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解三角形专题练(4)：角平分线问题
知识点
正弦定理：，余弦定理：等；
和差公式：；
三角形面积公式:.
角平分线定理：AD为△ABC的角平分线，则.
二、巩固练习
1．在△ABC中，B＝120°，，A的角平分线，则AC＝（　　）
A．2 B． C． D．
2.（2020 泉州一模）在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是　　
A． B． C． D．的面积为
3．已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为　 　．
4．在平面四边形ABCD中，AB=8，AC=14，，内角B与D互补，若AC平分，求CD的长．
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(I)求角B的余弦值；
(II)若，角B的平分线BD交AC于点D，求BD的长度．
6.(2021 河南郑州三模)如图，在△ABC中，AB＝9，，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角．
（Ⅰ）求BD；
（Ⅱ）若∠BAD＝∠DAC，求sinC的值及CD的长．
7. (2019高考新课标Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ)若AD=1，，求BD和AC的长．
8．如图，在△ABC中，已知，，BC=2，点D是的角平分线与边AB的交点，
（1）求的值；
（2）求CD的长．
9．如图，在△ABC中，AB=2AC，的角平分线交BC于点D．
（1）求的值；
（2）若AC=1,，求AD的长．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B=2A，b=3．
（1）求a；
（2）已知点M在边BC上，且AM平分，求△ABM的面积．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边AC上，且BD是的平分线，AB=2,BC=4，求AD的长．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若的平分线AD交BC于D，，BD=1，求的值．
13．如图，在平面四边形ABCD中，BD为的角平分线，，，BD=2．
（1）求；
（2）若△ABC的面积，求CD的长．
14．△ABC的内角为A，B，C，且，，BC=2，点B为DC的中点，AE为的平分线．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求△ADE的面积．
15．已知△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，．
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交AB于点D，且CD=1，求△ABC周长的最小值．
16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且b=3c．
（1）求角A；
（2）若角A的角平分线交BC于点D，且，求．
17．如图，在平面四边形ABCD中，已知BC=1，
（1）若AC平分，且，求AB的长
（2）若，求CD的长
18．锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求A；
（2）若b=4，△ABC的面积为，D是BC上的点，AD平分，求AD．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上一点，BD=2，且___，求△ABC的面积．（从①BD为的平分线，②D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
20．在①，②，③，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
答案与解析
1.【解答】：由题意以及正弦定理可知：，得∠ADB＝45°，
A＝2(180°﹣120°﹣45°)＝30°，则C＝30°，△ABC是等腰三角形，所以．
故选：C．
2.【解析】：因为，由正弦定理可得，，所以，
因为，所以即，
因为，由角平分线定理可得，，
设，，则，，
中，由勾股定理可得，，解可得，即，，
因为，所以．
故选：．
3.【解答】：因为AD是△ABC的内角A的平分线，且∠BAC＝120°，所以∠BAD＝∠CAD＝60°，
因为，
所以，
即，解得：，
4.【解析】：△ABC中，由余弦定理得，
所以，
因为，所以，
△ABC中，由正弦定理得，即，
因为内角与互补，所以，
因为平分，所以，
△ADC中，由正弦定理得，，即，
所以．
5.【解析】：(I)因为由，及正弦定理得：，
所以c=3a，，所以由余弦定理可得：．
（Ⅱ）因为由(I)得：，，所以，
所以，所以，
因为由余弦定理得，所以，
所以
，
在△BCD中，由正弦定理，得：．
（其他合理答案可的情给分，比如可利用角平分线定理．
6.【解析】：（1）△ABD中，由余弦定理得，
所以，
解得BD＝8或BD＝4，
当BD＝4时，，此时,不符合题意，舍去，
当BD＝8时，，此时，符合题意，
（2）△BAD中，，所以，
又，
所以，
△ACD中，由正弦定理得,
所以．
7.【解析】：(Ⅰ)由题意，知，，
因为，，所以AB=2AC．
由正弦定理可得．
(Ⅱ)因为，所以．
在△ABD和△ADC中，由余弦定理得，
．
又AD=1，互为相反数，
所以．
由(Ⅰ)知AB=2AC，所以AC=1．
8.【解析】：（1）因为，，所以，
所以A为锐角，，
所以；
（2）△ABC中，由正弦定理得，即，所以AC=4,AB=3，
因为CD为的平分线，所以，则AD=2，DB=1，
△ACD中，由余弦定理得，
所以．
9.【解析】：（1）因为AD为的角平分线，所以，即．
所以．
又因为AB=2AC，所以．
（2）由（1）知且，所以．
在中，．
在中，．
因为，所以，
所以，所以AD=1．
10.【解析】：（1）由正弦定理得，得，得，
得，
（2）因为，所以，所以，，
所以，
由正弦定理得，所以,
由角平分线定理得，
所以，
所以，
11.【解析】：（1）因为，
所以，
因为，所以，所以．
（2）在△ABC中，由余弦定理的，解得或（舍．
因为BD是的平分线，所以，
所以．
12.【解析】：(I)因为在△ABC中，．所以由余弦定理可得：，
因为，所以.
(II)因为由正弦定理可得：，所以，
因为，的平分线交于，所以，
所以
13.【解析】：（1）平面四边形ABCD中，BD为的角平分线，，，BD=2．
在△ABD中，利用正弦定理：，整理得：，
所以．
当时，则，所以．
故．
（2）由三角形的面积公式：，解得：．
利用余弦定理得：，解得：．
14.【解析】：（Ⅰ）因为，
可得，
因为，可得，又，，
所以，可得，可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得△ABD中，，
由余弦定理可得，可得，
可得，可得，
因为AE为的平分线，可得，解得，
所以．
15.【解析】：（1）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
若，所以，整理得：，
整理得：，解得．
（2）的平分线交AB于点D，且CD=1，
利用三角形的面积：
所以，整理得，
所以，当且仅当时，等号成立．
所以，解得，
所以周长的最小值为．
16.【解析】：（1）由题意可得：，
因为b=3c．所以，，解得．
（2）因为．所以．
因为b=3c，所以．
因为．所以，．
在△ABC中，余弦定理可得：，解得．
在△ABD中，由正弦定理可得：．
因为b=3c，所以B>C．所以为锐角．．
17.【解析】：（1）因为AC平分，可得：，
所以，
因为，所以，
因为在△ABC中，，，，
所以由余弦定理，可得：，得：，
所以AC的值为2．
（2）因为，所以，
又因为，
所以，
所以在中，由正弦定理，可得：，即的长为5．
18.【解析】：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，所以，锐角△ABC的内角A为锐角，；
（2）由，解得，
因为AD平分，所以，
又，所以，解得．
19.【解析】：（1）因为，所以．
即．
所以．即，
因为，所以，即，
因为，所以；
（2）①BD为的平分线，，所以，
因为，所以，即，
由余弦定理得，，所以，解得或（舍，
所以△ABC的面积；
②D为AC的中点，，则，
因为，所以，得，
由余弦定理得，，所以，
所以△ABC的面积．
20.【解析】：选择①：因为，由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，在三角形中可得，所以，
又因为BD为角平分线，所以，
在△ABD中，，
在△BCD中，由正弦定理可得，即，
所以．
选择②：
因为，可得，，
又，所以可得，由余弦定理，
，所以，则，
下面解法同①；
选择③：
因为，而，所以，
下面解法同②；
综上所述：BD的长为．

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