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(共50张PPT)
8.6.3　平面与平面垂直(一)
【情境探究】
1.如图,教室内的门与墙面,观察当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.
(1)数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所形成的角
提示:二面角.
(2)平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点
提示:二面角的平面角.
必备知识生成
2.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别指出是哪些二面角 这些二面角各是多少度
提示:可以构成3个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,1个墙面与地面构成的二面角,另1个墙面与地面构成的二面角;这3个二面角都为90°.
3.如何定义两个平面互相垂直
提示:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
4.如何画两个相互垂直的平面 平面α与平面β垂直,记作什么
提示:两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
【知识生成】
1.二面角及其平面角
二
面
角 概念 从一条直线出发的两个_______所组成的图
形叫做二面角.这条直线叫做二面角的___,
这两个半平面叫做二面角的___
图示
半平面
棱
面
平
面
角 文字 在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平
面内分别作垂直于___的射线,则这两条射线构成的___
叫做这个二面角的平面角
图示
符号 OA α,OB β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l ∠AOB是
二面角的平面角
范围 0°≤∠AOB≤180°
规定 二面角的大小可以用它的_______来度量,二面角的平面
角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是_____
的二面角叫做直二面角
棱
角
平面角
直角
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的
_____,那么这两个平面垂
直
图形语言
符号语言 l⊥α, _____ α⊥β
作用 判断两个平面_____
垂线
l β
垂直
关键能力探究
探究点一　二面角及其解法
【典例1】如图,在三棱柱ABC -A1B1C1中,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1;
(2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1,AC=BC= ,求二面角B1-CD-B的大小.
【思维导引】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED,根据三角形中位线得到ED∥AC1,
进而得到线面平行.
(2)根据二面角的定义可证得∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角,在三角形BDB1
中求解即可.
【解析】(1)连接BC1,交B1C于点E,连接ED.
因为ABC -A1B1C1是三棱柱,所以四边形BCC1B1为平行四边形.所以E是BC1的中点.
因为点D是AB的中点,所以ED是△ABC1的中位线,所以ED∥AC1,又ED 平面CDB1,AC1 平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.
(2)∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.
事实上,因为AA1⊥平面ABC,CD 平面ABC,所以AA1⊥CD.在△ABC中,AC=BC,
D是底边AB的中点,所以CD⊥AB.
因为CD⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,
所以CD⊥平面ABB1A1,
因为DB1 平面ABB1A1,DB 平面ABB1A1,
所以DB1⊥CD,DB⊥CD,
所以∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.
在直角三角形B1DB中,BB1=1,DB= AB=1,
所以△B1DB为等腰直角三角形,所以∠BDB1=45°.
即所求二面角为45°.
【类题通法】
1.求二面角的平面角的步骤
(1)作:找出或作出二面角的平面角.
(2)证:证明所找或作的角就是二面角的平面角.
(3)求:在三角形中解出角的大小.
2.二面角的平面角的常见作法
(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
【定向训练】
1.(2019·浙江高考)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角P-AC -B的平面角为γ,则 (　　)
A.β<γ,α<γ　　　　　 B.β<α,β<γ
C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β
【解析】选B.方法一,如图,G为AC的中点,V在底面ABC的投影为O,则P在底面的投影
D在线段AO上,过D作DE垂直AC于E,易得PE∥VG,过P作PF∥AC交VG于F,过D作DH∥AC,
交BG于H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,则cos α= =cos β,
即α>β,tan γ= =tan β,即γ>β,综上所述,答案为B.
方法二:(特殊位置)取V-ABC为正四面体,P为VA中点,易得
cos α= sin α= ,sin β= ,sin γ= 可知B选项正确.
2.如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.
(1)求二面角B-PA-D的大小;
(2)求二面角B-PA-C的大小.
【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.
所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的大小为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.
即二面角B-PA-C的大小为45°.
【补偿训练】
如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC与△PBC是边长为2的正三角形,PA=3,D为PA的中点,求二面角D-BC -A的大小.
【解析】因为AB=PB,PC=AC,所以易证BD=CD,取BC中点M,连接DM,AM,则DM⊥BC,AM⊥BC,所以二面角D-BC -A的平面角为∠DMA,因为AD= ,
AM= ,DM= 所以∠DMA=60°,即二面角D-BC -A的大小为60°.
探究点二　平面与平面垂直的判定
【典例2】如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:
(1)ED=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA.
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【思维导引】(1)要证DE=DA,只需取EC中点F,连接DF并证明Rt△EFD≌Rt△DBA.
