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(共23张PPT)
4．3　对数
第四章　指数函数与对数函数　
4．3.1　对数的概念
1．定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做
____________的对数，记作____________，其中a叫做对数的
________，N叫做__________．
2．常用对数与自然对数：以10为底的对数叫做_____________，
并把log10N记为__________．以无理数e＝2.718 28…为底数的
对数称为_____________，并且把logeN记为_________．
以a为底N
x＝logaN
常用对数
lg N
自然对数
ln N
底数
真数
3．对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数
之间的关系：当a>0，且a≠1时，ax＝N ______________.
4．对数恒等式：alogab＝________；logaab＝_______．
5．对数的性质(a>0，且a≠1)：
(1)logaa＝______，语言表述为_____________________．
(2)loga1＝______，语言表述为__________________．
(3)____________没有对数．
[研读]对数式是由指数式得来的，深刻领会其含义，对理解对数的概念有重要意义．
x＝logaN
b
b
1
底数的对数等于1
0
1的对数等于0
0和负数
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若2m＝6，则m＝log26. (　 　)
(2)因为3－2＝ ，所以2＝log39. (　 　)
(3)当a>1，M>0时，logaM>0. (　 　)
(4)若ln x＝ ，则x＝ . (　 　)
√
√
×
×
将下列指数式化为对数式：
(1) ＝5化为____________；　　　　　
(2)( )x＝6化为_____________；　　　　　
(3)4－2＝ 化为_______________；　　　　　
(4)πx＝8化为___________．　　　　　
x＝logπ8
将下列对数式化为指数式：
(2)logx64＝－6化为___________；
(4)logπ6＝x化为___________．　　　　　　　
　　　　　　
x－6＝64
πx＝6
【迁移探究】
已知loga2＝p，loga3＝q，则a2p＋q＝_______．
【解析】 由loga2＝p，loga3＝q，得ap＝2，aq＝3，
所以a2p＋q＝a2p·aq＝(ap)2·aq＝22×3＝12.
12
求下列各式的值．
(1)log464＝_______；
(2)log530＝_______；
(3)lg 0.01＝________；
(4)log1212＝_______．
3
0
－2
1
求下列各式中x的值．
(1)log2x＝ ，x＝________；
(2)logx25＝2，x＝_______；
(3)log5x2＝2，x＝_______；
(4)log5(lg x)＝1，x＝____________．
5
±5
100 000
(1)若log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，则＝ _____；
(2)若x＝log43，则2·4x＋4－x＝_________．
5
(1)已知4log4(3x－1)＝5，则x＝_________；
(2)若a＝log23，则2a＋2－a＝__________.
2
求下列各式中x的取值范围：
求下列各式的值：
(1)2log29＝________；(2)2－1＋log2 ＝_______．
9
求3log34－2的值．
1．若logab＝2，则(　 　)
A．2a＝b B．2b＝a
C．b2＝a D．a2＝b
【解析】 由logab＝2，得b＝a2.
D
2．方程2log3x＝ 的解是(　 　)
A
3．下列互化关系错误的一组是(　 　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－ ＝与log8 ＝－
C．25＝32与log532＝2
D．log6 ＝ 与6 ＝
【解析】 根据指数式与对数式的互化关系可知，选项C中的
互化是错误的．
C
4．已知log(x＋1)128＝7，则x＝_______．
【解析】 由log(x＋1)128＝7，得(x＋1)7＝128＝27，所以x＋1＝
2，解得x＝1.
5．log(x＋1) (x-1)2中x的取值范围是_________________________．
1
{x|x>－1且x≠0，x≠1}
6．24＋log25＝________．
【解析】 24＋log25＝16·2log25＝16×5＝80.
80对数的概念
[课程目标] 1.了解对数的概念；2.会进行指数式与对数式的互化，会求简单的对数值．
知识点　对数的概念
1．定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__以a为底N__的对数，记作__x＝logaN__，其中a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__．
2．常用对数与自然对数：以10为底的对数叫做__常用对数__，并把log10N记为__lg__N__．以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为__自然对数__，并且把logeN记为__ln__N__．
3．对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：当a>0，且a≠1时，ax＝N __x＝logaN__.
