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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题07 平行四边形的压轴题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．则EC+GC的最小值是（　　）2·1·c·n·j·y
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A．4 B．5 C．5 D．6
2．如图，在正方形ABCD中，点E ( http: / / www.21cnjy.com )，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．3﹣4 B．3﹣2 C． D．
3．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，，下列结论：①≌； ②点到直线的距离为；③； ④．其中正确结论的序号是（　　）21·世纪*教育网
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A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
4．如图，在△ABC中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，△ABC的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2；使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过（　　）次操作．2-1-c-n-j-y
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A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片沿折叠，使点与重合．有下列语句：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，DE⊥AP于点E，点F在AP延长线上，且EF＝AE，连结DF、CF，∠CDF的平分线DG交AF于G，连结BG．给出以下结论：①DF＝DC；②△DEG是等腰直角三角形；③∠AGB＝45°；④DG+BG＝AG．所有正确的结论是（　　）21*cnjy*com
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A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
9．如图，在正方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（　　）【出处：21教育名师】
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A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
10．在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将沿线段AE翻折得到，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）【版权所有：21教育】
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，已知正方形的边长是，点、、分别是边、、上的点，，连接，将沿直线翻折得到，以、为邻边作，若、、三点在一直线上，，则的长是________．21世纪教育网版权所有
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12．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________21·cn·jy·com
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13．已知四边形ABCD是矩形，且长为6，宽为4，点E在矩形ABCD的边上，∠ABE=45°，则AE的长为_______．【来源：21cnj*y.co*m】
14．如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．
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15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE，BF交于点P，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④线段MN的最小值为﹣1．其中正确的结论有___．（填写正确的序号）21教育名师原创作品
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16．在综合实践课上，小明把 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
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17．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将DCE沿DE所在直线翻折得到，当点恰好落在直线MN上时，CE的长为___．
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18．如图，在菱形纸片A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．
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19．已知：如图，的两条高与相交于点F，G为上一点，连接交于点H，且，若，，，则线段的长为_______．
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20．如图，折叠矩形纸片ABCD时，进行如下操作：①把△BCE翻折使点B落在DC边上的点F处，折痕为CE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDH翻折使点D落在线段AE上的点G处，折痕为CH，点H在AD边上．若，BC=6，则EG的长为______．
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三、解答题
21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合） ( http: / / www.21cnjy.com )，如图2，线段BD、CF的数量关系为________， 线段BD、CF所在直线的位置关系为_____________；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立 并说明理由;
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB＝____°时，CF⊥BC （点C、F不重合） ．
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22．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝221cnjy.com
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(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD ( http: / / www.21cnjy.com )边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
23．如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM．
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(1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长；
(2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：；
(3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
24．菱形ABCD的对角线AC、 ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．
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(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．21*cnjy*com
25．问题背景：如图1，在四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；21教育网
实际应用：如图3，在某次军事演习中 ( http: / / www.21cnjy.com )，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中人教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题07 平行四边形的压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．则EC+GC的最小值是（　　）
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A．4 B．5 C．5 D．6
【标准答案】A
【思路指引】
如图，连接DE，作点D关于直线AE的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE=CG，推出EC+CG=EC+ED=EC+TE，根据TE+EC≥TC即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC═AD=4，∠ABC=90°，∠ADB=45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAD=∠ADB=45°，
∵D，T关于AE对称，
∴AD=AT=4，∠TAE=∠EAD=45°，
∴∠TAD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴B，A，T共线，
∴CT=，
∵EG=CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG=DE，
∴EC+CG=EC+ED=EC+TE，
∵TE+EC≥TC，
∴EC+CG≥，
∴EC+CG的最小值为，
故答案为：A．
【名师指路】
