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第18章 平行四边形
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.21·世纪*教育网
3. 掌握三角形中位线定理.
【考点总结】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
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（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点二、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
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3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点三、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
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（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点四、正方形
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1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【例题讲解】
类型一、平行四边形
例1 如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．21世纪教育网版权所有
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
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【答案与解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质和AA ( http: / / www.21cnjy.com )S证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；
（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．21教育网
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE=∠ODF．
在△OBE与△ODF中，
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO=DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．
∴AE=GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°．
∴DG=DO，
∴OF=FG=1，
由（1）可知，OE=OF=1，
∴GE=OE+OF+FG=3，
∴AE=3．www.21-cn-jy.com
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质、全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
【训练】已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．【出处：21教育名师】
（1）如图1，若，AF=，求DG的长；
（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM=2DG．
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【答案与解析】
（1）设EF=x，DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD，根据勾股定理求出x，在△ADF中，根据三角形面积公式求出即可；www-2-1-cnjy-com
（2）过D点作DK⊥DM交AC于点K，求出为等腰直角三角形，求出MK=2DG即可．
（1）解：设EF=x，
，
DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD
在Rt中，AD2+DF2=AF2，
，
∵x＞0，
∴x=1，
∴EF=1，DF=2，AD=3，
∴由三角形面积公式得：
即
（2）证明：过D点作DK⊥DM交AC于点K，
∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，
又∵∠4=∠EFM，
∴∠3=∠5，
在△ADK和△EDM中
，
∴（ASA），
∴DK=DM，AK=EM，
∴为等腰直角三角形，
∵DG⊥AC，
∴MK=2DG，
∴AM﹣EM=AM﹣AK=MK=2DG．
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【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．【版权所有：21教育】
例2、如图，已知，在中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，连结AE．21教育名师原创作品
（1）求证：AF＝CE．
（2）连结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：．
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【答案与解析】
（1）先根据线段中点的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；21*cnjy*com
（2）如图（见解析），先根据平行四边形的判定与性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得证．
（1）证明：点D是边AC的中点，
，
，
，
在和中，，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
，
，
，
．
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【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．21cnjy.com
【训练】已知：如图，在中，延长至点，使得，连接，交边于点．连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求证：四边形是矩形．
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【答案与解析】
（1）根据题意可得到，从而再证明即可得出结论；
（2）结合（1）的结论可以得到，，再根据推出，从而得到即可得出结论．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴当时，则有，
∴，，
∴四边形是矩形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．
类型二、矩形
例3、如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．
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（1）试判断的形状，并说明理由．
（2）若，，求AE的长．
【思路点拨】
（1）根据折叠的性质可知，又因为，可知，即推出，所以，为等腰三角形．
（2）设，则，在中根据勾股定理列出等式，解出x即可．
【答案与解析】
（1）是等腰三角形，理由如下：
由折叠得：，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：设，则，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
【总结升华】
本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出是解答本题的关键．2·1·c·n·j·y
【训练】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB ＝ 3，BC ＝ 5，则重叠部分△DEF的面积是__________．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】5.1.
提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝，DF＝5－，在Rt△DFC中，，解得＝，BF＝DE＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1.2-1-c-n-j-y
类型三、菱形
例4．如图，在菱形中，为对角线上一点，且，连接．
（1）求证：．
（2）当于点，时，求菱形的边长．
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【分析】
（1）根据SAS证明△ADE≌△CDE，从而得到AE＝CE，再根据AE＝DE，再得出结论；
（2）连接AC交BD于H，由菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质可得AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，利用直角三角形的性质可求解即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CD，
又∵AE=DE，
∴；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE═ED=1，
∴∠DAE=∠EDA，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，
∴BE=2AE=2，
∴BD=BE+DE=3，
∴BH=DH=，
∵∠ABD=30°，AH⊥BD，
∴AB=2AH，BH= AH，
∴AH=，AB=2AH=，
∴菱形的边长为．21*cnjy*com
【点拨】考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题关键是灵活运用其性质．
【训练】如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，求证：CE=DF．
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证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，BA∥CD，
∵CE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
∴∠CEB=∠CFD=90°，
∵BA//CD，，
∴∠B=∠DCF，
在△BEC和△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD（AAS），
∴CE=DF．
【点拨】此题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质．熟记菱形的各种性质是证题的关键．
类型四、正方形
例5、如图，四边形是正方形，对角线、相交于点，，．求证：四边形是正方形．
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【思路点拨】根据正方形的判定和性质定理即可得到结论．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．
【训练】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．21·cn·jy·com
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【答案】AE⊥CG，证明见解析．
【思路点拨】由于四边形ABCD是正方形，那么 ( http: / / www.21cnjy.com )AD=CD，∠ADC=90°，同理DG=DE，∠GDE=90°，可知∠ADC=∠GDE，再根据等式性质可得∠CDG=∠ADE，利用SAS可证△CDG≌△ADE，于是∠CGD=∠AED，由于∠GDE=90°，根据直角三角形的性质可得∠2+∠AED=90°，而∠1=∠2，根据等式性质可得∠1+∠CGD=∠2+∠AED=90°，易证AE⊥CG．
解：猜想：AE⊥CG，证明如下：
如图，设AE与CG的交点为点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
同理DG=DE，∠GDE=90°，
∴∠ADC=∠GDE，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
∴∠CDG=∠ADE，
在和中，，
∴，
∴∠CGD=∠AED，
∵∠GDE=90°，
∴∠2+∠AED=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CGD=∠2+∠AED=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG．
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【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
【训练】如图，四边形ABCD是正方形，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．
（1）∠AMB=2∠MAE；
（2）求证：AM=AD+MC；
（3）若AD=4，求AM的长．
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【分析】 （1）由AD∥BC，得，∠DAM＝∠AMB；又因AE平分∠DAM，得∠MAE＝∠DAM，等量代换得∠AMB＝2∠MAE；
（2）因AE平分∠DAM，得ED＝EF，AD＝AF，CD的中点，可证明Rt△EFM≌Rt△ECM，易得FM＝CM；即可证明AM＝AD＋MC；
（3）由（2）和AD＝4，在Rt△ABM中，由勾股定理可求得AM的长．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∵AE平分∠DAM，
∴∠MAE＝∠DAM，
∴∠AMB＝2∠MAE；
（2）如图2所示：过点E作EF⊥AM交AM于点F，连接EM．
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∵AE平分∠DAM，DE⊥AD，DF⊥AM，
∴ED＝EF，
又∵E是CD的中点，
∴ED＝EC，
∴EF＝EC，AD＝AF
在Rt△EFM和Rt△ECM中，
∴Rt△EFM≌Rt△ECM（HL）
∴FM＝MC，
又∵AM＝AF＋FM，
∴AM＝AD＋MC；
（3）设MC＝a，则FM＝a，
∵AD＝AF＝AB＝BC，
∴AD＝AF＝AB＝BC＝a，
∴AM＝AF＋FM＝4＋a，
又∵BC＝BM＋MC，
∴BM＝4 a，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
AM2＝AB2＋BM2
∴（4＋a）2＝（4 a）2＋42
解得：a＝1，
∴AM＝4＋a＝4＋1＝5．
【点拨】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识的综合运用，重点掌握判定两个三角形全等的方法，难点是作垂线，构建角平分线和两个三角形全等，以及证明不在同一条直线上的两条线段的和等于另一条线段方法是将该两条线段转换到同一条直线上．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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