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(共14张PPT)
阶段复习课
第二课　复　　数
思维脉图构建
【答案速填】
①__a=c且b=d__
②
③(a+c)+(b+d)i
④(a-c)+(b-d)i
⑤d=|z1-z2|
⑥(ac-bd)+(bc+ad)i
⑦
易错案例警示
易错一　忽视复数的概念
【案例1】若复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是纯虚数,则m的值为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3 B.3或-1 C.-1 D.2
【解析】选A.由复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是纯虚数,得
解得 , m=3.
【错因探究】如果忽视了纯虚数的概念,本题会出现如下错解:
由lg(m2-2m-2)=0,得m2-2m-2=1,则m=3或m=-1,易错选B.
【避错警示】复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件为
两者缺一不可.
易错二　忽视“实”与“虚”的差异
【案例2】以下有四个命题:
(1)两个共轭复数的差是纯虚数;
(2)若z∈C,则z2≥0;
(3)若z1,z2∈C,且z1-z2>0,则z1>z2;
(4)若 + =0,则z1=z2=z3.
其中正确的有________个.
【解析】(1)错,设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi及 =a-bi(a,b∈R),
则z- =2bi或 -z=-2bi,
当b≠0时,z- , -z是纯虚数,
当b=0时,z- =0, -z=0.
(2)错,举反例:设z=i,则z2=i2=-1<0.
(3)错,举反例:设z1=3+i,z2=2+i满足z1-z2=1>0,但z1,z2不能比较大小.
(4)错,设z1=1,z2=i,z3=-1,则 + =0,但它们并不相等.
答案:0
【错因探究】(1)当得到z- =2bi时就认为是纯虚数,忽略了b可以为0的条件.
(2)类比任何一个实数的平方大于或等于0,于是认为可以推广到复数中.
(3)认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中.
(4)把等式的性质错误地推广到复数中.
【避错警示】实数没有方向,只有大小:即实数可以是0,正数大于0,负数小于0,
实数可以比较大小,复数具有向量的两个要素:即大小和方向,所以虚数不能比
较大小.如果忽视了实数和虚数的差异,就会出现错误.
易错三　忽视复数相等的充要条件
【案例3】已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x+1)+i=y+(y-1)i,求x与y的值.
【解析】依题意,设y=bi(b∈R,b≠0),代入关系式(2x+1)+i=y+(y-1)i,整理得
(2x+1)+i=-b+(b-1)i,
根据复数相等的充要条件,可得
解得 则有
【错因探究】本题若忽视了y是虚数,就会根据复数相等的充要条件得
解得 出现错误.
【避错警示】两个复数相等,首先要明确其代数形式,即必须是z1=a+bi,
z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,于是有z1=z2 a=c,b=d,如果a,b,c,d中有虚数,不能
把等式两边看成复数的标准的代数形式,否则求解就会出错.
易错四　忽视复数的运算以及周期性出错
【案例4】已知i为虚数单位, 求 .
【解析】因为
所以 =-1-i.
【错因探究】本题在复数的除法运算中,对分母实数化过程中容易出错,虚数单
位in,n∈N*的周期性也是易错点.
【避错警示】1.在复数的乘法和除法运算中,力争少口算,不跳步计算,这样可
以避免计算错误.
2.注意观察分析复数运算中分子分母的差异和联系,通过“技巧性变换”简化
计算.
3.in,n∈N*的周期性:
(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
(2)in+in+1+in+2+in+3=0.
(3)in·in+1·in+2·in+3=-1.(共19张PPT)
阶段提升课
第二课　复　　数
知识体系·思维建模
考点整合·素养提升
实部与实部相等
复数相等的条件
复数
虚部与虚部相等
的概念
复数的分类
实数(b=0)
a+bi(a,b∈R)
虚部(b≠0)
纯虚部(a=O)
加法
数系的扩充
复数
复数
减法
的四则运算
乘法
除法
复数与复平面上的点及平面向量的对应关系
复数的
几何意义
复数内加减法的几何意义
复数的模
共轭复数
复数z=a+bi
一对应
对应
复平面内点a.)一对应
复平面的向量OZ第二课　复数
知识体系·思维建模
知能题组一　复数的概念
1．复数的虚部是(　　)
A．－ B．－ C． D．
【解析】选D.因为＝＝＋i，所以复数的虚部是.
2．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0
【解析】选C.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则即b＝0，故z是实数，A正确．若z2<0，则即故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则z2＝－b2<0，故D正确．
处理复数概念问题的两个注意点
(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．
(2)复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0，若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0，若复数a＋bi为零，则a＝0且b＝0，若复数a＋bi是虚数，则b≠0.
知能题组二　复数的几何意义
1．(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝(　　)
A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i
【解析】选B.z＝1＋2i，i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.
2．已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
【解析】选B.向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2).
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，
－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
复数的几何意义
任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即
知能题组三　复数的运算
1．化简＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
【解析】选D.＝＝－＋i.
2．若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A．0 B．1 C． D．2
【解析】选C.z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝＝.
复数代数运算策略
(1)复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．
(2)解答复数运算问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．
知能题组四　复数方程问题
在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0.
【解析】(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i.
(2)方法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
方法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±.
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝
0(a≠0)的求解方法
　(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝.
②当Δ<0时，x＝.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
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