本题考查轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．如图，在正方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（ ）
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A．3﹣4 B．3﹣2 C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
在正方形中，，，，．，则．由，可推断，故，那么，进而得出．另外，，故，，那么，从而推导出．最终推断出．
【详解详析】
解：如图，过点作于点．
四边形是正方形，
，，，．
，，．
又，
．
．
在和中，
．
．
又，
．
．
又，
．
．
在和中，
．
．
．
．
．
．
．
．
．
，，
．
．
在中，．
．
．
．
故选：A．
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【名师指路】
本题主要考查全等三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )与判定、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形面积是解题关键．21教育名师原创作品
3．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，，下列结论：①≌； ②点到直线的距离为；③； ④．其中正确结论的序号是（　　）
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A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【标准答案】D
【思路指引】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB ( http: / / www.21cnjy.com )=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；③根据①中的全等可进行判断；④连接BD，S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S四边形AEBP，代入数值计算即可．
【详解详析】
解：①∵∠EAP=∠BAD=90°
∴∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
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∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，
∵BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
∵PE=，
∴BE=，
∴BF=EF==2，故②成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴PD=EB，
∵直角三角形中PB大于BE，
∴EB与BP不相等，
∴BP与PD也不一定相等，故③不成立；
④如图，连接BD，
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由②得：PE=，BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S四边形AEBP=S△AEP+S△EPB
=
=
=，故④成立．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质的 ( http: / / www.21cnjy.com )运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．21*cnjy*com
4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【详解详析】
解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③错误；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的个数是2个，
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
5．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】A
【思路指引】
①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论．
【详解详析】
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
6．如图，△ABC的面积为1．第一次操作 ( http: / / www.21cnjy.com )：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2；使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过（　　）次操作．
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A．2 B．3 C．4 D．5
【标准答案】C
【思路指引】
结合题意根据三角形的面积公式可知如果两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推出，，进而得到 ，再以此类推进行求解即可．
【详解详析】
解：如图，
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连接A1C，
∵AB＝A1B，S△ABC＝1
∴，
∵BC＝B1C，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
同理可得，第二次操作后，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401，
故按此规律，要使到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作．
故选：C．
【名师指路】
本题考查三角形的面积，解题的关键是根据三角形边的关系推出其面积的关系，从而结合图形进行求解．
7．如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片沿折叠，使点与重合．有下列语句：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】C
【思路指引】
根据折叠的性质及矩形的性质可得B ( http: / / www.21cnjy.com )H=DH=GD=BG，即可判定①正确；若设AG=x，则BG=DG=8-x，在Rt△AGB中由勾股定理建立方程可求得x，即AG的长，因此可判定②；连接BD，利用菱形的面积相等，可求得GH的长，从而可判定③；根据对②的判定可确定∠ABG是否为30°即可判定④．
【详解详析】
根据折叠的性质得：BH=DH，BG=GD，∠BHG=∠DHG，∠BGH=∠DGH
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90°
∴∠DGH=∠BHG
∴∠DGH=∠DHG
∴GD=DH
∴BH=DH=GD=BG
∴四边形是菱形
即①正确
设AG=x，则BG=GD=8-x
在Rt△AGB中，由勾股定理建立方程得：
解得：
即AG的长
故②正确
如图，连接BD
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
∵，GD=AD-AG=
∴
∴GH=7.5
故③正确
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∵BG=GD=
∴
∵∠A=90°
∴∠ABG≠30°即∠AGB≠60°
∵∠BGH=∠DGH
∴∠BGH+∠DGH≠120°
从而∠BGH≠60°
即④不正确
故正确的有3个
故选：C．
【名师指路】
本题是矩形的折叠问题，有一 ( http: / / www.21cnjy.com )定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前提．
8．如图，正方形ABCD中，P为CD边上任意一点，DE⊥AP于点E，点F在AP延长线上，且EF＝AE，连结DF、CF，∠CDF的平分线DG交AF于G，连结BG．给出以下结论：①DF＝DC；②△DEG是等腰直角三角形；③∠AGB＝45°；④DG+BG＝AG．所有正确的结论是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【标准答案】D
【思路指引】
根据等腰三角形三线合一，得到AD＝DF，又根据正方形性质得AD＝DC，从而等量代换得，DF＝DC，即可判断①；设，则，由,推得，进一步得到，从而可判断②；在和中进行角等量代换，得到，再由和角平分线两个条件，进行角之间的等量代换，结合，即可判断③；作BH⊥AF，分别在和中，进行边的转换，再根据得到，由，代入化简即可判断④．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴,，
，，
∴，
∴，
∴①正确；
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∵DG平分∠CDF，
∴ ，
∴，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴②正确；
∵四边形ABCD是正方形
∴,
∴,
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵的平分线交AF于点G，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
∴③正确
如下图：
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作BH⊥AF于H，
∵∠AGB＝45°，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD是正方形
∴，
又∵,，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④正确；
∴故选：D．
【名师指路】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质等相关知识点，结合条件找见相关切入点是解题关键．www.21-cn-jy.com
9．如图，在正方形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（　　）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④
【标准答案】D
【思路指引】
根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=∠D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，即可得出∠GAE.