(2)注意M为EA的中点,可取CA的中点N,先证明N点在平面BDM内,再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可.
(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.
【证明】(1)取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥BC,CE=2BD,易知DF∥BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中,因为EF= EC=BD,FD=BC=AB,∠EFD=∠DBA=90°,
所以Rt△EFD≌Rt△DBA,所以ED=DA.
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,
则MN EC,所以MN∥BD,所以N点在平面BDM内.
因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN.
又CA⊥BN,CA∩EC=C,所以BN⊥平面ECA.因为BN在平面MNBD内,
所以平面MNBD⊥平面ECA.
即平面BDM⊥平面ECA.
(3)因为BD EC,MN EC,所以BD MN,所以四边形MNBD为平行四边形,
所以DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM 平面DEA,所以平
面DEA⊥平面ECA.
【类题通法】
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.
(2)利用面面垂直的判定定理:即要证面面垂直,只要转化为证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
【定向训练】
1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.
求证:平面PDC⊥平面PAD.
【证明】因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,
所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因为CD 平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.
2.如图所示,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证:EF∥平面ABCD.
(2)若CF⊥AE,AB⊥AE,求证:平面ABFE⊥平面CDEF.
【证明】(1)因为在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,
因为AB 平面CDEF,CD 平面CDEF,所以AB∥平面CDEF,所以AB和EF平行或异面,
因为EF,AB共面于平面ABFE,所以AB∥EF,因为EF 平面ABCD,AB 平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD.
(2)因为CF⊥AE,AB⊥AE,AB∥CD,所以AE⊥CD,因为CF∩CD=C,
所以AE⊥平面CDEF,因为AE 平面ABFE,所以平面ABFE⊥平面CDEF.
探究点三　垂直关系的综合应用
【典例3】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱
PD=a,PA=PC= a.
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求二面角P-BC -D的大小.
【思维导引】(1)转化为证明PD⊥DC与PD⊥AD.
(2)转化为证明AC⊥平面PBD.
(3)先证出∠PCD为二面角P-BC -D的平面角.
【解析】(1)因为PD=a,DC=a,PC= a,
所以PC2=PD2+DC2.所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.
又AD∩DC=D,所以PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC.
而四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又BD∩PD=D,所以AC⊥平面PBD.
又AC 平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC,PD∩DC=D,
所以BC⊥平面PDC.所以BC⊥PC.
所以∠PCD为二面角P-BC -D的平面角.
在Rt△PDC中,PD=DC=a,所以∠PCD=45°.
即二面角P-BC -D的大小是45°.
【知识延拓】
1.在矩形ABCD中,已知AD=2AB,E是AD的中点,沿BE将△ABE折到△A1BE的位置(如图2),使A1C=A1D,求证:平面A1BE⊥平面BCDE.
【解题指南】△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未变,要充分利用这一特点,取BE的中点F,连接A1F,证明A1F⊥平面BCDE即可.
　【证明】如图,取BE,CD的中点F,G,连接A1F,FG,A1G.
因为A1C=A1D,所以A1G⊥CD.
因为AD=2AB,E是AD的中点,所以A1B=A1E.
因为F为BE的中点,所以A1F⊥BE.
因为四边形ABCD是矩形,所以ED∥BC,∠BCD=90°.
因为F,G分别为BE,CD的中点,所以FG⊥CD.
因为FG∩A1G=G,所以CD⊥平面A1GF,所以CD⊥A1F.
因为ED∥BC,BC=2ED,所以四边形BCDE为直角梯形,
所以CD与BE必相交,所以A1F⊥平面BCDE.
因为A1F 平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面BCDE.
2.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 ,DE=4,现将△ADE,△CFB分别沿DE,CF折
起,使A,B两点重合于点G,得到多面体CDEFG.
求证:平面DEG⊥平面CFG.
【证明】因为DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形CDEF为矩形,由GD=5,DE=4,得GE=3,
由GC=4 ,CF=4,得FG=4,所以EF=5.
在△EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EG⊥GF.
又因为CF⊥EF,CF⊥FG,EF∩GF=F,所以CF⊥平面EFG,所以CF⊥EG,
因为GF∩CF=F,所以EG⊥平面CFG,所以平面DEG⊥平面CFG.
【类题通法】垂直问题及二面角求解的解题关键
(1)与垂直有关的综合问题涉及线与线、线与面、面与面的垂直,解题的关键是转化.
线线垂直 线面垂直 面面垂直.
(2)二面角求解的关键是作出二面角的平面角,并将所作角放在直角三角形内求解.
