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第一章 直 线 运 动
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．质点参考系和坐标系
Ⅰ
非惯性参考系不作要求
2．路程和位移 时间和时刻
Ⅱ
3．匀速直线运动 速度和速率
Ⅱ
4．变速直线运动 平均速度和瞬时速度
Ⅰ
5．速度随时间的变化规律(实验、探究)
Ⅱ
6．匀变速直线运动 自由落体运动 加速度
Ⅱ
二、能力要求
1．能区分状态量与过程量，时刻、位置、瞬时速度是状态量；时间、位移、平均速度是过程量．正确判定好位移、速度、加速度矢量的方向．
2．理解匀变速直线运动公式中x、v、a正、负的含义，根据运动特点灵活运用公式解决匀加速直线运动、匀减速直线运动以及匀变速往返的直线运动．
3．掌握竖直上抛运动的特点：
(1)时间的对称性：物体上升运动中通过某两个位置所用时间总等于下降运动中通过这两个位置间所用的时间．
(2)速度的对称性：物体上升过程中通过某一位置的速度大小总等于下降运动中通过该位置速度的大小，两速度方向相反．
4．能结合审题，通过画草图分析物理过程，会借助于v－t图象分析位移、速度等物理量，以及寻找这些物理量之间的关系．
三、解题示例
例1 如图所示，电灯距离水平地面H，一高为h(h＜H)的人以速度v沿水平地面匀速远离电灯，人头顶在地面上的影子为P，试确定P点的运动规律．
分析：确定P点的运动规律，就是确定P点的速度、加速度随时间变化的规律，电灯、人的头顶、P点三点共线，且电灯位置固定，人的头顶做匀速直线运动，所以P点的运动轨迹一定是直线．我们可以通过建立坐标系，确定P点的位置与人的位置之间的关系，即可确定P点的运动方程，或者根据速度、加速度的定义确定P点的速度、加速度随时间变化的规律．
解法一：如图所示，以灯正下方的O点为坐标原点，以人前进的方向为x轴的正方向，建立坐标系Ox．
以人正通过电灯正下方时开始计时，即t0＝0，此时P点的位置恰好在O点，即x0＝0．在时刻t，人的位置x1＝vt，P点的位置x′，根据几何知识可得
即P点的位置
这也是P点的运动方程．
令，vp为定值，则x′＝vPt
可见P点以速度做匀速直线运动．
解法二：如图所示，设在Δt时间内，人的位移Δx1＝vΔt，P点的位移为Δx′，由相似三角形知识得
所以
根据速度的定义可知，P点的速度为定值，即P点做速度大小为的匀速直线运动，加速度为0．
讨论：
(1)尽管P点不是质点，也不是物体上的一个点，但它也有位置．P点位置的变化率就是P点的速度．在这里我们把速度的概念拓展到了一个几何点，即对一个抽象的几何点的位置变化也可谈速度．一般说，只要与位置有关的事物，位置的变动就可以应用速度的概念．
(2)本题还可以进一步思考：
如果人行走的路面不是水平的，而是有一定倾角θ的下坡路或者是上坡路，P点的速度将如何?
例2某质点做匀变速直线运动，在第2s内的位移是6m，第4s内的位移是0，试求该质点运动的初速度和加速度．
分析：质点运动的物理情景如图所示，题中叙述质点在“第4s内的位移是0”，说明在第3s末和第4s末，质点在同一位置，即质点做的是有往返运动的匀变速直线运动，所以质点在第1s、第2s、第3s内做加速运动，在第4s内速度减至0后，反向做匀加速直线运动．
解：设物体的初速度为v0，并以初速度的方向为正方向，物体的加速度为a，则物体在第s秒初的速度为vn＝v0＋a(n－1)
物体在第ns内的位移为
故当n＝2时，v0＋1.5a＝6
当n＝4时，v0＋3.5a＝0
解得加速度a＝－3m/s2，初速度v0＝10.5m/s，表明a与v0反向．
讨论：本题还可以利用其他公式来解决，例如
(1)利用Δx＝aT2．
以初速度方向为正方向，物体在第2s内的位移为x2＝6m，在第4s内的位移为x4＝0，设加速度为a，则x4－x2＝2aT2
得到加速度a＝(x4－x2)/2T2＝(0－6)/2m/s2＝－3m/s2，负号表示与正方向相反．
(2)利用物体做匀变速直线运动某段时间的平均速度等于其中间时刻的即时速度．
物体在1.5s时的速度为
物体在3.5s时的速度为
则质点的加速度为
再用v1.5＝v0＋a×1.5
求得v0＝10.5m/s
例3 一悬崖高为h，某一时刻从悬崖顶部自由下落一石子A，同时从悬崖正下方的地面上竖直上抛一石子B，B的初速度为v0．求AB两石子相遇的地方．(不计空气阻力)
分析：A做自由落体运动，B做竖直上抛运动，分别写出 A、B的运动学方程，相遇条件是：经过相同时间，A、B的位置相同，求出相遇的条件即可求出相遇的地点．
解：A做自由落体运动，经过时间t下落的距离为
B做竖直上抛运动，经过时间t上升的距离为
相遇条件是 hA＋hB＝h
解上述三个方程得相遇时间
相遇地点距离地面的高度
讨论：
(1)本题有解的条件是，即．这是因为要有解，必须是A下落的时间小于B在空中运动的时间，即．
(2)可进一步思考：A、B是在B上升过程中相遇，还是在B下降过程中相遇．
例4 甲、乙两辆摩托车沿直线同方向运动，甲做加速度为a1的匀加速运动，当其速度为v0时，从甲的前方与甲相距为d的位置，乙开始做初速度为零、加速度为a2的匀加速运动．则关于甲、乙相遇的情况，以下说法中正确的是
A．若a2＝a1，两车只能相遇一次 B．若a2＞a1，两车可能相遇两次
C．若a2＜a1，两车可能相遇两次 D．若a2＞a1，两车不可能不相遇
分析：分别写出甲、乙的运动学方程，判断它们是否相遇，就是判断经过相同时间，它们的位置是否相同．
以乙开始运动时为计时起点，经过时间t，甲、乙的位移分别为x1、x2，则
如图所示，甲、乙相遇的条件是
即
当方程无解时，表示甲、乙不能相遇；当方程有解时，表示甲、乙可能相遇．
判别式
当a2＜a1时，判别式一定成立，方程Δx＝0必有两解，但方程的解分别为
显然两个解一正、一负，其中负值者表示甲、乙在计时起点前相遇，不符合题意，应舍去，所以甲、乙只能相遇一次．
当a2＝a1时，方程变为一次方程d－v0t＝0，显然解为，所以甲、乙只能相遇一次．
当a2＞a1时，判别式的值可能小于0，这种情况下甲、乙不相遇；判别式的值也可能等于0，这种情况下甲、乙只能相遇一次；判别式的值还可能大于0，方程的解分别为
两个解都大于0，这种情况下甲、乙相遇2次．
解：正确答案是选项A、B
讨论：(1)在利用数学方法求解物理题时，一定要注意解的物理意义，并要结合题目要求进行取舍．
(2)是否可以利用v－t图象讨论甲、乙两辆摩托车相遇的情况呢?
例5 火车以54km/h的速度匀速前进，当经过A站时需临时停车60s．进站时加速度大小为0.3m/s2，出站时的加速度为0.5m/s2，出站后仍要以54km/h的速度前进．求火车因为临时停车所耽误的时间Δt．
分析：根据题意，火车停车过程分为三个阶段：由速度54km/h匀减速运动到静止；停车60s；由静止匀加速到54km/h．
解：以初速度v0的方向为正方向，火车停站的过程可以分为三个阶段：
第一阶段，火车进站过程做匀减速运动，初速度v01＝15m/s，加速度a1＝－0.3m/s2．设从减速开始直至停下(末速度vt1＝0)所用时间为t1，位移是x1，则
根据vt＝v0＋at，得
根据，得
第二阶段为停车阶段，设停留时间为t2＝60s；
第三阶段，火车出站过程做匀加速运动，初速度v02＝0，加速度a3＝0.5m/s2．设从加速开始直至恢复到原速度(末速度vt2＝15m/s)所用时间为t3，位移是x3，则
根据vt＝v0＋at，得
根据，得
火车在(x1＋x2)段上按原速度(v0＝15m/s)匀速行驶时所需时间
而现在因临时停车所需时间t＝t1＋t2＋t3＝140s
所以耽误时间Δt＝t－t0＝100s
讨论：
也可以利用v－t图象求解．
火车停站过程的v－t图象如图所示，加速度即直线的斜率，所以t1段的加速度为a1＝－0.3m/s2，t3段的加速度为a2＝0.5m/s2，由图形得：


其他步骤同上．
四、综合练习
1．一质点做直线运动，原来速度v＞0，加速度a＞0，位移x＞0．从某时刻把加速度均匀减小，则 ( )
A．速度逐渐减小，直到加速度为零
B．速度逐渐增大，直到加速度为零
C．位移继续增大，直到加速度为零
D．位移继续增大，直到速度为零
2．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s，1s后速度的大小变为10m/s，在这1s内该物体的 ( )
A．位移的大小可能小于4m
B．位移的大小可能大于10m
C．加速度的大小可能小于4m/s2
D．加速度的大小可能大于10m/s2
3．一辆汽车从车站开出，做匀加速直线运动行驶一段时间后，司机突然发现一乘客未上车，就紧急刹车，使车做匀减速直线运动直到停止．汽车从开始启动到停下来共用时10s，前进15m．在此过程中汽车达到的最大速度是 ( )
A．1.5m/s B．3m/s C．4m/s D．6m/s
4．一木块以5m/s的速度从斜面的底端冲上足够长的光滑斜面，木块在斜面上滑动时加速度的大小为0.4m/s2，则木块经过距斜面底端30m位置所需时间可能是 ( )
A．5s B．10s C．15s D．20s
5．为了测出楼房的高度，一同学将一石块从楼顶自由落下，不计空气阻力，只要测出下列哪个物理量就可算出楼房的高度 ( )
A．石块下落到地面的时间
B．石块落地前瞬间的速度
C．石块下落一半时间所走的距离
D．石块下落一半距离所用的时间
6．两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下每次曝光时木块的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的．由图可知 ( )
A．在时刻t2以及时刻t3两木块速度相同
B．在时刻t3两木块速度相同
C．在时刻t3和时刻t4之间某瞬时两木块速度相同
D．在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同
7．一质点做直线运动，其位移x(m)与时间t(s)有x＝t(2－t)的关系，此质点在头2s内的平均速度等于__________，第2s末的速度等于__________．
8．一小球从静止开始做匀加速直线运动，在第15s内的位移比此前1s内的位移多了0.2m，则小球运动的加速度为__________，前15s内的平均速度为__________．
9．一列客车从静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第一节车厢前观察，第一节车厢通过他经历了10s的时间，全部列车通过他经历了的时间，列车共有__________节车厢．
10．图中的A是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图．测试已发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，可以测出物体的速度．图B中P1、P2是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是P1、P2由汽车反射回来的信号．设测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔Δt＝1.0s，超声波在空气中传播的速度是v＝340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图B可知，汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是__________m，汽车的速度是__________m/s．
11．t＝0时，甲、乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图所示，忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是 ( )
A．在第1h末，乙车改变运动方向
B．在第2h末，甲乙两车相距10km
C．在前4h内，乙车运动加速度的大小总比甲车大
D．在前4h内，甲、乙两车相遇
12．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在4次比赛中的v－t图如图所示．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆?
13．甲、乙两辆摩托车沿直线同方向运动．甲做加速度大小为a1的匀减速运动，当其速度为v0时，从甲的前方与甲相距为d的位置，乙开始做初速度为零、加速度为a2的匀加速运动．则关于甲、乙相遇的情况，以下说法中正确的是 ( )
A．甲一定追不上乙 B．甲一定能追上乙
C．两车可能只相遇一次 D．两车可能相遇两次
14．一架飞机水平地在某同学头顶飞过，当他听到飞机的发动机声从头顶正上方传来时，发现飞机在他前方约与地面成60°角的方向上，由此估算该飞机的速度约为声音速度的__________倍．
15．已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等．求O与A的距离．
16．某地铁列车从甲站由静止出发沿直线运动，先以加速度a1匀加速运动，接着以加速度a2匀减速运动，到达乙站时刚好停止，若两站相距x，列车运行中最大速度为多少?
17．一升降机的高度为l，以加速度a匀加速上升，忽然间顶部有一小螺丝钉脱离．试求螺丝钉落到升降机地板上所需要的时间．
18．一平直的传送带以速率v＝2m/s匀速运行，传送带把A处的工件运送到B处，A、B相距L＝10m．从A处把工件轻轻放到传送带上，经过时间t＝6s能传送到B处．如果提高传送带的运行速率，工件能较快地从A处传送到B处．要让工件用最短时间从A处传送到B处，说明并计算传送带的运行速率至少应多大?
19．天空有近似等高的浓云层．为了测量云层的高度，在水平地面上与观测者的距离为d＝3.0km处进行一次爆炸，观测者听到由空气直接传来的爆炸声和由云层反射来的爆炸声时间上相差Δt＝6.0s．计算云层下表面的高度，已知空气中的声速v＝0.33km/s．
20．甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的，为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前x0＝13.5m处作了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20m．求：
(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a；
(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离．
参考答案
第一章
1．B　2．AD　3．B　4．BC　5．ABCD　6．C　7．0，　－2m/s　8．0.2m/s2，1.5m/s　9．10　10．17，17.9
11．BC　12．AC　13．CD　14．　15．　16．
17．　18．2m/s　19．2.0km　20．3m/s2　6.5m
第二章 牛顿运动定律
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．力的合成和分解力的平行四边形定则
Ⅱ
2．重力形变和弹力胡克定律
Ⅰ
3．静摩擦 滑动摩擦 摩擦力 动摩擦因数
Ⅰ
4．共点力作用下物体的平衡
Ⅰ
5．牛顿运动定律及其应用
Ⅱ
6．加速度与物体质量、物体受力的关系
Ⅱ
二、能力要求
1．掌握对物体进行受力分析的一般方法．
2．能运用正交分解法求合力；能正确理解并使用力的独立作用原理．
3．能根据已知条件和问题需要合理选择研究对象．
4．理解牛顿运动定律是瞬时规律，对应物体运动的某一状态(或某一时刻)．
5．熟练掌握运用牛顿第二定律处理问题时的步骤、方法；能根据物体的受力情况和初始条件确定物体的运动情况；能根据物体的运动情况确定物体的受力情况．
6．能利用牛顿运动定律分析一些典型的情景，例如物体平衡的情景、物体沿斜面运动的情景、物体间分离的情景、汽车启动的情景等．
三、解题示例
例1 如图所示，轻绳的一端固定在水平天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，图中OA＝OB＝l，轻绳长2l，不计质量和摩擦的小动滑轮下悬吊质量为m的物体，将该装置跨在轻绳上，求系统达到静止时绳所受的拉力T是多大?
分析：一根轻绳跨过光滑的滑轮时，由于滑轮两侧是同一根绳，并且绳与滑轮间摩擦不计，绳的张力处处相等，要使两侧绳对滑轮下最低点的拉力的合力向上，两侧拉力的水平分力也必须相等．因此，两侧绳与竖直方向的夹角应相等．
解：以小滑轮下方绳的最低点为研究对象画出受力图，如图所示．
由平衡条件得：2FTcosθ＝G
设静止时滑轮位置在C点，绳不可伸长，利用几何关系可知
AO＝l＝ACsinθ＋CBsinθ＝2lsinθ
所以 θ＝30°．
得 ．
讨论：
(1)解题的关键点有两个：一是判断两侧绳的拉力大小相等，且拉力与竖直方向的夹角相等；二是要利用几何知识求夹角．
(2)请思考若把B点沿竖直墙缓慢向上或向下在OD间移动，由图知绳与竖直墙的夹角θ是否会改变?绳受的拉力大小是否会改变?
例2 质量为m＝2kg的物体静止在水平面上，它们之间的动摩擦因数为μ＝0.5．现对物体施加如图所示的力F，F＝10N，与水平方向成θ＝37°夹角．经过t＝10s后，撤去力F，再经过一段时间，物体又变为静止．求整个过程中物体的总位移x．(g取10m/s2)
分析：
这是一个根据物体受力情况和初始条件确定物体运动情况的习题，关键在于正确分析物体的受力情况，尤其是摩擦力的变化情况．
解：以水平面上的物体为研究对象．
在力F作用时，物体受力情况如图所示．根据牛顿第二定律得
N1＋Fsinθ＝mg
Fcosθ－f1＝ma1
f1＝μN1
于是，加速度
经t＝10s的位移x1，以及10s末的速度v分别为
撤去力F前后，物体受力情况如图所示．同理有
N2＝mg
f2＝ma2
f2＝μN2
物体的加速度a2＝μg＝5m/s2
这以后的位移(到停下)
总位移x＝x1＋x2＝27.5m
讨论：
(1)摩擦力是被动力，随物体间相互作用的正压力的变化而变化．
(2)速度是联系相邻的不同运动过程的重要物理量．
例3如图所示，轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个物块，静止时弹簧伸长了4cm．现用外力向下拉物体，使弹簧再伸长1cm时，保持物块静止．当撤去外力时，物块的加速度为(g为重力加速度)
A．0.25g B．0.75g C．1.0g D．1.25g
分析：当撤去外力时，物体所受合力与撤去的外力大小相等，方向相反，合力使物体产生加速度．
设物块质量为m，弹簧的劲度系数为k．
当弹簧伸长Δx1＝4cm时，kΔx1＝mg
当在外力作用下，弹簧伸长Δx2＝5cm时，设外力大小为F,则kΔx2＝mg＋F
撤去外力时，由于重力和弹簧弹力都不变，所以物块所受合力大小等于F，则加速度大小为
解得a＝0.25g
故选项A正确．
讨论：
处理运动状态变化这类习题的一般方法是：先确定物体运动状态变化之前，物体所受各个力的情况；然后，确定物体运动状态发生变化后，物体所受各个力中，哪些力发生了变化(施力物体存在与否)、哪些力没有变化；再根据变化后的受力情况，求物体的加速度．
例4 质量m＝4×103kg的汽车，发动机的额定功率P0＝40kW．若汽车从静止开始，以a＝0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动中汽车受到阻力f＝2×103N．求：
(1)汽车匀加速运动的时间t；
(2)汽车可达的最大速度vm；
(3)汽车的速度时加速度的大小a1．
分析：
汽车做匀加速直线运动时，牵引力的大小不变，由于P＝Fv．所以随着汽车速度的增加，发动机的功率增加，也就是说，在汽车做匀加速直线运动的过程中，发动机的功率是变化的．
当发动机的功率增大到额定功率时，如果汽车速度的增加，就只能减小牵引力，这样汽车的加速度也将减小，也就是说，当发动机的功率增大到额定功率后，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，直到速度达到最大．
汽车运动的速度图象如图所示．
解：
(1)汽车做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得F－f＝ma
解得汽车受牵引力F＝4×103N
当发动机的功率等于额定功率时，汽车匀加速运动的最大速度为
汽车匀加速运动所用的时间
解得t＝20s v1＝10m/s
(2)当汽车加速度减为零时，速度达到最大值vm，此时汽车受的牵引力等于阻力，所以
．
(3)当时，由于v＞10m/s，所以汽车正处于加速度减小过程中，汽车此时受的牵引力为
汽车的加速度
解得a1＝0.25m/s2．
例5 手托一个物体竖直向上抛出，在物体脱离手的瞬间，手的速度方向__________，手的加速度__________(填“大于”、“小于”或“等于”)重力加速度g．
分析与解答：
手与物体一起向上运动，速度相同，由于惯性，物体脱离手时，手的速度方向也是竖直向上的(速度变为反向，必须经历先减到零的过程)．
物体脱离手以后做竖直上抛运动，即以重力加速度g做匀减速直线运动．只有手以更大的加速度做减速运动时，物体与手才能分离，可见手的加速度大于重力加速度g．
四、综合训练
1．物体受到三个共点力的作用，这三个力大小是以下哪种情况时，有可能使物体处于平衡状态 ( )
A．F1＝3N，F2＝4N，F3＝6N B．F1＝1N，F2＝2N，F3＝4N
C．F1＝2N，F2＝4N，F3＝6N D．F1＝5N，F2＝5N，F3＝1N
2．如图所示，重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的．平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是 ( )
A．F1＝mgcosθ B．F1＝mgcotθ
C．F2＝mgsinθ D．
3．如图所示，位于斜面上的物块M在沿斜面向上的力F作用下，处于静止状态．则斜面作用于物块的静摩擦力的 ( )
A．方向可能沿斜面向上
B．方向可能沿斜面向下
C．大小可能等于零
D．大小可能等于F
4．1999年11月20日，我国发射了“神舟号”载人飞船，次日载人舱着陆，实验获得成功．载人舱在将要着陆之前，由于空气阻力作用有一段匀速下落过程．若空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为k，载人舱的质量为m，则此过程中载人舱的速度应为__________．
5．如图所示，用轻绳悬挂一个重为G的小球，现对小球再施加一个力F，使绳与竖直方向成θ角，小球处于平衡，试就下列各种情况，分别求出力F的大小、方向．
(1)若力F为水平方向；
(2)若力F垂直于绳向上；
(3)若力F与绳拉力大小相等．
6．如图，粗糙木板AB的B端用铰链固定在水平地面上，木板上放一质量为m的物体．当木板以铰链为轴顺时针由水平转到竖直位置的过程中，物体受到摩擦力的大小
( )
A．始终增大
B．始终减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
7．物体m恰好沿静止的斜面匀速下滑．现用一个力F作用在m上，力F过m的重心，且方向竖直向下，如图所示．则 ( )
A．斜面对物体的支持力增大了
B．斜面对物体的摩擦力增大了
C．物体沿斜面加速下滑
D．物体仍保持匀速下滑
8．如图，在半径为R的光滑半球面上高h处悬挂一定滑轮，重量为G的小球(小球大小不计)用绕过滑轮的绳子拴着，并靠在半球面上．人用力F拉动绳子，小球从与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中，小球对半球的压力N和拉力F的大小将 ( )
A．N变大 B．N不变
C．F减小 D．F不变
9．如图所示，C是水平地面，A、B是两个长方形物块，F是作用在物体B上沿水平方向的力，物体A和B以相同的速度做匀速直线运动．由此可知，A、B间的动摩擦因数μ1和B、C间的动摩擦因数μ2有可能是 ( )
A．μ1＝0，μ2＝0 B．μ1＝0，μ2≠0
C．μ1≠0，μ2＝0 D．μ1≠0，μ2≠0
10．如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为 ( )
A． B．
C． D．
11．图中a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们的连接如图所示并处于平衡状态． ( )
A．有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态
B．有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态
C．有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态
D．有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态
12．质量为m的物体，放在粗糙的水平面上，在水平恒力作用下由静止开始运动．经过时间t，速度达到v，如果要使物体的速度达到2v，可以采取以下哪种方法 ( )
A．将物体的质量变为，其他条件不变
B．将水平恒力增为2F，其他条件不变
C．将时间增为2t，其他条件不变
D．将质量、作用力和时间都增为原来的两倍
13．原来做匀速运动的升降机内，有一被伸长弹簧拉住的、具有一定质量的物体A静止在地板上，如图所示．现发现A突然被弹簧拉向右方，由此可判断，此时升降机的运动可能是 ( )
A．加速上升 B．减速上升
C．加速下降 D．减速下降
14．倾角分别为30°、45°和60°的光滑斜面的上端位于同一竖直平面内，即它们有相同的底d，如图所示．分别从各斜面的顶端由静止释放一个小物体，它们滑到底端所用的时间分别是t1、t2、t3．比较t1、t2、t3的大小，有__________．
15．如图所示，物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的弹簧上．在A点物体开始与弹簧接触，到B点时物体速度为零，然后被弹回．下列说法中正确的是 ( )
A．物体从A下降到B的过程中，速率不断变小
B．物体从B上升到A的过程中，速率不断变大
C．物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大后减小
D．物体在B点时所受合力为零
16．在交通事故的分析中，刹车线的长度是很重要的依据．刹车线是汽车刹车后停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车的刹车线长度是14m．假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数为0.7，g＝10m/s2，则汽车开始刹车时的速度为 ( )
A．7m/s B．10m/s C．14m/s D．20m/s
17．电梯顶上悬挂一根劲度系数是200N/m的弹簧，弹簧的原长为20cm，在弹簧下端挂一个质量为0.4kg的砝码．当电梯向上运动时，测出弹簧长度变为23cm，g＝10m/s2，则电梯的运动是 ( )
A．加速上升，a＝7.5m/s2 B．加速上升，a＝5m/s2
C．减速上升，a＝2.5m/s2 D．匀速上升，a＝0
18．在粗糙的水平面上，物体在水平推力作用下，由静止开始作匀加速直线运动．作用一段时间后，将水平力逐渐减小到零，则在水平推力逐渐减小的过程中 ( )
A．速度逐渐减小，加速度逐渐减小
B．速度逐渐增大，加速度逐渐减小
C．速度先增大后减小，加速度先增大后减小
D．速度先增大后减小，加速度先减小后增大
19．如图所示，三个质量相等的物体用轻弹簧和轻绳连接起来，当剪断A绳的瞬间三个物体的加速度分别为__________、__________、__________；剪断B绳的瞬间三个物体的加速度分别为__________、__________、__________．
20．木块A放在斜面体B的斜面上处于静止，如图所示．当斜面体向左做加速度逐渐增大的加速运动时，木块A相对于斜面体B仍保持静止，则A受到的支持力N和摩擦力f的大小变化情况为 ( )
A．N增大，f增大
B．N不变，f不变
C．N减小，f先增大后减小
D．N增大，f先减小后增大
21．如图，在光滑的地面上，水平外力F拉动小车和木块一起做加速运动．小车的质量是M，木块的质量是m，力的大小为F，加速度为a，木块和小车之间的动摩擦因数是μ，则在这个过程中，木块受到的摩擦力的大小是 ( )
A．μmg B．ma
C． D．F－Ma
22．木块A和B置于光滑的水平面上，它们的质量分别为mA和mB，如图所示．当水平力F作用于左端A上，两物体一起加速运动时，AB间作用力大小、为N1．当同样大小的力F水平作用于右端B上，两物体一起加速运动时，AB间作用力大小为N2．则 ( )
A．两次物体运动的加速度大小相等 B．N1＋N2＜F
C．N1＋N2＝F D．N1∶N2＝mB∶mA
23．如图，质量为m2的物体2放在车厢地板上．用竖直细绳通过定滑轮与质量为m1的物体1连接．不计滑轮摩擦，当车厢水平向右加速运动时，物体2仍在车厢地板上相对静止．连接物体1的绳与竖直方向夹角为α，物体2与车厢地板的摩擦因数为μ，则物体2受绳的拉力为__________，物体2所受地板的摩擦力为__________．
24．如图，自动电梯与地面的夹角为30°，当电梯沿这个方向向上做匀加速直线运动时，放在电梯平台上的箱子对平台的压力是其重力的1.2倍，则箱子与地面的静摩擦力是其所受重力大小的__________倍．
25．放在水平地面上的物块，受到方向不变的水平推力F的作用，F的大小与时间t的关系和物块速度v与时间t的关系如图所示，取重力加速度g＝10m/s2．由此两图可求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数分别为
A．m＝0.5kg，μ＝0.4
B．m＝1.5kg，
C．m＝0.5kg，μ＝0.2
D．m＝1.0kg，μ＝0.2
26．有一行星探测器，质量为1800kg．现将探测器从某一行星的表面竖直升空，探测器的发动机推力恒定．发射升空后9s末，发动机因发生故障突然灭火．如图所示，是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象．已知该行星表面没有大气，若不考虑探测器总质量的变化，求：
(1)该行星表面附近的重力加速度大小；
(2)发动机正常工作时的推力．
27．风洞实验室中可以产生水平方向的、大小可调节的风力，现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室，小球孔径略大于细杆直径．如图所示．
(1)当杆在水平方向上固定时，调节风力的大小，使小球在杆上做匀速运动，这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍．求小球与杆间的动摩擦因数；
(2)保持小球所受风力不变，使杆与水平方向间夹角为37°并固定，则小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为多少?(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
28．有一个倾角为30°的斜面，长40m．一个物体只受重力和斜面对它的作用力，从斜面中点以12m/s的初速度和6.0m/s2的加速度沿斜面向上做匀减速运动，g取10m/s2．求这个物体经过多长时间能滑到斜面底部．
29．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板．系统处于静止状态．现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A，使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d．已知重力加速度g．
30．有一质量M＝4kg，长L＝3m的木板，用水平外力F＝8N向右拉木板，木板以v0＝2m/s的速度在地面上匀速运动．某一时刻将质量m＝1kg的铁块轻轻放在木板最右端，如图所示．不计铁块与木板间的摩擦，小铁块可视为质点，g取10m/s2．求铁块经过多长时间将离开木板?