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．
设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2，
∴（6-x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．
∴BG=GF=CG=3．
∴②正确；
∵BG=GF=CG=3，CD=3DE ，AB=AD=DC=6，DE=EF=2，
∴GE=GF+EF=5，AF=AB=6，
∴S△AGE=，
∴③错误；
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴△DAE≌△FAE．
∴∠DAE=∠FAE．
∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG．
∵∠BAD=90°，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°．
∴④正确．
故选D．
【名师指路】
本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．
10．在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将沿线段AE翻折得到，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】D
【思路指引】
先证明可得是的垂直平分线，可判断①，再证明可得 而设 则 再利用勾股定理求解 即可判断②，证明 可得 可判断③，设 而则 则 再利用勾股定理求解 可判断④，分别计算，可判断⑤，从而可得答案.
【详解详析】
解： 正方形
由对折可得：
是的垂直平分线，
故①正确，符合题意；
而
设 则
解得：
故②正确，符合题意；
故③正确，符合题意，
设 而则
故④错误，不符合题意；
，故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有：①②③⑤，
故选D
【名师指路】
本题考查的是正方形的性质，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，灵活运用以上知识解题是解题的关键.21世纪教育网版权所有
二、填空题
11．如图，已知正方形的边长是，点、、分别是边、、上的点，，连接，将沿直线翻折得到，以、为邻边作，若、、三点在一直线上，，则的长是________．
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【标准答案】
【思路指引】
如图，连接 交于设 则由对折可得： 而 求解 过作于 则再利用勾股定理求解 延长交于 连接 证明可得 过作于则四边形是矩形，可得 再利用勾股定理解方程即可.
【详解详析】
解：如图，连接 交于
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，
设 则由对折可得： 而
过作于 则
解得： 经检验：是原方程的根且符合题意，
延长交于 连接
正方形，
把平移到与的两边相交，则是平行四边形的一组对角，
过作于则四边形是矩形，
故答案为：
【名师指路】
本题考查的是平行四边形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，灵活应用以上知识，构建三角形全等的模型是解题的关键.21cnjy.com
12．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________2·1·c·n·j·y
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【标准答案】
【思路指引】
如图，作点A关于BC的对称点T ( http: / / www.21cnjy.com )，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
【详解详析】
解：如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．
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∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT RM，
∴MT≥4，
∴MT的最小值为4，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4，
∴QA＋QM的最小值为4．
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．
13．已知四边形ABCD是矩形，且长为6，宽为4，点E在矩形ABCD的边上，∠ABE=45°，则AE的长为_______．
【标准答案】4或
【思路指引】
根据分类讨论的思想，分为如图1，图2两种情况，分别计算即可.
【详解详析】
如图1，AB为宽，AB=4，AD为长，AD=6，∠ABE=45°，则ΔABE为等腰直角三角形，
∴AE=AB=4，
如图2，AB为长，AB=6，AD为宽，AD=4，∠ABE=45°；
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-45°=145°，
∴ΔBCE是等腰三角形，
∴CE=BC=AD=4，DE=CD-CE=6-4=2 ，
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在RtΔADE中，AE2=AD2+DE2
∴AE=，
故答案为：4或.