【定向训练】
　如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E为棱AD
的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【解析】(1)延长AB与CD,二者相交于点M,因为E为AD的中点,
所以AE=ED= AD,因为BC=CD= AD,所以ED=BC,因为AD∥BC,所以ED∥BC,
所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD,因为AB∩DC=M,所以M∈DC,所以
CM∥BE,因为BE 平面PBE,CM 平面PBE,所以CM∥平面PBE,因为M∈AB,AB 平
面PAB,所以M∈平面PAB,故在平面PAB上可找到一点M使得CM∥平面PBE.
(2)过A作AF⊥EC交EC于点F,连接PF,过A作AG⊥PF交PF于点G,因为∠PAB=90°,PA与CD所成角为90°,
所以PA⊥CD,PA⊥AB,因为AB∩CD=M,
所以PA⊥平面ABCD,因为EC 平面ABCD,
所以PA⊥EC,因为EC⊥AF且AF∩AP=A,
所以CE⊥平面PAF,因为AG 平面PAF,
所以AG⊥CE,因为AG⊥PF且PF∩CE=F,
所以AG⊥平面PFC,所以∠APF为所求PA与平面PCE所成的角,因为PA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,即AD⊥DC.
所以∠PDA为二面角P-CD-A所成的平面角,
由题意可得∠PDA=45°,而∠PAD=90°,所以PA=AD,
因为BC=CD,四边形BCDE是平行四边形,∠ADC=90°,
所以四边形BCDE是正方形,所以∠BEC=45°,
所以∠AEF=∠BEC=45°,因为∠AFE=90°,
所以AF= AE,所以tan∠APF=
所以sin∠APF= .
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
直观想象：求解二面角的问题
求二面角时注意是锐角还是钝角
平面与
平面垂直
（一）
面面垂直的判断方法：
（1）利用定义：作二面角的平面角→证明为直角
（2）判定定理：转化为证线面垂直，即在一个面内找一条直线与另一个平面垂直
二面角的求法：作出二面角的平面角并证明，将作出的角放在三角形中求解
逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想
在证明面面垂直时注意满足的条件
二面角
定义
判定定理
应用
课堂素养达标
1.给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中真命题是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
【解析】选B.对于①,显然混淆了平面与半平面的概念,错误;对于②,因为a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,正确;对于③,因为所作射线不一定垂直于棱,所以错误;④正确.故选B.
2.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正
切值等于 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.如图所示,连接AC交BD于O,连接A1O,则∠A1OA为二面角A1-BD-A
的平面角,设A1A=a,则AO= a,所以tan∠A1OA=
3.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　)
A.一条线段 B.一条直线
C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点
【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC 平面PAC,所以AC⊥平面PBC.又因为BC 平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
4.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的条件是 (　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α D.m∥n,m⊥α,n⊥β
【解析】选C.因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β.又m α,所以α⊥β.
5.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为________.
【解析】因为AB⊥BC,AB⊥BC1,所以∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角,大小为45°.
答案:45°(共35张PPT)
8.6.3　平面与平面垂直(二)
【情境探究】
1.教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗 怎样画才能保证所画直线与地面垂直
提示:不一定,也可能平行,相交(不垂直);只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.
必备知识生成
2.如图长方体ABCD -A′B′C′D′,在平面DCC′D′中,作直线l⊥DC.你能得出什么结论
提示:在平面DCC′D′内,若直线l垂直于交线DC,则直线l垂直于平面ABCD.
【知识生成】
平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直,如果___________有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
一个平面内
关键能力探究
探究点一　平面与平面垂直的性质定理的应用
【典例1】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面PAD;
(2)求证:AD⊥PB.
【思维导引】
(1)连接BD,菱形ABCD,∠DAB=60° △ABD为正三角形 BG⊥AD
由平面与平面垂直的性质定理得出结论
(2)连接PG,要证AD⊥PB,只需证AD⊥平面PBG即可.
【证明】(1)如图,在菱形ABCD中,连接BD,
因为∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形,
因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BG⊥平面PAD.
(2)如图,连接PG.
因为△PAD是正三角形,G是AD的中点,
所以PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD.又因为PG∩BG=G.
所以AD⊥平面PBG.而PB 平面PBG,所以AD⊥PB.
【类题通法】面面垂直性质定理的应用技巧
　(1)面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线,这样就可利用面面垂直证明线面垂直.
(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
【定向训练】
1.(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 (　　)
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
【解析】选B.因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN
是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,DN= a,
DB=2 a,
根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4 ·a2cos∠BDE,
EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4 a2cos∠BDE,所以BM≠EN.
2.如图所示,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.
