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数学-RJ·A-选择性必修第二册
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第3课时
第五章　一元函数的导数及其应用
学习目标
会利用导数解决优化问题.
重点、难点：利用导数解决生活中的优化问题.
知识梳理
常见优化问题的解决方法
利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，解题时要注意以下几点：
1.确定关系式.根据题意分析变量之间的关系，列出它们之间的关系式；
2.定义域.根据实际问题确定定义域；
3.最值的判定.若定义域内只有一个点使f′（x）＝0，且f′（x）在这点两侧异号，该点对应的函数值就是要求的最值.
常考题型
一、利润最大问题
例1 ［2020·湖北武汉二中高二期末］某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解】（1）若商品单价降低x元，则一个星期多卖出的商品件数为kx2件.
由已知条件得k·22＝24，解得k＝6.
若记一个星期的商品销售利润为f（x），则有f（x）＝（30-x-9）（432+6x2）＝-6x3+126x2-432x+9 072，x∈［0，21］.
（2）对（1）中函数求导得f′（x）＝-18x2+252x-432＝-18（x-2）（x-12）.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x 0 （0，2） 2 （2，12） 12 （12，21） 21
f′（x） -432 - 0 + 0 - -3 078
f（x） 9 072 ? 极小值 ? 极大值 ? 0
∴ 当x＝12时，f（x）取得极大值.
∵ f（0）＝9 072，f（12）＝11 664，
∴ 定价为30-12＝18（元）能使一个星期的商品销售利润最大.
◆利润最大问题的注意点
1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入-成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.
2.注意问题的实际意义：
①价格要大于成本，
②销量要大于0，否则不会获利.
训练题 已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益.据测算，若今年的实际销售单价为x元/件（1≤x≤2），今年新增的年销量（单位：万件）与（2-x）2成正比，比例系数为4.
（1）写出今年商户甲的收益y（单位：万元）与今年的实际销售单价x之间的函数关系式.
（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？说明理由.
解：（1）由题意知，今年的销售量为［1+4（x-2）2］（万件）.
因为每销售一件，商户甲可获利（x-1）元，
所以今年商户甲的收益y＝［1+4（x-2）2］（x-1）＝4x3-20x2+33x-17（1≤x≤2）.
（2）由（1）知y＝f（x）＝4x3-20x2+33x-17，1≤x≤2，
所以y′＝f ′（x）＝12x2-40x+33＝（2x-3）（6x-11）.
令y′＝0，解得x＝或x＝.
二、成本最低、用料最省问题
例2 ［2020·安徽六安一中高三月考］统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量y（L）关于行驶速度x（km/h）的解析式可以表示为y＝x3-x+8（0（1）当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
训练题 ［2020·山东师大附中高二期末］某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用÷建筑总面积）
三、面积、容积的最值问题
例3 如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.
（1）求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求面积S的最大值.
◆解决与平面几何相关的最值问题的解题思路
1.根据实际情况建立恰当的平面直角坐标系，从而建立实际问题的数学模型.
2.写出实际问题中变量之间的函数关系式.
3.利用导数研究函数最值.
训练题 ［2020·江苏宿迁高二调研］如图所示，在半径为30 cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C，D在圆弧上，点A，B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC＝x cm，圆柱的体积为V cm3.
（1）写出体积V关于x的函数解析式.
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？
知易行难，重在行动
千里之行，始于足下
谢谢
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