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质应用，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质应用是解题的关键.www-2-1-cnjy-com
14．如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．
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【标准答案】2.5
【思路指引】
过点G作GH⊥AB于H， ( http: / / www.21cnjy.com )过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解详析】
解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
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∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，
故答案为：2.5．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE，BF交于点P，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④线段MN的最小值为﹣1．其中正确的结论有___．（填写正确的序号）
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【标准答案】①②③④
【思路指引】
由正方形的性质及F，E以相同的速度运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，利用SAS证明△ABE≌△BCF，得到AE=BF，∠BAE=∠CBF，再根据∠CBF+∠ABP=90°，可得∠BAE+∠ABP=90°，进而得到AE⊥BF，根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为H，连接CH交弧于点P，此时CP的长度最小，根据勾股定理，求出CH的长度，再求出PH的长度，即可求出线段CP的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN．
【详解详析】
解：∵动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动，
∴DF=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∴CF=BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，故②正确；
∵∠CBF+∠ABP=90°，
∴∠BAE+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，即AE⊥BF，故③正确；
∵点P在运动中始终保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设AB的中点为H，连接CH交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCH中，CH=，
∵PH=AB=1，
∴CP=CH-PH=，
∵PM∥CD，PN∥BC，
∴四边形PMCN是平行四边形，
∵∠BCD=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN=CP=，即线段MN的最小值，故④正确．
故答案为：①②③④．
【名师指路】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等，解题的关键是证明△ABE≌△BCF．
16．在综合实践课上，小明把 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
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【标准答案】 平行四边形 2
【思路指引】
（1）利用平移的性质证明即可．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于 ( http: / / www.21cnjy.com )直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解详析】
解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，
∴AJ=JC，
∴BJ=AC=，
∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，
∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，
∴四边形BHCJ是正方形，
∴BH=CH=，
在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=CD′，
∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，
∴A′B+D′B的最小值为2，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将DCE沿DE所在直线翻折得到，当点恰好落在直线MN上时，CE的长为___．
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【标准答案】或10
【思路指引】
由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM是矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再分两种情况由勾股定理即可得到结论．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵，，
∴AM＝BN，
∵AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，
∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，
∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，
∵AM＝2，
∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，
如图1，
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在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（4﹣CE）2+22＝CE2，
解得：CE＝．
如图2，
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在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（CE﹣4）2+82＝CE2，
解答：CE＝10，
故答案为：或10．
【名师指路】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，勾股定理，正确的识别图形利用勾股定理与折叠的性质求解是解题的关键．21·世纪*教育网
18．如图，在菱形纸片ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．【出处：21教育名师】
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【标准答案】
【思路指引】
根据题意连接BE，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，然后证明BE⊥AB，利用勾股定理计算出AE，从而得到OA的长；设AF=x，根据折叠的性质得到FE=FA=x，在Rt△BEF中利用勾股定理得到（2-x）2+（）2=x2，解得x，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解即可．
【详解详析】
解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，
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∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=CE=，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴．
∴，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE=FA=x，
∴BF=2-x，
在Rt△BEF中，（2-x）2+（）2=x2，
解得:，
在Rt△AOF中，，
∴．
故答案为: ．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19．已知：如图，的两条高与相交于点F，G为上一点，连接交于点H，且，若，，，则线段的长为_______．
