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8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积练习题
一、选择题
1.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(　　)
A. B.1
C.2 D.3
3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　)
A.5π B.6π
C.20π D.10π
4.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(　　)
A.πR3 B.πR3
C.πR3 D.πR3
5.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为(　　)
A.153π B.160π
C.169π D.360π
6.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为(　　)
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
二、填空题
7.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
8一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.
9.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.
10.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________，表面积等于________.
11.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.
三、解答题
12.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积.
13.在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？
14如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，求圆锥的侧面积和球的表面积之比.
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积练习题
参考答案
1答案　A
解析　由题意知V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3.
2答案　D
解析　设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.
3答案　D
解析　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
4答案　A
解析　设圆锥底面圆的半径为r，高为h，
则有2πr＝πR，∴r＝R.
又圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝＝R，故体积V＝πr2h＝πR3.
5答案　C
解析　由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝＝，所以球O的表面积
S＝4π×＝169π.
6答案　B
解析　设球的半径为r cm，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于高度为6r cm的圆柱体的体积，∴3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.
7答案　
解析　设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
8答案　2∶1
解析　S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π＋π··a＝πa2，
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
9答案　14π
解析　球的直径是长方体的体对角线，所以2R＝＝，S＝4πR2＝14π.
10答案　20 cm　224π cm2
解析　设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.
又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.
根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，
∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm).
圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).
11答案　
解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有∴
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，
球心到底面的距离d＝.
∴外接球的半径R＝＝1，∴V球＝.
12解　如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，
则在Rt△AOF中，
(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
∴该球的表面积为
4πr2＝4π×＝π.
13解　由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图
所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，
且BD＝＝，
两个圆锥的高分别为AD和DC，
所以V＝V1＋V2＝πBD2·AD＋πBD2·CD
＝πBD2·(AD＋CD)＝πBD2·AC
＝π××5＝π.
故所形成的几何体的体积是π.
14解　如图，△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O，
由题意知AD＝3OE，
则OA＝2OE，
设OE＝r，则OA＝2r，AD＝3r，
在Rt△AEO中，sin∠EAO＝，
又∵0°<∠EAO<90°，
∴∠EAO＝30°.
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝＝，
BD＝r.
则AB＝＝＝2r，
圆锥的侧面积为π×BD×AB＝6πr2，
球的表面积为4πr2，
∴所求的比值为6πr2∶4πr2＝3∶2.

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