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2022高中数学竞赛模拟试题--几何
选择题
1．设为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足,则.
A． B． C． D．
2．在中，已知，是上的一点，且．则=．
A． B．
C． D．
3．如图，设P、M、N分别是正方体的棱，AD，AB上非顶点的任意点.
①的外心必在的某一边上；
②的外心必在的内部；
③的垂心必是点A在平面PMN上的射影；
④若线段AP、AM、AN的长分别为a、b、c，则.其中（ ）.
A．只有①、④正确.
B．只有③、④正确.
C．只有②、③、④正确.
D．只有②、③正确.
4．到一个三角形的三个顶点的距离的平方和最小的点，是这个三角形的（ ）.
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
5．若、，则的最小值是.
A． B． C． D．4
6．半径为的内含于半径为的，已知存在一个四边形外切于且内接于．则的最小值是．
A． B． C． D．
7．若、，则的最小值是.
A． B． C． D．4
8．如图，已知的三边的中点分别为分别是上的点，并满足均平分的周长，分别是关于的对称点，与交于点．若，则一定过的．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
9．设分别是的三边长，且，则的关系是（ ）
A． B． C． D．
10．设为正方形内一点，，，.则的面积为.
A． B．
C． D．
11．已知为内一点，直线，，交，，于，，，且，则的值为
A．1995 B．1996 C．1997 D．1998
12．设是所在平面上的一点，用、、、分别表示向量、、、．若，则是的．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
二、填空题
13．设过椭圆上的任意一点P的直线与椭圆交于A、B两点，射线PO与椭圆交于点Q．则的值为________．
14．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为________.
15．已知的面积为，的三条中线构成，其面积为，的三条中线构成，其面积为.则______.
16．若点为的重心，且，则的最大值为______．
17．如图，在四面体中，G是BC的中点，E，F满足，，设平面交于点，则________.
18．设I为的内心，且.则∠C的大小为_________．
三、解答题
19．点P为椭圆外一点，过P作椭圆两条切线、，切点分别为A、B，连结，点M、N分别为、中点，连结并延长交椭圆于点C，连结交椭圆于另一点D，连结并延长交于Q，证明：Q为的中点．
20．如图，在中，弦与直径垂直，垂足为，的延长线上有一点，满足.过点作，交的延长线于点，连接交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的值；
21．如图，已知过外一点作的两条切线、及两条割线、，联结弦，分别与割线、交于点、．求证：
（1）；
（2）、、三线共点．
答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C C B B D B A C A C D
13．3
14．
15．
16．
17．1
18．
19与交于点K．首先证明：P、D、K、C为调和点列，即．
设，则直线方程为．
设P、D、、C为调和点列，且．
设，则
故
，
所以在直线上，即与K重合，结论成立．
下面证明原题：由梅涅劳斯定理可知，
又由，可知， ①
由直线上托勒密定理可知，，由P、D、K、C四点调和可知，，
故，即 ②
结合①、②可知，．故．
又N为的中点，所以Q为的中点．
20
（1）证明：如图，连接，.
∵是直径，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线.
（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴.
21（1）辅助线如图所示．
由共边定理知．由及，分别得，．则．故．①
由及，分别得
， ②
． ③
由式①、②、③得．
（2）记与交于点为．
要证、、三线共点，只需证明、、三点共线．
由（1）知，．则，．
故．同理，．
因为直线与三边的延长线都相交，所以，由梅涅劳斯定理有．
又由梅涅劳斯定理的逆定理知，、、三点共线．
故、、三点共线．

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