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【标准答案】5
【思路指引】
如图，取的中点 连接由∠ADC=∠AEC=90°，证明∠ACH=∠ADE，再由∠CHG=2∠ADE可得∠HAC=∠ACH再由AB=AG可推出∠BCE=∠DAG从而推出∠DAC=∠DCA，所以AD=DC，然后求出DG与CG的比，进而求出S△ADC的面积，最后求出AD的长．
【详解详析】
解：如图，取的中点 连接
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
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即
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠GHC=∠HAC+∠HCA，∠ADE=∠HCA，
∴∠GHC=∠HAC+∠ADE，
∵∠CHG=2∠ADE，
∴2∠ADE=∠HAC+∠ADE，
∴∠ADE=∠HAC，
∴∠ACH=∠HAC，
∴∠BCE+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠BCE=∠BAD，
∵AB=AG，AD⊥BC，
∴∠DAG=∠BAD，
∴∠DAG=∠BCE，
∴∠DAG+∠GAC=∠BCE+∠ACH，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∴△ADG≌△CDF（ASA），
∴DG=DF，
∴，
∴S△ADG＝S△AGC＝5，
∴S△ADC＝5+，
∴AD DC＝，
∴AD2=25，
∴AD=5，
故答案为：5．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练的运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解本题的关键．
20．如图，折叠矩形纸片ABCD时，进行如下操作：①把△BCE翻折使点B落在DC边上的点F处，折痕为CE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDH翻折使点D落在线段AE上的点G处，折痕为CH，点H在AD边上．若，BC=6，则EG的长为______．
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【标准答案】2
【思路指引】
利用折叠的性质得EF＝B ( http: / / www.21cnjy.com )E，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，则可判断四边形BEFC为正方形，所以BE＝BC＝6，再根据折叠的性质得△AGH∽△BCG，根据相似比求出AG、AH、BG即可．
【详解详析】
解：∵把△BCE翻折，点B落在DC边上的点F处，
∴EF＝BE，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，
∴四边形BEFC为正方形，
∴BE＝BC＝6，
∵把△CDH翻折，点D落在AE上的点G处，折痕为CH，
∴∠HGC＝90°，DH＝HG，CG＝CD，
∴∠CGB+∠AGH＝90°，
∵∠AHG +∠AGH＝90°，
∴∠CGB＝∠AHG，
∵∠B＝∠A＝90°，
∴△AGH∽△BCG，
∴，
∵BC=6，
∴AG=2，
设AH＝x，则DH＝HG＝6-x，
∴x2+22＝（6-x）2，
解得，
∴BG=3AH=8．
EG= BG- BE=2，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形相似，依据相似三角形的性质求线段长．
三、解答题
21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B ( http: / / www.21cnjy.com )不重合） ，如图2，线段BD、CF的数量关系为________， 线段BD、CF所在直线的位置关系为_____________；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立 并说明理由;
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB＝____°时，CF⊥BC （点C、F不重合） ．
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【标准答案】（1）①BD=CF；BD⊥CF；②成立，理由见解析；（2）45°．
【思路指引】
（1）①证明△DAB≌△FAC，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成 ( http: / / www.21cnjy.com )立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD；
（2）当∠ACB=45° ( http: / / www.21cnjy.com )时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．
【详解详析】
解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BD⊥CF，
故答案为：BD=CF；BD⊥CF；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．
即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°-∠ACB，
∴∠AGC=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
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【名师指路】
本题考查三角形全等的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【来源：21cnj*y.co*m】
22．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
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(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD ( http: / / www.21cnjy.com )边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【标准答案】(1)见解析
(2)4
(3)4
【思路指引】
（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长 ( http: / / www.21cnjy.com )最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．21*cnjy*com
(1)
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
(2)
如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
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∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
(3)
如图③，作点P关于AD的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
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∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
23．如图1，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一动点，连接BE交对角线AC于点F，点M为线段BF上一点，连接AM．
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(1)如图1，若对角线AC⊥AB，点M是BF的中点，，，求BC的长；
(2)如图2，若，，AC的垂直平分线交BE的延长线于点G，连接AG，CG，AM平分∠BAC交BE于点M，求证：；
(3)如图3，当点E在运动过程中满足BCE为等边三角形时，若；在BCE内部是否存在一点P使有最小值，若存在，直接写出的最小值，若不存在，请说明理由．
【标准答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，
【思路指引】
（1）由已知条件根据勾股定理求出AB，由求出AC，由勾股定理求出BC的长；
（2）连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P．证明△ABM≌△ACM（SAS），推出，∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．得到．证明△AGP≌OCGH（HL）推出，∠ACM＝∠GCQ．证明△ACM≌△GCQ（SAS），推出，由此得到结论；