31．一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平面的中央．桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示．已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2．现突然以恒定的加速度将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度)
参考答案
第二章
1．ACD　2．BD　3．ABCD　4．　5．(1)Gtanθ　(2)Gsinθ　(3)　6．D　7．ABD　8．BC　9．BD　10．C　11．AD　12．CD　13．BC　14．t1＝t3＞t2　15．C　16．C　17．B　18．D
19．3g(向下)、0、0；0、g(向上)、g(向下)　20．D　21．BCD　22．ACD
23．，m2gtanθ　24．0.35　25．A　26．(1)4m/s2　(2)2×104N
27．(1)0.5　(2)　28．6s
29．　
30．2s　31．
第三章 曲 线 运 动
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．运动的合成和分解
Ⅰ
2．曲线运动中质点的速度方向沿轨道的切线方向，且必具有加速度
Ⅰ
3．平抛运动
Ⅱ
4．匀速率圆周运动，线速度、角速度和周期，圆周运动的向心加速度
Ⅱ
5．万有引力定律
Ⅱ
6．圆周运动中的向心力，卫星的运动(限于圆轨道)
Ⅱ
7．宇宙速度
Ⅰ
二、能力要求
(一)曲线运动运动的合成
1．掌握物体做曲线运动的条件；理解曲线运动是变速运动．
2．掌握运动合成与分解的方法；理解分运动与合运动具有等时性．
3．掌握位移、速度、加速度等矢量的合成与分解的平行四边形定则．
(二)平抛物体的运动
1．掌握物体做平抛运动的条件；理解平抛运动是加速度恒为g的匀变速运动．
2．理解平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
3．掌握平抛运动的位移公式和速度公式．
4．理解平抛运动的飞行时间仅由下落高度决定，与初速度无关．
(三)匀速圆周运动
1．掌握匀速圆周运动的线速度v、角速度ω、周期T、频率f、转速n的物理意义及它们之间的数量关系：，．
2．理解匀速圆周运动是加速度变化的曲线运动．
3．知道向心加速度与向心力的方向均沿半径指向圆心，会分析哪些力提供向心力．
4．理解在不同约束条件下，竖直面内的圆周运动在最高点和最低点的运动与受力情况．
(四)万有引力定律 天体运动
1．掌握万有引力定律．
2．知道重力是地球表面附近的物体受到的地球对它的引力：
3．掌握万有引力定律的应用：
(1)理解万有引力是天体或人造地球卫星做匀速圆周运动的向心力．
(2)会计算天体的质量、密度；理解卫星的线速度、角速度、周期随轨道半径变化的规律等．
(3)了解宇宙速度，会推导第一宇宙速度的表达式．
三、解题示例
例1 如图所示，A、B两质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2，不计空气阻力，下列说法正确的是
A．x1＝x2 B．x1＞x2
C．x1＜x2 D．无法判断
分析：
由于A在竖直平面内运动，且初速度方向水平，仅受重力作用，所以A做平抛运动，设A的水平初速度为v0，斜面的高度为h，A从抛出到落在P1点经历的时间为t1．选取坐标系Oxy1，根据平抛运动的规律可得
A质点落地的条件为 y1＝h
解得
由于B在斜面上运动，其受力情况如图所示．FN与FG的合力F一定沿斜面向下．垂直斜面看，物体的受力情况及初始速度如图所示，B质点受到的合外力也是恒力，大小为mgsinθ，B质点也做加速度不变的曲线运动．B质点的初速度为v0，加速度为a＝gsinθ(θ为斜面的倾角)．设B从抛出到落在P2点经历的时间为t2，选取坐标系Oxy2，则B质点的运动方程为
B质点落地的补充方程为
解得
比较可知x1＜x2．
解：正确选项为C．
例2 太阳从东边升起，西边落下，是地球上的自然现象，但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象．这些条件是

甲 乙
A．时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
B．时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大
C．时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
D．时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度不能太大
分析：东西方向是由地球自转时地面运动的方向确定的，与地面运动方向相同的方向是向东方向，反之是向西方向．站在地面上的人看到太阳东升西落是因为地面由西向东运动所造成的．如图甲所示，地面上A处的人看到太阳正要从东方升起，B处的人则看到太阳刚要西落．
要让人看到太阳从西边升起，人必须身处B处上方正在由东向西飞行的飞机中，如图乙所示，飞机 相对地心由东向西转动的速度只要大于0即可，也就是飞机相对地面的速度大小只要比地面转动的速度大即可．所以，选项C正确．
解：选项C正确．
讨论：
(1)本题联系地理知识考查理解能力，要求对参考系的概念清晰，并且要求空间想象能力较强．
(2)太阳东升西落的自然现象是相对于地面说的，对飞行的飞机看到太阳的运动既可能是西升东落，也可能停在空中不动．从绕地球飞行的飞船上，一天能看到多次日出日落．
(3)为什么这种现象发生在高纬度地区?
例3 地球同步卫星到地心的距离r可由求出．已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
分析：卫星与地球间的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即
得
又地球表面的重力加速度gR2＝GM，所以
式中R是地球半径，T是地球自转周期，亦即同步卫星运行周期，g是地球表面处的重力加速度，对照题干要求，应该选A、D．
答案：A、D．
讨论：
此题很有新意，导出的表达式不用常用字母，掩盖了各量的物理意义，告诉各量的单位，根据单位去分析应是什么物理量；另一方面也可看出，无论怎样变化，都离不开基本知识．
例4 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得
A．火星和地球的质量之比 B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比 D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
分析：
设太阳的质量为M，火星的质量为m1，地球的质量为m2，火星到太阳的距离为r1，地球到太阳的距离为r2，火星绕太阳运行周期为T1，地球绕太阳运行周期为T2．
由火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有
可得火星和地球到太阳的距离之比
火星绕太阳运行与地球绕太阳运行的线速度之比
由火星和地球绕太阳运动的周期之比可以判断出它们线速度之比、角速度之比、环绕半径之比等，但无法判断出它们的质量之比，也无法判断出火星与太阳的质量之比．
答案：选项C，D．
讨论：
万有引力作用下卫星做匀速圆周运动的习题要注意两点：一是正确理解和掌握匀速圆周运动的规律，二是正确使用牛顿第二定律．
例5 宇航员站在某行星表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离变为原来的1.5倍．已知两落地点在同一水平面内，该行星的半径为R，万有引力常数为G，求该行星的质量．(忽略星球的自转影响)
分析：宇航员抛出的小球在空中飞行的距离比较短，可认为小球受到的万有引力没有变化，就如同在地面上做平抛运动的物体一样，小球在此星球上也做平抛运动，其加速度为此星球表面的重力加速度，是由万有引力产生的．
解：小球两次平抛运动的示意图如图所示，设第一次抛出的水平距离为x，第二次抛出的水平距离为2x，由几何关系可知
由以上两式解得：
平抛运动的竖直位移：
根据牛顿第二定律得：
联立以上三式可得：
讨论：
处理万有引力与抛体运动的综合问题的关键是抓住加速度，万有引力是使物体产生加速度的原因，可以说加速度是联系万有引力与抛体运动的桥梁．
四、综合训练
1．船在静水中速度为v1，水流速度为v2，v2＜v1，河宽为d．当船头垂直向对岸航行时，则
( )
A．实际航程最短
B．过河时间最短
C．当船速不变，水流速度增大时，过河时间不变
D．当船速不变，水流速度增大时，过河时间变长
2．一个物体以初速度v0水平抛出，落地的速度为v，那么物体运动时间为 ( )
A． B． C． D．
3．如右图，以9.8m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是 ( )
A． B． C． D．2s
4．以v0水平抛出一物体，如右图，不计空气阻力，它又落到斜面上时，所用的时间为 ( )
A． B．
C． D．
5．如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的初速v同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为 ( )
A．3∶4 B．4∶3
C．9∶16 D．16∶9
6．做平抛运动的质点通过A、B、C三点，取A为坐标原点，B、C点的坐标如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A．抛出点的坐标是(0，0)
B．抛出点的坐标是(－10，－5)
C．初速度是1m/s
D．初速度是0.58m/s
7．如图所示是一小球做平抛运动时所拍摄的闪光照片的一部分，图中背景方格的实际边长为5.0cm，横线为水平方向，竖线为竖直方向，根据此图可知拍摄照片时闪光灯的闪光频率为__________Hz，小球做平抛运动的初速度的大小为__________m/s．(g取10m/s2)
8．如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径是2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则 ( )
A．a点和b点的线速度大小相等
B．a点和b点的角速度大小相等
C．a点和c点的线速度大小相等
D．a点和d点的向心加速度大小相等
9．如图所示的靠轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴为r．左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点，小轮的半径为r，c为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则 ( )
A．b点与d点的线速度大小相等
B．a点与c点的线速度大小相等
C．c点与b点的角速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小之比为1∶8
10．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L．已知重力加速度为g．要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于
( )
A． B．
C． D．
11．在长绳的一端系一个质量为m的小球，绳的长度为L，能够承受的最大拉力为7mg．用绳拉着小球在竖直面内做圆周运动，小球到达最低点的最大速度应为 ( )
A． B． C． D．
12．如图所示，一根长为L的细绳上端固定，下端拴一个质量为m的小球．拉起小球使线到水平位置，然后放手．小球在过最低位置时，加速度为a，速度为v，角速度为ω，绳的拉力为T．如果换用更长一点的细绳重复实验，则 ( )
A．v、a都增大 B．T不变、ω增大
C．ω、a都减少 D．v增大，ω减小
13．如图，OM＝MN＝R，两个小球质量都是m，a、b为水平轻绳．小球正随水平圆盘以角速度ω匀速转动，小球和圆盘间的摩擦力可以不计，则 ( )
A．绳a拉力为mω2R
B．绳a拉力为2mω2R
C．绳a拉力为3mω2R
D．绳b拉力为2mω2R
14．在竖直平面内有一个半径为R的光滑圆环轨道，一个质量为m的小球套在圆环轨道上可以自由滑动，如图所示，则下列说法中正确的是 ( )
A．要使小球通过最高点，小球在最低点的速度应大于
B．要使小球通过最高点，小球在最低点的速度应大于
C．如果小球在最高点时，速度小于，则小球挤压轨道外侧
D．如果小球在最高点时，速度大于，则小球挤压轨道内侧
15．一颗小行星环绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径是地球公转半径的4倍，则 ( )
A．它的线速度是地球线速度的2倍 B．它的线速度是地球线速度的
C．它的环绕周期是4年 D．它的环绕周期是8年
16．地球的两颗人造卫星质量之比m1∶m2＝1∶2，圆周运动轨道半径之比r1∶r2＝1∶2，则 ( )
A．它们的线速度之比v1∶v2＝∶1
B．它们的运行周期之比T1∶T2＝1∶
C．它们的向心加速度之比a1∶a2＝4∶1
D．它们的向心力之比F1∶F2＝2∶1
17．设某行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，若测得该行星到太阳的距离为R，绕太阳运动的周期为T，万有引力恒量为G，则根据以上数据可计算出 ( )
A．行星的线速度 B．行星的加速度 C．行星的质量 D．太阳的质量
18．地球绕太阳公转的周期跟月球绕地球公转的周期之比是p，地球绕太阳公转的轨道半径跟月球绕地球公转轨道半径之比是q，则太阳跟地球的质量之比M日∶M地为 ( )
A． B．p2q3 C． D．无法确定
19．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T，万有引力恒量为G，下列表达式中正确的是 ( )
A． B．
C． D．
20．已知地球半径为R，地面重力加速度为g，一颗离地面高度为R的人造地球卫星做匀速圆周运动，则可知 ( )
A．卫星的加速度大小为 B．卫星的角速度为
C．卫星的周期为 D．卫星的线速度大小为
21．有一类人造地球卫星相对地面静止，就是我们常说的同步卫星．地球半径为R，质量为M，自转周期为T，同步卫星距离地面高度为h，运行速度为v．万有引力恒量为G，下列表达式正确的是 ( )
A． B．
C． D．
22．所谓“双星”就是两颗相距较近的恒星．这两颗星各自以一定的速率绕某一中心转动才不致由于万有引力而吸在一起．已知它们的质量分别为M1和M2，相距为L，万有引力恒量为G，则它们的轨道半径之比r1∶r2＝__________；线速度大小之比v1∶v2＝__________；转动中心O的位置距M1为__________；它们转动的角速度为__________．
23．如图，水平地面AB＝10.0m，BCD是半径为R＝0.9m的光滑半圆轨道，O是圆心，DOB在同一竖直线上．一个质量m＝1.0kg的物体静止在A点．现用F＝10N的水平恒力作用在物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动，物体与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5．当物体运动到B点时撤去F，之后物体沿BCD轨道运动，离开最高点D后落到地上的P点(图中未画出)．g取10m/s2，求：
(1)物体运动到B点时的速度大小；
(2)物体运动到D点时的速度大小；
(3)物体落地点P与B间的距离．
24．如图所示，支架质量为M，始终静止在水平地面上．转轴O上悬挂一个质量为m的小球，细绳长度为l．
(1)小球从悬绳处于水平时释放，求小球运动到最低点时，地面对支架的支持力多大；
(2)若使小球在竖直面上做圆周运动，到达最高点时恰使支架对地面无压力，那么小球在最高点时的速度为多大?
25．如图所示．在半径为R，质量分布均匀的某星球表面，有一倾角为θ的斜坡，以初速度v0向斜坡水平抛出一个小球，测得经过时间t，小球垂直落在斜坡上的C点．求：
(1)小球落到斜坡上时的速度大小v；
(2)该星球表面附近的重力加速度g；
(3)卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的速度v′．
26．2005年10月17日，我国第二艘载人飞船“神舟六号”，在经过了115个小时32分钟的太空飞行后顺利返回．
(1)飞船在竖直发射升空的加速过程中，宇航员处于超重状态．设点火后不久，仪器显示宇航员对座舱的压力等于他体重的4倍，求此时飞船的加速度大小．地面附近重力加速度g＝10m/s2；
(2)飞船变轨后沿圆形轨道环绕地球运行，运行周期为T．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，求飞船离地面的高度．
参考答案
第三章
1．BC　2．C　3．C　4．B　5．C　6．BC　7．10，1.5　8．CD　9．BD　10．B　11．D　12．D　13．CD
14．BCD　15．BD　16．ABCD　17．ABD18．A　19．AD　20．BD　21．AC
22．M2∶M1，M2∶M1，，
23．(1)vB＝10m/s　(2)vD＝8m/s　(3)PB＝4.8m
24．(1)Mg＋3mg　(2)
25．(1)　(2)　(3)
26．(1)30m/s2　(2)
第四章 机 械 能
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．力的合成和分解力的平行四边形定则
Ⅱ
2．重力形变和弹力胡克定律
Ⅰ
3．静摩擦 滑动摩擦 摩擦力 动摩擦因数
Ⅰ
4．共点力作用下物体的平衡
Ⅰ
5．牛顿运动定律及其应用
Ⅱ
6．加速度与物体质量、物体受力的关系
Ⅱ
二、能力要求
1．理解并掌握恒力做功的表达式；会利用动能定理、图象等求力做的功．
2．理解并掌握功率的计算；会根据功率分析汽车的启动过程．
3．理解物体的动能；会运用动能定理解决做功和动能变化的相关问题．
4．理解物体的重力势能；掌握重力做功和重力势能变化的关系．
5．理解机械能守恒定律的适用条件；会利用机械能守恒定律解决如物体在竖直面做圆周运动等相关问题．
6．会运用功能关系求解相关的能量转化问题．
三、解题示例
例1 跳绳是一种健身运动．设某运动员的质量是50kg，他1min跳绳180次．假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是__________W．(取g＝10m/s2)．
分析：
运动员跳绳时每跳一次所需时间为
运动员上升的时间为
运动员离开地面的最大高度
每跳一次运动员克服重力做功为W＝mgh＝25J
克服重力做功的平均功率．
讨论：将平均功率的定义理解为“力对物体做的功与所需时间的比值”是不妥的，平均功率的定义应该是“某段时间内力对物体做的功与该段时间的比值”．
例2 一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，在水平力F作用下，小球从最低点A点缓慢地移到B点时，轻绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示．在小球从A点移到B点的过程中，力F对小球做的功为
A．mglcosθ B．Flsinθ
C．mgl(1－cosθ) D．Flcosθ
分析：由于小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作处于平衡状态，根据力的平衡可知F是变力；同时，在小球运动过程，只有重力mg和F做功，绳子的拉力方向始终与小球速度方向垂直，不做功；第三，物体的动能不变，可以根据动能定理求解．
在小球从A点移到B点的过程中，根据动能定理：
WF－mgl(1－cosθ)＝0
解得WF＝mgl(1－cosθ)
解：正确答案为C选项．
讨论：
(1)使用动能定理，一定要明确对应的物理过程，同时要明确这个过程中物体的受力情况和各力做功的情况．
(2)若将本题中水平力F改为水平恒力F，小球由静止开始从A移到B，F做功等于多少?小球的速度怎么变?
例3 一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉，拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球，如图所示．当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位置C距悬点O的距离．
分析：
解决本题的关键是理解小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动所需的条件，即刚好能通过最高点D点，此时的向心力最小，绳子的拉力为零，只有重力提供向心力．同时由于小球在整个过程中，只受到重力和绳对它的拉力，因拉力始终与运动方向垂直，所以对小球不做功，因此在整个过程中，只有重力做功，所以机械能守恒．
解：
小球刚好绕C做圆周运动，即刚好能通过最高点D点，此时只有重力提供向心力，设此时的半径为r，根据牛顿定律和向心力公式有：
①
根据机械能守恒定律，取D点为零势能位置，有：
②
由①、②两式解得．
因此，所求OC间距离为
讨论：
(1)物体做竖直圆运动通常是机械能守恒定律与牛顿第二定律结合解决问题．运用机械能守恒定律应注意各个状态机械能的确定，恰当选好零势能位置．(注意机械能守恒条件下的竖直圆运动不是匀速圆周)
(2)请思考：
①若C点不钉钉子，为使m恰好绕O做圆周运动，细绳水平时，要给小球多大的向下的初速度?()
②原题中，细绳碰到钉子前、后的瞬间，细绳对小球拉力各多大?(3mg和6mg)
③若OC距离为，小球绕C做圆周运动的最低点和最高点，绳子对小球的拉力各多大?相差多少?(11mg，5mg，6mg)
④若轻绳所能承受的最大拉力为8mg，为保证小球能做圆周运动且绳又不被拉断，小钉的位置需满足什么条件?(OC间距离满足L≤OC＜L)
⑤若钉子不在O点正下方，而是在与竖直方向偏右60°角的直线上，原题所问如何?(L)
例4 如图所示，质量为M的木板Q静止在光滑水平地面上．另一个质量为m的小木块P以速度v0从木板P的右端滑上木板，P在Q上滑行一段距离后相对于Q静止，而后以共同的速度v一起运动．试分析这个过程中摩擦力做功的情况．
图a
图b
分析：设相互作用的滑动摩擦力大小为f，在有相对运动的过程中，木块Q和木板P的位移分别为x1和x2．
摩擦力对Q做的功WQ＝fx1
同理，摩擦力对P做的功WP＝－fx2
这两个功的代数和WQ＋WP＝－f(x2－x1)＝－fΔx
表明一对滑动摩擦力做功的代数和为负值，且数值上等于摩擦力大小与二者相对运动的路程的乘积．
另一方面，根据动能定理：摩擦力对Q做的功等于Q的动能增量，即
摩擦力对P做的功等于P的动能增量，即
这两个功的代数和也可以表示为
这部分恰好是系统损失的机械能．
讨论：
这里WQ的数值等于由P向Q转移的动能，|WQ＋WP｜的值则表示这两个物体组成的系统的机械能向内能的转化量，即所生成的热．
例5 如图质量为m1的物体A经轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升．若将C换成另一个质量为(m1＋m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离开地时D的速度的大小是多少?已知重力加速度为g．
分析：
本题叙述了三个情景，一是A、B都处于静止状态的情景；二是在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，恰好能使B离开地面但不继续上升的情景；三是将C换成另一个质量为(m1＋m3)的物体D，仍从初始位置由静止状态释放的情景．
解：以A为研究对象，A物体受重力和弹簧的弹力F1，处于平衡，设弹簧压缩量为x1，根据物体平衡条件得
kx1＝m1g
恰好能使B离开地面(A不继续上升)的状态是B受到地面的支持力等于零．以B为研究对象，B物体受重力、弹簧的弹力F(地面的支持力FN＝0)，处于平衡，此时弹簧处于伸长状态，伸长量设为x2，弹力方向向上，有kx2＝m2g
在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，直到恰好能使B离开地面但A不继续上升的过程．
A物体上升x1＋x2，重力势能增加m1g(x1＋x2)，动能增量为0；
C下降x1＋x2，重力势能减小m3g(x1＋x2)，动能增量为0；
弹簧的长度发生变化，弹性势能的增量设为ΔE；
以物体A、C和弹簧组成的系统为研究对象，由于这个过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，即
ΔE＝m3g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2) ①
将C换成另一个质量为(m1＋m3)的物体D，仍从初始位置由静止状态释放直到B刚好离开地面的过程中，系统的机械能守恒．
A物体上升x1＋x2，重力势能增加m1g(x1＋x2)，动能增量为；
D物体下降x1＋x2，重力势能减小(m1＋m3)g(x1＋x2)，动能增量为．
弹簧的长度发生变化，弹性势能的增量为ΔE′．由于第二个情景和第三个情景中弹簧的长度变化相同，所以两个情景中弹簧弹性势能的增量相同，即ΔE′＝ΔE．
同样，若以物体A、D和弹簧组成的系统为研究对象，由于这个情景中，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统的机械能守恒，即
②
将①式代入②式，得
讨论：
(1)选择什么规律来解决问题是由问题所给出的具体的物理状态或物理过程所决定的．本题中，先由牛顿第二定律出发，分析物体做什么性质的运动，由于加速度是变化的，受数学工具的限制，不能确定物体的速度是变化的，所以要进一步从机械能的角度分析系统各状态下的机械能变化的情况．由于题目所给的物理过程满足机械能守恒，所以选择机械能守恒定律来求解问题．
(2)要认真分析题目所给的比较隐蔽的条件，如题中的“恰好能使B离开地面但不继续上升”．
(3)本题的难点还在于对于弹性势能的概念的理解．弹簧形变时弹力做功，弹性势能发生变化，弹性势能的大小跟弹簧的劲度系数k和所处状态弹簧的伸长量(或压缩量)有关．
例6 风能将成为21世纪大规模开发的一种可再生清洁能源，风力发电机是将风能(气流的动能)转化为电能的装置．其主要部件包括风轮机、齿轮箱、发电机等，如图所示．我国甘肃省的安西地区，风力资源极其丰富，素有世界第二风库之称，而当地的经济又相当落后，因此充分利用风力资源，开展风力发电，是改变当地经济落后面貌的可行之路．当地几乎全年有风，平均风速为v＝10m/s．风力发电机共有三个相同的叶片，每个叶片近似为图所示的梯形，空气体密度ρ＝1.29kg/m3，风能利用系数约0.25，每天发电20h，每户平均每天用电2.0kWh，那么一个拥有90户的自然村，需安装几台这样的风力发电机?
