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初中三角函数应用题综合
一．解直角三角形的应用（共10小题）
1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．
（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；
（2）计算公园D与小明家A的距离．
3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；
（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．
（1）求点E离地面AC的距离BE的长；
（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．
（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）
（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．
二．解直角三角形的应用 坡度坡角问题（共7小题）
8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（　　）
A．30° B．60° C．1： D．：1
9．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（　　）
A．（300+800）m B．700m
C．（300+400）m D．（400+300）m
10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（　　）
A．8m B．4m C．8m D．m
11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（　　）米．
A．20 B．20 C．10 D．20
12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 　 　米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）
13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度（结果保留根号）．
14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
三．解直角三角形的应用 仰角俯角问题（共8小题）
15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（　　）
A．31° B．42° C．48° D．59°
16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（　　）
A． B． C． D．
17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（　　）（参考数据：，，）
A．米 B．米 C．56米 D．66米
18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 　 　米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）
19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 　 　m．
20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．
21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
参考答案与试题解析
一．解直角三角形的应用（共10小题）
1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）
【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，
∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．
在Rt△ADM中，
∵tan∠ADM＝，
∴DM＝＝AM．
在Rt△AFM中，
∵tan∠AFM＝，
∴FM＝＝AM．
∵DF＝DM﹣FM，
∴AM﹣AM＝10．
∴AM＝10．
AM＝5．
∴AB＝AM+MB
＝5+1.5
≈5×1.73+1.5
＝8.65+1.5
＝10.15
＝10.2（米）．
答：这棵树AB的高度为10.2米．
2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．
（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；
（2）计算公园D与小明家A的距离．
【解答】解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，
∴BC＝＝＝5（km），
∴BC＝BD，
∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝45°，
∴∠ADC＝∠BDC﹣∠BDA＝45°﹣10°＝35°；
（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：
则∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠DBE＝90°，
由（1）得：∠CBD＝90°，
∴∠DBE+∠CBA＝90°，
∴∠BDE＝∠CBA，
在△BDE和△CBA中，
，
∴△BDE≌△CBA（AAS），
∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，
∴AE＝BE+AB＝7（km），
∴AD＝＝＝（km）．
∴公园D与小明家A的距离为km．
3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；
（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，
∴CD＝AC sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），
∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．
∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．
（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，
∴AD＝AC cos30°＝80×＝40（千米），
∵tan45°＝，CD＝40（千米），
∴BD＝＝＝40（千米），
∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．
4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，
∴tan∠EDF＝＝＝，
在Rt△BCD中，CD＝6m，
∵tan∠BDC＝tan∠EDF，
∴＝，
∴BC＝3.6m，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m；
方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
∴，
∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，
∴＝，
解得：BC＝3.6，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m．
5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．
（1）求点E离地面AC的距离BE的长；
（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【解答】解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，
∴HO＝OE×cos53°＝15cm，EH＝20cm，
EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），
所以铁环钩离地面的高度为10cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，
∴DE＝＝，
在Rt△DEN中，∠DNE＝90°，EN＝BC＝AC﹣AB＝53﹣20＝33（cm），DE＝＝＝55（cm），
∴铁环钩的长度DE为55cm．
6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：
在Rt△ADC中，AD＝＝≈51.9（米），
在Rt△BDC中，BD＝＝＝30（米），
∴AB＝AD﹣BD≈51.9﹣30＝21.9（米），
答：AB的长为21.9米；
（2）不超速，
理由：∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为21.9÷2＝10.95（米/秒），
∵10.95×3600＝39420（米/时），
∴该车速度为39.42千米/小时，
∵39.42千米/小时＜40千米/小时，
∴这辆校车在AB路段不超速．
7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．
（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）
（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．
【解答】解：（1）由题意得：
∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，
∵∠DEC＝∠AEB，
∴△DEC∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
∵∠FGE＝∠AGB，
∴△FGE∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝（8+12）m，
∴＝，
∴AB＝8+4≈14.92m，
答：旗杆AB的高度为14.92米；
（2）由（1）得：
△DEC∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
由（1）得：