4．对数恒等式：alogab＝__b__；logaab＝__b__．
5．对数的性质(a>0，且a≠1)：
(1)logaa＝__1__，语言表述为__底数的对数等于1__．
(2)loga1＝__0__，语言表述为__1的对数等于0__．
(3)__0和负数__没有对数．
[研读]对数式是由指数式得来的，深刻领会其含义，对理解对数的概念有重要意义．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若2m＝6，则m＝log26.(　√　)
(2)因为3－2＝，所以2＝log39.(　√　)
(3)当a>1，M>0时，logaM>0.(　×　)
(4)若ln x＝，则x＝.(　×　)
【解析】 (2)由3－2＝得32＝9，所以2＝log39.
(3)当a>1，M>1时，logaM>0.
(4)若ln x＝，则x＝e．
将下列指数式化为对数式：
(1)＝5化为__x＝log5__；　　　　　
(2)()x＝6化为__x＝log6__；　　　　　
(3)4－2＝化为__log4＝－2__；　　　　　
(4)πx＝8化为__x＝logπ8__．　　　　　
活学活用
将下列对数式化为指数式：
(1)log10010＝化为__100＝10__；　　　　　　　
(2)logx64＝－6化为__x－6＝64__；　　　　　　　
(3)logx＝6化为__()6＝x__；　　　　　　　
(4)logπ6＝x化为__πx＝6__．　　　　　　　
【迁移探究】
已知loga2＝p，loga3＝q，则a2p＋q＝__12__．
【解析】 由loga2＝p，loga3＝q，得ap＝2，aq＝3，
所以a2p＋q＝a2p·aq＝(ap)2·aq＝22×3＝12.
求下列各式的值．
(1)log464＝__3__；
(2)log530＝__0__；
(3)lg 0.01＝__－2__；
(4)log1212＝__1__．
活学活用
求下列各式中x的值．
(1)log2x＝－，x＝____；
(2)logx25＝2，x＝__5__；
(3)log5x2＝2，x＝__±5__；
(4)log5(lg x)＝1，x＝__100__000__．
【解析】 (1)x＝2－＝＝.
(2)x2＝25，因为x>0，所以x＝5.
(3)x2＝52，得x＝±5.
(4)lg x＝5，x＝105＝100 000.
(1)若log3[log4(log5a)]＝log4[log3(log5b)]＝0，则＝__5__；
(2)若x＝log43，则2·4x＋4－x＝____．
【解析】 (1)由log3[log4(log5a)]＝0，得log4(log5a)＝1，所以log5a＝4，所以a＝54.同理b＝53，所以＝5.
(2)因为x＝log43，所以4x＝3，故2·4x＋4－x＝6＋＝.
活学活用
(1)已知4log4(3x－1)＝5，则x＝__2__；
(2)若a＝log23，则2a＋2－a＝____.
【解析】 (1)由4log4(3x－1)＝5，得3x－1＝5，解得x＝2.
(2)因为a＝log23 2a＝3，所以2a＋2－a＝.
求下列各式中x的取值范围：
(1)lg；　(2)log(x－1).
解：(1)由x－10>0，解得x>10.
(2)由解得x>1且x≠2.
活学活用
若log(x－2)＝0，求x的值．
解：由 x＝4.
求下列各式的值：
(1)2log29＝__9__；(2)2－1＋log2＝____．
【解析】 (1)由对数恒等式得，2log29＝9.
(2)2－1＋log2＝2－1·2log2＝·＝.
活学活用
求3log34－2的值．
解：3log34－2＝＝.
1．若logab＝2，则(　D　)
　　　　　　　　　　　　　　
A．2a＝b B．2b＝a
C．b2＝a D．a2＝b
【解析】 由logab＝2，得b＝a2.
2．方程2log3x＝的解是(　A　)
A．x＝B．x＝
C．x＝3 D．x＝2
【解析】 由2log3x＝，得2log3x＝2－1，
所以log3x＝－1，得x＝3－1＝.
3．下列互化关系错误的一组是(　C　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．25＝32与log532＝2
D．log6＝与6＝
【解析】 根据指数式与对数式的互化关系可知，选项C中的互化是错误的．
4．已知log(x＋1)128＝7，则x＝__1__．
【解析】 由log(x＋1)128＝7，得(x＋1)7＝128＝27，所以x＋1＝2，解得x＝1.
5．log(x＋1)中x的取值范围是__{x|x>－1且x≠0，x≠1}__．
【解析】 由 x>－1，且x≠0，x≠1.
6．24＋log25＝__80__．
【解析】 24＋log25＝16·2log25＝16×5＝80.