求证:平面VBC⊥平面VAC.
【证明】因为平面VAB⊥底面ABCD,且BC⊥AB.
所以BC⊥平面VAB,所以BC⊥VA,
又VB⊥平面VAD,所以VB⊥VA,又VB∩BC=B,
所以VA⊥平面VBC,因为VA 平面VAC.
所以平面VBC⊥平面VAC.
探究点二垂直关系的综合应用
【典例2】如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为l.
(1)求证:平面PBC⊥平面PAC.
(2)求证:直线l⊥AC.
【思维导引】(1)关键是利用圆的性质,推出BC⊥AC,再利用面面垂直推出线面垂直.
(2)关键是先确定与直线l平行的直线,再证明垂直.
【证明】(1)因为AB是☉O的直径,所以AB所对的圆周角∠ACB=90°,所以AC⊥CB,
又因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面PAC,又因为BC 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)因为E,F分别为PC,PB的中点,所以EF为△PCB的中位线,所以EF∥BC,又因为EF 平面ACB,BC 平面ACB,所以EF∥平面ABC,又因为EF 平面AEF,且平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,故l∥BC,由(1)知,BC⊥AC,所以l⊥AC.
【类题通法】
1.线面垂直条件的应用技巧
当题目条件中含有线面垂直的条件时,一般想到的结论为:
(1)线线垂直,即直线与平面内任一直线垂直.
(2)面面垂直,即经过该直线的平面与该平面垂直.
2.面面垂直条件的应用技巧
当题目中含有面面垂直的条件时,一般想到的解题思路为:
(1)可以在一个平面内找或作一条垂直于交线的直线,转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.
(2)求斜线与某一平面所成的角,观察该斜线是否与另一平面相交,若相交可过交点在该平面内作交线的垂线,进而找到斜线的射影.
(3)求点到平面的距离,可转化为某一平面内一点到交线的距离.
【知识延拓】
如图,在三棱锥A -BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC.
(2)AD⊥AC.
【解题指南】(1)根据AB⊥AD,EF⊥AD,可得EF∥AB,从而得EF∥平面ABC.
(2)证明BC⊥AD,再由AB⊥AD,从而可得AD⊥平面ABC,即得AD⊥AC.
【证明】(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,
所以EF∥AB.
又因为EF 平面ABC,AB 平面ABC,所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
BC 平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.
因为AD 平面ABD,所以BC⊥AD.
又因为AB⊥AD,BC∩AB=B,AB 平面ABC,BC 平面ABC,所以AD⊥平面ABC,
又因为AC 平面ABC,所以AD⊥AC.
【定向训练】
　(2018·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:EF∥平面PCD.
【证明】(1)在△PAD中,PA=PD,E是AD的中点,
所以PE⊥AD,
又底面ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD,
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD 平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD,又PA 平面PAD,
所以CD⊥PA,
又因为PA⊥PD,CD,PD 平面PCD,CD∩PD=D,
所以PA⊥平面PCD,又PA 平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)取PC的中点G,连接DG,FG,
因为底面ABCD为矩形,
所以AD BC,又E是AD的中点,
所以DE BC,
在△PBC中,因为F,G分别是PB,PC的中点,
所以FG BC,
所以DE FG,四边形DEFG是平行四边形,
所以EF∥DG,
又因为EF 平面PCD,DG 平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
【补偿训练】
1.在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,∠ABC=90°,∠BCD=135°,沿AC将四边形折成直二面角B-AC -D.
(1)求证:平面ABC⊥平面BCD.
(2)求平面ABD与平面ACD所成的角的度数.
【解题指南】(1)由二面角B-AC -D为直二面角,得CD⊥平面ABC,从而得平面BCD⊥平面ABC.
(2)作BE⊥AC,EF⊥AD,连接BF,可证∠BFE即为二面角B AD C的平面角.解△BEF即可.
【解析】(1)在四边形ABCD中,
因为AB=BC,AB⊥BC,
所以∠ACB=45°,而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°,
所以∠ACD=90°,即CD⊥AC.
又平面ABC与平面ACD的二面角的平面角为直角,且平面ABC∩平面ACD=AC,
所以CD⊥平面ABC,又CD 平面BCD,
所以平面ABC⊥平面BCD.
(2)过点B作BE⊥AC,E为垂足,则BE⊥平面ACD.
又过点E在平面ACD内作EF⊥AD,F为垂足,连接BF.
由已知可得BF⊥AD,
所以∠BFE是二面角B-AD-C的平面角.
因为E为AC的中点,
所以AE= AC= a.
