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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第19节 等腰三角形与直角三角形
【考试要求】
1.等腰三角形的有关概念、性质及判定；
2.等边三角形的有关概念、性质及判定；
3.运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题
4.掌握直角三角形的性质；
5.掌握直角三角形的判定条件；
6.熟练运用勾股定理及其逆定理进行计算和证明
【考情预测】
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10 分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
1.等腰三角形：
（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”；
（3）性质：①等腰三角形的两腰相等，两个底角相等；
②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的中垂线.
（4）性质推广
①等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；
②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
③等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高
2.等边三角形
（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.
（2）对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
（3）判定①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都是60°的三角形是等边三角形；
③有一个角都是60°的等腰三角形是等边三角形；
4.线段的中垂线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上.
3.直角三角形
1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2. 性质：（1）直角三角形的两锐角互余
（2）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
（5）ch=ab=2S(h是斜边上的高)
（6）外接圆半径R=，内切圆半径r=
3. 判定：（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；（3）勾股定理逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形
【重难点突破】
考向1. 等腰三角形的性质
【典例精析】
【例】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
【答案】或
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
∵，，∴∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴
∵∴∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，∵AC=PC∴
∴故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021 嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）
A． B． C． D．4
【分析】分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
【详解】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，
∴四边形GMNP是矩形，∴GM＝PN，GP＝MN，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，∴CA⊥AB，
又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，
∴GM1，AMAE，FNAC，ANAB，
∴MN＝AN﹣AMAE，∴PN＝1，FP，设AE＝m，∴AMm，GP＝MNm，
在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，在Rt△GPF中，GF2＝（m）2+（）2，
∵AG＝GF，∴（m）2+12＝（m）2+（）2，
解得m＝3，即DE＝3，在Rt△ADE中，DE．故选：A．
变式1-2．（2019 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【思路点拨】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【答案】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
变式1-3．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角
则另外两个内角均为底角，它们的度数为
（2）当的内角为这个等腰三角形的底角,则另两个内角一个为底角，一个为顶角
底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·新疆中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．
【答案】
【分析】由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可．
【详解】解：,,
垂直平分
．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．
2．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，点D是边BC上的一点．若，，则∠C的大小为____________．
【答案】34°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以先计算出∠ADB的度数，然后再根据AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，即可得到∠C的度数．
【详解】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵∠BAD=44°，∴∠ADB==68°，
∵AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°，故答案为：34°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
3．（2021 湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【思路点拨】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE＝∠ACB＝35°．
【答案】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝35°．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB＝70°是解题的关键．
4．（2022 台州）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
【思路点拨】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【答案】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，∴∠A＝∠EBC，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
5．（2021 慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠B不可能等于（　　）
A．70° B．40° C．55° D．45°
【思路点拨】等腰三角形△ABC可能有三种情况，①当∠A为顶角时，②当∠B为顶角时，③当∠C为顶角时，根据各种情况求对应度数即可．
【答案】解：根据题意，当∠A为顶角时，∠B＝∠C＝55°；
当∠B为顶角时，∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°；当∠C为顶角时，∠A＝∠B＝70°，故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中，已知没有明确具体名称时要分类讨论，这是解答本题的关键．
考向2. 等边三角形的性质
【典例精析】
【例】（2020 台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　 　．
【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．
【变式训练】
变式2-1. （2020 绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2，则m的值为　 　．