5(共36张PPT)
4．3　对数
第四章　指数函数与对数函数　
4．3.2　对数的运算
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝_________________；
(2)loga ＝__________________；
(3)logaMn＝___________(n∈R).
[研读]注意公式的使用条件，真数为正数，底数相同，且不为
1.
logaM＋logaN
logaM－logaN
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN. (　 　)
(2)log624－log64＝1. (　 　)
(3)log58＋log5 ＝2. (　 　)
(4)log . (　 　)
×
√
√
×
2．对数换底公式的重要推论：
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，
b≠1，c≠1).
[研读]有了换底公式，底数不相同的对数式也能进行计算了．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若loga2＝m，则log4a＝ . (　 )
(2)若lg 6＝a，lg 8＝b，则log68＝ab. (　　 )
(　 　 )
(4)logab·logbc＝logac(a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1). (　 　)
√
×
√
√
计算下列各式的值．
用logax，logay，logaz表示下列各式．
1
[规律方法]
1．对数运算性质的作用：
(1)利用对数的运算性质，可以将真数的积、商、幂的运算转
化为对数的和、差、倍数运算，反之亦然．
(2)通过对对数运算性质的灵活运用，能起到降幂、去分母、
去根号的作用．
2．运用对数的运算性质时要注意的问题：
(1)注意三个性质的正用、逆用．
(2)在进行对数运算时，要判断能否使用运算性质．
(3)不要将“积、商、幂的对数”和“对数的积、商、幂”混淆．
【迁移探究】
计算下列各式的值：
(2)(lg 2)2＋lg 50×lg 2＋lg 25.
若log34×log48×log8m＝log416，则m等于(　 　)
A．　 B．9
C．18 D．27
B
计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
求值：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258).
[规律方法]
利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．
【迁移探究】
已知log189＝a，18b＝5.求log3645的值．
解下列关于x的方程：
(1)log2x·log34·log59＝8；
[规律方法]
解对数方程实质是转化，转化为两对数相等或转化为熟知的一元二次方程等．但求解过程中要注意对数的真数满足大于0的要求，舍掉增根．
【迁移探究】
1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子正确的个数为(　 　)
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
④loga(xy)＝logax·logay.
　 A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确．故选
A.
A
B
D
4．若实数a，b，c满足2a＝1 009b＝2 018c＝2 020，则下列式子
正确的是(　 　)
B
4
6．解方程lg x＋2log10xx＝2.对数的运算
[课程目标] 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；2.掌握换底公式及其推论；3.能够熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝__logaM＋logaN__；
(2)loga＝__logaM－logaN__；
(3)logaMn＝__nlogaM__(n∈R).
[研读]注意公式的使用条件，真数为正数，底数相同，且不为1.
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)log624－log64＝1.(　√　)
(3)log58＋log5＝2.(　√　)
(4)log＝－.(　×　)
【解析】 (1)当a>0且a≠1，M>0，N>0时，loga(MN)＝logaM＋logaN才成立．
(2)log624－log64＝log6＝log66＝1.
(3)log58＋log5＝log5＝log525＝2.
(4)log ＝log＝log ()－2＝－2.
知识点二　对数换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1).
(2)loganbm＝logab(a>0，且a≠1，b>0).
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
[研读]有了换底公式，底数不相同的对数式也能进行计算了．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)若loga2＝m，则log4a＝.(　√　)
(2)若lg 6＝a，lg 8＝b，则log68＝ab.(　×　)
(3)＝log43.(　√　)
(4)logab·logbc＝logac(a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1).(　√　)
【解析】 (1) log4a＝＝＝.
(2)log68＝＝.
(4)logab·logbc＝logab·＝logac(a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1).
计算：log2＋log212－log242＝__－__．
【解析】 原式＝log2－log2
＝log2＝log22－＝－.
活学活用
计算下列各式的值．
(1)lg－lg＋lg；
(2)log535－2log5＋log57－log51.8.
解：(1)原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg
＝lg(×)＝lg＝.
(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
用logax，logay，logaz表示下列各式．
(1)logax－4；(2)loga(xy－1z2)；(3)loga.
解：(1)logax－4＝－4logax.
(2)loga(xy－1z2)＝logax＋logay－1＋logaz2＝logax－logay＋2logaz.
(3)loga＝loga－loga(y2z2)
＝logax－(logay2＋logaz2)
＝logax－2logay－2logaz.