又sin∠DAC=
所以EF= AE,
所以EF= a· = a,tan∠BFE=
所以∠BFE=60°,
即平面ABD与平面ACD所成的角的度数为60°.
2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面BAC,D,E分别为AB,AC的中点.
(1)求证:AB⊥PE.
(2)求二面角A-PB-E的大小.
【解析】(1)连接PD,因为PA=PB,D为AB的中点,所以PD⊥AB.因为DE∥BC,BC⊥AB,
所以DE⊥AB.又因为PD∩DE=D,所以AB⊥平面PDE,因为PE 平面PDE,所以AB⊥PE.
　(2)因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC.
则DE⊥PD,又ED⊥AB,PD∩AB=D,所以DE⊥平面PAB,过D作DF垂直PB于F,连接EF,则
EF⊥PB,∠DFE为所求二面角的平面角,则DE= ,DF= ,则tan∠DFE=
故二面角A-PB-E的大小为60°.
核心知识
面面垂直的性质定理
应用
易错提醒
利用性质定理时要注意直线在平面内
核心素养
逻辑推理：在面面垂直的性质定理中得以体现
方法总结
平行关系的相互转化
判定定理
性质定理
判定定理
判定
性质
性质
平面与平面垂直（二）
课堂素养达标
1.下列说法错误的是 (　　)
A.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a不一定平行于直线b
B.若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面β
C.若平面α⊥平面β,则α内一定不存在直线平行于平面β
D.若平面α⊥平面υ,平面β⊥平面υ,α∩β=l,则l一定垂直于平面υ
【解析】选C.C错误,平面α⊥平面β,在平面α内,平行于α,β交线的直线和平面β平行.
2.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　)
A.α∥γ 　　　　　 B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 　　　 D.以上都有可能
【解析】选D.可能平行,垂直,也可能相交.
3.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是 (　　)
A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
B.若α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,l α,则l⊥β
D.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
【解析】选D.选项A缺少了条件l α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.
4.如图,在斜三棱柱ABC -A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在 (　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
【解析】选A.连接AC1,因为AC⊥AB,AC⊥BC1,所以AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.
5.如图,在平行四边形ABCD中,BD=2 ,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD
的位置,使平面EBD⊥平面ABD.求证:AB⊥DE.
【证明】在△ABD中,因为AB=2,AD=4,BD=2 ,所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.
因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB 平面ABD,
所以AB⊥平面EBD.因为DE 平面EBD,所以AB⊥DE.(共45张PPT)
8.6.2　直线与平面垂直(一)　
【情境探究】
1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系.
问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么
提示:垂直.
必备知识生成
2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗 为什么
提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.
3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
(1)问:折痕AD与桌面垂直吗 如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直
提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.
(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论
提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.
4.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么
提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.
【知识生成】
1.直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的_____________都垂直,我们就说直线l
与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关
概念 直线l叫做平面α的_____,平面α叫做直线l的_____,它们唯一
的公共点P叫做_____
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边
形的一边垂直
任意一条直线
垂线
垂面
垂足
2.直线与平面垂直的判定定理
文字
语言 一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直
线与此平面垂直
符号
语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α, _____=P l⊥α
图形
语言
两条相交直线
a∩b
3.直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α_____,但不和平面α_____,
图中 _______
斜足 斜线和平面的_____,图中 ____
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引
_____,过_____和_____的直线叫做斜
线在这个平面上的射影,图中斜线PA在
平面α上的射影为直线___
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
AO
直线
与平
面所
成的
角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角,图中______.
规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是
_____;一条直线和平面平行,或在平面内,它们
所成的角是____
取值
范围 设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°
∠PAO
90°
0°
关键能力探究
探究点一　直线与平面垂直的定义及应用
【典例1】(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是 (　　)
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①③ B.② C.②④ D.①②④
(2)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 (　　)
A.若l⊥m,m α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m α,则l∥m
D.若l∥m,m α,则l∥α
【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.
【解析】(1)选A.因为三角形的任意两边是相交的,所以①可以保证线面垂直.因为梯形的上下两边是平行的,此时不相交,所以②不一定能保证线面垂直. 因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以保证线面垂直.若直线垂直于正六边形的两条对边,此时两条对边是平行的,所以④不一定能保证线面垂直.
(2)选B.对于A,由l⊥m及m α可知,l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,有可能l α,故D错误.
【类题通法】直线与平面垂直的定义的“双向”作用
　(1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直 线线垂直.