分析：
风力发电机是利用风力推动其叶片旋转，从而带动发电机发电．发电的过程是连续撞击叶片的空气(即风)的一部分动能转变为叶片旋转的动能，再通过发电机转变成电能．
解：
设叶片总面积为S，
设风速垂直于叶片，单位时间与面积为S的叶片撞击的空气质量为：m＝ρSv
质量为m的空气所具有的动能为：
所以发电机的电功率为：
每天发电： E＝Pt＝2.03×20kWh＝40.6kWh
需安装这样的发电机(台)．
因此需安装这样的风力发电机5台．
讨论：
这个题重点考察了联系实际、分析物理过程和建立物理模型的能力．风力发电需要对空气的流体建模，找出单位时间，流向风能机的最大风能，这个就是考查学生建模能力和利用数学解决问题的能力．
四、综合训练
1．一物体放在水平面上，它的俯视图如图所示．两个相互垂直的力F1和F2同时作用在物体上，使物体沿图中v0的方向运动．经过一段位移的过程中，力F1和F2对物体所做的功分别为3J和4J，则两个力的合力对物体所做的功为 ( )
A．3J B．4J C．5J D．7J
2．如图，质量为m的物体置于光滑水平面上．用与水平方向成θ＝60°的恒定拉力F拉着物体沿水平方向运动，使物体由静止开始运动了时间t．如果要使拉力做的功变为原来的2倍，则在其他条件不变的情况下，可以将 ( )
A．拉力大小改为2F B．拉力改为水平方向
C．运动时间改为2t D．物体的质量改为
3．水平恒力F作用于质量为M的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离s，恒力做功为W1，再用该恒力作用于质量为m(m＜M)的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样距离s，恒力做功为W2，则两次恒力做功的关系是 ( )
A．W1＞W2 B．W1＜W2 C．W1＝W2 D．无法判断
4．如图，木板可绕固定的水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2J．用N表示物块受到的支持力，用f表示物块受到的静摩擦力．在这一过程中，以下判断正确的是 ( )
A．N和f对物块都不做功
B．N对物块做功2J，f对物块不做功
C．N对物块不做功，f对物块做功2J
D．N和f对物块所做功的代数和为0
5．质量为m的小球从高h处由静止开始自由下落，以地面作为零势能面．当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为 ( )
A． B． C． D．
6．假设轮船行驶时，所受阻力与船速成正比．当船以速度v匀速行驶时，发动机输出功率为P1；当船以速度2v匀速行驶时，发动机输出功率为P2，P1、P2均不超过额定功率．则
( )
A．P2＝2P1 B．P2＝4P1 C．P1＝2P2 D．P1＝P2
7．将一个物体以初动能E0竖直向上抛出，落回地面时物体的动能为．设空气阻力恒定，如果将它以初动能4E0竖直上抛，则它在上升到最高点的过程中，重力势能变化了( )
A．3E0 B．2E0 C．1.5E0 D．E0
8．如图所示，某人将质量为m的石块从距地面h高处斜向上方抛出，石块抛出时的速度大小为v0，不计空气阻力，石块落地时的动能为 ( )
A．mgh B．
C． D．
9．如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80J的功，则 ( )
A．物体的重力势能一定增加80J B．物体的机械能一定增加80J
C．物体的动能一定减少80J D．物体的机械能一定减少80J
10．如图所示，质量为m的物体由h高处无初速滑下，至平面上A点静止，不考虑B处能量的转化，若使物体在平行于运动方向的力F作用下由A点沿原路径返回C点，则力F做功至少为 ( )
A．mgh B．2mgh
C．3mgh D．无法计算
11．如图所示，电梯质量为M，地板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则 ( )
A．地板对物体的支持力做的功等于
B．地板对物体的支持力做的功等于mgH
C．钢索的拉力做的功等于
D．合力对电梯M做的功等于
12．如图所示，一个质量为m的物体以某一速度从A点冲上一个倾角为30°的斜面，其运动的加速度为．这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这过程中 ( )
A．物体的重力势能增加了 B．物体的机械能损失了
C．物体的动能损失了mgh D．物体的重力势能增加了mgh
13．水平桌面上有一质量为2kg的物体，在10N的水平恒力作用下由静止开始运动，在4s内通过的位移为8m，则4s内水平恒力做的功__________J；物体克服摩擦力做功__________J．
14．质量为m的跳水运动员，在高为h的跳台上以速度v1跳起，落入水时的速度为v2，则跳水运动员跳起时做的功为__________，入水前克服空气阻力做的功为__________．
15．如图所示，摆球摆线长0.8m，摆球质量0.2kg，从图示摆线水平方向释放，当摆球到达最低点时，摆球速度为__________m/s，摆球对线的拉力大小为__________N．(取g＝10m/s2)
16．如图所示，半径为R的光滑半圆形细管固定在竖直平面内，在管的下端处与粗细相同的水平直管相切，并连接光滑，一小球以v0的速度从连接处进入半圆形管，欲使小球经过最高点时对管壁有向下的压力，v0应满足__________．
17．某地强风的风速为v＝20m/s，设空气密度为ρ＝1.3kg/m3，如果把通过横截面积为S＝20m2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式为__________，大小约为__________W．(取一位有效数字)
18．物体沿斜面向上运动经过A点时具有动能100J，当它向上滑到B点时，动能减少了80J，其中机械能损失了20J，则物体回到A点时的动能为__________J．
19．如图所示，将小球以6J的初动能自倾角为30°的斜面顶端水平抛出，不计空气阻力，当它落到斜面上时动能为__________．
20．质量为500g的小球，从高25.0m处自由落下后，以10.0m/s的速度与地面相撞．如果小球在运动过程中，所受各力大小均恒定，且碰撞过程不计能量损失，那么，小球从开始下落到停在地面上，所通过的路程为__________m．(g＝10m/s2)
21．如图所示，一个质量为m＝10kg的物体，由圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端时的速度v＝2.0m/s，然后沿水平面向右滑动1.0m的距离而停止．已知轨道半径0.4m，g＝10m/s2求：
(1)物体滑至轨道底端时对轨道的压力是多大；
(2)物体沿轨道下滑过程中克服摩擦力做了多少功；
(3)物体与水平面间的动摩擦因数μ为多大?
22．质量m为5.0×106kg的列车以恒定不变的功率由静止沿平直轨道加速行驶，当速度增大到v1＝2m/s时，加速度a1＝0.9m/s2，当速度增大到v2＝10m/s时，加速度a2＝0.1m/s2．如果列车所受阻力大小不变，求：
(1)列车所受阻力是多少；
(2)在该功率下列车的最大速度是多少?
23．在光滑斜面的底端静止着一个物体．从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力作用在物体上，使物体沿斜面向上滑去．经一段时间突然撤去这个恒力，又经过相同的时间，物体返回斜面的底端且具有120J的动能．求：
(1)这个恒力对物体做的功为多少?
(2)突然撤去这个恒力的时刻，物体具有的动能是多少?
24．水平桌面高h＝0.8m，桌面上A点有一木块，有一向右的速度v0＝1m/s，当木块滑到桌边B以后作平抛运动，落到距桌边的水平距离L＝0.32m处，如图所示，若A、B之间的距离为0.9m，g取10m/s2，求：木块和桌面间的动摩擦因数．
25．一列总质量为M的列车，在水平导轨上以速度v匀速行驶，所受阻力与车重成正比．突然，一节质量为m的车厢脱钩．当机车仍保持原有牵引力行驶了距离L时，司机发现车厢脱钩，并立即关闭发动机，让机车自由滑行．求两部分都静止后，二者相距的距离．
26．如图所示，传送带与水平面之间的夹角为30°，其上A、B两点间的距离为5m，传送带在电动机的带动下以v＝1m/s的速度匀速运转，现将一质量为m＝10kg的小物体(可视为质点)轻放在传送带上A点，已知小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝，则在传送带将小物块从A传送到B的过程中，g＝10m/s2．求：
(1)传送带对小物块做了多少功；
(2)因传送小物块，电动机额外做了多少功?
27．如图，两个对称的与水平面成60°角的粗糙斜轨与一个半径R＝2m，张角为120°的光滑轨道平滑相连．一个小物块从h＝3m高处开始，以初速率v＝4m/s沿斜面向下运动．物体与斜轨接触面间的动摩擦因数为μ＝0.2，g取10m/s2．请你分析一下物块将怎样运动，并计算物块在斜轨上通过的总路程．
28．如图所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的小物块悬挂在绳上的O点，O与A、B两滑轮的距离相等，在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F＝mg，先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端力F不变．问：
(1)当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零?
(2)在物块下落上述距离的过程中克服C端恒力F做功W为多少?
(3)物块下落过程中最大速度vmax和最大距离H各为多少?
29．如图所示为推行节水工程的转动喷水“龙头”，“龙头”距地面为h，其喷灌半径可达10h，每分钟喷出水的质量为m，所用的水从地下H深的井里抽取．设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，不计空气阻力．试求：
(1)喷水龙头喷出水的初速度；
(2)水泵每分钟对水所做的功；
(3)带动水泵的电动机的最小输出功率．
参考答案
第四章
1．D　2．D　3．C　4．B　5．B　6．B　7．A　8．D　9．A　10．B　11．D　12．BD
13．80，64　14．，　15．4，6
16．　17．，1×105　18．60　19．14　20．31.25
21．(1)200N　(2)20J　(3)0.2　22．(1)5.0×105N，　(2)20m/s
23．(1)120J　(2)30J　24．0.02　25．
26．(1)255J　(2)270J　27．28m
28．(1)　(2)　(3)，
29．(1)　(2)mg(H＋26h)　(3)
第五章 动 量
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．动量 冲量
Ⅱ
动量定理和动量守恒定律的应用只限于一维的情况
2．动量定理
Ⅱ
3．动量守恒定律
Ⅱ
4．动量知识的应用(包括碰撞、反冲、火箭)
Ⅱ
5．航天技术的发展和宇宙航行
Ⅰ
二、能力要求
1．知道冲量是矢量，会计算力的冲量和判断冲量的方向．
2．知道动量是矢量，会计算物体的动量和判断动量的方向；会计算物体动量的变化量．
3．理解动量定理，并能利用动量定理解释日常生活中的相关现象、处理相关问题．
4．理解并掌握动量守恒定律的适用条件，会运用动量守恒定律处理爆炸、碰撞、反冲等问题．
5．会将动量守恒定律与能量守恒定律结合处理相关力学问题．
三、解题示例
例1 如图所示，一个固定斜面的高为H、倾角为α．质量为m的小球由顶端静止释放．不计小球与斜面之间的摩擦，在小球从开始运动滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大?
分析：小球从光滑斜面下滑过程中，做匀加速运动，小球受到的重力、弹力及合力都是恒力．
解：小球受力示意图如图所示．小球下滑的加速度大小为a＝gsinα
小球从开始运动滑到底端过程经历的时间
弹力FN＝mgcosα
合力F合＝mgsinα
重力的冲量为
弹力的冲量为
合力的冲量为
讨论：合力的冲量可以有两种方法求解，一种是先求合力，再乘以时间t；另一种是先求分力的冲量，再求分力冲量的矢量和．
例2 质量为60kg的人，不慎从高空支架上跌落，由于弹性安全带的保护，使他悬挂在空中．已知安全带原长为5m，缓冲时间(从安全带伸直到速度减为0的时间)是1.2s，求安全带在1.2s内受到的平均拉力大小是多少?(假设人始终在竖直方向运动)
分析：人从高空跌落的过程可以分为两阶段，开始5m内安全带没有绷直，人做自由落体运动．安全带绷直后，人在重力和安全带拉力的共同作用下速度减为零．由于求安全带的平均冲力大小．所以可以使用动量定理进行求解．
解：设物体自由落下5m时的速度为v，根据机械能守恒定律，得
在安全带缓冲的过程中，以向下的方向为正方向，则
mgt2－Ft2＝0－mv
解得平均拉力
讨论：
(1)应用动量定理解题时，注意不仅要对物体进行受力分析，还要进行动量及冲量分析．另外，动量和冲量都是矢量，对于在一条直线上运动的物体，一定要先选定正方向．
(2)人受到的拉力是变力，加速度变化，用牛顿运动定律不好处理，用动量定理较为方便．
例3 如图所示，一质量为M、长为L的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M．现以地面为参照系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板，以地面为参照系．
(1)若已知A和B的初速度大小为V0，求它们最后的速度大小和方向．
(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离．
解法1：以向右为正方向．
A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度，设此速度为V，经过时间为t，A和B的初速度的大小为V0，则据动量定理可得：
对A： ft＝mV＋mV0 ①
对B： －ft＝MV－MV0 ②
解得：，方向向右．
A在B板的右端时初速度向左，而到达B板左端时的末速度向右，可见A在运动过程中必须经历向左做减速运动直到速度为零，再向右做加速运动直到速度为V的两个阶段．设L1为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程，L2为A从速度为零增加到速度为V的过程中向右运动的路程，L0为A从开始运动到刚好到达B的最左端的过程中B运动的路程，如图所示，设A与B之间的滑动摩擦力为f，则由动能定理可得：
对于B： ③
对于A： ④
⑤
由几何关系 L0＋L2＝L ⑥
由①、②、③、④、⑤、⑥联立求得
解法2：
A刚好没有滑离B板，表示当A滑到B板的最左端时，A、B具有相同的速度，设此速度为V，A和B的初速度的大小为V0，则据动量守恒定律可得：
MV0－mV0＝(M＋m)V
解得：，方向向右
对系统的全过程，由能量守恒定律得
对于A
由上述二式联立求得
讨论：
(1)从上述两种解法中，解法2简洁明了．在解决动力学问题时，应注意方法的选取．
(2)本题也可以使用牛顿运动定律求解．
例4 如图所示，一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆．当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好跳回到高处A．求男演员落地点C与O点的水平距离s，已知男演员质量m1和女演员质量m2之比．秋千的质量不计，秋千的绳长为R，C点比O点低5R．
分析与解：
设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v0，由机械能守恒定律，
设刚分离时男演员速度的大小为v1，方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量守恒：
(m1＋m2)v0＝m1v1－m2v2
分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t，根据题给条件，由运动学规律：
s＝v1t
根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律，
已知m1＝2m2，由以上各式可得s＝8R
例5 有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失．碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示．
(1)已知滑块质量为m，碰撞时间为Δt，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小．
(2)为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制作一个与B平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑(经分析，A下滑过程中不会脱离轨道)．分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系；
分析与解：
(1)滑动A与B正碰，满足
mvA＋mvB＝mv0 ①
②
由①②，解得vA＝0，vB＝v0，
根据动量定理，滑块B满足 F·Δt＝mv0
解得
(2)设任意点到O点竖直高度差为d．
A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒．选该点为势能零点，有
EkA＝mgd
由于，有
即PA＜PB
A下滑到任意一点的动量总是小于B平抛经过该点的动量．
四、综合训练
1．如图所示，一个物体在与水平方向成θ角的拉力F的作用下匀速前进了时间t，则 ( )
A．拉力对物体的冲量大小为Ft
B．拉力对物体的冲量大小为Ftcosθ
C．摩擦力对物体的冲量大小为Ft
D．合外力对物体的冲量大小为Ft
2．一物体沿光滑固定斜面下滑，在此过程中 ( )
A．斜面对物体的弹力做功为零 B．斜面对物体的弹力冲量为零
C．物体动能的增量等于重力所做的功 D．物体动量的增量等于重力的冲量
3．在某一高度处的同一点将三个质量相等的小球分别竖直上抛、竖直下抛、平抛．若不计空气阻力，当它们到达地面时，它们的 ( )
A．动量相等 B．动量的增量相等
C．动能的增量相等 D．重力的冲量相等
4．摆长为L的单摆在做小角度摆动，摆球质量等于m，最大摆角等于θ．在摆球从最大偏角位置摆向平衡位置时，下列说法中正确的是 ( )
A．重力的冲量等于 B．重力的冲量等于
C．合力的冲量等于 D．合力做的功等于mgL(1－cosθ)
5．玻璃杯从同一高度落下，掉在水泥地面上比掉在草地上容易碎，这是由于玻璃杯与水泥地的撞击过程中 ( )
A．玻璃杯的动量较大 B．玻璃杯受的冲量较大
C．玻璃杯的动量变化较大 D．玻璃杯的动量变化较快
6．一颗子弹水平穿过两个质量相等并排放在光滑水平面上的静止的木块A和B，设子弹穿过两木块所用时间分别是t和1.5t．木块对子弹的阻力恒为f，则子弹先后穿出A、B后，A、B的速度比为 ( )
A．2∶3 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶2
7．如图所示将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块．今让一个小球自左侧槽口 A的正上方从静止开始落下，与圆弧槽相切自A点进入槽内，则以下结论中正确的是 ( )
A．小球在半圆槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒
C．小球自半圆槽的最低点B向C点运动的过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒
D．小球离开C点以后，将做竖直上抛运动
8．两小船静止在水面，一人在甲船的船头用绳水平拉乙船，则在两船靠拢的过程中，不计水的阻力，它们一定相同的物理量是 ( )
A．动量的大小 B．动量变化率的大小
C．动能 D．位移的大小
9．小船相对地面以速度v向东行驶，若在船上以相对地面的相同速率v分别水平向东和向西抛出两个质量相等的重物，则小船的速度将 ( )
A．不变 B．减少 C．增大 D．改变方向
10．在高速公路上发生一起交通事故，一辆质量为1.5t向南行驶的长途客车迎面撞上了一辆质量为3t向北行驶的卡车，碰后两车接在一起，并向南滑行了一段距离后停止．根据测速仪的测定，长途客车碰前以20m/s的速度行驶，由此可判断卡车碰前的行驶速率为
( )
A．小于10m/s B．大于10m/s而小于20m/s
C．大于20m/s而小于30m/s D．大于30m/s 而小于40m/s
11．质量m的子弹以速度v射入放在光滑水平面上的质量2m的木块未穿出，则产生的热能与子弹原来的动能之比为 ( )
A．1∶3 B．1∶2 C．2∶3 D．1∶4
12．如图所示，在光滑水平面上，有质量分别为3m、m的a、b两物体，a与轻弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在墙上，开始弹簧处于原长，b以速度v0与a发生正碰，碰后两物体以相同的速度压缩弹簧，当弹簧被压缩到最短时，它具有的弹性势能为 ( )
A． B．
C． D．
13．在光滑的水平地面上，有质量为M的物块甲和质量为m的物块乙，已知M＞m，物块甲以向右的水平速度碰撞静止的物块乙，如图所示，则碰撞后 ( )
A．物块甲可能向左运动
B．物块甲一定向右运动
C．物块甲可能静止
D．物块乙一定向右运动
14．小球A以速度v0向右运动，与静止的小球B发生碰撞，碰后A、B球速度的大小分别是、，则A、B两球的质量比可能是 ( )
A．1∶2 B．2∶3
C．3∶2 D．2∶5
15．如图所示，在光滑水平面的两个小球发生正碰，小球的质量分别为m1和m2．右图为它们碰撞前后的x－t图象，以向右为正方向．已知m1＝0.1kg，由此可以判断 ( )
①碰前m2静止，m1向右运动
②碰后m1和m2都向右运动
③由动量守恒可以算出m2＝0.3kg
④碰撞过程中系统损失了0.4J的机械能以上判断正确的是
A．①③ B．①②③
C．①②④ D．③④
16．小车置于光滑水平面上，一个人站在车上练习打靶，除子弹外，车、人、靶、枪的总质量为M．n发子弹每发质量为m，枪口和靶距离为d．子弹沿水平方向射出，射中靶后即留在靶内，待前一发打入靶中，再打下一发，n发子弹全部打完之后，小车移动的总距离是__________．
17．如图所示，质量分别为m和M的两个木块A和B用细线连在一起，在恒力F的作用下在水平桌面上以速度v做匀速运动．突然两物体间的连线断开，这时仍保持拉力F不变，当木块A停下的瞬间木块B的速度的大小为__________．
18．如图所示，Ａ、B、C三个物体静止在光滑水平上，A、B、C的质量依次是m、2m、3m．现让A物块以初速度v0向B运动，A、B相碰后不再分开．共同向C运动；它们和C相碰后也不再分开，A、B、C共同向右运动．求：
(1)A、B、C共同向右运动的速度v的大小；
(2)A、B碰撞过程中的动能损失ΔEk；
(3)A、B与C碰撞过程中B物块对C物块的冲量大小．
19．有一炮竖直向上发射炮弹．炮弹的质量为M＝6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计)，射出的初速度v0＝60m/s．当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为m＝4.0kg．现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R＝600m为半径的圆周范围内，则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大?(g＝10m/s2，忽略空气阻力)
20．一个物理演示实验(如图)显示：图中自由下落的物体A和B经反弹后，B能上升到比初始位置高得多的地方．A是某种材料做成的实心球，质量m1＝0.28kg，在其顶端的凹坑中插着质量m2＝0.10kg的木棍B，B只是松松地插在凹坑中，其下端与坑底之间有小空隙．将此装置从A下端离地板的高度H＝1.25m处由静止释放．实验中，A触地后在极短时间内反弹，且其速度大小不变；接着木棍B脱离球A开始上升，而球A恰好停留在地板上．求木棍B上升的高度．(重力加速度g＝10m/s2)
21．如图所示，质量为M＝1.0kg的长木板B在光滑的水平面上以速度v0＝3.2m/s向右做匀速直线运动．某时刻，将一质量为m＝3.0kg的小金属块A放在长木板上，距离木板左端d＝0.64m处．此时可认为A的速度为0，小金属块刚好不会从木板上滑出．g＝10m/s2．求：
(1)小金属块最后能达到多大的速度?
(2)小金属块在木板上滑动的过程中产生的焦耳热?
