥ m＋2的所有情况为(1,3)(1,4)(2,4)
↓P1＝
↓
n规范解答
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．
因此所求事件的概率P＝＝. [6分]
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，
(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． [8分]
又满足条件n≥ m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥ m＋2的事件的概率为P1＝. [10分]
故满足条件n点评：(1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问注意，两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．
(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
2．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
失误与防范
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝?时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
§9.6 古典概型
A组　专项基础训练
一、选择题
1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率为 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
5．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．
三、解答题
7．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
8．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数之和为5的概率；
(2)两数中至少有一个奇数的概率；
(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15内部的概率．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 (　　)
A. B. C. D．1
2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
4．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，
Q={-2，-1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，则函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数的概率为________．
5．如图在平行四边形ABCD中，O是AC与BD
的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD
的中点．在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、
N、D中任取一点记为F.设G为满足向量=+的点，
则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形
ABCD外(不含边界)的概率为 .
6．若集合A＝{a|a≤100，a＝3k，k ∈N*}，集合B＝{b|b≤100，b＝2k，k ∈N*}，在A∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A∩B中的概率为________．
三、解答题
7．在3件产品中，有2件正品，记为a1，a2，有1件次品，记为b1，从中任取2件，每次取1件产品．
(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取出后再放回，求两次取出的产品中恰有一次是次品的概率．
8．为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；
(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．
§9.6 古典概型 答案
要点梳理
1．(1)互斥　(2)基本事件 2．(1)只有有限个　(2)相等
3.  　　 4. 
基础自测
1. 　 2. 　 3. 　 4. A　 5. C
题型分类·深度剖析
例1　解　(1)这个试验的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
变式训练1　解：　(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b1，
则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个，
a1a1b1a2　　a2a1b1a2　　b1a1b1a2
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)共4个基本事件；
②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a1，b1)，(a2，b1)，
(b1，a1)，(b1，a2)共4个基本事件．
(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率为P＝.
例2　解：　(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件集合Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个基本事件组成，所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
变式训练2　解：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．
所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，
(D，F)，(E，F)，共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.
例3　解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，
所以c＝＝0.1. 从而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．
又基本事件的总数为10，
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
变式训练3　解：
(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2==.
A组　专项基础训练
1．D　 2.C　 3.D　 4.　 5.　 6. 
7．解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、
(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、
(黑、黑、黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，即事件A包含的基本事件数为3，由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝.
8．解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．
(1)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(A)＝＝.
答两数之和为5的概率为.
(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，两数均为偶数包含9个基本条件：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)．
所以P(B)＝1－＝.
答两数中至少有一个奇数的概率为.
(3)基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C包含8个．基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
所以P(C)＝＝.
答点(x，y)在圆x2＋y2＝15内部的概率为.
B组　专项能力提升
1．C　2.D　3.D 4.　5.　6.
7．解：(1)取后不放回，所有可能结果组成的基本事件为：(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，取出的两件中，恰有一件次品的事件包括：(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，所以P(A)＝＝.
(2)每次取后放回，所有可能结果为：(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(a1，a1)，(a2，a2)，(b1，b1)，两件中恰好只有一件是次品的事件B包括：(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，
所以P(B)＝.
8．解：　(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8种，
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝.
(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6)，则其概率为
P(B)＝，又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝，
故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P＝＋＝.
§9.7 几何概型
一、要点梳理
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(_____或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为____________．
2．几何概型中，事件A的概率计算公式
P(A)＝_____________________________________________________.
3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
4．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．
5．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
二、难点正本　疑点清源
1．古典概型与几何概型的异同点
几何概型与古典概型是最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．
2．解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”．几何概型问题易错的根本原因是找不准“测度”．
三、基础自测
1．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区
域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为
，则阴影区域的面积为 .
2．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．
3．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．
4．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩
形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的
概率等于(　　)
A. B. C. D.
5．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为 (　　)
A. B. π C. D. π
四、题型分类 深度剖析
题型一　与长度有关的几何概型
例1　有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
探究提高：从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样．而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
变式训练1 在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
题型二　与面积有关的几何概型
例2　在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出数对(x，y)的概率．
探究提高：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：
P(A)＝.