【定向训练】
　如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内 (　　)
A.不存在与l垂直的直线
B.存在一条与l垂直的直线
C.存在无数条与l垂直的直线
D.任一条都与l垂直
【解析】选C.平面α内与l在α内的射影垂直的直线,垂直于直线l,这样的直线有无数条,故A,B不正确,C正确;
若在平面α内,任一条都与l垂直,则直线l与平面α垂直,与题设矛盾,故D不正确.
探究点二　线面垂直判定定理的应用
【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
【思维导引】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的结论可利用.
【证明】(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.
连接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,
所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA=90°,
所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,
所以BD⊥平面SAC.
【类题通法】证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法(不常用).
②判定定理最常用(有时作辅助线).
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α.
②α∥β,a⊥α a⊥β.
【定向训练】
1.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证AD⊥平面SBC.
【证明】因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.
又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.
因为AD 平面SAC,所以BC⊥AD.
又SC⊥AD,SC∩BC=C,
所以AD⊥平面SBC.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求证:PB⊥平面EFD.
【证明】(1)连接AC交BD于点O.连接EO,因为底面ABCD是正方形,所以点O是AC的中点.
在△PAC中,因为E为PC的中点,所以EO是中位线,所以PA∥EO.
而EO 平面EDB,且PA 平面EDB.
所以PA∥平面EDB.
(2)因为PD⊥底面ABCD,且DC 底面ABCD,所以PD⊥DC.因为PD=DC,所以△PDC是等腰直角三角形,因为DE是斜边PC的中线,所以DE⊥PC.
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
因为底面ABCD是正方形,所以DC⊥BC,因为PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.而DE 平面PDC,所以BC⊥DE.因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.
而PB 平面PBC,所以DE⊥PB.
又EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.
探究点三　直线与平面所成的角
【典例3】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
【思维导引】找出直线在平面内的射影,即得所求角.
【解析】(1)连接AC,因为直线A1A⊥平面ABCD,所以∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所
成的角,
设A1A=1,则AC= ,所以tan∠A1CA= .
(2)连接A1C1交B1D1于O,连接BO,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
因为BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,
所以A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.所以∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,
在Rt△A1BO中,A1O= A1C1= A1B,所以∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角
为30°.
【类题通法】求直线与平面所成角的步骤
　(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角或直角).
(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.
(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【定向训练】
1.(2019·天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,
(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD.
(2)求证:PA⊥平面PCD.
(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
【解题指南】(1)连接BD,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GH∥PD,利用线面平行的判定定理证得结果.
(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,
结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN⊥PA,利用线面垂直的判定定理证得结果.
(3)利用线面角的定义得到∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得结果.
【解析】(1)连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,
又由BG=PG,故GH∥PD,又因为GH 平面PAD,
PD 平面PAD,所以GH∥平面PAD.
(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,
又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,
所以DN⊥平面PAC,又PA 平面PAC,故DN⊥PA,
又因为PA⊥CD,CD∩DN=D,
所以PA⊥平面PCD.
(3)连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,
可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.
因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,
所以DN= ,又DN⊥AN,
在Rt△AND中,sin∠DAN=
所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 .
2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值.
【解析】如图,设正三棱锥的底面边长为a,则侧棱长为2a.设O为底面中心,
则∠SAO为SA与平面ABC所成的角.
在Rt△SOA中,
因为AO=
所以cos∠SAO=
即侧棱与底面所成角的余弦值为 .
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.
【解析】连接AC交BD于点O,过E作EO1∥AC交BD于点O1,易证AC⊥平面BB1D1D,
所以EO1⊥平面BB1D1D,所以B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影,所以∠EB1O1为B1E与平
面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为a,因为E是AB的中点,EO1∥AC,所以O1是BO的中点,
所以EO1=
所以tan∠EB1O1=
【补偿训练】
　如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,
∠PDA=30°,O,E,F分别是AC,AB,PC的中点.
(1)证明:平面EFO∥平面PAD.
(2)证明:FO⊥平面ABCD.
(3)求EF与平面ABCD所成角的大小.
【解题指南】(1)要证面面平行,可先证线面平行,也可证一个平面内有两条相交直线与另一平面的两条直线分别平行,题中利用中位线定理可得线线平行,从而证得面面平行.
(2)由(1)得FO∥PA,再结合PA⊥平面ABCD,可得.
(3)由线面所成角的定义知∠FEO为所求角,解三角形可得.
【解析】(1)在△PAC中,因为F,O分别为PC,AC的中点,所以FO∥PA,
在△ABC中,因为E,O分别为AB,AC的中点,所以EO∥BC,
又BC∥AD,所以EO∥AD,又因为EO∩FO=O,所以平面EFO∥平面PAD.