(3)A、B之间的动摩擦因数μ．
22．如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内，小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)．A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失，重力加速度为g．试求：
(1)待定系数β；
(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力．
参考答案
第五章
1．A　2．AC　3．C　4．ACD　5．D　6．C　7．C　8．AB　9．C　10．A　11．C　12．B
13．BD　14．BD　15．A　16．　17．
18．(1)　(2)　(3)
19．Ek＝6.0×104J　20．4.05m
21．(1)0.8m/s　(2)3.84J　(3)0.2
22．(1)β＝3　(2)　方向向左，　方向向右；4.5mg，竖直向下
第六章 机械振动和机械波
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．简谐运动的表达式和图象
Ⅱ
2．单摆的周期与摆长的关系(实验、探究)
Ⅰ
3．受迫振动和共振
Ⅰ
4．机械波横波和纵波横波的图象
Ⅰ
5．波长、波速和频率(周期)的关系
Ⅰ
6．波的反射和折射波的干涉和衍射
Ⅰ
7．多普勒效应
Ⅰ
二、能力要求
(一)机械振动
1．掌握产生振动的条件，掌握平衡位置和回复力的概念，明确振动的位移的规定．
2．掌握简谐运动的概念．会从运动学、动力学和能量转化与守恒角度描述简谐运动的过程．处理简谐运动问题要会确定平衡位置，并正确分析受力，找出回复力．知道振动的对称性．
3．理解简谐运动的图象，并会从图象中正确判断振动的振幅、周期、任一时刻的位移、加速度和速度方向．
4．知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件．掌握单摆做简谐运动的周期，这个周期与摆球质量m和振幅A无关．会讨论g对T的影响．
(二)机械波
1．知道机械波产生的条件、知道横波和纵波的概念．理解机械波形成的过程．
2．理解波的频率f、速度v、波长λ及它们的关系λf＝v，知道f由振源决定，v由介质决定．
3．知道波的图象和振动图象的区别与联系．会由波的图象求振幅和波长．会根据波的传播方向确定该时刻各质点的速度方向．会画出经过周期后的波的图象．
4．了解波的独立传播原理和波的叠加原理，知道波的干涉条件和明显衍射的条件．
5．了解多普勒效应．知道超声波及其应用．
三、解题示例
例1 图(a)是演示简谐振动图象的装置．当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO1代表时间轴．图(b)是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，则板N1、N2上曲线所代表的振动周期T1和T2的关系为 ( )
A．T2＝T1 B．T2＝2T1 C．T2＝4T1 D．T2＝T1/4
分析：
由题意可知，木板从沙摆下经过，所需时间，其中L为板长，v为板的拉动速度．又由题图可知，木板N1上的图形对应沙摆做了一次全振动，木板N2上的图形对应沙摆做了两次全振动，因此有：
第一个木板运动的时间
第二个木板运动的时间
又 ON1＝ON2
解得
解：正确答案为选项D．
讨论：在利用沙摆获得做简谐运动的质点位移随时间的变化关系图象时，时间是通过木板匀速运动的位移反映出来的．
例2 图中所示为一简谐横波在某一时刻的波形图．已知此时质点A正向上运动，如图中箭头所示，由此可断定此横波
A．向右传播，且此时质点B正向上运动
B．向右传播，且此时质点C正向下运动
C．向左传播，且此时质点D正向上运动
D．向左传播，且此时质点E正向下运动
分析：
先据A点向上运动，可判定波向x轴负方向传播(后一质点总是落后于前一质点的振动)，然后依据同一原则可断定D点应向上运动．
解：正确答案是选项C．
例3 如图所示，有四列简谐波同时沿x轴正方向传播，波速分别是v、2v、3v和4v，a、b是x轴上所给定的两点，且ab＝l．在t时刻a、b两点间四列波的波形分别如图所示，则由该时刻起a点出现波峰的先后顺序依次是图＿＿＿＿＿＿；频率由高到低的顺序依次是图＿＿＿＿＿＿．
分析：
由各图分析知波长分别为λA＝l λC＝2l
其周期和频率各为
；
；
可见频率由高到低的先后顺序依次是图D、B、C、A．
由波的传播方向可判断t时刻a点的运动方向，即可判定由该时刻起各图中a点到达波峰的时间分别为
可见各图中由t时刻起a点出现波峰的顺序依次是图B、D、C、A．
解：正确答案是B、D、C、A；D、B、C、A．
例4 一列横波沿x轴传播，下图采用实线和虚线分别表示它在t1＝0和t2＝0.05s两个时刻波的图象．求波速．
解析：
(Ⅰ)若波速向右，则
周期
波速
(Ⅱ)若波速向左，则
周期
波速
讨论：分为(Ⅰ)(Ⅱ)两个小步骤体现了方向多解，而(Ⅰ)(Ⅱ)每一步的内部又包含着n值多解．在解波的问题中，通常要考虑这两种情况．多解问题在历年各省的高考题中多次出现．
例5 绳上有一简谐横波向右传播，当绳上质点A向上振动到最大位移处时，在其右方平衡位置相距0.3m的质点B刚好向下运动到最大位移处，已知波长大于0.15m，则该波的波长等于多少米?
解：试画出两个波长的正弦波作参考(略)．
n＝0时，λ＝0.6m；n＝1时，λ＝0.2m；n＝2时，λ＝0.12m(不符合题意)，所以本题的答案为0.6m和0.2m．
四、综合训练
1．一个弹簧振子的周期是0.025s．当振子通过平衡位置向右运动的时刻开始计时，经过0.17s时，振子的运动情况是 ( )
A．向右做减速运动
B．向右做加速运动
C．向左做减速运动
D．向左做加速运动
2．右图是一个质点作简谐运动的振动图象．在图中t1和t2两个时刻，振子相同的物理量是
( )
A．加速度 B．位移 C．速度 D．回复力
3．一个单摆摆球质量变为原来的4倍，通过平衡位置的速度变为原来的，则单摆做简谐运动的( )
A．周期增大，振幅也增大
B．周期减小，振幅也减小
C．周期不变，振幅减小
D．周期不变，振幅不变
4．一个弹簧振子放在光滑的水平桌面上，第一次把它从平衡位置拉开d距离，释放后做简谐运动的频率为f1，第二次把它从平衡位置拉开3d距离(仍在弹性限度内)，释放后它做简谐运动的频率为f2．这两次振动频率f1与f2之比为 ( )
A．1∶3 B．3∶1 C． D．1∶1
5．如图所示，S点为振源，其频率为100Hz，所产生的横波向右传播，波速为80m/s．P、Q 是波传播途径中的两点，已知SP＝4.2m，SQ＝5.4m．当S通过平衡位置向上运动时，则
( )
A．P在波谷，Q在波峰
B．P在波峰，Q在波谷
C．P、Q都在波峰
D．P通过平衡位置向上运动，Q通过平衡位置向下运动
6．如图所示，S为上下振动的振源，它产生的机械波沿x轴正方向传播．振源的振动频率为50Hz，波速为50m/s，质点P和振源S相距6.5m．经过一段时间，当质点S刚好通过平衡位置向上运动的时刻，质点P的运动情况是 ( )
A．运动方向向上 B．运动方向向下
C．恰好处于波峰 D．恰好处于平衡位置
7．右图中S1和S2是相干波源，它们在同一水平面上产生两列圆形波．图中实线圆弧表示波峰，虚线圆弧表示波谷，图示为两列波在某时刻叠加的波形．图中有a、b、c 三点 ( )
A．a、b、c三点振动都加强
B．a、c两点振动加强，b点振动减弱
C．a、b、c三点振幅都相同
D．a、b、c三点在同一时刻到达振动的正向最大位移
8．汽车向人驶近时，人耳听到的汽车喇叭声的频率与原来的频率相比，应 ( )
A．变高 B．变低
C．先变高后变低 D．先变低后变高
9．如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播．某时刻质点P正通过平衡位置，经过一段时间，波向前传播了距离s，P点第一次达到波峰，则该横波的波长为 ( )
A．4s B． C． D．
10．如图甲所示，某均匀介质中各质点的平衡位置在同一条直线上，相邻两点间距离为d．质点1开始振动时速度方向竖直向上，振动由此开始向右传播．经过时间t，前13个质点第一次形成如图乙所示的波形，则该波的周期与波长分别为 ( )
A． 9d B． 8d C． D． 8d
11．一列简谐横波沿x轴负方向传播，图甲是t＝1s时的波形图，图乙是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线(两图用同一时间起点)，则图乙可能是图甲中哪个质元的振动图线? ( )

甲 乙
A．x＝0处的质元 B．x＝1m处的质元
C．x＝2m处的质元 D．x＝3m处的质元
12．
0
T
甲
零
正向最大
零
负向最大
零
乙
零
负向最大
零
正向最大
零
丙
正向最大
零
负向最大
零
正向最大
丁
负向最大
零
正向最大
零
负向最大
如果表中给出的是做简谐振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是 ( )
A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度v
B．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度v
C．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v
D．若乙表示位移x，则丙表示相应的速度v
13．如图所示，在平面xy内有一沿水平轴x正向传播的简谐横波，波速为3.0m/s，频率为2.5Hz，振幅为8.0×10－2m．已知t＝0时刻P点质元的位移为y＝4.0×10－2m，速度沿y轴正向．Q点在P点右方9.0×10－1m处，对于Q点的质元来说 ( )
A．在t＝0时，位移为y＝－4.0×10－2m
B．在t＝0时，速度沿y轴负方向
C．在t＝0.1s时，位移为y＝－4.0×10－2m
D．在t＝0.1s时，速度沿y轴正方向
14．一列简谐横波在x轴上传播，某时刻的波形图如图所示，a、b、c为三个质元，a正向上运动．由此可知 ( )
A．该波沿x轴正方向传播
B．c正向上运动
C．该时刻以后，b比c先到达平衡位置
D．该时刻以后，b比c先到达离平衡位置最远处
15．一列简谐横波沿x轴传播．t＝0时的波形如图所示，质点A与质点B相距1m，A点速度沿y轴正方向；t＝0.02s时，质点A第一次到达正向最大位移处．由此可知 ( )
A．此波的传播速度为25m/s
B．此波沿x轴负方向传播
C．从t＝0时起，经过0.04s，质点A沿波传播方向迁移了1m
D．在t＝0.04s时，质点B处在平衡位置，速度沿y轴负方向
16．一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.2s时刻的波形如图中的虚线所示，则 ( )
A．质点P的运动方向向右
B．波的周期可能为0.27s
C．波的频率可能为1.25Hz
D．波的传播速度可能为20m/s
17．一列简谐机械横波某时刻的波形图如图所示，波源的平衡位置坐标为x＝0．当波源质点处于其平衡位置上方且向下运动时，介质中平衡位置坐标x＝2m的质点所处位置及运动情况是 ( )
A．在其平衡位置下方且向上运动
B．在其平衡位置下方且向下运动
C．在其平衡位置上方且向上运动
D．在其平衡位置上方且向下运动
18．一质点在O点附近做简谐运动，它离开O点向M点运动．经过0.5s第一次到达M点，又经过0.2s第二次经过M点．则质点的振动周期为＿＿＿＿s；质点第三次到达M点还需＿＿＿＿s．
19．如图，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直弹簧上．若使A随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是_________．当A的速度达到最大值时，A对B的压力大小为＿＿＿＿＿＿．
20．如右图，质量为M的木块b放在光滑水平桌面上，弹簧左端固定在墙上，右端与木块b相连，b上面叠放一个质量为m的小木块a，现在使a、b与弹簧组成的系统在水平桌面上做简谐运动．弹簧的劲度系数为K．a、b始终保持相对静止，它们的振幅为A，则a、b之间的最大静摩擦力应大于＿＿＿＿＿＿．
21．两列简谐横波均沿x轴传播，传播速度的大小相等，其中一列沿正x方向传播(图中实线所示)，一列沿负x方向传播(图中虚线所示)．这两列波的频率相等，振动方向均沿y轴，则图中x＝1、2、3、4、5、6、7、8各点中振幅最大的是x＝＿＿＿＿的点，振幅最小的是x＝＿＿＿＿的点．
22．如图所示，甲是一列简谐横波在t＝0.6s时的图象，图乙是质点P的振动图象，那么：
(1)这列波的传播方向如何?
(2)质点Q在t＝0.6s时的振动方向如何?
(3)在t＝1.05s时，质点P在图甲中的坐标是多少?
23．一列简谐横波以32cm/s的速度沿下图中x轴正方向传播．波的振幅是3.0cm，频率是4.0Hz．在某时刻，x坐标为－7.0cm处的介质质点正好经过平衡位置向y轴正方向运动．试在图中画出此时刻的波形图，要求至少画出两个波长．
参考答案
第六章
1．B　2．C　3．C　4．D　5．A　6．BD　7．AC　8．A　9．C　10．D
11．A　12．AB　13．BC　14．AC　15．AB　16．C　17．A　18．2.4，2.2
19．重力与支持力的合力，mg　20．
21．4和8，2和6　22．(1)－x　(2)＋y　(3)(0.2m，10cm)
23．如下图
第七章 静电场
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．两种电荷 电荷守恒
Ⅰ
2．真空中的库仑定律 电荷量
Ⅱ
3．电场 电场强度 电场线 点电荷的场强 匀强电场电场强度的叠加
Ⅱ
4．电势能 电势差 电势 等势面
Ⅱ
5．匀强电场中电势差跟电场强度的关系
Ⅱ
6．静电屏蔽
Ⅰ
7．带电粒子在匀强电场中的运动
Ⅱ
8．示波管 示波器及其应用
Ⅰ
9．电容器的电容
Ⅱ
10．平行板电容器的电容 常用的电容器
Ⅰ
二、能力要求
1．会用库仑定律计算电荷间的静电力．
2．会用电场强度、电场线、电势、等势面等概念描述电场的强弱、方向以及电势的高低．
3．会用电场力做功与电势能变化的关系解决电荷在电场中的能量转化问题．
4．会用牛顿运动定律、功能关系等解决带电物体在电场中平衡和运动问题．
5．理解电容，会用电场相关知识处理平行板电容器的问题．
三、解题示例
例1 在真空中有两个点电荷A和B，相距为l，分别带有Q和4Q的正电荷，现放入第三个点电荷C，欲使三个点电荷A、B、C都处于静止状态，那么点电荷C应放在什么位置？带正电还是负电？所带电量是多少？
分析与解答：
要使三个点电荷都处于静止状态，那么每个点电荷所受的两个库仑力一定大小相等、方向相反、作用在一条直线上．
由于A、B都带正电荷，显然只有C带负电荷且放置在A、B之间才有可能满足三个点电荷受力平衡，又因为B带的电量多，所以C应该靠近A一些，如图所示．
由库仑定律和共点力平衡条件，有
对C：
对A：
解得，
讨论：
由上例可见，如果三个点电荷只在库仑力作用下处于平衡状态，它们一定在一条直线上，两同夹异(电性)，两大夹小(电量)．
另外，若A和B是两个固定的点电荷，放入第三个点电荷C，使C处于平衡状态．这时只需考虑C放置的位置即可，对C的电性、电量都没有要求．
例2 图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是
A．带电粒子所带电荷的电性
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大
分析与解答：
根据带电粒子的运动轨迹，可以判断出粒子的受力方向．带电粒子动能的变化和电势能的变化可以通过电场力做功的情况来判断．
如图所示，若粒子从a向b运动，电场力做负功，由动能定理可知，粒子的动能减小；由电场力做功与电势能变化的关系可知，粒子的电势能增大．可见，这种情况下粒子在a点的动能大，在b点的电势能大．
若粒子从b向a运动，电场力做正功，则粒子的动能增大，粒子的电势能减小．可见，这种情况下仍然是粒子在a点的动能大，在b点的电势能大．
正确的选项是B、C、D．
讨论：
带电粒子在电场中运动的过程中，只有电场力做功，粒子的动能与电势能相互转化，总能量守恒．
例3 如图所示，M、N是在真空中竖直放置的两块平行金属板．质量为m，电量为－q的带电粒子，以初速v0由小孔进入电场，当M、N间电压为U时，粒子刚好能到达N极．不计带电粒子所受重力．如果要使这个带电粒子能到达M、N两板间距的处返回，则下述措施能满足要求的是
A．使初速度减为原来的
B．使M、N间电压加倍
C．使M、N间电压提高到原来的4倍
D．使初速度和M、N间电压减为原来的
分析：
带电粒子只受电场力作用，而且电场力为恒力．假设两板之间的电场强度为E，则E＝．
在粒子刚好到达N极的过程中，由动能定理得：
(1)
即两板之间的距离
改变条件后，设带电粒子离开正极板的最远距离为x，
选项A．若使初速度减为原来的，则最远距离
选项B．使M、N间电压加倍，则电场强度变为2E，最远距离
选项C．使M、N间电压提高到原来的4倍，则电场强度变为4E，最远距离
选项D．使初速度和M、N间电压减为原来的，则电场强度变为，最远距离
解：正确答案为选项B、D
讨论：本题也可以使用牛顿运动定律来解决．
假设带电粒子在电场中减速运动的加速度大小为a，．带电粒子以初速度v0进入电场，能前进的最大距离为x，则
题意中x＝d．其余求解过程同上．
例4 氢核(H)和氦核(He)垂直射入同一平行板电容器两板间的匀强电场，且都能从穿过电场不计它们受到的重力．分别在下列情况下，求它们离开电场时的侧移量之比：(1)初速度相同；(2)初动能相同；(3)初动量相同；(4)先经过同一加速电场加速后射入平行板电容器两板间的匀强电场．
分析：
氢核(H)和氦核(He)垂直射入同一平行板电容器两板间的匀强电场后，做平抛运动，把该运动分解为垂直电场方向的匀速直线运动和沿电场方向的匀加速直线运动．
解：
假设经过时间t，带电粒子(质量为m，电量为q)穿过电场，则
垂直电场方向，带电粒子做匀速直线运动
L＝v0t (1)
其中L为极板长，v0为带电粒子垂直于电场方向的初速度．
沿电场方向，带电粒子做初速度为零的匀加速直线运动：
(2)
其中，y为带电粒子穿过电场时侧移量．
由(1)(2)两式得：
(1)初速相同时，，则
．
(2)初动能相同时 y∝q
．
(3)初动量相同时 y∝qm
．
(4)先经过同一加速电场加速后射入平行板电容器两板间的匀强电场．假设加速电压为U，则
所以
即侧移量与带电粒子本身因素无关，即
讨论：物体的运动状态不但跟物体所受合外力有关，还跟物体运动的初速度有关．
例5 质子(质量m、电量q)和a粒子(质量4m、电量2q)以相同的初动能，沿着垂直电场线方向穿过同一平行金属板间的匀强电场，求这一过程中它们的动能增量之比．
分析：
带电粒子在电场中都只受电场力作用而作匀变速曲线运动．因此，可以从两个途径来求解，其一，从受力分析、运动分解入手，运用牛顿运动定律求得粒子射出电场时的速度，继而求得粒子射出电场时的动能；其二，从动能定理入手，直接求动能的增量和．下面采用第二种方法来求解．
解：
带电粒子在平行于电场线方向(即在所受力的方向上)的位移为
由动能定理得
Fy＝ΔEk
即
于是 ΔEk∝q2
因此有 ΔEkH∶ΔEkα＝1∶4
讨论：
同学们很容易认为，两粒子穿过电场时，极板间电压U相同，从而依动能定理得出qU＝ΔEk，即ΔEk∝q．所以ΔEkH∶ΔEkα＝1∶2的错误结论．
实际上，U不是极板间电压，而是带电粒子在电场中运动时，始末两点间的电压．不同的带电粒子在穿过电场过程中的轨迹可能是不同的．因而对应的始末两点间的电压也可能是不同的．不难得出U＝Ey．
希望同学们在使用电场力作功的公式W＝qU时，要注意U的物理意义．
例6 水平放置的一对平行金属板长度都为l，板间距离为d，通过开关S与电压为U的电池相连，有一带电为＋q，质量为m的带电粒子，以水平初速v0紧贴上板射入板间匀强电场，刚好打在下板中央，如图所示．试分析下述两种情况下，欲使粒子刚好B板边缘射出，需将B板下移多大距离．
(1)闭合k；
(2)先合k后断开．
分析：
带电粒子在电场中只受电场力作用而作匀变速曲线运动．因此，可以从受力分析、运动分解入手，运用牛顿运动定律求解．
解：
假设经过时间t，带电粒子(质量为m，电量为q)穿过电场，则
垂直电场方向，带电粒子做匀速直线运动
L＝v0t (1)
其中L为极板长，v0为带电粒子垂直于电场方向的初速度．
沿电场方向，带电粒子做初速度为零的匀加速直线运动：
(2)
其中，y为带电粒子穿过电场时侧移量．
由(1)(2)两式得：
(1)闭合k．电压U保持不变，粒子的m、v0、q也保持不变．先后两次带电粒子的侧移量都是y＝d，上式化为
式中l表示带电粒子在电场中水平方向的位移．由于l’∶l＝2∶1，则d’∶d＝2∶1，即第二次板间距离为第一次2倍．B板下移d．
(2)先合k后断开，极板电量不变，根据
得
因而极板间场强不变，两次侧移都是板间距离，而水平位移从0.5l变为l’＝l．由于
因此 d’∶d＝(l’)2∶l2＝4∶1
所以B板下移3d．
例7 真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场．在电场中，若将一个质量为m带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°(取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出．求运动过程中
(1)小球受到的电场力的大小和方向；
(2)小球从抛出点至最高点的电势能变化量；
(3)小球的最小动量的大小和方向．
分析与解答：
(1)从静止释放的小球在重力和电场力的作用下做初速度为零的匀加速直线运动，所受合外力方向与运动方向一致，如图所示．则电场力大小
电场力的方向水平向右．
(2)竖直向上抛出的小球在重力和电场力的作用下做匀变速曲线运动(类斜抛)．
沿竖直方向做匀减速运动，vy＝v0－gt
沿水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，
小球上升到最高点的时间
这段时间里小球沿水平分位移
电场力做功
小球上升到最高点的过程中，电势能减少．
(3)水平分速度vx＝axt，竖直分速度vy＝v0－gt
小球的速度
由以上各式得出
解得：当时，有最小值
此时，，，
所以，小球动量的最小值，最小动量的方向与电场方向夹角为37°斜向上．
讨论：
小球做匀变速曲线运动(类斜抛)，可分解为沿初速度方向的匀速直线运动(v0)和沿合外力方向的初速度为零的匀加速直线运动(vF)．如图所示，由三角形定则可知，随着vF的增大，小球的速度v先增大后减小，也可以求出小球速度的最小值vmin．
四、综合训练
1．带电量分别为＋4Q和－6Q的两个相同的金属小球，相距一定距离时，相互作用力的大小为F．若把它们接触一下后，再放回原处，它们的相互作用力的大小变为 ( )
A． B． C． D．
2．真空中两个点电荷相距10cm，它们之间相互作用力大小为9×10－4N．当它们合在一起时，成为一个带电量为3×10－8C的点电荷．问原来两电荷的带电量各是多少？
3．一半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电量为＋Q的电荷，另一电量为＋q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷受力为零，现在球壳上挖去半径为r(rR)的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受力的大小为________(已知静电力恒量为k)，方向________．
4．点电荷A和B分别带电量－q和＋9q，相距为0.5m．若再放入第三个电荷后，三个电荷可以处于平衡状态，求第三个电荷的位置及其所带的电量．
5．在x轴上有两个点电荷，一个带正电Q1，一个带负电－Q2，Q1＝2Q2．用E1和E2分别表示两个电荷所产生的场强大小，则在x轴上 ( )
A．E1＝E2之点只有一处，该处合场强为0
B．E1＝E2之点共有两处，一处合场强为0，另一处合场强为2E2
C．E1＝E2之点共有三处，两处合场强为0，另一处合场强为2E2
D．E1＝E2之点共有三处，一处合场强为0，另两处合场强为2E2
6．如图所示，A、B、C三点为一直角三角形的三个顶点，∠B＝30°．在A、B两点放置两个点电荷qA、qB，测得C点场强的方向与AB平行，则qA带______电，qA∶qB＝______．
7．如图，带电量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为______，方向______．(静电力恒量为k)
8．图中A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点．已知A、B、C三点的电势分别为＝15V，＝3V，＝－3V．由此可得D点电势＝______V．
9．如图所示，在点电荷Q形成的电场中，a、b两点在同一等势面上，c、d两点在另外同一等势面上，甲、乙两带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb曲线．若两粒子通过a点时具有相同的动能，则 ( )
A．甲、乙两粒子带异号电荷
B．甲粒子经过c点时与乙粒子经过d点时的动能相同
C．两粒子经过b点时的动能相同
D．若取无穷远处为零电势，则甲粒子在c点的电势能小于乙粒子在d点时的电势能
10．一金属球，原来不带电．现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN，如图所示，金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a、b、c三点的场强大小分别为Ea、Eb、Ec，三者相比， ( )
A．Ea最大 B．Eb最大
C．Ec最大 D．Ea＝Eb＝Ec
11．一个绝缘金属筒，上面有一个小孔，原来不带电．今欲使金属筒外壁带负电，可以采取的措施是 ( )
A．将一带负电的小球从小孔放入筒内，球不与金属筒接触