【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE，
当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，
∵BD′＝2，∴D′E＝3，∴AD′2，∴m＝2，
综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．
变式2-2. （2020 宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．
变式2-3. （2021 宁波期中）若正三角形的边长为2cm，则这个正三角形的面积是　　cm2．
【思路点拨】作三角形ABC的高AD，根据等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【答案】解：作三角形ABC的高AD，
∵等边三角形ABC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝，
∴S△ABC＝BC×AD＝×2×＝5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出三角形ABC的高，题型较好，难度不大．
【考点巩固训练】
1．（2021 新昌县期末）已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为　　．
【思路点拨】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．
【答案】解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：
①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，
∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；
②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，
∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，
∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案为：3或9．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
2．（2021 仙居县期末）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小
【思路点拨】在AC上截取CN＝AE，连接FN，易证AD＝EN，DE＝EF，由∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED120°﹣∠AED，得出∠ADE＝∠NEF，由SAS证得△ADE≌△NEF，得出AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，推出FN＝CN，求出∠ECF＝30°，即可得出结果．
【答案】解：在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵BD＝2AE，∴AD＝EN，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°，
∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∴∠ADE＝∠NEF，
在△ADE和△NEF中，，∴△ADE≌△NEF（SAS），
∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，
∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°，故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
3．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】是等边三角形，是边上的中点
，
扇形故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键．
4．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．
【详解】解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，点在第四象限，， ，
点的横坐标为，纵坐标为，
，故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
5．（2021·湖北中考真题）已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当时，作的中线；
（2）如图2，当时，作的中线．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】（1）连接，交于点即可；（2）先延长，相交于点，再连接，相交于点，然后连接，交于点即可．
【详解】解：（1）如图，连接，交于点，则即为所求．
（2）分以下三步：①延长，相交于点，②连接，相交于点，
③连接，交于点，则即为所求．
【点睛】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
考向3. 等腰三角形的判定
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．
（1）求证：．（2）若，求的面积
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意证明即可；
（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）因为平分，所以．
所以，
又因为，所以，所以．
（2）由题意，得，，所以，
所以的面积为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键．
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江杭州市·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，∴，∵AD平分，∴∠BAD=45°，
∵，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，∴，
∵AB=AE，∴，∴；故选D．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．
变式3-2. （2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．
【答案】=
【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．
【详解】解：连接DE，如图
∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则，，∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，∴，
∴，∴△ADE是等腰直角三角形；∴；故答案为：=．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
变式3-3. （2021·陕西中考真题）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A．6 cm B．7 cm C． D．8cm
【答案】D
【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，
∵，∴，∴，
在和中；，∴，∴BF=CG，
∵，∴均为等腰三角形，
∵，∴，∴，
∴，故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
2．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
【答案】45°或36°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴原等腰三角形的底角为36°；
故答案为45°或36°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．
3．（2021 杭州期中）已知∠MON＝20°，点A、B分别是射线OM、ON上的动点（A、B不与点O重合），若AB⊥OM，在射线ON上有一点C，设∠OAC＝x°，下列x的值不能使△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．20 B．45 C．50 D．125
【思路点拨】根据等腰三角形的判定和性质定理，以及三角形的内角和即可得到结论．
【答案】解：如图，∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，
∵∠MON＝20°，∴∠ABO＝70°，
当△ABC为等腰三角形时，①AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴x＝70﹣20＝50；
②CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝70°，∴x＝90﹣70＝20；
③AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣70°）＝55°，
④AB＝BC′，∴∠BAC′＝∠AC′B＝×70°＝35°，∴∠OAC＝x°＝180°﹣20°﹣35°＝125°，∴x＝125，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键．
4．（2021 温岭市期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（　　）
A．（0，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（4，2）
【思路点拨】利用描点法，描出各个点即可判断；
【答案】解：如图，
观察图象可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形，故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．（1）求证：；（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；（2）由题意易得，则有，然后由（1）可求解．
【详解】（1）证明：∵BD平分，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：∵，∴，
由（1）可得．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键．
考向4. 等边三角形的判定
【典例精析】
【例】（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
【答案】C
【分析】先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；
【详解】∵都是等边三角形，∴，，，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，
又∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，
∴是等边三角形．故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．
【变式训练】
变式4-1. （2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．
【答案】
【分析】先由旋转的旋转证明：为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 绕点B逆时针旋转60°， 分别为的中点，
为等边三角形，
为中点， 答案：
【点睛】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
变式4-2. （2021·四川广安市·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点、都与点重合，折痕分别为、.已知，，，则的长为_______．
【答案】
【分析】由折叠的性质得出BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，得出∠AFE=30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF=∠AFE=30°，证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE=60°，求出AE=BE=2，证出∠BAF=90°，利用勾股定理求出AF，即CF，可得BC．
【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，∴∠BAE=60°，
∵DE=，∴AE=BE=AB==2，∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF==，∴BC=BF+FC=，故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．
变式4-3. （2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】解：（1）如图，AF平分，
（2）∵，且，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
又∵AF平分，，∴，又∵，∴，，
∴，∴又∵∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
【考点巩固训练】
1．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________．
【答案】
【分析】根据题意，判断出ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且，所以为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，，故也是等边三角形，的长度即为AC的长度．
【详解】解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，落在BC的中点处，
∵是由ABC旋转得到，∴，而，
根据勾股定理：，
又∵，且，∴为等边三角形，∴旋转角，
∴，且，故也是等边三角形，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．
2．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．
【答案】
【分析】先求出的长，作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：OC平分∠MON，∴∠BOD=，∴的长=，
作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，∵∠AO=∠AOD=∠BOD=20°，∴∠BO=60 °，
∵O=OD=OB，∴是等边三角形，∴B=OB=4，
∴阴影部分周长的最小值=，故答案是：．
【点睛】本题主要考查弧长公式以及等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造BE+DE的最小值= B，是解题的关键．
3．（2021·天津中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即D选项正确；
【详解】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，∴，
∵，∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，∵为钝角，∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；由旋转可知，
∵，∴为等边三角形，∴．
∴，∴，故D选项正确，符合题意；故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
4．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形所以∴；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．
5．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出；（2）根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF．
【详解】（1）∵，，∴．
∵平分，∴，
∵，∴，∴．
（2）∵，∴，又，∴，∴，
∵∴，∴，
∴，∴为等边三角形， ∴，∴，
∵，∴，在中，．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用．
考向5. 直角三角形的性质与判定
【典例精析】
【例】（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
，，
，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
【变式训练】
变式5-1.（2021 温岭市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，BD是AC边上的中线，则BD＝　 　．
【思路点拨】根据勾股定理求出AC，根据直角三角形的性质解答即可．
【答案】解：由勾股定理得，AC＝＝3，
∵∠ABC＝90°，BD是AC边上的中线，∴BD＝AC＝1.5，故答案为：1.5．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
变式5-2. （2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为______．
【答案】
【分析】先根据，分别为、的中点求得AB＝4，再根据求得AC＝8，BC＝，进而可求得BE＝，最后证明四边形ABFD为平行四边形即可求得四边形ABFD的面积．
【详解】解：∵，分别为、的中点，，∴AB＝2DE＝4，，
∵在中，，∴AC＝2AB＝8，∴BC＝＝＝，
又∵点E为BC中点，∴BE＝BC＝，∵，，∴四边形ABFD为平行四边形，
∴四边形的面积＝AB×BE＝4×＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线、含30°的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键