(2)因为PA⊥平面ABCD,又由(1)知PA∥FO,
因此FO⊥平面ABCD.
(3)因为FO⊥平面ABCD,所以∠FEO即为EF与平面ABCD所成的角,又FO= PA,
EO= AD,
所以∠FEO=∠PDA=30°,
即EF与平面ABCD所成角的大小为30°.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 (　　)　　　　　　　　　　　　　
A.平面OAB
B.平面OAC
C.平面OBC
D.平面ABC
【解析】选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.
2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
【解析】选B.易证AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.
3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA= ,
则PC与平面ABCD所成角的大小为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.如图,连接AC.因为PA⊥平面ABCD,
所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.
因为AC= ,所以tan∠PCA=
所以∠PCA=60°.
4.设PA与平面α所成角为θ,斜线段PA=l,则它在平面α内的射影长
为________.
【解析】如图,PA=l,PO⊥α,∠PAO=θ,所以AO=lcos θ.
答案:lcos θ(共27张PPT)
8.6.2　直线与平面垂直(二)　
【情境探究】
　　如图是马路旁的路灯灯柱,若将灯柱看作一条直线,地面看作平面,请回答下面的问题.
必备知识生成
1.灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系
提示:灯柱所在直线与地面所在平面垂直.
2.灯柱所在的直线间是什么位置关系
提示:灯柱所在的直线都是平行的.
【知识生成】
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____
符号语言 _____
图形语言
作用 证明两条直线_____
平行
a∥b
平行
2.直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时,这条直线上_________到这个平面的距离,叫做这条
直线到这个平面的距离.
3.平面到平面的距离
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_____,
我们把它叫做这两个平行平面的距离.
任意一点
相等
关键能力探究
探究点一　直线与平面垂直的性质的应用
【典例1】如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
【思维导引】两直线垂直于同一平面 两直线平行.
【证明】因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
【延伸探究】
　　 1.本例中条件不变,求证:M是AB的中点.
【证明】假设A1D与AD1交于点O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,
所以ON CD AB,所以ON∥AM.
又由例题可知MN∥OA,
所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.
因为ON= AB,所以AM= AB,所以M是AB的中点.
2.本例中把条件“MN⊥平面A1DC”改为“M是AB的中点”,求证:MN⊥平面A1DC.
【证明】连接A1M,CM,取CD中点P,连接NP,MP,
由正方体AC1,M,N为中点,则A1M=CM,
所以MN⊥A1C.又P为CD中点,所以PN∥A1D.
因为CD⊥A1D,所以CD⊥PN.
又MP⊥CD,MP∩PN=P,所以CD⊥平面MPN.
因为MN 平面MPN,所以MN⊥CD.
又A1C∩CD=C,所以MN⊥平面A1DC.
【类题通法】
1.线面垂直性质定理的作用
线面垂直的性质提供了证明线线平行的依据.
2.直线与平面垂直的其他性质
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面.
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.
【定向训练】
　如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,直线a β,a⊥AB.求证:a∥l.
【证明】因为EA⊥α,α∩β=l,即l α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β,a β,所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理,得a∥l.
探究点二　直线与平面垂直的综合运用
【典例2】斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图.
(1)求证:EF⊥PB.
(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.
【思维导引】(1)证明线线垂直,需要证明线面垂直,关键是确定相应的直线和平面.
(2)利用线面垂直的性质得出线线平行.
【证明】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又因为△ABC为直角三角形,所以BC⊥AC,PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.又因为AF 平面PAC,所以BC⊥AF.又AF⊥PC,且PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC,所以AF⊥BP.又AE⊥PB,且AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF,所以EF⊥PB.
(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,而l⊥平面AEF,所以PB∥l.
【类题通法】线线、线面垂直问题的解题策略
　(1)证明线线垂直,一般转化为证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.
【定向训练】
　如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面PBC;
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】(1)因为AD∥BC,所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角,
因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,
在Rt△PDA中,AP= ,
所以cos∠DAP= ,
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为 .
(2)因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,
又因为AD∥BC,PD⊥BC,
又PD⊥PB,BC∩PB=B,所以PD⊥平面PBC.
(3)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,
由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,
故BC⊥DC,在Rt△DCF中,
可得DF=
在Rt△DPF中,sin∠DFP=
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 .