B．将一带负电的小球从小孔放入筒内，球不与金属筒接触，用手触一下金属筒，再把带电小球拿出
C．将一带负电的小球接触一下金属筒的外壁
D．将一带负电的小球从小孔放入筒内，接触一下金属筒的内壁
12．图中是一个平行板电容器，其电容为C，带电量为Q，上极板带正电．现将一个试探电荷q由两极板间的A点移动到B点，如图所示．A、B两点间的距离为s，连线AB与极板间的夹角为30°，则电场力对试探电荷q所做的功等于 ( )
A． B． C． D．
13．对于水平放置的平行板电容器，下列说法正确的是 ( )
A．将两极板的间距加大，电容将增大
B．将两极板平行错开，使正对面积减小，电容将减小
C．在下板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于极板间距的陶瓷板，电容将增大
D．在下板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于极板间距的铝板，电容将增大
14．如图所示，直流电源两端的电压为6V，三个电阻的阻值都为24Ω，电容器的电容为1μF，则电容器每个极板带的电量为______C．
15．一束质量为m、电量为q的带电粒子以平行于两极板的速度v0进入匀强电场．如果两极板间电压为U、两极板间的距离为d、板长为L，设粒子束不会击中极板，则粒子从进入电场到飞出极板时电势能的变化量为______(粒子的重力忽略不计)．
16．质子和α粒子在同一电场中加速后再经过同一电场偏转，打在荧光屏上，下列说法正确的是 ( )
A．到达荧光屏的位置相同 B．到达荧光屏的时间相同
C．到达荧光屏时的动能相同 D．到达荧光屏时的动量相同
17．如图所示，A、B是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为T的交变电压u，A板的电势＝0，B板的电势随时间变化规律为：在0到T/2的时间内，＝(正的常数)；在T/2到T的时间内，＝－；在T到3T/2的时间内，＝；在3T/2到2T的时间内，＝－……，现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力的影响均可忽略，则 ( )
A．若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B板运动
B．若电子是在t＝T/8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
C．若电子是在t＝3T/8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
D．若电子是在t＝T/2时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动
18．一个质量为m、带有电荷－q的小物体，可在水平轨道Ox上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙．轨道处于沿Ox正方向的匀强电场E中，如图所示．小物体以初速度v0从x0点沿Ox轨道运动．运动时受到大小不变的摩擦力f作用，且f＜qE．设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它停止运动前通过的总路程s．
19．如图所示，在水平方向的匀强电场中，一个质量为m、电量为＋q的小球，栓在一根长为L的轻绳一端，在水平绝缘光滑桌面上绕O点做圆周运动，小球运动到B点时的速度方向恰与电场方向垂直，小球运动到与B点在同一直径上的A点时，球与绳间刚好没有拉力作用，则 ( )
A．小球在B点时的速度
B．小球在B点时的速度
C．小球在B点时绳上的拉力大小为6qE
D．小球所受向心力的最大值是最小值的5倍
20．在光滑水平面上的O点系一长为l的绝缘细线，线的一端系一质量为m，带电量为q的小球．当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态．现给小球一垂直于细线的初速度v0，使小球在水平面上开始运动．若v很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为________．
21．在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点．把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，如图所示．求小球经过最低点时细线对小球的拉力．
22．如图所示，一带电为＋q、质量为m的小球，从距地面高h处以一定的初速水平抛出，在距抛出点水平距L处有根管口比小球大的竖直细管，管的上口距地面．为了使小球能无碰撞地通过管子，可在管子上方整个区域内加一水平向左的匀强电场，求：
(1)小球的初速度；
(2)应加电场的场强；
(3)小球落地时的动能．
23．有三根长度皆为l＝1.00m的不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在天花板上的O点，另一端分别拴有质量皆为m＝1.00×10－2kg的带电小球A和B，它们的电量分别为－q和＋q，q＝1.00×10－7C．A、B之间用第三根线连接起来，空间中存在大小为E＝1.00×106N/C的匀强电场，场强方向沿水平向右，平衡时A、B球的位置如图所示．现将O、B之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B球最后会达到新的平衡位置．求最后两球的机械能与电势能的总和与线断前相比改变了多少？(不计两带电小球间相互作用的静电力)
24．如图所示，一束电子从y轴上的a点以平行于x轴的方向射入第一象限区域，射入的速度为v0，电子质量为m，电荷量为e．为了使电子束通过x轴上的b点，可在第一象限的某区域加一个沿y轴正方向的匀强电场．此电场的电场强度为E，电场区域沿y轴方向为无限长，沿x轴方向的宽度为s，且已知Oa＝L，Ob＝2s，求该电场的左边界与b点的距离．
参考答案
第七章
1．A　2．5×10－8C，－2×10－8C　3．，方向为从球心指向小孔
4．在BA延长线上距A点0.25m处，带电量＋　5．B　6．负，1∶8　7．，水平向左
8．9　9．ACD　10．C　11．ACD　12．C　13．BCD　14．6×10－6　15．
16．A　17．AB　18．　19．BCD　20．　21．
22．；；mgh　23．6.8×10－2J　24．或
第八章 恒定电流
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．电流、欧姆定律、电阻和电阻定律
Ⅱ
2．电阻率与温度的关系
Ⅰ
3．半导体及其应用；超导及其应用
Ⅰ
4．电阻的串联、并联；串联电路的分压作用；并联电路的分流作用
Ⅱ
5．电功和电功率；串联、并联电路的功率分配※
Ⅱ
6．电源的电动势和内电阻；闭合电路的欧姆定律、路端电压
Ⅱ
7．电流、电压和电阻的测量；电流表、电压表和多用电表的使用；伏安法测电阻
Ⅱ
二、能力要求
1．理解电流强度的形成，会利用定义式求电流强度，会从微观角度解释电流强度I＝nqsv．
2．熟练掌握公式、P＝IU、Q＝I2Rt，理解这些公式的物理意义、适用范围和内在联系．理解电功与电热的区别．了解只适用于纯电阻电路，而Q＝I2Rt则适用于一切电路．
3．会根据电器元件的伏安特性曲线求电器元件的电阻阻值．
4．会计算电动机的耗能、生热、输出机械能．
5．会用串、并联电路的电压、电流及功率的分配规律分析电路、并进行相关的计算．
6．会根据闭合电路欧姆定律分析电路．
7．会分析含有电容器的直流电路．
8．会进行简单的电路故障分析．
9．知道半导体的导电特性，半导体二极管有单向导电的特性．
10．知道“与”门、“或”门、“非”门电路的特征、逻辑关系及表示法．初步了解“与”门、“或”门、“非”门电路在实际问题中的应用．
三、解题示例
例1 如图所示，E、r，已知R1为一定值电阻，R2为滑动变阻器，且R2＞r＋R1．
(1)当R2为何值时，R2上消耗的功率最大；
(2)当R2为何值时，R1上消耗的功率最大？
分析：
求最值问题的一般方法，可以分两步思考：第一步，所求物理“是什么？”，即它与哪些因素有关；第二步，所求物理“最值是什么？”即利用第一步得出的结论，从数学角度研究其最值．
当然也可以利用平常得出的结论进行分析．如分析最大时，可以将R1当成电源内阻的一部分，利用上述的“负载与电源匹配”条件，当R2＝R1＋r时，R2功率最大；当R2＝0时，最大．
解：
(1)电阻R2的功率为：，
由不等式关系可知：
最小值是当，即：R2＝R1＋r时取得．
(2)电阻R1的功率为：，
可见，当R2＝0时，R1的功率最大．
想一想：若R1、R2并联在电源两端时，功率的最值问题．
讨论：
1．设电源电动势大小为E，电源内阻为r，电源内部从负极到正极的电流为I．
(1)电源总功率P总＝IE，即电源消耗总功率．
(2)电源损耗功率P损＝I2r，即电源内阻消耗功率．
(3)电源输出功率：P出＝IU，即外电路功率．
2．纯电阻电路的“电源最大输出功率”问题：右图为电源输出功率随外电阻变化的关系图线．
．
结论：E，r一定时，R＝r时，P出最大，．
例2 如图所示，E＝6V，r＝1Ω，当R1＝5Ω，R2＝2Ω，R3＝3Ω时，平行板电容器中的带电微粒正好处于静止状态，当把R1、R2、R3的电阻值改为R'1＝3Ω，R'2＝8Ω，R'3＝4Ω，带电微粒将做什么运动？
分析：
这是一个含容电路．在直流电路中充电后稳定时，电容器所在支路断路．带电微粒受到两个力作用，分别是电场力和重力，所以只要分析电场强度的变化，即可判断电场力、合力的变化，从而得出它的运动情况．
解：
当R1＝5Ω，R2＝2Ω时，
，
微粒静止，故有qE＝mg，．
当R'1＝3Ω，R'2＝8Ω时，．
前后电场强度之比为，
．
故微粒将向上做匀加速运动，其加速度．
讨论：
与电容器串联的电阻，在充电完毕后，由于支路电流为零，所以电阻分压为零，此时在电路中的作用只相当于导线起连通作用．
例3 如图所示的电路中，R1与R3为定值电阻，R2是滑动变阻器．若变阻器的滑动端向右移动，使R2的阻值增大，则安培表的示数将________．
分析：
这道题是直流电路中的一道常见典型的题，即要求通过某处电路的变化，如电阻阻值的变化，推断支路电流强度变化或电器元件分压、功率的变化等．一般解决这种类型的题，可以从发生变化的部分入手，首先推断出总电阻的变化，再得出总电流的变化，路端电压的变化，再根据串、并联的特点，求出各支路电流、各电器元件的电压或功率变化．
解：
R2增大，则外电路总电阻R增大→总电流()减小，而路端电压(U＝E－Ir)增大→总电流I减小，即R3的电流I3越小，所以R3的电压(U3＝IR3)减小，从而并联电路部分的电压(U开＝U－U3)增大→R1电阻不变，其电压(U并)增大，则R1的电流I1增大，从而R2的电流(I2＝I－I1)减小，即安培表的示数减小．
讨论：
我们可以发现，在纯电阻电路中，局部电阻增大，电路的总电阻也会随之增大，反之亦成立，读者可从两个电阻串联或并联，自行获得这一结论．
例4 阻值较大的电阻R1、R2串联后，接入电压U恒定的电路，如图所示．现用同一电压表分别测量R1、R2的电压，测量值分别为U1和U2，则 ( )
A．U1＋U2＝U B．U1＋U2＜U
C． D．
分析：
理想电流表内阻为零，理想电压表内阻无穷大，所以理想电表对测量电路本身是没有影响的．而本题是考虑电表的实际情况，即：实际的电流表的内阻很小，实际电压表的内阻很大，那么它们的内阻会对测量电路产生一定的影响．
解：
当把电压表分别与R1并联后，由于，所以U1小于R1电压的真实值；同理测量值U2也小于R2电压的真实值．因此应是U1＋U2＜U，选项B正确．
判断选项C、D的正确与否不能仅凭简单的定性推理，要通过计算后获得．
电压表与R1并联后，变成R并与R2串联，有
．
同理，．
可知，
选项C正确．
讨论：
最后结论与理想电压表测量时的比例是相同的，这是比较出乎意料的，但是类似的结论不宜记，也没有必要记，高三复习中，我们更关注的是其中的推导过程．
例5 在图示电路的三根导线中，有一根是断的，电源、电阻器R1、R2及另外两根导线都是好的，为了查出断导线，某学生想先将万用表的红表笔连接在电源的正极a，再将黑表笔分别连接在电阻器R1的b端和R2的c端，并观察万用表指针的示数，在下列选挡中，符合操作规程的是 ( )
A．直流10V挡 B．直流0.5A挡
C．直流2.5V挡 D．欧姆挡
分析：
这是直流电路故障分析题．一种方法，可以通过理论的分析，即假设某处电路发生故障(短路或断路)，分析引起的变化，与实际情况进行比较，从而排查出故障；另一种方法，在实际操作中，拿电压表或万用表的电压挡进行排查，具体分析如下．
解：
因为电路中只有一处断路，因此，在所有连接良好的电路中，任意两点之间的电压都为零，只有在断路两点之间的电压值为电源的电动势．
因此，在电源良好的前提下，用电压表先测电路中两个可疑点a、b之间的电压，若a、b两点之间电压为零，则说明a、b两点之间的电路正常；反之，若a、b两点之间电压为6V，则说明a、b两点之间的电路断路．照此再测量a、c之间的电压，若a、b两点之间电压，a、c之间的电压都为零，说明第三段导线断路．
因此，选用万用表直流10V挡可行．A正确．选项C的量程太小，不能进行测量．
电流表并联在电路中，无法测量电流值，因此也无法确定电路的正常与否，选项B不正确．
至于D中涉及的欧姆挡，因为电路无法与电源断开，因此也不能进行判断．如果在电路中再串联一个电键，那么便可以在电键断开之后，使用欧姆挡进行电阻测量，并看此判断电路正常与否．
讨论：
实际操作中，我们都是拿电压挡先测量电源是否损坏，再保持红表笔与电源正极相连，黑表笔变化位置，通过红黑表笔间电压变化来排查故障．
四、综合训练
1．在显像管的电子枪中，从炽热金属丝不断放出的电子进入电压为U的加速电场，设其初速度为零，经加速后形成横截面积为S、电流为I的电子束．已知电子的电荷量为e、质量为m，则在刚射出加速电场时，一小段长为Δl的电子束内的电子个数是 ( )
A． B． C． D．
2．一个T型电路如图所示，电路中的电阻R1＝10Ω，R2＝120Ω，R3＝40Ω．另有一测试电源，电动势为100V，内阻忽略不计．则 ( )
A．当cd端短路时，ab之间的等效电阻是40Ω
B．当ab端短路时，cd之间的等效电阻是40Ω
C．当ab两端接通测试电源时，cd两端的电压为80V
D．当cd两端接通测试电源时，ab两端的电压为80V
3．一白炽灯泡的额定功率与额定电压分别为36W与36V．若把此灯泡接到输出电压为18V的电源两端，则灯泡消耗的电功率 ( )
A．等于36W B．小于36W，大于9W
C．等于9W D．小于36W
4．用多用电表的欧姆挡的“×10Ω”挡测量一个电阻的阻值，发现表的指针偏转角度极小，为了准确测定该电阻的阻值，正确的判断和做法是： ( )
A．这个电阻的阻值肯定也是极小的
B．应把选择开关换到“×1Ω”挡，重新进行欧姆调零后再测量
C．应把选择开关换到“×100Ω”挡，重新进行欧姆调零后再测量
D．为了使测量值比较准确，应该用两手分别将两表笔与待测电阻两端紧紧捏在一起，使表笔与待测电阻接触良好
5．一块手机电池的背面印有如图所示的一些符号，另外在手机使用说明书上还写有“通话时间3h，待机时间100h”，则该手机通话和待机时消耗的功率分别约为 ( )
A．1.8W，5.4×10－2W
B．0.6W，1.8×10－2W
C．3.6W，0.108W
D．6.48×103W，1.94×102W
6．一电池外电路断开时的路端电压为3V，接上8Ω的负载电阻后路端电压降为2.4V，则可以判定电池的电动势E和内电阻r为 ( )
A．E＝2.4V，r＝1Ω B．E＝3V，r＝2Ω
C．E＝2.4V，r＝2Ω D．E＝3V，r＝1Ω
7．在如图所示的电路中，电容器C的上极板带正电．为了使该极板仍带正电且电量增大，下列办法中可采用的是 ( )
A．增大R1，其他电阻不变
B．增大R2，其他电阻不变
C．增大R3，其他电阻不变
D．增大R4，其他电阻不变
8．在如图所示的电路中，R1、R2、R3和R4皆为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E，内阻为r．设电流表A的读数为I，电压表V的读数为U．当R5的滑动触点向图中a端移动时 ( )
A．I变大，U变小 B．I变大，U变大
C．I变小，U变大 D．I变小，U变小
9．两个电阻分别为R1＝8Ω，R2＝2Ω，它们串联在电路中．要使两个电阻消耗的电功率相同，可采用的方法是 ( )
A．给R1并联一个阻值为Ω的电阻
B．给R1并联一个阻值为8Ω的电阻
C．给R1串联一个阻值为6Ω的电阻
D．给R2并联一个阻值为6Ω的电阻
10．如图两个大阻值的定值电阻R1和R2串联接在恒定12V的直流电源两端，有人把一个电压表接在R1两端，电压表的示数为8V．如果这个电压表改接在R2两端，则电压表的示数将 ( )
A．小于4V B．等于4V
C．大于4V，小于8V D．等于或大于8V
11．汽车电动机启动时车灯会瞬时变暗，如图所示，在打开车灯的情况下，电动机未启动时电流表读数为10A，电动机启动时电流表读数为58A，若电源电动势为12.5V，内阻为0.05Ω，电流表内阻不计，则因电动机启动，车灯的电功率降低了 ( )
A．35.8W B．43.2W
C．48.2W D．76.8W
12．如图所示，D是一只二极管，它的作用是只允许电流从a流向b，不允许电流从b流向a，平行板电容器AB内部原有电荷P处于静止状态，当两极板A和B的间距稍增大一些的瞬间(两极板仍平行)，P的运动情况将是 ( )
A．仍静止不动 B．向下运动
C．向上运动 D．无法判断
13．超导限流器是一种短路故障电流限制装置，它由超导部件和限流电阻并联组成，原理图如图所示．当通过超导部件的电流大于其临界电流IC时，超导部件由超导态(可认为电阻为零)转变为正常态(可认为是一个纯电阻)，以此来限制电力系统的故障电流．超导部件正常态电阻R1＝7.5Ω，临界电流IC＝0.6A，限流电阻R2＝15Ω，灯泡L上标有“6V 3W”，电源电动势E＝7V，内阻r＝2Ω，电路正常工作．若灯泡L突然发生短路，则 ( )
A．灯泡L短路前通过R1的电流为A
B．灯泡L短路后超导部件电阻为零
C．灯泡L短路后通过R1的电流为A
D．灯泡L短路后通过R1的电流为1A
14．如图所示，为包含某逻辑电路的一个简单电路图，L为小灯泡．光照射电阻R'时，其阻值将变得远小于R，则下列说法正确的是 ( )
A．该逻辑电路是非门电路；当电阻R'受到光照时，小灯泡L不发光
B．该逻辑电路是非门电路；当电阻R'受到光照时，小灯泡L发光
C．该逻辑电路是与门电路；当电阻R'受到光照时，小灯泡L不发光
D．该逻辑电路是或门电路；当电阻R'受到光照时，小灯泡L发光
15．当光照射到光敏电阻上时．光敏电阻的阻值______(填“变大”、“不变”或“变小”)．
半导体热敏电阻是利用半导体材料的电阻率随______变化而改变的特性制成的．
16．如图所示，直线A为电源a的路端电压与电流的关系图象；直线B为电源b的路端电压与电流的关系图象；直线C为一个电阻R的两端电压与电流关系的图象，将这个电阻R分别接到a、b两电源上，那么R接到a电源上时，电源的输出功率______(填“较大”、“较小”或“相等”)，a电源的内阻______b电源的内阻(填：“大于”、“等于”或“小于”)．
17．一个标有“12V”字样，功率未知的灯泡，测得灯丝电阻R随灯泡两端电压变化的关系曲线如图所示，利用这条图线计算：
(1)在正常发光情况下，灯泡的电功率P＝______W．
(2)假设灯丝电阻与其绝对温度成正比，室温有300K，在正常发光情况下，灯丝的温度为______K．
(3)若一定值电阻与灯泡串联，接在20V的电压上，灯泡能正常发光，则串联电阻的阻值为______Ω．
18．电子感应加速器是利用变化磁场产生的电场来加速电子，如图所示，在圆形磁铁的两极之间有一环形真空室，用交变电流励磁的电磁铁在两极间产生交变磁场，从而在环形室内产生很强的电场，使电子加速，被加速的电子同时在洛伦兹力的作用下沿圆形轨道运动，在10－1ms内电子已经能获得很高的能量了．最后把电子引入靶室，进行实验工作．北京正负电子对撞机的环形室的周长L＝240m，加速后电子在环中做匀速圆周运动的速率接近光速，其等效电流大小I＝8mA，则环中约有______个电子在运行．
19．三只灯泡L1、L2和L3的额定电压分别为1.5V、1.5V和2.5V，它们的额定电流都为0.3A．
若将它们连接成图1、图2所示电路，且灯泡都正常发光．

图1 图2
(1)试求图1电路的总电流和电阻R2消耗的电功率；
(2)分别计算两电路电源提供的电功率，并说明哪个电路更节能．
20．如图所示的电路中，电源电动势E＝6.00V，其内阻可忽略不计．电阻的阻值分别为R1＝2.4kΩ、R2＝4.8kΩ，电容器的电容C＝4.7μF．闭合开关S，待电流稳定后，用电压表测R1两端的电压，其稳定值为1.50V．
(1)该电压表的内阻为多大？
(2)由于电压表的接入，电容器的带电量变化了多少？
21．如图所示，AB、CD为两根平行的相同的均匀电阻丝，EF为另一根电阻丝，其电阻为R，它可以在AB、CD上滑动并保持与AB垂直，EF与AB、CD接触良好．图中电压表为理想电压表．电池的电动势和内阻都不变．B、D与电池两极连接的导线的电阻可忽略．当EF处于图中位置时，电压表的读数为U1＝4.0V．已知将EF由图中位置向左移动一段距离ΔL后，电压表的读数变为U2＝3.0V．若将EF由图中位置向右移动一段距离ΔL，电压表的读数U3是多少？
22．电热毯、电饭锅等是人们常用的电热式家用电器，他们一般具有加热和保温功能，其工作原理大致相同．图1为某种电热式电器的简化电路图，主要元件有电阻丝R1、R2和自动开关S．
(1)当自动开关S闭合和断开时，用电器分别处于什么状态？
(2)用电器由照明电路供电(U＝220V)，设加热时用电器的电功率为400W，保温时用电器的电功率为40W，则R1和R2分别为多大？
(3)若将图1中的自动开关S换成理想的晶体二极管D，如图2所示，其他条件不变，求该用电器工作1h消耗的电能．

图1 图2
23．在科技活动中某同学利用自制的电子秤来称量物体的质量，其原理如图所示，托盘和弹簧的电阻与质量均不计．滑动变阻器的滑动端与弹簧上端连接，当托盘中没有放物体时，电压表示数为零．设变阻器的总电阻为R，总长度为l，电源电动势为E，内阻为r，限流电阻的阻值为R0，弹簧劲度系数为k，不计一切摩擦和其他阻力，电压表为理想表．当托盘上放上某物体时，电压表的示数为U，求此时称量物体的质量？
参考答案
第八章
1．B　2．AC　3．B　4．C　5．B　6．B　7．AD　8．D　9．B　10．A　11．B　12．A　13．C　14．B
15．变小，温度　16．较大，大于　17．(1)24　(2)1800　(3)4
18．
19．(1)I总＝0.9A；＝0.045W　(2)图1　P总＝2.7W；图2　P'总＝1.8W，图2比图1节能．
20．(1)Rr＝4.8kΩ　(2)ΔQ＝2.35×10－6C　21．U3＝6V
22．(1)S闭合，处于加热状态；S断开，处于保温状态
(2)R1＝121Ω，R2＝1089Ω　(3)7.92×105J　23．
第九章 磁 场
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．电流的磁场
Ⅰ
1．安培力的计算限于直导线跟B平行或垂直的两种情况
2．洛伦兹力的计算限于v跟B平行或垂直的两种情况
2．磁感应强度 磁感线 地磁场
Ⅱ
3．磁性材料 分子电流假说
Ⅰ
4．磁场对通电直导线的作用 安培力 左手定则
Ⅱ
5．磁电式电表原理
Ⅰ
6．磁场对运动电荷的作用 洛伦兹力 带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
7．质谱仪 回旋加速器
Ⅰ
二、能力要求
1．会使用右手螺旋定则判断电流的磁场方向．
2．会使用左手定则判断电流在磁场中受安培力的方向；会计算安培力的大小．
3．会使用左手定则判断运动电荷在磁场中受洛伦兹力的方向；会计算洛伦兹力的大小．
4．会确定带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹的圆心、半径；会计算带电粒子在匀强磁场中运动的时间．
5．会运用相关力学规律来求解带电粒子在重力场、电场、磁场中的运动问题．
三、解题示例
例1 两光滑平行导轨与水平成θ放置．导轨下端接有电池和滑动变阻器，导轨上与导轨垂直放置有导体MN，如图所示，整个装置处在磁感强度为B的匀强磁场中．若磁场方向竖直向上，导体MN中的电流为I1时，导体MN可静止在导轨上；若磁场方向垂直导轨平面斜向上时，导体MN中的电流为I2时，也可以静止在导轨上．求I1∶I2
分析：
首先确定以MN为研究对象，两种情况下，MN都处于平衡状态，MN所受合力为0．再分析两种情况下MN的受力情况，根据物体的平衡条件列方程．
解：
两种情景中，MN的受力情况分别如图所示．设MN长L，质量为m．根据物体平衡条件可得
BI1L＝mgtanθ
BI2L＝mgsinθ
解得 I1∶I2＝1∶cosθ
讨论：
1．为了方便画出导体MN的受力图，学会将立体图形平面化——画投影图是非常必要的；
2．两种情景中，导轨对MN的弹力也不相同，请同学们思考N1∶N2＝？
例2 如图所示，在直线MN的右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直低面向里．电子(电量e、质量m)以某一垂直磁场方向的速度，从MN上的孔A垂直MN射入匀强磁场．电子在运动过程中经过P点，并最终打在MN上的C点．已知AP＝d，且AP与初速度方向的夹角θ＝30°．不计电子受到的重力．求：
(1)电子进入磁场时的速度大小v；
(2)电子从A运动到P点所用的时间t．
分析：
电子射入磁场后，受洛仑兹力，根据左手定则判断，电子在A点受洛伦兹力方向从M指向N．电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹圆心必在MN线上；AP为轨迹圆的一条弦，弦的中垂线一定过圆心．做AP的中垂线与MN交于点O，则点O为轨迹圆的圆心．
根据几何关系可以求出轨迹圆的半径，继而可以求出v和t．