变式5-3. （2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
【答案】B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，∴∠BB'H＝30°，∴BH＝3，
由勾股定理可得：，∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，∴AM＝2，∴MH＝AH－AM＝1，在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，故选：B．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
【考点巩固训练】
1．（2021 东阳市模拟）四边形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠BAD＝∠BCD＝90°，BD＝8，则AC的长可能是（　　）
A．11 B．9 C．7 D．10
【思路点拨】取BD的中点P，连接AP、CP，根据直角三角形的性质得到AP＝BD＝4，CP＝BD＝4，根据三角形的两边之和大于第三边解答．
【答案】解：取BD的中点P，连接AP、CP，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点P为BD的中点，∴AP＝BD＝4，CP＝BD＝4，
在△APC中，AC＜AP+CP＝8，∴AC的长可能是7，故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2．（2022 西湖区期末）如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC＝60°，AB＝a，CF＝EF，则△ABC的面积为　　（用含a的代数式表示）．
【思路点拨】设BE＝2x，根据30度的直角三角形的性质表示BC＝4x，CE＝2x，得EF＝x，证明，即，得AE＝3x，最后根据三角形面积可得结论．
【答案】解：设BE＝2x，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BC＝4x，CE＝2x，
∵EF＝CF，∴EF＝x，∵BD是△ABC的高，∴∠CDF＝∠BEF＝90°，
∵∠DFC＝∠BFE，∴∠ACE＝∠EBF，∵∠AEC＝∠BEF，∴△ACE∽△FBE，
∴，即，∴AE＝3x，∵AB＝a＝2x+3x，∴x＝a，
∴S△ABC＝＝＝，故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数表示线段的长，从而解决问题，属于中考常考题型．
3．（2021 龙湾区模拟）如图，把一副三角板按如图放置，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点E是AB的中点，连结CE，DE，DC．若AB＝8，则△DEC的面积为　　．
【思路点拨】作CF⊥DE交DE的延长线于F，根据直角三角形斜边中线的性质得出DE＝CE＝AE＝BE＝AB＝4，然后根据∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，得出△BEC是等边三角形，△BDE是等腰直角三角形，即可得出∠CEB＝60°，DE⊥AB，进而求得∠ECF＝∠CEB＝60°，根据30°的直角三角形的性质得出CF＝CE＝2，最后根据三角形面积公式求得即可．
【答案】解：作CF⊥DE交DE的延长线于F，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，点E是AB的中点，∴DE＝CE＝AE＝BE＝AB＝4，
∵∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，∴△BEC是等边三角形，△BDE是等腰直角三角形，
∴∠CEB＝60°，DE⊥AB，∵CF⊥DE，∴CF∥AB，
∴∠ECF＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE＝2，∴S△DEC＝DE CF＝×4×2＝4，故答案为4．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建含30°的直角三角形是解题的关键．
4．（2021 余姚市期末）如图，AD是△ABC的高线，且BD＝AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．
【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质和已知求出DE＝BD，根据等腰三角形的性质得出即可．
【答案】证明：连结DE，
∵AD是△ABC的高线，E是AC的中点，∴，
又∵，∴DE＝BD又∵F是BE的中点，∴DF⊥BE．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的性质，能根据已知和直角三角形斜边上的中线性质求出DE＝BD是解此题的关键．
考向6. 勾股定理及逆定理的应用
【典例精析】
【例】（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】解：∵，∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故选：D．
【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
【变式训练】
变式6-1. （2021·湖北襄阳市·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得：解得：x=12故选：C.
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
变式6-2. （2021 路桥区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1
【思路点拨】设直角三角形的三边分别为a、b、c，分别表示出三角形的面积比较即可．
【答案】解：作ER⊥FA的延长线，垂足为R；作DH⊥NB的延长线，垂足为H；作NT垂直于DB的延长线，垂足为T．设△ABC的三边长分别为a、b、c，
∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，
∵∠EAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAB＝90°，∴∠EAR＝∠CAB
∵AE＝AB，∠ARE＝∠ACB，∴△AER≌△ABC，∴ER＝BC＝a，FA＝b，
∴S1＝ab，S2＝ab，同理可得HD＝AR＝AC，∴S1＝S2＝S3＝ab．故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积及全等三角形的知识，解题的关键是了解三角形的三边与正方形的边长的关系．
变式6-3. （2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【答案】=
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则
由“张爽弦图”可知， 即
要使的值最大，则需最小
又当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为______．
【答案】100．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．故答案为：100．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【答案】D
【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得，进而根据面积差以及三角形面积公式求得，最后根据完全平方公式即可求得．
【详解】菱形的对角线互相垂直平分，个直角三角形全等；
，，，
四边形是正方形，又正方形的面积为13，正方形的边长为，
根据勾股定理，则，中间空白处的四边形的面积为1，
个直角三角形的面积为，，，
，．故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得是解题的关键．
3．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转性质可知，，再由勾股定理即可求出线段的长．
【详解】解：∵旋转性质可知，，∴，故选：B．
【点睛】此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长，解题关键是根据旋转性质得出是等腰直角三角形．
4．（2021·湖南岳阳市·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．
【答案】
【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=尺，
∴可列方程为：，故答案为：．
【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可．
5．（2021 慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，5，7 C．1，，3 D．1，