（3）取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接B C1，C C1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值，
连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ，由轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称的性质求出C1Q=2BC1=2BC=8，根据等边三角形的性质得到∠EQB=∠CQB=30°，证得∠PCQ=90°，同理∠PEQ=90°，推出BQ=PB+PC+PE，由勾股定理求出BQ即可．
(1)
解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°；
∵点M为BF的中点，
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∴，
∴BF=6，
∴
∵，
∴
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
∴
(2)
解：连接并延长MC，过点C作CQ⊥BC交BE于点Q，
分别过点G作GH⊥MC于点H，作GP⊥AM于点P．
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∵，AM平分∠BAC，
∴△ABM≌△ACM（SAS）；
∴，∠AMB＝∠AMC，
∵∠CBE＝30°，BM＝MC，
∴∠BCM＝∠CBE＝30°，
∴∠CMQ＝∠BCM＋∠CBE＝60°，∠BMC＝120°，
∴∠AMB＝∠AMC＝120°，
∴∠AMG＝∠CMG＝60°．
∵CQ⊥BC，∠MCB＝30°，
∴∠MCQ＝∠BCQ－∠BCM＝60°．
∴∠MQC＝∠MCQ＝∠CMQ＝60°．
∴．
∴．
∵GH⊥MC，GP⊥AM，∠AMG＝∠CMG．
∴∠MPG＝∠MHG＝90°，．
∴，
∵点G在AC的垂直平分线上，
∴．
在Rt△AGP与Rt△CGH中，
，
∴△AGP≌OCGH（HL）
∴∠AGP＝∠CGH，
∴∠AGC＝∠PGH＝60°，
∴△AGC为等边三角形，
∴，∠ACM＝∠GCQ．
在△ACM与△GCQ中，
，
∴△ACM≌△GCQ（SAS），
∴．
∵，
∴．
(3)
解：存在，的最小值为．
取任意点P，连接PB、PC、PE，以BP为边作等边三角形BPP1，作点E关于BC的对称点C1，连接B C1，C C1，当点E、P、P1、C1四点共线时，有最小值，
连接BP、CC1相交于点Q，连接EQ，
∵△BPP1是等边三角形，
∴∠PBP1=60°，
由轴对称可得∠EBP=∠C1BP1=30°，∠BC1C=60°，△BCC1是等边三角形，
∴∠C1BQ=90°，∠BQC=30°，
∴C1Q=2BC1=2BC=8，
∴CQ=BC=4=CE，
∵∠ECQ=60°，
∴△ECQ是等边三角形，
∴∠EQB=∠CQB=30°，
∵点E、P、P1、C1四点共线，
∴C1E垂直平分BC，
∴∠ECP=∠EBP= =30°，
∴∠PCQ=90°，
同理∠PEQ=90°，
∴PQ=2PC=2PE，
∴PQ=PC+PE，
∴BQ=PB+PC+PE，
∵，
∴的最小值为．
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【名师指路】
此题考查了勾股定理，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，这是一道图形类的综合题，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
24．菱形ABCD的对角线AC、B ( http: / / www.21cnjy.com )D相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．
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(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；
(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；
(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．
【标准答案】(1)
(2)见解析
(3)
【思路指引】
（1）利用全等三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论；
（2）如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，证明四边形是正方形，推出，再证明，可得结论；
（3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接，过点作于点，过点作于，交于点，交于点．由，推出，由，推出的最小值，求出，即可解决问题．
(1)
解：如图1中，
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四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
(2)
证明：如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得．
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由（1）可知，，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是菱形，
，关于对称，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
(3)
如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接
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，
，
点在以为直径的圆上运动，
四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
过点作于点，过点作于，交于点，交于点．
，，
，
，
，
的最小值，
是等边三角形，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题．
25．问题背景：如图1，在四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　；21教育网
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【版权所有：21教育】
实际应用：如图3，在某次军事演习中 ( http: / / www.21cnjy.com )，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
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【标准答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为320海里
【思路指引】
问题背景：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案；
探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE=∠AOB，利用结论EF=AE+BF求解即可．
【详解详析】
解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE=DG，EF=GF，
∴EF=FG=DF+DG=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD．
探索延伸：EF=BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG
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∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF，
=∠BAD﹣∠BAD=∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
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在四边形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里)
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
【名师指路】
本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用．21·cn·jy·com
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