解：
(1)电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，根据几何关系可以求出轨迹圆的半径为r＝d．
由牛顿第二定律得
解得
(2)粒子做圆周运动的周期
题中给出的弦切角θ＝30°所对应的圆心角为2θ＝60°，所以电子从A运动到P所用的时间为
讨论：
画出电子的运动轨迹，根据洛伦兹力和已知条件确定轨迹圆的圆心，再根据几何关系和已知条件确定电子运动的半径是这类习题的解题关键．
例3 如图所示，充电的两平行金属板间有场强为E的匀强电场，和方向与电场垂直(垂直纸面向里)的匀强磁场，磁感应强度为B，构成了速度选择器．氕、氘、氚核以相同的动能(EK)从两极板中间，垂直于电场和磁场射入速度选择器，且氘核沿直线射出．则射出时 ( )
A．动能增加的是氚核 B．动能增加的是氕核
C．偏向正极板的是氚核 D．偏向正级板的是氕核
分析：
带电粒子在运动过程中，受到了电场力和洛仑兹力两个力的作用，因此，这是一个复合场问题．依然可以从受力分析和运动分析入手．
带电粒子垂直于电场和磁场方向射入速度选择器后，同时受到电场力F＝qE和洛仑兹力f＝qvB．
若粒子的速度为v0时，qE＝qv0B．
则粒子将做匀速直线运动，反过来说，设想粒子若以左侧挡板的中央孔射入，并从右侧中央孔射出，则粒子受电场力与洛仑兹力平衡，做匀速直线运动．则
若v＞v0，则qvB＞qE．粒子将向逆电力线方向偏向正极板．且由于洛仑兹力不做功，而电场力做负功，则粒子射出时的动能小于射入时的动能．
反之，若v＜v0，则qvB＜qE，粒子将偏向负极板运动，由于电场力做正功，则粒子射出时的动能大于射入时的动能．
本题给出三个粒子的动能EK相同，则它们射入速度选择器时的速度
可见射入时氕核的速度v1最大，氚核的速度v3最小．
基于氘核沿直线运动，所以氕核将偏向正极板运动，射出时的动能小于射入时的动能，氚核则恰好相反．
解：本题答案是选项A、D．
讨论：
所谓速度选择，就是指对于确定的E和B，可以获得确定的v0＝E/B．
还需说明的一点是，作为速度选择器，与粒子带电的性质(正、负)没有关系，但与粒子射入电磁场的方向有关．
粒子的速度v≠E/B时，射入速度选择器后，将做曲线运动，由于洛仑兹力始终与速度方向垂直，而电场力是恒力，所以粒子所受的合力大小和方向都在不断地变化，故不可能用牛顿运动定律来描述粒子的运动．但却可如上述分析的那样，用动能定理来讨论粒子从射入到射出的动能变化．
例4 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的．电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r．当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点．为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
分析：
带电粒子在匀强电场的加速运动，有界圆磁场中做圆周运动．
解：电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R．以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则
①
②
又有 ③
由以上各式解得
讨论：
在圆形区域的磁场中，利用弦的中垂线找圆心(圆心在垂直于初速度的直线上，也在弦的中垂线上，两条线的交点即为圆心)和几何关系．弦是磁场圆和轨迹圆的公共弦，所以弦的中垂线既过磁场圆的圆心也过轨迹圆的圆心．
仅从习题特征看，它属于电场力与洛伦兹力对电荷的递次作用．带电粒子经电场力加速后进入磁场，然后在磁场中运动．解题时，只要抓住转化作用时带电粒子的速度这一“交接棒”，就可以将前后两部分运动联系起来．
四、综合训练
1．如图所示，一根长直导线穿过通有恒定电流的金属环的中心，且垂直于金属环的平面．导线和环中的电流方向如图所示．那么金属环受到的磁场力 ( )
A．沿环半径向外 B．沿环半径向里
C．沿直导线向右 D．为零
2．如图所示，在用软线悬挂的圆形线圈近旁，有一水平放置的条形磁铁，线圈平面与磁铁的中轴线重合．当线圈通以顺时针方向的电流后 ( )
A．线圈向左摆动靠近磁铁
B．线圈向左摆动远离磁铁
C．从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁
D．从上往下看，线圈逆时针转动，同时靠近磁铁
3．如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中有一光滑斜面体，倾角为α，在斜面体上放了一根长为L、质量为m的导线．当通以垂直纸面向里的恒定电流I时，导线恰能静止在图示位置上．那么磁感应强度 ( )
A．B＝mgsinα/IL，方向垂直斜面向上
B．B＝mgsinα/IL，方向垂直斜面向下
C．B＝mgtanα/IL，方向竖直向下
D．B＝mg/IL，方向水平向右
4．如图所示，通电矩形导线框abcd与无限长通电直导线MN在同一平面内，电流方向如图所示．ab边与MN平行．关于MN的磁场对线框的作用，下列叙述正确的是 ( )
A．线框有两条边所受的安培力方向相同
B．线框有两条边所受的安培力大小相同
C．线框所受安培力的合力向左
D．线框所受安培力的合力为零
5．初速为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则电子 ( )
A．将向右偏转，速率不变 B．将向左偏转，速率改变
C．将向左偏转，速率不变 D．将向右偏转，速率改变
6．如图所示，一个电量为e、动量大小为p的电子，垂直磁场边界穿过宽度为d、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，并发生了偏转，偏转角α等于 ( )
A． B．
C． D．
7．如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．一个氢核从ab边中点m沿着既垂直于ab边又垂直于磁场的方向，以一定的速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场．若将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是 ( )
A．在b、n之间某点 B．在n、a之间某点
C．a点 D．在a、m之间某点
8．如图所示，在半径为R的范围内有匀强磁场．一个电子从M点沿半径方向以速度v垂直于磁感线射入磁场，从N点射出时的速度方向偏转了60°．电子从M运行到N的时间是
( )
A． B．
C． D．
9．如图所示，在一水平放置的平板的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面上的各个方向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响．其中R＝，下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的是 ( )
10．如图所示，匀强磁场的方向沿x轴正向，一个带负电的粒子沿z轴正方向射入其中，欲使粒子不发生偏转，应加一个匀强电场，电场的方向是 ( )
A．沿y轴正方向 B．沿y轴负方向
C．与y轴成45°角斜向上 D．与y轴成45°角斜向下
11．如图所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点的速度方向如图中箭头所示．现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则 ( )
A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0
B．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T0
C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0
D．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T0
12．三个相同的带电小球1、2、3，在重力场中从同一高度由静止开始落下，其中小球1通过一附加的水平方向匀强电场，小球2通过一附加的水平方向匀强磁场，设三个小球落到同一高度时的动能分别为Ek1、Ek2和Ek3忽略空气阻力，则 ( )
A．Ek1＝Ek2＝Ek3 B．Ek1＞Ek2＝Ek3
C．Ek1＜Ek2＝Ek3 D．Ek1＞Ek2＞Ek3
13．右图是磁流体发电机的示意图，A、B极板间的磁场方向垂直于纸面向里，等离子体束从左向右进入极板间，下述正确的是 ( )
A．A板电势高于B板，负载R中电流向上
B．B板电势高于A板，负载R中电流向上
C．A板电势高于B板，负载R中电流向下
D．B板电势高于A板，负载R中电流向下
14．右图是粒子速度选择器的原理图．如果粒子所具有的速度为v＝E/B，那么 ( )
A．带电粒子必须沿ab方向从左侧进入电磁场区，才能直线通过
B．无论粒子电性如何，沿ba方向从右侧进入电磁场区，都能直线通过
C．无论粒子电性如何，沿ab方向从左侧进入电磁场区，都能直线通过
D．带负电粒子必须沿ba方向从右侧进入电磁场区，才能直线通过
15．电磁流量计广泛应用于测量可导电流体(如污水)在管中的流量(在单位时间内通过管内横截面的流体的体积)．为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c，流量计的两端与输送液体的管道相连接(图中虚线)．图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面．当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值．已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为 ( )
A． B．
C． D．
16．如图所示，一根截面为矩形的金属导体(自由电子导电)，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导体的前后两面．M、N为导体上、下两个表面上正对的两个点．当导体中通以如图所示的电流I时，关于M、N两点的电势，下列说法正确的是 ( )
A．M点的电势等于N点的电势
B．M点的电势高于N点的电势
C．M点的电势低于N点的电势
D．无法确定M、N两点电势的高低
17．有一带正电的粒子，在匀强磁场中与磁感线相垂直的平面内，沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，当粒子运动到A点时，突然分裂为带电量相等的两部分，它们的质量之比是1∶3．观察到其中较小的部分在原平面内沿顺时针方向做半径的匀速圆周运动，如图中的虚线所示．不计粒子的重力则质量较大的部分在磁场中做匀速圆周运动的半径为______．运动的方向是______时针方向．
18．如图所示，在x轴的上方(y＞0)存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速度都为v．对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能达到的最大x＝______，最大y＝______．
19．如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度vo从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ．若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比．
20．初速为零的离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出，经过一段路程d后进入水平位置的两平行金属板MN和PQ之间，离子所经空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，如图所示，金属板长为d，两板间距离也为d．试求离子的荷质比在什么范围内，才能打在金属板上？
21．如图所示，充电的两平行金属板间有匀强电场．极板长为L，一个带电粒子垂直于电场方向射入，射入时动能为Ek0．它从电场射出时顺着电场线方向偏离原方向距离为d．若在两板间再加上垂直于纸面方向的匀强磁场，粒子仍照原样射入，则射出时将逆着电场线方向偏离距离d．不计重力，求此时粒子的动能Ek．
22．如图所示，在直线MN下方有匀强电场，上方有匀强磁场．一个电子从距MN为d的电场中A点由静止释放，它再次速度为零的位置是C点．电场强度E，磁感应强度B，电子的质量m、电量e为已知．求：
(1)A、C两点间的距离；
(2)电子从A运动到C所用的时间．
23．核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应)，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)．如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内．设环状磁场的内半径R1＝0.5m，外半径R2＝1.0m，磁场的磁感强度B＝1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算：
(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；
(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度．
24．如图为磁流体发电原理示意图．等离子体是高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒，而整体上呈中性．将一束等离子体喷射入磁场．在磁场中的两块平行金属板M、N上就会聚集电荷，产生电动势．等离子体射入的速度为v，每块金属板的面积为S，板间距离为d．匀强磁场的磁感应强度为B，方向与v垂直．外电路电阻为R．设电离气体充满两板间的空间且电阻率为ρ．求：
(1)通过电阻R的电流大小和方向；
(2)两板间电压．
25．如图所示，在xoy平面内，第一象限中有匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向，在x轴的下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．今有一个质量为m，电量为e的电子(不计重力)，从y轴上的P点以初速度v0垂直于电场方向进入电场，经电场偏转后，沿着与x轴正方向成45°进入磁场，并能返回到原出发点P．求：
(1)作出电子运动轨迹的示意图，并说明电子的运动情况；
(2)P点离坐标原点的距离h；
(3)电子从P点出发经多长时间第一次返回P点．
参考答案
第九章
1．D　2．D　3．BC　4．BC　5．A　6．B　7．C　8．D　9．A　10．B
11．AD　12．B　13．C　14．AC　15．A　16．C　17．2.5R　顺时针
18．　　19．
20．　21．
22．(1)　(2)
23．(1)1.5×107m/s　(2)1.0×107m/s
24．(1)　从M经R到N　(2)
25．(1)略　(2)　(3)
第十章 电磁感应
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．电磁感应现象
Ⅰ
限于导线方向与磁场方向、运动方向垂直的情况；有关反电动势的计算不要求
2．感应电流的产生条件
Ⅱ
3．法拉第电磁感应定律；楞次定律
Ⅱ
4．互感自感涡流
Ⅰ
二、能力要求
1．掌握产生感应电流的条件；理解“磁通量变化”的几种情形．
2．理解楞次定律，并会用楞次定律判断感应电流的方向；会用右手定则判定感应电流的方向．
3．理解法拉第电磁感应定律；会用和和E＝Blv计算感应电动势．
4．会从力与运动的关系、能量变化等角度分析导体切割磁感线等问题．
三、解题示例
例1 在下图所示的操作中，能产生电磁感应现象的是
A．磁铁靠近或远离线圈 B．线圈远离或靠近导线
C．A线圈中通有恒定电流 D．匀强磁场中，周长一定的闭
合线圈由矩形变为圆形
分析：
判断能否产生电磁感应现象，首先是确定闭合回路，然后确定闭合回路的磁通量是否发生变化．
A选项中的闭合回路是线圈，垂直纸面看，穿过线圈的磁场如图图所示．当磁铁靠近线圈时，穿过线圈的磁感线条数增加，线圈的磁通量增大；当磁铁远离线圈时，穿过线圈的磁感线条数减少，线圈的磁通量减小．所以上述两种情况都能产生电磁感应现象．选项A正确．
B选项中闭合回路是线圈，垂直纸面看，磁场分布如图所示．当线圈远离或靠近导线时，穿过线圈的磁感线条数都将发生变化，线圈的磁通量将发生变化，能产生电磁感应现象．选项B正确．
C选项中闭合回路是B线圈．产生磁场的是A线圈，由于A线圈中的电流是恒定电流，所以A线圈产生的磁场是不变的磁场，所以通过B线圈的磁感线的条数不变，B线圈的磁通量不变，不会产生电磁感应现象．
D选项中闭合回路是线圈．在匀强磁场中，当周长一定的线圈由矩形变成圆形时，面积将变大，所以闭合线圈的磁通量增大，能产生电磁感应现象．选项D正确．
解：正确答案是A、B、D．
讨论：熟练掌握上一章学习的各种典型磁场的磁感线的分布情况，有助于同学们判断闭合回路磁通量的变化．
例2 如图所示，通电导线与矩形线圈abcd处于同一平面．下列说法中正确的是
A．当线圈向右平动时，线圈中感应电流的方向是由a→d→c→b→a
B．当线圈向左平动时，线圈中感应电流的方向是a→d→c→b→a
C．当线圈保持ad边平行导线向下平动时，线圈没有感应电流
D．当线圈以ab边为轴转动时(小于90°)，线圈中感应电流的方向是a→b→c→d→a
分析：这是一个涉及穿过闭合面积的磁通量发生变化而引起的电磁感应现象，判断感应电流的方向应该使用楞次定律．首先确定一个闭合回路围成的面积：以abcd围成的面积为研究对象；第二步确定穿过闭合回路围成面积的磁感线的方向(即原磁场方向)：原磁场方向垂直纸面向里；第三步确定穿过闭合回路围成面积的磁通量的变化情况；第四步是确定感应电流产生的磁场的方向依据的是楞次定律；第五步是确定闭合回路中的感应电流的方向依据的是右手螺旋定则(安培定则)．本题具体分析如下：
第三步
第四步
第五步
磁通量的变化
感应电流的磁场的方向
感应电流的方向
A选项
减小
与原磁场方向相同
a→b→c→d→a
B选项
增大
与原磁场方向相反
a→d→c→b→a
C选项
保持不变
无感应磁场
无感应电流
D选项
减小
与原磁场方向相同
a→b→c→d→a
解：正确答案是选项B、C、D
例3 在水平面上有一固定的光滑U形金属框架，框架上有一金属杆．如图所示(纸面即为水平面)在垂直纸面方向有一匀强磁场，则：
A．当匀强磁场方向垂直纸面向外并增大时，杆将向右移动
B．当匀强磁场方向垂直纸面向外并减少时，杆将向右移动
C．当匀强磁场方向垂直纸面向里并增大时，杆将向右移动
D．当匀强磁场方向垂直纸面向里并减少时，杆将向右移动
分析：这是一道综合考查对楞次定律、左右手定则理解的习题．根据楞次定律可知：当匀强磁场方向垂直纸面向外并增大时，ab上的感应电流方向为从a到b；根据左手定则，可判断其受到的安培力方向为向右，所以杆将向左移动．选项A错误．
同理可知：选项B、D正确．
解：正确答案是选项B、D．
讨论：ab之所以运动是因为先有电流(原因)，这个电流是由于磁场的变化引起的，而后ab在磁场中受到安培力(结果)才运动，运动方向反映了其所受安培力的方向，而不是ab先运动(因)，才产生电流(果)．
例4 为了测量列车运行的速度和加速度大小，可采用如图所示的装置，它由一块安装在列车车头底部的强磁体和埋设在轨道地面的一组线圈及电流测量记录仪组成(测量记录仪未画出)．当列车经过线圈上方时，线圈中产生的电流被记录下来，就能求出列车在各位置的速度和加速度．
如图所示，假设磁体端部磁感应强度B＝4.4×10－2T，且全部集中在端面范围内，与端面相垂直，磁体的宽度与线圈宽度相同，且都很小，线圈的匝数n＝5匝，长l＝0.20m，电阻r＝0.40Ω(包括引出线的电阻)，测试记录仪自身电阻R＝4.0Ω，其记录下来的电流－位移关系如图所示．
(1)试计算列车通过线圈Ⅰ和线圈时Ⅱ的速度v1和v2的大小；
(2)假设列车做的是匀加速直线运动，求列车的加速度的大小．

分析：列车以某一速度经过线圈正上方时，即列车头部的强磁场以某一速度通过线圈，相当于强磁场不动，线圈以相等速率反向切割磁感线，于是产生了感应电动势，在回路中有了感应电流，被电流测量仪记录了电流的大小及方向．通过电流的大小可以计算出对应的感应电动势，继而可以求出相应的速度．由题给电流－位移图像可知：线圈Ⅰ位置坐标为30m，线圈Ⅱ位置坐标为130m，两线圈间距离s＝100m，根据公式可以计算出列车运动的加速度．
解：
(1)由闭合电路欧姆定律，线圈Ⅰ和线圈Ⅱ中产生的感应电动势：
E1＝i1(R＋r)＝0.53V，E2＝i2(R＋r)＝0.66V
而线圈Ⅰ、Ⅱ中产生感应电动势：E1＝nBlv1，E2＝nBlv2
所以列车通过线圈Ⅰ、Ⅱ时速度：v1＝＝12m/s
v2＝＝15m/s
(2)假设列车做匀加速运动，根据列车从线圈Ⅰ通过，到刚通过线圈Ⅱ，运动的位移即两线圈间距离s＝100m
由运动学公式：，所以a＝＝0.41m/s2
讨论：
这是来源于实际问题的一道习题，要从中体会如何将实际问题转化成物理模型．
(1)本题这样叙述“假设磁体的宽度与线圈宽度相同且都很小”，一者说明强磁场进出线圈过程中，线圈只有一边在磁场中；再者说明磁场进出线圈运动时间极短，可认为线圈在切割磁感线的过程中，速度不变．这点也可以与电流－位移图像相佐证．如果磁场宽度与线圈宽度不同，则图像中电流应有间断区域，这点请同学自己分析．
(2)分析实际问题要忽略次要因素，抓住主要因素，根据题意建立相应的物理模型，运用相应的物理规律解决实际物理问题．本题中，排除了列车本身的体积、形状等无关因素，将列车的行驶过程抽象为一个矩形磁场沿路面匀加速运动，经过线圈时切割产生磁感线产生感应电流的过程．
例5 如图所示，A是一边长为l的正方形线框，电阻为R．现维持线框以恒定的速度v沿x轴运动，并穿过图中所示的在x方向宽度为3l、y方向足够宽的匀强磁场区域．取逆时针方向为线框中电流的正方向，线框从产生的感应电流i随时间t变化的图线是图中的 ( )
分析：线框从图示位置开始运动，直到穿出磁场，5个关键的位置，如图所示．从位置1到位置2的过程中，线框不在磁场内，线框内没有感应电流；线框从位置2到位置3的过程中，线框的一边切割磁感线的速度保持不变，根据公式E＝Blv可知，线框中的感应电动势也保持不变，线框中的感应电流的大小也不变，根据右手定则可知，线框内将有逆时针方向的电流，即在电流方向为正方向；从位置3到位置4的过程中，线框在磁场内运动，尽管有两条边切割磁感线，当穿过线框所围面积的磁通量不变，线框内也没有感应电流；线框从位置4到位置5的过程中，线框的一边切割磁感线的速度保持不变，根据公式E＝Blv可知，线框中的感应电动势也保持不变，线框中的感应电流的大小也不变，根据右手定则可知，线框内将有顺时针方向的电流，即在电流方向为负方向．
解：正确选项为B．
讨论：
电磁感应这部分习题中，如果涉及图象，一般是存在多个物理过程的习题．处理这类习题，首先要判断是由什么原因引起的电磁感应现象，其次要分清楚每一个过程的物理情景，弄清是什么物理量发生了变化，第三要分析涉及的图像的特点．
例6 如图所示，两光滑平行导轨相距为d，一端连接电阻R，质量为m的导体MN横放在两导轨上，其他电阻不计．整个装置处在与导轨所在平面垂直的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B．现用恒力F作用在导体MN上，方向平行导轨向右，使导体从静止开始运动．求：
(1)导体可能达到的最大速度vm．
(2)导体MN的速度为时的加速度a．
分析与解：
(1)导体MN运动后，当速度为v时导体上产生的感应动势为E＝Blv，
于是回路中产生相应的感应电流
导体MN受到方向与力F相反的安培力F'；
导体MN的加速度
这样，随着导体MN的速度的增加，其加速度就由F/m逐渐减小．加速度减小，表明导体MN的速度增加得慢了，但速度仍在增加．速度的增加将导致感应电动势E、感应电流I、安培力F'的增加，这样导体的加速度又进一步减小……
当加速度a为零时，导体MN的速度达最大值vm，此时导体MN的感应电动势最大，回路中的感应电流最大，导体MN所受的磁场力等于恒力F，即
于是有可能达到的最大速度
(2)当导体MN的速度时，
导体上产生的感应动势为
回路中产生相应的感应电流
导体MN受到的安培力
由(1)可知
所以
即导体MN的加速度为
讨论：
通过这个例题可以看出，综合性是涉及法拉第电磁感应定律习题的一大特征．这类综合题各物理量之间存在着内在的联系，一个物理量的变化，使其他物理量随之变化．因此，对物理过程的正确分析，寻找各物理量的内在联系，是解好这类习题的关键．
例7 如图所示，用质量为m、总电阻为R的导线做成单匝矩形线框MNPQ，边长PN＝2d，PQ＝l．将线框置于水平面上，线框与水平面间绝缘，它们之间的动摩擦因数为μ．在线框的右侧存在竖直方向的有界匀强磁场，磁场边界间的距离为d，磁感应强度为B．在垂直MN边的水平拉力作用下，线框以速度v匀速穿过磁场．线框在运动过程中线框平面水平，且MN边与磁场的边界平行．求：
(1)在线框从MN边刚进入磁场到MN边刚穿出磁场的过程中，线框中感应电流产生的焦耳热Q；
(2)在线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程中，水平拉力对线框所做的功W．
分析与解：
(1)线框MN边在磁场中运动时，感应电动势E＝Blv
线框中的感应电流
线框MN边在磁场中运动的时间
此过程线框中产生的焦耳热
(2)线框PQ边在磁场中运动时线框中产生的焦耳热
从线框MN边刚进入磁场到PQ边穿出磁场的过程中，摩擦生热Q'＝3μmgd
根据能量守恒定律得水平外力做功
讨论：
能量的转化过程，必然是某些力做功的过程．如图所示，在粗糙的水平面上，用水平外力拉着一个物体做匀速直线运动．外力做功，将消耗某种其他形式的能量，这种形式能量将减小，而减小的能量正是通过克服摩擦力做功转化为系统的内能．