【思路点拨】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【答案】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、32+52≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、12+（）2≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，故此选项正确．故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
6．（2019 宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
【思路点拨】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【答案】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第19节 等腰三角形与直角三角形
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】C
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，故选：C．
【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
2．（2021 滨江区期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52 D．，，
【思路点拨】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【答案】解：A、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；
B、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意；
C、（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（）2+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（2022 富阳区期末）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
【思路点拨】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作线段AB的垂直平分线，即可得出第三个顶点的位置．
【答案】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
4．（2021 宁波）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】由直角三角形的性质求出AD＝BD,由锐角三角函数的定义求出DC＝1,由三角形的中位线定理可求出答案．
【详解】解:∵AD⊥BC,∴∠ADB＝∠ADC＝90°,
∵∠B＝45°,BD,∴AD＝BD,
∵∠C＝60°,∴DC1,∴AC＝DC＝2,
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EFAC＝1．故选：C．
5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40 ，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
【详解】解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40 ，∴∠ODC=∠OCD=，
∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴DO=DE，∴∠DOE=∠DEO=40 ，
∵∠OCD为△DCE的外角，∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，∴70 =40 +∠CDE，∴∠CDE=30 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
6．（2021 渭滨区二模）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【思路点拨】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝5，BC＝3，即可推出BD的长度．
【答案】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，
∵AC＝5，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2，
∴BE＝2，∴BD＝1．故选：A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
7．（2022 余杭区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】连接DE，首先证明DE＝DC＝5，推出AB＝10，AD＝6，求出△EDC都是面积即可解决问题．
【答案】解：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴AE＝ED＝BE，
∵CD＝AE．∴ED＝CD，∵DG⊥CE于点G，∴EG＝GC，
∵BD＝8，CD＝5，∴DE＝5，∴AB＝10，∴AD＝6，
过E作EF⊥BC于F，∵△ABC的面积＝，∴△BEC的面积＝，
∵△BED的面积＝，∴△EDC的面积＝﹣12＝，
∴△DGC的面积＝，故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021 仙居县模拟）如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则AE：AB的值是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，利用勾股定理求得AE的长，即可得出AE：AB的值．
【答案】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，
∵CD＝BC＝a，∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，
∵AE＝AD，∴AE＝（﹣1）a，∴＝．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
二、填空题
10．（2021 绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　 　．
【分析】分C,D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．
【详解】解：如图，当C,D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°,AB＝4,∠ABE＝30°，∴AEAB＝2，
∵AD＝AC＝2，∴DE2,EC2，
∴DE＝EC＝AE，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝4，
当C,D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，
∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝22，
∴CH＝BH1,C′HCH＝6﹣2，
在Rt△DC′H中，DC′2，
∵△DBD′是等边三角形，∴DD′＝22，
∴CD的长为2±2或4或2．故答案为：2±2或4或2．
11．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．
【答案】PA2+PB2=2PC2
【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
【详解】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D ∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.
12．（2021·辽宁中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．
【答案】8
【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．【详解】
解：∵ DE是AB的垂直平分线，∴，BE=AE，∴，
∵∴∴
又∵AC=5，∴在中，，解得：CE=3，
又∵点F是的中点，∴，
∴的周长=CF+CE+FE=．故答案为：8．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
13．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
【答案】5
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，∴DE=AB=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．（2021·四川内江·中考真题）已知，在中，，，，则的面积为 __．
【答案】2或14#14或2
【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
【详解】解：过点作边的高，
中，，，，
在中，，，
①是钝角三角形时，，；