变式训练2 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
题型三　与角度有关的几何概型
例3　如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以
A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任
作射线AP，求射线AP与线段BC有公共点的概率．
探究提高：几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角
度为“测度”．因为射线AD落在∠DAB内的任意位置是等可能的，所以选择“角度”为“测度”是解决本题的关键．
变式训练3 如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，
∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM
交BC于点M，求BM<1的概率．
五、解题思想方法示范（.转化与化归思想在几何概型中的应用）
试题：(12分)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
审题视角　(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间．在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．(2)两人能会面的时间必须满足：|x－y|≤15.这就将问题化归为几何概型问题．
规范解答
解：　以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定
地点的时间，则两人能够会面的充要条件是
|x-y|≤15. [4分]
在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结
果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会
面”的可能结果由图中的阴影部分表示． [8分]
由几何概型的概率公式得：
P(A)＝＝＝＝. [11分]
所以，两人能会面的概率是. [12分]
批阅笔记：(1)本题的难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题．
(2)本题错误的主要原因，是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．
2．几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技巧，必须熟练掌握．
失误与防范
1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
§9.7 几何概型
A组　专项基础训练
一、选择题
1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 (　　)
　A. B．1－ C. D．1－
2．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5，5]，使f(x0)≤0的概率是(　　)
A．1 B. C. D.
3．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin 的值介于－与之间的概率为 (　　)
A. B. C. D.
4．蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
5．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________．
6．设p在[0,5]上随机地取值，则方程x2＋p x＋＋＝0有实根的概率为________．
7．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．
三、解答题
8．抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．如图所示，设M是半径为R的圆周上一
个定点，在圆周上等可能地任取一点N，
连接MN，则弦MN的长超过R的概率为 (　　)
A. B. C. D.
2．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
4．已知区域Ω＝{(x，y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－y≥0，x≤5，y≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)＝________.
5．已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得VP—ABC<VS—ABC的概率是________．
6．如图所示，在单位圆O的某一直径上随
机的取一点Q，则过点Q且与该直径垂
直的弦长长度不超过1的概率是________．
三、解答题
7．已知关于x的一次函数y＝m x＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝m x＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件，求函数y＝m x＋n的图像经过第一、二、 三象限的概率．
8．设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段，
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．
§9.7 几何概型 答案
要点梳理
1．长度　面积　体积　几何概型
2.
基础自测
1. 　 2. 　 3.  4．C 　5．D　
题型分类·深度剖析
例1　解：　记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，
所以P(A)＝＝＝0.4.
变式训练1 　
例2　解：　由题意，求输出的数对(x，y)的概率，
即求x2＋y2≤所表示的平面区域与不等式组
所表示的平面区域面积的比．
如图所示，所求概率P(A)＝＝.
变式训练2　解：　设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
所以所求的概率为P(A)＝＝.
例3　解：　因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域D是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域d为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
变式训练3　解：　∵∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝75°，
在Rt △ADB中，AD＝，∠B＝60°，
∴BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式得P(N)＝＝.
A组　专项基础训练
1．B　 2.C　 3.D　 4.D　 5.  6.  7．(1)5　 (2)
8．解：　(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有
(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、
(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C
内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，
∴所求概率为P=.
(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，
∴所求概率为P＝＝.
B组　专项能力提升
1．D 　2．D　 3．C　 4.  5.  6．1－
7．解：　(1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝＝.
(2) m、n满足条件
的区域如图所示．
要使函数的图像过第一、二、三象限，则m>0，n>0，故使函数图像过第一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P＝＝.
8．解：　(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝.
(2)设其中两条线段长度分别为x、y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为
，即，
所表示的平面区域为△OAB.
若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，
则还要满足，
即为，
所表示的平面区域为△DEF，
由几何概型知，所求概率为P＝＝.