四、综合训练
1．恒定的匀强磁场中有一圆形的闭合导体线圈，线圈平面垂直于磁场方向．当线圈在此磁场中做下列哪种运动时，线圈中能产生感应电流？ ( )
A．线圈沿自身所在的平面做匀速运动
B．线圈沿自身所在的平面做加速运动
C．线圈绕任意一条直径做匀速转动
D．线圈绕任意一条直径做变速转动
2．一平面线圈用细杆悬于P点，开始时细杆处于水平位置，释放后让它在如图所示的匀强磁场中运动．已知线圈平面始终与纸面垂直，当线圈第一次通过位置Ⅰ和位置Ⅱ时，顺着磁场的方向看去，线圈中感应电流的方向分别为 ( )
位置Ⅰ 位置Ⅱ
A．逆时针方向 逆时针方向
B．逆时针方向 顺时针方向
C．顺时针方向 顺时针方向
D．顺时针方向 逆时针方向
3．如图所示，线圈A连接两光滑平行导轨，导轨上横放着导体MN，并处于垂直纸面向里的匀强磁场中，线圈C闭合，现使MN沿导轨向右运动，并设运动过程中，回路中电阻不变．为了使线圈C产生如图所示的感应电流，MN应向右做 ( )
A．匀速运动 B．加速运动
C．减速运动 D．以上说法都对
4．地磁场磁感线在北半球的竖直分量向下．飞机在我国上空匀速巡航，机翼保持水平，飞行高度不变．由于地磁场的作用，金属机翼上有电势差．设飞行员左方机翼末端处的电势为U1，右方机翼末端处的电势为U2，则： ( )
A．若飞机从西往东飞，U1比U2高 B．若飞机从东往西飞，U2比U1高
C．若飞机从南往北飞，U1比U2高 D．若飞机从北往南飞，U2比U1高
5．如图所示，A和B为两个相同的环形线圈，共轴并靠近放置，A环中通有如图所示交流电i，则 ( )
A．从t1到t2时间内AB两线圈相吸
B．从t2到t3时间内AB两线圈相斥
C．t1时刻两线圈间作用力为零
D．t2时刻两线圈间吸引力最大
6．在水平放置的光滑绝缘杆ab上，挂有两个金属环M和N，两环套在一个通电密绕长螺线管的中部，如图所示，螺线管中部区域的管外磁场可以忽略．当变阻器的滑动头向左移动时，两环将怎样运动？ ( )
A．两环一起向左移动 B．两环一起向右移动
C．两环互相靠近 D．两环互相离开
7．如右图所示，线圈M和线圈P绕在同一铁芯上，则
A．在合上电键S的瞬间，线圈P中没有感应电流
B．在合上电键S的瞬间，线圈P中有感应电流
C．在断开电键S的瞬间，线圈P中没有感应电流
D．在断开电键S的瞬间，线圈P中有感应电流
8．用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud．下列判断正确的是 ( )
A．Ua＜Ub＜Uc＜Ud B．Ua＜Ub＜Ud＜Uc
C．Ua＝Ub＜Uc＝Ud D．Ub＜Ua＜Ud＜Uc
9．如图所示，固定在水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动，此时adeb构成一个边长为l的正方形，开始时磁感应强度为B0．若从t＝0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感应强度应随时间怎样变化(写出B与t的关系式)？
10．水平地面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆(见右上图)，金属杆与导轨的电阻忽略不计；匀强磁场竖直向下．用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如右下图．(取重力加速度g＝10m/s2)
(1)金属杆在匀速运动之前做什么运动？
(2)若m＝0.5kg，L＝0.5m，R＝0.5Ω；磁感应强度B为多大？
(3)由v－F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？
11．用质量为m、总电阻为R的导线做成边长为l的正方形线框MNPQ，并将其放在倾角为θ的平行导轨上，如图所示，线框与导轨之间的动摩擦因数为μ，在导轨的下端有一宽度为l、磁感应强度为B的有界匀强磁场，磁场的边界aa'、bb'垂直导轨，磁场的方向与线框平面垂直．现从静止释放线框，线框恰能匀速穿过磁场区域．线框沿导轨下滑过程中MQ、NP始终与导轨接触．不计其他电阻，重力加速度为g．求：
(1)开始释放时，MN与bb之间的距离．
(2)在穿过磁场的过程中，线框电阻产生的焦耳热．
12．如图1所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下．现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图2所示，求杆的质量m和加速度a．

图1 图2
13．一直升飞机停在南半球的地磁极上空，该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B，直升飞机螺旋桨叶片的长度为l，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动．螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示．如果忽略a到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则 ( )
A．E＝πfl2B，且a点电势低于b点电势
B．E＝2πfl2B，且a点电势低于b点电势
C．E＝πfl2B，且a点电势高于b点电势
D．E＝2πfl2B，且a点电势高于b点电势
14．用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb'a'
．如图所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行．设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计．可认为方框的aa'边和bb'边都处在磁极之间，磁极间磁感应强度大小为B．方框从静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平(不计空气阻力)．
图1 装置纵截面示意
图2 装置俯视示意图
(1)求方框下落的最大速度vm(设磁场区域在竖直方向足够长)；
(2)当方框下落的加速度为时，求方框的发热功率P；
※ (3)已知方框下落时间为t时，下落高度为h，其速度为vt(vt＜vm)．若在同一时间t内，方框内产生的热与一恒定电流I0在该框内产生的热相同，求恒定电流I0的表达式．
15．如图所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里．一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v＝20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行．取它刚进入磁场的时刻t＝0，在下列图线中，正确反映感应电流随时间变化规律的是 ( )
16．如图所示，虚线上方空间有垂直线框平面的匀强磁场，直角扇形导线框绕垂直于线框平面的轴O以角速度ω匀速转动．设线框中感应电流方向以逆时针为正，那么在下图中能正确描述线框从图中所示位置开始转动一周的过程中，线框内感应电流随时间变化情况的是 ( )
17．一匀强磁场，磁场方向垂直纸面，规定向里的方向为正．在磁场中有一细金属圆环，线圈平面位于纸面内，如图1所示．现令磁感强度B随时间t变化，先按图1中所示的Oa图线变化，后来又按图线bc和cd变化，用E1、E2、E3分别表示这三段变化过程中感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则 ( )
图1 图2
A．E1＞E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向
B．E1＜E2，I1沿逆时针方向，I2沿顺时针方向
C．E1＜E2，I2沿顺时针方向，I3沿逆时针方向
D．E2＝E3，I2沿顺时针方向，I3沿顺时针方向
18．如图1所示，一闭合金属圆环处在垂直圆环平面的匀强磁场中．若磁感强度B随时间t按如图2所示的规律变化，设图中磁感强度垂直纸面向里为正方向，环中感应电流沿顺时针方向为正方向．则环中电流随时间变化的图象可能是图 ( )
19．图中A是一边长为l的方形线框，电阻为R．今维持线框以恒定的速度v沿x轴运动，并穿过图中所示的匀强磁场B区域．若以x轴正方向作为力的正方向，线框在图示位置的时刻作为时间的零点，则磁场对线框的作用力F随时间t的变化曲线为图 ( )
20．如图所示，矩形线圈abcd质量为m，宽为d，在竖直平面内由静止自由下落．其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d，线圈ab边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？
21．如右图所示，空间存在磁感强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场区域．现有一矩形线框处在图中纸面内，它的短边与磁场边界重合，它长度为2b，宽为a，电阻为R．从某时刻起线框在外力作用下，以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界方向穿过磁场．求从线框开始进入磁场到完全离开磁场的过程中，外力对线框所做的功．
22．两根光滑的长直金属导轨MN、M'N'平行置于同一水平面内，导轨间距为l，电阻不计：M、M'处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R，电容器的电容为C．长度也为l，电阻同为R的金属棒ab垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中ab在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在ab运动距离为s的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q．求：
(1)ab运动速度v的大小；
(3)电容器所带的电荷量q．
23．如图所示的电路中，A1和A2是完全相同的灯泡，线圈L的直流电阻可以忽略．下列说法中正确的是 ( )
A．合上开关S接通电路时，A2先亮，A1后亮，最后一样亮
B．合上开关S接通电路时，A1和A2始终一样亮
C．断开开关S切断电路时，A2立刻熄灭，A1过一会才熄灭
D．断开开关S切断电路时，A1和A2都要过一会儿才熄灭
24．如图所示，A、B为大小、形状均相同且内壁光滑，但用不同材料制成的圆管，竖直固定在相同高度．两个相同的磁性小球，同时从A、B管上端的管口无初速释放，穿过A管的小球比穿过B管的小球先落到地面．下面对于两管的描述中哪些可能是正确的
①A管是用塑料制成的，B管是用铜制成的
②A管是用铝制成的，B管是用胶木制成的
③A管是用胶木制成的，B管是用塑料制成的
④A管是用胶木制成的，B管是用铝制成的
A．只有① B．只有②
C．只有①③ D．只有①④
参考答案
第十章
1．CD　2．B　3．C　4．AC　5．ABC　6．C　7．BD　8．B　9．
10．(1)变速运动　(2)　(3)摩擦阻力2N
11．(1) 　(2)Q＝2mglsinθ－2μmglcosθ
12．a＝10m/s2，m＝0.1kg　13．A
14．(1)　(2)　(3)
15．C　16．A　17．BD　18．C　19．B　20．2mgd
21．　22．(1)　(2)　23．AD　24．D
第十一章 交变电流、电磁波、传感器
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．交流发电机及其产生正弦交流电的原理 正弦交流电的图象 最大值与有效值 周期与频率
Ⅱ
只要求讨论单相理想变压器．
2．电阻 电感和电容对交变电流的作用
Ⅰ
3．变压器的原理 电压比和电流比
Ⅰ
4．电能的输送
Ⅰ
5．电磁场 电磁波 电磁波的周期 频率 波长和波速
Ⅰ
6．无线电波的发射和接收
Ⅰ
7．电视 雷达
二、能力要求
1．了解正弦交流电的产生，掌握正弦交流电的变化规律．会推导正弦交流电的瞬时表达式．
2．知道线圈转动一周过程中的两个特殊位置及有关物理量的情况．
3．了解正弦交流电的图像，会根据瞬时表达式画图像，会根据图像写出瞬时表达式．
4．理解并掌握描述交流电的物理量，注意区别有效值、最大值和瞬时值．
5．知道感抗、容抗的大小与哪些因素有关．
6．理解变压器是改变交流电压、电流并传输电能的设备．知道变压器的基本原理．
7．知道理想变压器的输入功率等于输出功率，并由此得到原副线圈的电压、电流、匝数的关系式．知道变压器的输出功率决定输入功率．
8．理解远距离输电提高输电电压以减小输电线路上的电热损失的道理．会计算远距离输电的各种电压、电流、电功率．
9．知道变化的电场和磁场是不可分割的统一的电磁场．
10．知道电磁场向外传播形成电磁波，电磁波传播能量．理解电磁波和机械波的区别．
11．掌握电磁波的周期、频率、波长和波速之间的关系．会用公式c＝λf进行计算．
三、解题示例
例1 如图所示，匀强磁场磁感应强度B＝0.5T，匝数为n＝50匝的矩形线圈，绕垂直于匀强磁场的转轴OO′匀速转动，每匝线圈长为L＝25cm，宽为d＝20cm．线圈每分钟转动1500转，在匀速转动过程中，从线圈平面经过图示位置时开始计时．
(1)写出交流感应电动势e的瞬时值表达式；
(2)若每匝线圈电阻r＝0.02Ω，外接一阻值为13Ω的用电器，使线圈与外电路组成闭合电路，写出感应电流i的瞬时值表达式；
(3)若从线圈平面垂直于磁感线的位置开始计时，感应电动势e′和感应电流i′的瞬时表达式如何？
(4)画出(1)(2)中的e－t、i－t图象．
分析：
首先确定感应电动势的匝数、磁感应强度、面积、角速度，进而确定感应电动势的最大值，然后确定是从什么位置开始计时的，进而确定三角函数的初始相位．然后把它作为一个电源，应用闭合电路的欧姆定律知识求解．
解：
(1)线圈匝数n＝50，磁场的磁感应强度B＝0.5T．线圈转动的角速度ω＝2πf＝2π×rad/s＝50πrad/s，线圈的面积S＝Ld＝0.05m2．
所以Em＝nBSω＝50×0.5×0.05×50πV＝196V
从图示位置计时，有
e＝Emcosωt＝196cos(50πt)V．
(2)若r＝0.02Ω，则
r'＝50r＝0.02×50Ω＝1.0Ω
R总＝R＋r'＝13Ω＋1Ω＝14Ω
所以i＝Imcosωt＝14cos(50πt)A．
(3)若从线圈平面与磁感线垂直的位置开始计时，即从中性面开始计时，感应电动势和电流的瞬时值分别为e'＝196sin(50πt)V，i'＝14sin(50πt)A．
(4)因为ω＝50π，
所以T＝＝0.4s
Em＝196V，Im＝14A
e－t、i－t图象如图所示．
讨论：
记住交流电最大值的表达式，然后根据实际情况确定三角函数的初相，是我们解决问题的关键．
例2 如图所示为一交变电流随时间变化的图象，此交流电的有效值是
A．A B．10A
C．A D．7A
分析：
电流的有效值要根据电流的热效应确定，即“同样阻值”“同一时间”“相等热量”．由于交流电具有周期性，可选一个周期的时间，根据焦耳定律求出此交流电的有效值．
解：设想让此电流通过一阻值为R的电阻，在一个周期T＝0.02s内产生的热量，与一个恒定电流I通过相同的电阻在同样时间内产生的热量相等，即
那么I＝10A．
答案：B
讨论：
只有正弦式交流电的有效值I与最大值Im之间满足关系，对于其他交流电，要根据电流的热效应来确定有效值．
例3 如图所示，理想变压器的初级线圈接交流电源，次级线圈接阻值为R的负载电阻．若与初级线圈连接的电压表V1的示数为U1，与次级线圈连接的电压表V2的示数为U2，且U2＜U1，则以下判断正确的是 ( )
A．该变压器输入电流与输出电流之比为U1∶U2
B．该变压器输入功率与输出功率之比为U2∶U1
C．通过负载电阻R的电流
D．通过初级线圈的电流
分析：对于理想变压器，一个重要的原则就是输入功率等于输出功率(即能量守恒)，输入功率由输出功率决定，输出电压由输入电压和匝数比决定．
解：因为，U1I1＝U2I2所以；输入功率和输出功率之比为1∶1；由欧姆定律所以；把上式代入有：．所以本题选择CD．
讨论：
知道理想变压器的输入功率等于输出功率，并由此得到原副线圈的电压、电流、匝数的关系式．知道变压器的输出功率决定输入功率．
例4 在家庭电路中，为了安全，一般在电能表后面的电路中安装一个漏电保护器，其工作原理图如图所示．其中甲、乙两线圈绕在由矩形硅钢片组成的铁芯上，脱扣开关由脱扣开关控制器S控制，当甲线圈ef两端没有电压时，脱扣开关S能始终保持接通；当ef两端一旦有电压时，脱扣开关立即会自动断开，以起到保护作用．关于这个电路的工作原理，下列说法中正确的是
A．当用户家的电流超过一定值时，脱扣开关会自动断开
B．当火线和零线之间电压太高时，脱扣开关会自动断开
C．当站在地面上的人触及b线时，脱扣开关会自动断开
D．当站在绝缘物上的人双手分别接触b和d线时，脱扣开关会自动断开
分析：
脱扣开关自动断开的条件是ef两端有电压，那么怎样使ef两端有电压呢？这便是解决本题的关键．ef两端与图中甲线圈相连，很容易想到利用电磁感应现象产生感应电动势，而产生感应电动势需要通过甲线圈的磁通量发生改变．
由于甲、乙线圈通过矩形硅钢片相连，只要乙线圈中磁通量变化，通过甲线圈的磁通量就会发生改变．乙线圈是典型的双线绕法，两股线中通以大小相等、方向相反的电流时，两股线形成的磁场相互抵消，通过乙线圈的磁通量为零．当出现漏电时，线圈中返回的电流小于正向通过的电流，磁通量不为零，使甲线圈中激发感应电动势，从而断开脱扣开关．
解：由上面分析可知，脱扣开关是否断开是由乙线圈中两股线中电流是否相等决定，与电路中的总电流和路端电压无关，所以A、B选项不正确；当站在地面上的人触及b线时，电流经过人体达到大地，出现漏电，脱扣开关自动断开，因此C选项正确；而当站在绝缘物上的人双手分别接触b和d线时，虽然电流经过人体，造成触电事故，但并没漏电，通过两股线中电流相等，不会有磁通量变化，脱扣开关不会断开，故D选项不正确．
讨论：
双线绕法是一种特殊的绕线方式，在很多实际应用中能见到它的身影，例如在制作精密电阻时，为防止自感现象对电路的影响，就常常采用双线绕法．
本题很容易误选D选项，主要是犯主观主义错误，误以为当站在绝缘物上的人双手分别接触b和d线时，发生触电事故，脱扣开关会自动断开，而仔细研究其工作原理发现“漏电”才是脱扣开关断开根本原因．
例5 发电站通过升压变压器、输电导线和降压变压器把电能输送到用户，如果升压变压器和降压变压器都可视为理想变压器．
(1)画出上述输电全过程的线路图；
(2)若发电机的输出功率是100kW，输出电压是250V，升压变压器的原、副线圈的匝数比为1∶25，求升压变压器的输出电压和输电导线中的电流；
(3)若输电导线中的电功率损失为输入功率的4％，求输电导线的总电阻和降压变压器原线圈两端的电压；
(4)计算降压变压器的输出功率．
分析：根据变压器的相关知识求解升压降压的相关问题，根据电路相关知识求解输电线上的损耗问题．
解：
(1)见图
(2)对升压变压器，据公式，有
×250V＝6250V．
A＝16A．
(3)因为P耗＝R线，P耗＝0.04P1
所以R线＝
因为ΔU＝U2－U3＝I2R线
所以U3＝U2－I2R线＝(6250－16×15.6)V＝6000V．
(4)P4＝P1－P耗＝0.96P1＝0.96×100000W＝96kW
四、综合训练
1．交流发电机的线圈在匀强磁场中转动一周的时间内 ( )
A．感应电流的方向改变两次
B．线圈内穿过磁通量最大的时刻，电流达到最大
C．线圈内穿过磁通量是零的时刻，电流达到最大
D．线圈内电流有两次达到最大
2．如图所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中绕OO′轴匀速转动，产生的交流电动势e＝200sin100πt(V)．则 ( )
A．此交流电的频率是100Hz
B．交流电的有效值e＝200
C．当频率增加时，电动势的最大值也增大
D．当穿过线圈平面的磁通量最大时，电动势也最大．
3．一矩形线圈绕与匀强磁场垂直的中心轴OO′按顺时针方向旋转．引出线的两端与互相绝缘的半圆铜环连接，两个半圆环分别与固定电刷A、B滑动接触，电刷间接有电阻R，如图所示，线圈转动过程中，通过R的电流 ( )
A．大小和方向都不断变化
B．大小和方向都不变
C．大小不断变化，方向从A－R－B
D．大小不断变化，方向从B－R－A
4．图(a)中呈柱面的磁极N、S与位于两极间的圆柱形铁心O，使隙缝中磁场的磁感应线沿圆柱的半径分布，磁感应强度的方向如图(b)中的箭头所示，大小处处都是B．一边长为L的矩形平面线框abcd，其中ab、cd两边与铁心的轴线oo'平行，bc、da两边与铁心的轴线oo'垂直，如图(a)所示，线框以恒定的角速度绕oo'逆时针旋转，当t＝0时，线框平面位于水平位置，则不同时刻线框中的感应电动势E的大小为 ( )
A．当ωt＝时，E＝L2Bω
B．当ωt＝时，E＝L2Bω
C．当ωt＝π时，E＝2L2Bω
D．当ωt＝2π时，E＝0
5．在变电所里，需要用交流电表去监测电网上的强电流，但电网中的电流通常会超过一般电流表的量程，因此常使用的仪器是电流互感器，图中最能反映其工作原理的是(图中线圈的疏密表示线圈匝数的多少) ( )
6．如图是一个理想变压器的示意图，S为单刀双掷开关，P是滑动变阻器的滑动触头，U1为加在原线圈两端的交变电压，I1为原线圈中的电流
A．若保持P的位置及U1不变，S由a合到b处，则I1将减小
B．若保持P的位置及U1不变，S由b合到a处，则R上消耗的功率将增大
C．若保持U1不变，S置于b处，将P向上滑动，则I1减小
D．若保持P的位置不变，S置于a处，将U1增大，则I1减小
7．传感器广泛应用在我们的生产生活中，常用的计算机键盘就是一种传感器．如图所示，键盘上每一个键的下面都连一小金属片，与该金属片隔有一定空气间隙的是另一小的固定金属片，这两金属片组成一个小电容器．当键被按下时，此小电容器的电容发生变化，与之相连的电子线路就能够检测出哪个键被按下，从而给出相应的信号．这种计算机键盘使用的是 ( )
A．温度传感器 B．压力传感器
C．磁传感器 D．光传感器
8．某学校用发电机直接供电，已知发电机的输出电压为U0，发电机至学校之间输电导线的总电阻为R，通过导线的电流为I，学校的输入电压为U1．下列几个计算输电导线上功率损失的关系式，其中正确的是 ( )
A． B．I2R C． D．IU0－I2R
9．两个相同的白炽灯L1和L2接到如图所示的电路中，灯L1与电容器串联，灯L2与电感线圈串联接到电路中，当a、b处接电压最大值为Um、频率为f的正弦交流电源时，两灯都发光，且亮度相同．更换一个新的正弦交流电源后灯L1的亮度大于灯L2的亮度，新电源的电压最大值和频率可能是 ( )
A．最大值仍为Um，而频率大于f
B．最大值仍为Um，而频率小于f
C．最大值大于Um，而频率仍为f
D．最大值小于Um，而频率仍为f
10．下列情况中霍尔元件能实现的是 ( )
A．把温度(热学量)转换成电阻(电学量)
B．把磁感应强度(磁学量)转换成电压(电学量)
C．把力(力学量)转换成电压(电学量)
D．把光照强弱(光学量)转换成电阻(电学量)
11．两只阻值相等的电阻A、B，A通过正弦交流，B通以脉冲直流电．如图所示，两电流的最大值相同，则这两只电阻的发热功率之比PA∶PB＝______．
11题图
12．如图所示，电热毯(用R表示)有“热、温”两挡，若接“热”挡时电热毯上最高电压为Um、功率为P，那么接在“温”挡时电热毯上的最高电压为______功率为______．
12题图
13．如图是调压变压器的原理图，当变压器接入0～220V交流电时，通过调节可得0～250V的交流电，则电源应接在变压器______两个接线柱上，用电器应接在______两个接线柱上，这时将变压器的旋转滑动触头向______方向旋转，输出电压将升高．
13题图
14．如图所示，理想变压器的输出端接有一电阻为R的电动机，当变压器的输入功率为P时，电动机带动一质量为m的重物以速度v匀速上升．设变压器原副线圈的匝数比为n1∶n2，电动机因摩擦造成的能量损失不计．图中电流表的读数为______；变压器的输入电压为______．
15．矩形线圈abcd的长ab＝20cm，宽bc＝10cm，匝数n＝200匝，线圈总电阻R＝50Ω，整个线圈位于垂直于线圈平面的匀强磁场内，并保持静止．若磁场的磁感应强度B随时间t变化如左下图所示，求线圈1min内产生的焦耳热．
16．一矩形线圈，面积是0.05m2，共100匝，线圈电阻为2Ω，外接电阻为R＝8Ω，线圈在磁感应强度为的匀强磁场中以300r/min的转速绕垂直于磁感线的轴匀速转动，如图所示，若从中性面开始计时，求：
(1)线圈中感应电动势的瞬时值表达式．
(2)线圈从开始计时经s时，线圈中电流的瞬时值．
(3)外电路电阻R两端电压的瞬时值表达式．
17．图(甲)为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的匝数n＝100、电阻r＝10Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R＝90Ω，与R并联的交流电压表为理想电表．在t＝0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按图(乙)所示正弦规律变化．求：
(1)交流发电机产生的电动势的最大值；
(2)电路中交流电压表的示数．
18．曾经流行过一种向自行车车头灯供电的小型交流发电机，图甲为其结构示意图．图中N、S是一对固定的磁极，abcd为固定在转轴上的矩形线框，转轴过bc边中点、与ab边平行，它的一端有一半径r0＝1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘相接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而使线框在磁极间转动．发电机线框由N＝600匝导线圈组成，线圈所围的面积S＝15cm2，磁极间的磁场可视作匀强磁场，磁感强度B＝0.020T．请估算一下该车头灯配额定电压为多少的灯泡合适？(假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动)