△FGE∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝，
∴＝，
∴AB＝，
答：旗杆AB的高度为m．
二．解直角三角形的应用 坡度坡角问题（共7小题）
8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（　　）
A．30° B．60° C．1： D．：1
【解答】解：∵斜坡的坡比i＝h：l＝1：，
∴斜坡的坡度为1：，
故选：C．
9．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（　　）
A．（300+800）m B．700m
C．（300+400）m D．（400+300）m
【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为矩形，
∴DE＝BF，
在Rt△BAF中，∠BAF＝30°，AB＝600m，
则BF＝AB＝300（m），
∴DE＝300m，
在Rt△CBE中，∠CBE＝45°，BC＝800m，
∴CE＝BC＝400（m），
∴CD＝CE+DE＝（300+400）m，
故选：C．
10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（　　）
A．8m B．4m C．8m D．m
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，
∴AC＝BC＝4（m），
故选：B．
11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（　　）米．
A．20 B．20 C．10 D．20
【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，
∴DF＝AE，
∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，
∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），
∵背水坡CD的坡度i＝1：，
∴tanC＝i＝＝＝，
∴∠C＝30°，
∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），
故选：A．
12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 　20.62　米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）
【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：，
∴tan∠DEC＝＝，
∴∠DEC＝30°，
∴DC＝DE＝5（m），
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5m，
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，
∴BF＝4AB＝20（m），
在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），
∴斜坡AF的长度约为20.62米，
故答案为：20.62．
13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）求DB的长度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2m，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB sin45°＝2×＝（m），
答：舞台的高AC为m；
（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
则CD＝＝＝，
∴BD＝CD﹣BC＝（﹣）m，
答：DB的长度为（﹣）m．
14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，
∴设QG＝x米，
∵山坡的坡度为i＝1：2.4，
∴AG＝2.4x米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，
解得：x＝2，
则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，
∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），
在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，
则PF＝EF tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），
∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），
∴PQ＝8+1＝9（m）．
答：信号塔PQ的高约为9m．
三．解直角三角形的应用 仰角俯角问题（共8小题）
15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（　　）
A．31° B．42° C．48° D．59°
【解答】解：由题意得：∠ADB＝42°，∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝90°﹣42°＝48°，
故选：C．
16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，
∴BF＝AB＝5（米），AF＝BF＝5（米）．
∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米），
在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴△BGC是等腰直角三角形，
∴CG＝BG＝（5+15）（米），
在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，
∴DE＝AE＝15（米），
∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米），
即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米，
故选：A．
17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（　　）（参考数据：，，）
A．米 B．米 C．56米 D．66米
【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴＝＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝262，
解得k＝2，
∴DM＝10（米），CM＝24（米），
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，
∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，
∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，
∴＝，
解得a＝，
∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），
BE＝5a＝（米），
∴AB＝AE﹣BE＝56﹣＝（米），
答：基站塔AB的高为米．
故选：B．
18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 　14.7　米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）
【解答】解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°
在Rt△ADB中，tan64°＝，
则BD＝≈AB，
在Rt△ACB中，tan48°＝，
则CB＝≈AB，
∴CD＝BC﹣BD，
即6＝AB﹣AB，
解得：AB＝≈14.7（米），
∴建筑物的高度约为14.7米，
故答案为：14.7．
19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 　（15+15）　m．
【解答】解：设BC的长为x米．
在Rt△CBD中，∠D＝90°，∠CBD＝45°，
∴CD＝BC＝x米，
在Rt△CAD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，
∴tan∠CAD＝＝＝，
解得：x＝15+15，
答：楼房DC的高度为（15+15）米，
故答案为：（15+15）．
20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．
【解答】解：延长DC交BF于F，过A作AH⊥DC于H，
则HF＝AB＝1.6m，AH＝BF，
在Rt△ACF中，∵∠CBF＝20°，BC＝10m，
∴CF＝BC sin20°≈10×0.34＝3.4（m），
BF＝BC cos20°≈10×0.94＝9.4（m），
∴AH＝BF＝9.4m，
在Rt△ADH中，∵∠DAH＝55°，
∴DH＝AH tan55°≈9.4×1.43≈13.4（m），
∴DC＝DH+HF﹣CF＝13.4+1.6﹣3.4＝11.6（m），
答：树木CD的高度约为11.6m．
21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，
设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，
∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，
在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，
∴＝
解得：x＝，
答：建筑物BC的高为m．
四．解直角三角形的应用 仰角俯角问题（共1小题）
22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【解答】解：设山高BC＝x，则AB＝x，
由tan37°＝＝0.75，
得：＝0.75，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的根．
答：山的高度是120米．
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