②是锐角三角形时，，，故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
15．（2021 上城区模拟）如图，已知三角形的三条边长分别为5，12，13，把每条边往三角形内部平移1个单位，得到一个新的小三角形，则此小三角形的面积为　　．
【思路点拨】根据勾股定理的逆定理可得三角形的三条边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，再根据题意可得新的小三角形与该直角三角形相似，根据相似三角形的性质求出新的小三角形的2条直角边，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
【答案】解：如图，1×＝，1×＝，5﹣1﹣﹣＝，1×＝，
1×＝，12﹣1﹣﹣＝6，此小三角形的面积为××6＝．故答案为：．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，解题的难点与关键是求出新的小三角形的2条直角边．
16．（2021 绍兴模拟）如图，已知∠MAN＝30°，点B在边AM上，且AB＝4，点P从点A出发沿射线AN方向运动，在边AN上取点C（点C在点P右侧），连结BP，BC．设PC＝m，当△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个时，m的值为　　．
【思路点拨】如图，作BH⊥AN于H．当△BPC是等边三角形时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．
【答案】解：如图，作BH⊥AN于H．①当△BPC是等边三角形时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．
在Rt△ABH中，∵AB＝4，∠A＝30°，∴BH＝AB＝2，
∵△BPC是等边三角形，BH⊥PC，∴∠PBH＝30°，PH＝HC＝BH tan30°＝2，∴PC＝2PH＝4，
②当PC＝BH＝2时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．
③当4√3＜m≤12时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．
故答案为4或2或4√3＜m≤12．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（2021 东阳市模拟）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为　　．
【思路点拨】画出图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质，即可得到∠DFE＝∠B﹣36°，再根据三角形外角性质以及三角形的内角和，即可得到∠CEF＝∠A+∠AFE＝54°，∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°．
【答案】解：如图，当点F在BD上时，
∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴DC＝AB＝DB，∴∠CDB＝180°﹣2∠B，
∵DE＝DF，∴△DEF中，∠DFE＝（180°﹣∠EDF）＝（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）
＝（108°﹣∠CDB）＝54°﹣∠CDB＝54°﹣（180°﹣2∠B）＝∠B﹣36°，
∵∠CEF是△AEF的外角，∴∠CEF＝∠A+∠AFE＝90°﹣∠B+∠B﹣36°＝54°，
当点F'在AD上时，由DF＝DE＝DF'，可得∠FEF'＝90°，
∴∠CEF'＝∠CEF+∠FEF'＝54°+90°＝144°，故答案为：54°或144°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的斜边上中线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解决问题的关键是画出图形，分类讨论，利用角的和差关系进行计算．
18．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解．
【详解】如图，取的中点，连接，，
矩形，，，，，
点是的中点，，，
，点是的中点，，
在中，，当点在上时，，
的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
三、解答题
19．（2021 天台县期末）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．
【思路点拨】（1）根据题意，可以求得∠B的度数；
（2）根据解直角三角形的知识可以求得NC的长．
【答案】解：（1）∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，
∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，
又∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，∴∠B＝∠BCM＝∠ACM，
∵∠A＝90°，∴∠B＝×90°＝30°；
（2）由（1）得，∠AMN＝∠B＝30°，∠MCN＝∠CMN，∠A＝90°，
∴MN＝2AN＝2，MN＝CN，∴CN＝2．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（2021 柯桥区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD＝5，求DF的长．
【思路点拨】（1）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝5，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°∴DF＝2DE＝10．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
21．（2021 平阳县期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，BD＝6，E为AC的中点，EF⊥BD．（1）求证：BF＝DF．（2）求EF的长．
【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE＝DE，根据等腰三角形的性质，可得结论；（2）根据题意证出A、B、C、D四点共圆，圆心为E，由圆周角定理得出∠BED＝2∠BAD＝120°，由等腰三角形的性质得出∠EBF＝∠EDF＝30°，由直角三角形的性质和勾股定理得出BF＝EF，即可得出结果．
【答案】（1）证明：连接BE，DE，如图所示：
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴BE＝AC，DE＝AC∴BE＝DE
∵EF⊥BD，∴BF＝DF；
（2）解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，圆心为E，∴∠BED＝2∠BAD＝120°，
∵BE＝DE，∴∠EBF＝∠EDF＝30°，∵BF＝DF，∴BF＝DF＝3，
在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠EBF＝30°，∴BF＝EF＝3，∴EF＝．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，证明BE＝DE是解题的关键．
22．（2021·福建中考真题）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明；
（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．
【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，，∴．
∵，∴，∴．
（2）连接．
由平移的性质得．∴，
∴，∴．
∵是等腰直角三角形，∴．由（1）得，
∴，∴，∴．
【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．
23．（2021·广西河池·中考真题）如图，在中，，，，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的交BC于点F．
（1）当时，求证：；
（2）当是等腰三角形且是直角三角形时，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）或
【分析】（1）根据BD是圆的直径，可以得到∠BFD=90°，即∠DFC=90°，然后利用“HL”证明△CAD≌△CFD即可；（2）因为三角形CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于三角形DEB是直角三角形，所以D和F都可以为直角的顶点，需要分两类讨论；当∠EDB=90°时，∠DEB＜90°，∠CED是钝角，所以此时只能构造EC=ED的等腰三角形，故取D点使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以证明DE=DC，且DE∥DC，得到△BDE∽△BAC即可求解；当∠AED=90°时，若三角形CED为等腰三角形，则∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，利用三角函数或相似即可求出AD.