19．一个小型水力发电站，发电机输出电压U0＝250V，内电阻可以忽略不计，最大输出功率为Pm＝30kW，它通过总电阻R线＝2.0Ω的输电线直接向远处的居民区供电．设居民区所有用电器都是额定电压U用＝220V的白炽灯，总功率为P用＝22kW，不计灯丝电阻随温度的变化．
(1)当居民区的电灯全部使用时，电灯两端的电压是多少伏？发电机实际输出的电功率是多大；
(2)若采用高压输电，在发电机端用升压变压器，在用户端用降压变压器，且不计变压器和用户线路的损耗；已知用户端变压器的降压比为40∶1，当全部用户电灯正常发光时，输电线上损耗的功率多大？
参考答案
第十一章
1．ACD　2．C　3．C　4．B　5．A　6．C　7．B　8．B　9．A　10．B　11．1∶1　12．Um　
13．ab，cd，逆时针　14．，　15．37861J
16．(1)e＝Emsinωt＝50sin(10πt)　V　(2)i＝5sin(10π×)＝4.3A　(3)u＝40sin(10πt)　V
17．(1)200V　(2)127V　18．选用额定电压为6.4V左右的灯泡比较合适．
19．(1)131V；14.88kW　(2)12.5W
第十二章 光 学
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．光的直线传播 本影与半影
Ⅰ
2．光的反射 反射定律 平面镜成像作图法
Ⅱ
3．光的折射 折射定律 折射率 全反射和临界角
Ⅱ
4．光导纤维
Ⅰ
5．棱镜 光的色散
Ⅰ
6．光的本性学说的发展简史
Ⅰ
7．光的干涉现象 双缝干涉 薄膜干涉 双缝干涉的条纹与波长的关系
Ⅱ
8．光的衍射
Ⅱ
9．光的偏振现象
Ⅰ
10．光谱和光谱分析 红外线 紫外线 X射线以及它们的应用光的电磁本性 电磁波谱
Ⅰ
11．激光的特性及应用
Ⅰ
二、能力要求
1．理解折射定律的确切含义，知道折射现象中光路是可逆的，知道折射率的定义，及其与光速的关系．
2．理解光的全反射，理解临界角的概念，能判断是否发生全反射，并能解决有关的问题．知道光导纤维及其应用．
3．知道光的干涉现象．知道光的双缝干涉现象如何产生的，不同色光的双缝干涉条纹间距不同，光的波长越长，干涉条纹的间距越大．知道光的衍射现象．知道偏振现象，知道光的偏振现象说明光是横波．
三、解题示例
例1 水槽中放一平面镜，镜面与水平面成30°角，一束水平光束射向平面镜，水槽中放入折射率n＝5/3的某种油，问：
(1)由平面镜反射后的反射角为多少？
(2)光束射出空气时的折射角？
(3)如改变光线的入射方向，当入射角是多少时会发生全反射？
分析：首先画图明确平面几何关系，即法线所在位置、入射角多大并在图中画出反射与折射光线．
解答：(1)如图所示，入射角α＝60°
由反射定律可知，反射角β＝60°
(2)由折射定律：
θ1＝30°
得θ2＝arcsin(5/6)＝56.4°
(3)设当临界角为θ1时恰发生全反射现象，
θ1＝37°
θ1＋90°－β＝60°
得α＝67°
讨论：
(1)如入射角α＜67°时，不会在界面上发生全反射，会同时有反射光和折射光存在．这样光的能量是一部分反射回油中、一部分折射进入空气．如入射角≥67°时，只有反射光，没有折射光线射出．
(2)此题为反射、折射、全反射的综合题，关键是应首先明确平面几何关系，画好光路图是极重要的．
例2 发出红光的细线光源ab，原长为l0，竖直放置，上端a恰好在水面以下，如图．现考虑线光源ab发出的靠近水面法线(图中的虚线)的细光速经水面折射后所成的像，水的折射率为n，问：
(1)红光成的像的长度l1；
(2)如光源换成紫光的，用l2表示紫光成像的长度，比较l1和l2的大小．
分析：此题可将细线光源变换成一个点光源S来研究．如下图所示，S'为靠近法线处的虚像．再由不同的光线折射率不同，即可知其长度．
解答：
(1)由折射定律及几何关系，当α、β极小时，
(2)同理：
且 n2＞n1
所以 l2＜l1
讨论：
对各单色光来说，紫光折射率最大，红光折射率最小，由上面的推导可知，红橙黄绿兰靛紫七色的细线光源，在水的折射下光源的长度越来越短，且均小于原长．此题的关键是将线光源变成点光源模型．
例3 空气中有一个小球状激光器(半径不计)，向各个方向均匀辐射出的波长为λ的单色光，已知激光器每秒钟辐射的能量为E，光速为c，问：
(1)每个光子的能量是多少？
(2)激光器每秒钟辐射出的光子数为多少？
(3)半径为R的球面上每秒钟单位面积所接收的光子数是多少？
分析：将激光器视为能射出N个光子的仪器，由爱因斯坦的光子说，每个光子的能量均为hv．设想空间中有一半径为R的纸制球面接收激光束．
解答：(1)设每个光子的能量为E0，E0＝hv
解得
(2)激光器每秒辐射的能量为E，设每秒射出的光子数为N，
则 E＝Nhv
所以
(3)设想半径为R的球面面积为S，S＝4πR2
设此球面每秒每平方米接收的光子数为N'
即
讨论：
每个光子的能量完完全全由且仅由光的频率决定．
四、综合训练
1．一束红光和一束紫光垂直穿过同一块两面平行的玻璃板，设红光穿过玻璃板经过的时间为t1，紫光经过的时间为t2，则 ( )
A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．t1＜t2 D．无法判断
2．图示为一直角棱镜的横截面，∠bac＝90°，∠abc＝60°．一平行细光束从O点沿垂直于bc面的方向射入棱镜．已知棱镜材料的折射率n＝，若不考虑原入射光在bc面上的反射光，则有光线 ( )
A．从ab面射出
B．从ac面射出
C．从bc面射出，且与bc面斜交
D．从bc面射出，且与bc面垂直
3．空气中两条光线a和b从方框左侧入射，分别从方框下方和上方射出，其框外光线如下图所示．方框内有两个折射率n＝1.5的玻璃全反射棱镜．下图给出了两棱镜四种放置方式的示意图，其中能产生左图效果的是 ( )
4．在桌面上有一倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴(图中虚线)与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，如图所示．有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的地面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率为1.5，则光束在桌面上形成的光斑半径为 ( )
A．r B．1.5r
C．2r D．2.5r
5．如图，一束单色光射入一玻璃球体，入射角为60°．已知光线在玻璃球内经一次反射后，再次折射回到空气中时与入射光线平行．此玻璃的折射率为 ( )
A． B．1.5
C． D．2
6．下列有关光现象的说法正确的是 ( )
A．在光的双缝干涉实验中，若仅将入射光由紫光改为红光，则条纹间距一定变大
B．以相同入射角从水中射向空气，紫光能发生全反射，红光也一定能发生全反射
C．紫光照射某金属时有电子向外发射，红光照射该金属时也一定有电子向外发射
D．拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加装一个偏振片以增加透射光的强度
7．下列说法正确的是 ( )
A．用三棱镜观察太阳光谱是利用光的干涉现象
B．在光导纤维束内传送图象是利用光的全反射现象
C．用标准平面检查光学平面的平整程度是利用光的偏振现象
D．电视机遥控器是利用发出紫外线脉冲信号来变换频道的
8．两种单色光a和b，a光照射某金属时有光电子逸出，b光照射该金属时没有光电子逸出，则 ( )
A．在真空中，a光的传播速度较大 B．在水中，a光的波长较小
C．在真空中，b光光子能量较大 D．在水中，b光的折射率较小
9．如图是双缝干涉实验装置的示意图，S为单缝，S1、S2为双缝，P为光屏．用绿光从左边照射单缝S时，可在光屏P上观察到干涉条纹．下列说法正确的是 ( )
A．减小双缝间的距离，干涉条纹间的距离减小
B．增大双缝到屏的距离，干涉条纹间的距离增大
C．将绿光换为红光，干涉条纹间的距离减小
D．将绿光换为紫光，干涉条纹间的距离增大
10．在实验条件完全相同的情况下，分别用红光和紫光做实验进行比较，得到四个实验结论．以下是对四个实验结论的描述，其中正确的是 ( )
A．通过三棱镜后，紫光偏折角大
B．通过平行玻璃砖后，红光侧移大
C．在双缝干涉实验中，光屏上紫光的干涉条纹间距较宽
D．若紫光照射到某金属表面有光电子逸出，则红光照射也一定有光电子逸出
11．如图所示，用导线将验电器与洁净锌板连接，触摸锌板使验电器指示归零．用紫外线照射锌板，验电器指针发生明显偏转，接着用毛皮摩擦过的橡胶棒接触锌板，发现验电器指针张角减小，此现象说明锌板带______电(选填写“正”或“负”)；若改用红外线重复上实验，结果发现验电器指针根本不会发生偏转，说明金属锌的极限频率______红外线(选填“大于”或“小于”)．
12．用频率5×1014Hz的单色光做双缝干涉实验．光屏上到双缝距离相等的那些位置出______条纹；光屏上到双缝距离之差为1.5μm处将出现______条纹．
13．劈尖干涉是一种薄膜干涉，其装置如图1所示．将一块平板玻璃放置在另一平板玻璃之上，在一端夹入两张纸片，从而在两玻璃表面之间形成一个劈形空气薄膜．当光垂直入射后，从上往下看到的干涉条纹如图2所示．干涉条纹有如下特点：(1)任意一条明条纹或暗条纹所在位置下面的薄膜厚度相等；(2)任意相邻明条纹或暗条纹所对应的薄膜厚度差恒定．现若在图1装置中抽去一张纸片，则当光垂直入射到新的劈形空气薄膜后，从上往下观察到的干涉条纹将______(“变窄”或“变宽”或“不变”)
14．图为X射线管的结构示意图，E为灯丝电源，要使射线管发出X射线，须在K、A两电极间加上几万伏的直流高压，高压电源正极应接在______点，X射线从______极发出．
15．已知铯的极限频率为4.545×1014Hz，钠的为6.000×1014Hz，银的为1.153×1015Hz，铂的为1.529×1015Hz．当用波长为0.375μm的光照射它们时，可发生光电效应的是哪种金属？
16．右图是个圆柱体棱镜的截面图，图中E、F、G、H将半径OM＝10cm分成5等份，虚线EE1、FF1、GG1、HH1平行于半径ON，ON边可吸收到达其上的所有光线．已知该棱镜的折射率n＝，若平行光束垂直入射并覆盖OM，则光线从曲线在哪一部分射出，其长度为多少？
17．一个高h＝20cm、底面直径d＝15cm的不透明圆柱形筒，当筒内装满某种液体时，人眼通过筒口边沿某一方向向筒里观察，正好看到筒底边缘处．如果把液体倒去，把筒放回原处，人眼位置保持不变，则只能看到深度一半处，求此种液体的折射率．
18．一水池的池底为水平面，池中水深1.2m．有一竹竿竖直立于池底，浸入水中的部分正好是全长的一半．阳光与水平方向成37°射入，已知水的折射率为，求池底杆影长．
19．晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内，一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动．春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近看到它，之后极快地变暗而看不到了．已知地球的半径为R地＝6.4×106m，地面上的重力加速度为10m/s2，估算(结果精确到两位有效数字)(1)卫星轨道离地面的高度；(2)卫星的速度大小．
20．一半径为R的球体放置在水平面上，球体由折射率为的透明材料制成．现有一束位于过球心O的竖直平面内的光线，平行于桌面射到球体表面上，折射入球体后再从竖直表面射出，如图所示．已知入射光线与桌面的距离为．求出射角．
参考答案
第十二章
1．C　2．BD　3．B　4．C　5．C　6．A　7．B　8．BD　9．B　10．A　11．正，大于　12．明，暗
13．变宽　14．Q，A　15．铯、钠　16．从NG1射出，长度为6.5cm．　17．1.4　18．2.5m
19．(1)h＝R＝6400km　(2)v＝＝5.7×103m/s　20．θ＝60?
第十三章 原子、原子核、相对论简介
一、知识目标
内 容
要 求
说 明
1．普朗克能量子假说 黑体和黑体辐射
Ⅰ
2．光电效应 康普顿效应
Ⅰ
3．光的波粒二象性物质波 概率波 不确定性关系
Ⅰ
4．原子核式结构模型
Ⅰ
5．氢原子光谱
Ⅰ
6．原子的能级
Ⅰ
7．原子核的组成
Ⅰ
8．原子核的衰变半衰期
Ⅰ
9．放射性的应用与防护 放射性同位素
Ⅰ
10．核力与结合能质量亏损
Ⅰ
11．核反应方程
Ⅰ
12．重核裂变 核聚变
Ⅰ
二、能力要求
1．理解光电效应中极限频率的概念，光电效应的瞬时性及其与光的电磁理论的矛盾．
理解光子说及其对光电效应的解释．理解爱因斯坦光电效应方程并会用来解释简单的现象．
2．了解光既具有波动性又具有粒子性．了解光是一种概率波．
3．知道实物粒子和光子一样具有波粒二象性．知道德布罗意波长和粒子动量的关系
4．知道α粒子散射实验，知道原子的核式结构模型的主要内容，理解模型提出的主要思想．
5．理解能级的概念，氢原子发射与吸收光子的频率与能级差的关系．
6．知道原子核的组成，知道核子和同位素的概念．
7．了解天然放射现象及其规律，知道天然放射现象的原因是核的衰变．知道三种射线的本质，以及如何利用磁场区分它们．知道α衰变、β衰变，知道衰变规律．了解半衰期的概念．
8．知道什么是放射性同位素．了解放射性同位素的特点及应用．
9．知道原子核的人工转变，知道核能的概念．了解爱因斯坦的质能方程，知道质量亏损的概念．会根据质能方程和质量亏损的概念计算核反应中释放的核能．
10．知道重核的裂变和链式反应．知道什么是聚变．知道核反应堆和核电站．
11．了解聚变反应的特点，知道可控热核反应．
三、解题示例
例1 氢原子的能级图如图所示，欲使一处于基态的氢原子释放出一个电子而变成氢离子，该氢原子需要吸收的能量至少是 ( )
A．13.6eV B．10.2eV
C．0.54eV D．27.2eV
解析：要使氢原子变成氢离子，是使氢原子由基态向高能级跃迁，需要吸收能量大小等于
ΔE＝En－E1＝0－(－13.6)eV＝13.6eV
所以A选项正确．
例2 某核电站装机容量为60万kW，如果1g铀235完全裂变时产生的能量为8.2×1010J，并且假定产生的能量都变成了电能，那么，每年要消耗多少千克铀235？(一年按365天计算)
解析：
核电站每天的发电量为W＝Pt＝6×108×24×3600J＝5.184×1013J．
每年的发电量W总＝365W＝1.892×1016J而1g铀完全裂变时产生的能量为8.2×1010J．
所以，每年消耗的铀的量为m＝1.892×1016J/8.2×1010J＝2.3×105g＝2.3×102kg
例3 如图所示，静止在匀强磁场中的Li核俘获一个速度为v0＝7.7×104m/s的中子而发生核反应，Li＋n→H＋He，若已知He的速度为v2＝2.0×104m/s，其方向跟中子反应前的速度方向相同，求：
(1)H的速度是多大？
(2)求粒子H和He的轨道半径之比．
(3)当粒子He旋转了3周时，粒子H旋转几周？
解析：
(1)Li核俘获n的过程，系统动量守恒，则mnv0＝mHv1＋mHev2
即v1＝
设每个核子质量为m，则mn＝1m，mHe＝4m，mH＝3m，得v1＝－1.0×103m/s，负号表示跟v0的方向相反．
(2)H和He在磁场中半径之比为
(3)H和He的周期之为
当α粒子转3周时，H转了2周．
例4 红宝石激光器发射的激光是不连续的一道道闪光，每道闪光称为一个光脉冲．现有一发射功率为10W的红宝石激光器，正常工作时每发射一个光脉冲持续时间为1.0×10－11s，所发光的波长为693.4nm．普朗克常量h＝6.626×10－34J·s．求
(1)激光器发射的激光的频率；
(2)激光中每一个光子的能量；
(3)激光中每一个光子的动量；
(4)每个激光脉冲中含有的光子数．
分析：
由于激光传播的速度c＝3.0×108m/s，波长λ＝693.4nm＝6.934×10－7m，根据波长、波速、频率之间的关系v＝，得
所以激光器发射激光每一个光子的能量为
E＝hv＝6.626×10－34×4.33×1014＝2.87×10－19J
每一个光子的动量为
每个激光脉冲的能量为 W＝Pt＝1.0×10－10J
每个激光脉冲中含有的光子数 n＝＝3.5×108个
解答：
(1)激光器发射的激光的频率为4.33×1014Hz；
(2)激光器发射激光每一个光子的能量为2.87×10－19J；
(3)每一个光子的动量为9.56×10－28kg·m/s；
(4)每个激光脉冲中含有的光子数为3.5×108个．
例5 分别用波长为λ和的单色光照射同一金属板，发出的光子的最大初动能之比为1∶2．以h表示普朗克常量，c表示真空中的光速，则此金属板的逸出功为 ( )
A． B． C． D．
分析：
根据爱因斯坦光电效应方程Ek＝hv－W0和波长、波速、频率之间的关系可知，光子的最大初动能
由于波长为λ和的单色光照射同一金属板，发出的光子的最大初动能之比为1∶2，所以
解得此金属板的逸出功
解答：正确答案为选项B
例6 研究光电效应规律的实验装置如图所示，以频率为v的光照射光电管阴极K时，有光电子产生．由于光电管K、A间加的是反向电压，光电子从阴极K发出后将向A做减速运动．光电流i由图中电流计G测出，反向电压U由电压表V测出．当电流计的示数恰好为零时，电压表的示数称为遏止电压U0．在下列表示光电效应实验规律的图象中，错误的是 ( )
分析：
根据光电效应实验规律可知，在反向电压U和频率v一定时，光强I越大，照射在金属表面的光子数越多，从金属表面逸出的电子数也越多，光电流i就越大，而且光电流i与光强I成正比．选项A正确地描述了光电流i与光强I的关系；
根据遏止电压的物理意义有
根据爱因斯坦光电效应方程
所以
显然，遏止电压U0和频率v的关系不是正比例关系．选项B没有正确地描述遏止电压U0和频率v的关系；
在光强和频率v一定时，反向电压U越大，光电流i越小，选项C正确地描述了光电流i与反向电压U的关系；
当入射光频率大于截止频率时，无论入射光怎样微小，光电流几乎都在光照射的瞬间(小于10－9s)产生．选项D的描述也是正确的．
解：正确答案为选项B
例7 2005年7月欧洲向金星发射首枚探测器“金星快车”，我国也将在2020年以前向火星发射探测器．在太空探测中，动力问题是一个关键问题，现在研究出一种比较可行的方法是利用太阳帆推进器．根据量子理论，光子不但有动能，还有动量，其计算式为p＝，其中h是普朗克常量，λ是光子的波长．既然光子有动量，那么光照到物体表面，光子被物体吸收或反射时，光都会对物体产生压强，这就是“光压”．
一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为P0＝1000W，射出的光束的横截面积为S＝1.00mm2．当它垂直照射到某一物体表面时，对该物体产生的光压最大是多少？(不考虑其他任何力的影响且不计太阳光反射时频率的变化．普朗克常量h＝6.63×10－34J·s)
分析与解答：由E＝hv、P＝以及真空中光速c＝λv，不难得出光子的能量和动量之间的关系：E＝pc．光照射到物体表面时，光子和物体碰撞产生力的作用，力的大小可以通过动量定理进行求解，从而计算出光压．当光子被物体完全反射时，产生的光压最大．
设单位时间内激光器发出的光子数为n，每个光子的能量为E，动量为p0，则激光器的功率为P功率＝nE
所以，单位时间内到达物体表面的光子总动量为
p总动量＝np0＝nE/c＝P功率/c
激光束被物体表面完全反射时，其单位时间内的动量改变量为
Δp＝2p总动量＝2P功率/c
根据动量定理，激光束对物体表面的作用力为
F＝2P功率/c
因此，激光束在物体表面引起的光压为
四、综合练习
1．如右图所示，1、2、3、4为玻尔理论中氢原子最低的四个能级．处在n＝4能级的一群氢原子向低能级跃迁时，能发出若干种频率不同的光子，在这些光子中，波长最长的是
( )
A．n＝4跃迁到n＝1时辐射的光子
B．n＝4跃迁到n＝3时辐射的光子
C．n＝2跃迁到n＝1时辐射的光子
D．n＝3跃迁到n＝2时辐射的光子
2．用一束单色光照射处于基态的一群氢原子，这些氢原子吸收光子后处于激发态，并能发射光子，现测得这些氢原子发射的光子频率仅有三种，分别为v1、v2和v3，且v1＜v2＜v3．则入射光子的能量应为 ( )
A．hv1 B．hv2 C．h(v1＋v2) D．hv3
3．下列四个方程中，表示衰变的是 ( )
A．U→Th＋He B．Na→Mg＋e
C．＋n→Kr＋Ba＋3n D．H＋H→He＋n
4．目前，在居室装修中经常用到花岗岩、大理石等装修材料，这些岩石都不同程度地含有放射性元素，比如，有些含有铀、钍的花岗岩等岩石会释放出放射性惰性气体氡，而氡会发生放射性衰变，放出α、β、γ射线，这些射线会导致细胞发生癌变及呼吸道等方面的疾病，根据有关放射性知识可知，下列说法正确的是 ( )
A．氡的半衰期为3.8天，若取4个氡原子核，经7.6天后就只剩下一个原子核了
B．β衰变所释放的电子是原子核内的中子转化成质子和电子所产生的
C．γ射线一般伴随着α或β射线产生，在这三种射线中，γ射线的穿透能力最强，电离能力也最强
D．发生α衰变时，生成核与原来的原子核相比，中子数减少了4
5．某核反应方程为H＋H→He＋X．已知H的质量为2.0136u，H的质量为3.0180u，He的质量为4.0026u，X的质量为1.0087u．则下列说法中正确的是 ( )
A．X是中子，该反应释放能量 B．X是质子，该反应释放能量
C．X是中中子，该反应吸收能量 D．X是质子，该反应吸收能量
6．静止的镭核Ra发生α衰变，释放出的α粒子的动能为E0，假设衰变时能量全部以动能形式释放出来，则衰变过程中总的质量亏损是 ( )
A． B．
C． D．
7．下列说法中正确的是 ( )
A．放射性元素的半衰期是指大量该元素的原子核中有半数发生衰变所需要的时间
B．Ra(镭)衰变为Rn(氡)要经过1次α衰变和1次β衰变
C．β射线是原子核外电子挣脱原子核的束缚后而形成的电子流
D．中子与质子结合成氘核的过程中需要吸收能量
8．14C是一种半衰期为5730年的放射性同位素，若考古工作者探测到某古木中14C的含量为原来的1/4，则该古树死亡时间距今大约 ( )
A．22920年 B．11460年 C．5730 D．2865年
9．α粒子散射实验中，当α粒子最接近原子核时，α粒子符合下列的情况是 ( )
A．动能最小 B．势能最小
C．α粒子受到原子核的斥力最小 D．α粒子受到原子核的斥力最大
10．20世纪30年代以来，人们在对宇宙射线的研究中，陆续发现了一些新的粒子，K介子和π介子就是科学家在1947年发现的．K－介子的衰变方程为K－→π0＋π－，其中K－介子和π－介子带负电，电荷量等于基元电荷电量，π0介子不带电．如图所示，一个K－介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场中，其轨迹为图中的圆弧虚线，K－介子衰变后，π0介子和π－介子的轨迹可能是 ( )
11．一个静止的放射性原子核处于垂直纸面向里的匀强磁场中，由于发生了衰变而形成了
如图所示的两个圆形径迹，两圆半径之比为1∶16，则以下说法正确的是 ( )
A．该原子核发生了α衰变
B．反冲核沿小圆做逆时针方向运动
C．原静止的原子核的原子序数为15
D．沿大圆和沿小圆运动的粒子的周期相同
12．一置于铅盒中的放射源发射的α、β和γ射线，由铅盒的小孔射出，在小孔外放一铝箔，铝箔后的空间有一匀强电场．进入电场后，射线变为a、b两束，射线a沿原来方向行进，射线b发生了偏转，如图所示，则图中的射线a为______射线，射线b为______射线．
13．一个α粒子击中一个硼核(B)，生成碳核(C)和另一个粒子．则这个核反应方程是________________
14．完成下列核反应方程，并说明其反应类型：
U＋n→Xe＋Sr＋______，属______反应；
Rn→Po＋______，属______反应．
15．用中子轰击铝27，产生钠24．这个核反应方程是________________，钠24是具有放射性的，衰变后变成镁24，这个核反应方程是________________．
16．一个正电子和一个负电子相遇会发生湮灭而转化为一对光子，设正、负电子的质量为m，普朗克常量为h，光速为c，则这一对光子的频率v＝______．
17．氢原子从能级A跃迁到能级B时，辐射出波长为λ1的光子；从能级A跃迁到能级C时，辐射出波长为λ2的光子；若λ1＞λ2，则氢原子从能级B跃迁到能级C时，将______(填“辐射”或“吸收”)光子，光子的波长＝______．
18．若氢原子的核外电子质量为m，电量为e，在离核最近的轨道上近似做匀速圆周运动，轨道半径为r1．试求：
(1)电子运动的动能Ek是多少？
(2)电子绕核转动的频率f是多少？
(3)氢原子核在电子轨道处产生的电场强度E为多大？
19．静止的原子核x，进行α衰变后变成质量为m0的y原子核，被释放出的α粒子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，测得其做圆周运动的轨道半径是r．已知质子的质量为m，电量为e，求α衰变前x核的质量．(假设衰变时产生的能量全部转化为动能)
20．如右图所示，在xOy平面上，一个以原点O为中心、半径为R的圆形区域内存在着一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于xOy平面向内．在O处原来静止着一个具有放射性的原子核N(氮)，某时刻该核发生衰变，放出一个正电子和一个反冲核．已知正电子从O点射出时沿着x轴正方向，而反冲核刚好不会离开磁场区域，正电子电荷量为e．不计重力影响和粒子间的相互作用．
(1)试写出N的衰变方程；
(2)求正电子离开磁场区域时的位置．
参考答案
第十三章
1．B　2．CD　3．AB　4．B　5．A　6．B　7．A　8．B　9．AD　10．A　11．BC　12．γ　β
13．　14．2，裂变，，衰变
15．　　16．
17．辐射，
18．(1)　(2)　(3)
19．mx＝m0＋4m＋
20．(1)．(2)

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