专题九 统计、统计案例及概率综合测试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案直接填写到答题卡相应位置）
1．下列说法不正确的是 ( )
A．不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1
B．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0，8
C．“直线过点(-1，0)”是必然事件
D．先后抛掷两枚大小一样的硬币，两枚都出现反面的概率是
2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A．46，45，56 B．46，45，53
C．47，45，56 D．45，47，53
3．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相等）的
散点图中，若所有样本点（xi，y i）（i=1,2,…,n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据
的样本相关系数为 （ ）
A．－1 B．0 C． D．1
4.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为 （ ）
A．32 B．0.2 C．40 D．0.25
5.对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断 （ ）
A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
6. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 （ ）
A． B．
C． D．
7．甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射一次，那么等于 (　　)
A．甲、乙都击中靶心的概率 B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率
C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率 D．甲、乙不全击中靶心的概率
8 ．（2012安徽文）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 （　　）
A． B． C． D．
9．右图是某小组在一次测验中的数学成绩的茎叶图，
则中位数是 （　　）
A．81　　 B．82　　
C．83 D．87
10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 （ ）
A． B． C． D．
11．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，
960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号
落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做
问卷．则抽到的人中，做问卷的人数为 （ ）
A．7 B．9 C．10 D．15
12.（2012.四川理）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18
[27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是 ( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
13．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为___________.
14．下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为，，，，，．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为 .
15．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ；
16.（2012辽宁理）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.
17.【2012北京海淀区期末文】甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.
18．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是；③他至少击中目标1次的概率是.其中正确结论的序号是___________。（写出所有正确结论的序号）.
答题卡
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
题号
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13． ； 14. ；
15. ； 16. ；
17. ； 18. .
三、解答题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.
20．某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(Ⅲ)若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在之外的人数.
分数段
21．（2012北京文）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.
(注:方差,其中为的平均数)

22．有一枚正方体骰子，六个面分别写1.2.3.4.5.6的数字，规定“抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后，面向上的那一个数字”。已知b和c是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数=。
(1) 若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，使函数有零点的概率；
(2) 求函数在区间（—3，+∞）是增函数的概率
23.在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：
（Ⅰ）选择题得60分的概率；
（Ⅱ）选择题所得分数的数学期望
专题九 统计、统计案例及概率综合测试题 答案
一、选择题 DADAC CDBCA CB
二、填空题
13. 160 14. 9 15. 16. 0.254 17.乙， 乙 18. ①③
三、解答题
19.解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，
丙乙甲”.
（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，事件包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，则 .
所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
（Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件，事件包含的基本事件
有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则
所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为.
20.解：(Ⅰ)由,解得.
(Ⅱ).
(Ⅲ)这100位学生语文成绩在、、、的分别有5人、40人、30人、20人,按照表中所给比例,数学成绩在、、、的分别有5人、20人、40人、25人,共90人,所以数学成绩在之外的人数有10人.
21.解：
(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
=
(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确.
事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(),约为.所以P(A)约为1-0.7=0,3.
(3)当,时,取得最大值.因为,
所以.
22.解：（1）记“函数=有零点”为事件A
由题意知：，基本事件总数为：（3，1）.（3，2）.(3，3）.
（3，4）.（3，5）.（3，6）共6个
∵函数=有零点， ∴方程有实数根
即 ∴ ∴
即事件“函数=有零点”包含2个基本事件
故函数=有零点的概率P（A）=
(2）由题意可知：数对表示的基本事件：（1，1）.（1，2）.（1，3）.（1，4）.（1，5）.（1，6）.（2，1）……（6，5）.（6，6），所以基本事件总数为36。
记“函数在区间（—3，+∞）是增函数”为事件B。由抛物线的开口向上，使函数在区间（—3，+∞）是增函数，只需 ∴
∴
所以事件B包含的基本事件个数为1×6=6个
∴函数在区间（—3，+∞）是增函数的概率P（B）=
23.解：（1）得60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，所以得分为60分的概率为：

（2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝.
得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，所以概率为
得分为50分的概率为：

同理求得得分为55分的概率为： 得分为60分的概率为：
所以得分的分布列为
45
50
55
60
数学期望

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