1
2
3
4
方法总结
易错提醒
核心素养
核心知识
逻辑推理：线面垂直的的综合应用中的相互转化问题
线面垂直的判断方法：
（1）基本事实4；
（2）线面平行的性质定理；
（3）面面平行的性质定理；
（4）线面垂直的性质定理；
直线与
平面垂直（二）
（1）注意线面垂直关系应用中的转化思想
（2）注意求直线到面的距离、平行平面间的距离时转化思想的应用
性质定理
平行平面间的距离
直线到面的距离
应用
课堂素养达标
1.已知直线a,b,平面α,且a⊥α,下列条件中,能推出a∥b的是 (　　)
A.b∥α B.b α
C.b⊥α D.b与α相交
【解析】选C.由线面垂直的性质定理可知,当b⊥α,a⊥α时,a∥b.
2.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 (　　)
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.
若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,得EF⊥PQ.
又EG与EF为相交直线,
所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.
3.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.
4.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件________时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)
【解析】只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.
答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)(共22张PPT)
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直　
【情境探究】
1.观察正方体ABCD -A1B1C1D1,棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的直线在同一个平面内吗 它们是什么关系 它们是否垂直
提示:不在同一个平面内,它们是异面关系并且垂直.
必备知识生成
2.如何判断空间两直线垂直
提示:通过平移把异面直线转化为相交直线,若两条相交直线所成的角是90°,则两直线垂直.
【知识生成】
两异面直线所成的角及空间两条直线垂直
定义 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直
线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′与b′所成的___
叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则_____________
空间两直线垂直 当θ= _____时,a与b互相垂直,记作_____
角
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
关键能力探究
探究点一　求异面直线所成的角
【典例1】在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成的角.
【思维导引】取BD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为BC,AD的中点,根据三角形中位线定理可得,∠GFE就是EF与AB所成的角,AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,利用等腰三角形的性质可得结果.
【解析】取BD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为BC,AD的中点,所以EG∥CD且
EG= CD,GF∥AB且GF= AB.
所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角或它的补角,
因为AB=CD,所以△EFG为等腰三角形.
又AB与CD所成角为30°,
所以∠EGF=30°或150°,
因为∠GFE就是EF与AB所成的角,
所以EF与AB所成角为75°或15°.
【类题通法】求两条异面直线所成的角的一般步骤及口诀
　(1)一般步骤
①构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.
②证明:证明作出的角就是要求的角.
③计算:求角度,常利用三角形.
④结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
(2)口诀
中点、端点定顶点,平移常用中位线;
平行四边形中见,指出成角很关键;
求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;
平行线若在外,补上原体在外边.
【定向训练】
　如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.
【解析】因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.
探究点二　空间两直线垂直
【典例2】如图,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对
边AD,BC上的点,且 EF= .
求证:AB⊥CD.
【思维导引】转化为利用直线垂直判定定理求解.
【证明】如图,过E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,
所以
所以OF∥CD,所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所
成的角.在△EOF中,OE= AB=2,
OF= CD=1.又EF= ,所以EF2=OE2+OF2,
所以∠EOF=90°.所以AB⊥CD.
【类题通法】
证明两异面直线垂直的步骤
　(1)作出两异面直线所成的角.
(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系.
(3)结论.
【定向训练】
已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1,O是底面ABCD的中心,求证OD1⊥A1C1.
【证明】连接AC,BD,交点为O,连接AD1,
因为A1C1∥AC,所以∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角(或所成角的补角),
因为OA=
AD1=
所以cos∠AOD1=
所以∠AOD1=90°.
所以异面直线OD1与A1C1所成的角为90°.
所以OD1⊥A1C1.
直线与
直线垂直
核心知识
易错提醒
核心素养
方法总结
直观想象：求作异面直线所成角的问题
异面直线所成的角的求法
(1)作：利用中位线、长方体、平行四边形等性质平移至一个三角形，并说明为异面直线所成的角或补角.
(2)求：利用余弦定理求角（如果是特殊三角形），或利用三角形的性质求角。
求异面直线所成的角时注意的范围
直线与直线垂直
异面直线所成的角
求异面直线所成的角
课堂素养达标
1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
【解析】选D.若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
2.如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.
3.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1= AB.记异面直线
AB1与BD所成的角为θ,则cos θ的值为________.
【解析】连接B1D1,AD1,因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,
所以BD∥B1D1,所以∠AB1D1是异面直线AB1与BD所成的角(或所成的角的补角),
设AA1= AB= ,
所以AD1=AB1= =2,B1D1= ,
记异面直线AB1与BD所成的角为θ,
则cos θ=
答案:
4.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是________.
【解析】连接B1D1,AD1,则E为B1D1的中点,F为AD1的中点,连接AB1,则EF∥AB1,又CD∥AB,所以∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,∠B1AB=45°.
答案:45°

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