活学活用
设3x＝4y＝36，则＋的值是__1__．
【解析】 x＝log336，y＝log436，则＋＝＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
[规律方法]
1．对数运算性质的作用：
(1)利用对数的运算性质，可以将真数的积、商、幂的运算转化为对数的和、差、倍数运算，反之亦然．
(2)通过对对数运算性质的灵活运用，能起到降幂、去分母、去根号的作用．
2．运用对数的运算性质时要注意的问题：
(1)注意三个性质的正用、逆用．
(2)在进行对数运算时，要判断能否使用运算性质．
(3)不要将“积、商、幂的对数”和“对数的积、商、幂”混淆．
【迁移探究】
计算下列各式的值：
(1)2(lg)2＋lg·lg 5＋；
(2)(lg 2)2＋lg 50×lg 2＋lg 25.
解：(1)原式＝lg(2lg ＋lg 5)＋
＝lg(lg 2＋lg 5)＋1－lg＝lg＋1－lg＝1.
(2)原式＝(lg 2)2＋lg(52×2)×lg 2＋lg 52
＝(lg 2)2＋(2lg 5＋lg 2)×lg 2＋2lg 5
＝(2lg 5＋2lg 2)×lg 2＋2lg 5
＝2lg 10×lg 2＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2lg 10＝2.
若log34×log48×log8m＝log416，则m等于(　B　)
A．　　　　　　　　　　B．9
C．18 D．27
【解析】 由已知得××＝log416＝2，
所以＝2，所以log3m＝2，所以m＝32＝9.
活学活用
log 2＋log279＝____.
【解析】 原式＝＋＝＋＝.
计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
(2).
解：(1)原式＝×log32
＝×log32＝＋＝.
(2)原式＝·＝log·log9
＝－log32·log29
＝－log32×3log23＝－.
活学活用
求值：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258).
解：原式＝·
＝
＝log25·3log52
＝13log25·＝13.
[规律方法]
利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．
【迁移探究】
已知log189＝a，18b＝5.求log3645的值．
解：因为18b＝5，所以log185＝b，
所以log3645＝＝＝
＝＝.
解下列关于x的方程：
(1)log2x·log34·log59＝8；
(2)log5＝log5；
(3)＋lg x3－10＝0.
解：(1)因为log2x·log34·log59＝8，所以··＝8 lg x＝lg 25 x＝25.
(2)由等式可得，2x＋1＝x2－2>0 x＝3或x＝－1(舍).
(3)由＋lg x3－10＝0 ＋3lg x－10＝0，
即＝0，解得x＝10－5或x＝102.
活学活用
解方程：＝lg 5－lg.
解：由等式可得，＋lg＝lg 5，
即lg＝lg 5，
故解得x＝15.
[规律方法]
解对数方程实质是转化，转化为两对数相等或转化为熟知的一元二次方程等．但求解过程中要注意对数的真数满足大于0的要求，舍掉增根．
【迁移探究】
已知lg x＋lg y＝2lg ，求的值．
解：由等式可得：解得x＝4y，故＝4.
1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子正确的个数为(　A　)
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga＝logax÷logay；
④loga(xy)＝logax·logay.
　　　　　　　　　　　　　　
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 根据对数的运算性质知，这四个式子都不正确．故选A.
2．等于(　B　)
A．B．
C．D．
【解析】 ＝＝log327＝.
3．若lg x－lg y＝m，则lg－lg等于(　D　)
A．B．m　
C．D．3m
【解析】 lg－lg＝3(lg x－lg 4)－3(lg y－lg 4)＝3(lg x－lg y)＝3m.
4．若实数a，b，c满足2a＝1 009b＝2 018c＝2 020，则下列式子正确的是(　B　)
A．＋＝B．＋＝
C．＋＝D．＋＝
【解析】 由2a＝1 009b＝2 018c＝2 020可得，
a＝log22 020 ＝log20202.同理可得，＝log20201 009，＝log20202 018，所以＋＝，故选B.
5．计算log3＋lg 25＋lg 4＋7log72－＝__4__.
【解析】 原式＝log33＋lg(25×4)＋2－＝
＋2＋2－＝4.
6．解方程lg x＋2log10xx＝2.
解：因为lg x＋2log10xx＝lg x＋＝2，
所以＋lg x－2＝0，故＝0，
解得x＝10或x＝10－2.
8

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