【详解】解：（1）∵BD是圆的直径，∴∠DFB=90°，∴∠DFC=90°，
在Rt△CAD和Rt△FCD中，，∴△CAD≌△CFD（HL）；
（2）∵三角形DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角顶点只能是D点和E点，
若∠EDB=90°，如图在AB上取D点使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∵∠CAB=∠EDB=90°，∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE，∴∠ECD=∠CDE，∴CE=DE，
此时三角形ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，三角形DEB是E为直角顶点的直角三角形，
设CE=DE=x，在直角三角形ABC中，∴BE=5-x，
∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，解得，∴，
∵DE∥AC，∴，∴，∴；
若∠DEB=90°，如图所示，∠CED=90°，∵△CED为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，
设EC=DC=y，∵，∴，∴，
∵，∴∴，∴，
∵，∴，∴∴AD的长为或.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行分类讨论求解.
24．（2021 东台市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【思路点拨】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
【答案】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，∵∠C＝90°，∴PB＝＝，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝7．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8，
所以BP＝2PD＝3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3＝3，∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8＝6，∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．
25．（2021 长清区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　　（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况．（2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案．（3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【答案】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．
（2）∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．∵∠B＝∠C，∴△ABD≌△DCE．
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE．
（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第19节 等腰三角形与直角三角形
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
2．（2021 滨江区期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．7，24，25 B．9，12，15 C．32，42，52 D．，，
3．（2022 富阳区期末）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
4．（2021 宁波）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（　　）
A． B． C．1 D．
5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021 渭滨区二模）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
7．（2022 余杭区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 仙居县模拟）如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则AE：AB的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
10．（2021 绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为 　 　．
11．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．
12．（2021·辽宁中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．
13．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
14．（2021·四川内江·中考真题）已知，在中，，，，则的面积为 __．
15．（2021 上城区模拟）如图，已知三角形的三条边长分别为5，12，13，把每条边往三角形内部平移1个单位，得到一个新的小三角形，则此小三角形的面积为　　．
16．（2021 绍兴模拟）如图，已知∠MAN＝30°，点B在边AM上，且AB＝4，点P从点A出发沿射线AN方向运动，在边AN上取点C（点C在点P右侧），连结BP，BC．设PC＝m，当△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个时，m的值为　　．
17．（2021 东阳市模拟）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC＝72°，点F在AB上，满足DE＝DF，则∠CEF的度数为　　．
18．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．
三、解答题
19．（2021 天台县期末）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．
．
20．（2021 柯桥区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD＝5，求DF的长．
21．（2021 平阳县期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，BD＝6，E为AC的中点，EF⊥BD．（1）求证：BF＝DF．（2）求EF的长．
22．（2021·福建中考真题）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；（2）求证：．
23．（2021·广西河池·中考真题）如图，在中，，，，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的交BC于点F．（1）当时，求证：；
（2）当是等腰三角形且是直角三角形时，求AD的长．
24．（2021 东台市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
25．（2021 长清区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　　（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第19节 等腰三角形与直角三角形
【考试要求】
1.等腰三角形的有关概念、性质及判定；
2.等边三角形的有关概念、性质及判定；
3.运用等腰三角形的性质与判定解决有关问题
4.掌握直角三角形的性质；
5.掌握直角三角形的判定条件；
6.熟练运用勾股定理及其逆定理进行计算和证明
【考情预测】
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10 分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
1.等腰三角形：
（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”；
（3）性质：①等腰三角形的两腰相等，两个底角相等；
②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的中垂线.
（4）性质推广
①等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；
②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
③等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高
2.等边三角形
（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.
（2）对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
（3）判定①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都是60°的三角形是等边三角形；
③有一个角都是60°的等腰三角形是等边三角形；
4.线段的中垂线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上.
3.直角三角形
1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2. 性质：（1）直角三角形的两锐角互余
（2）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
（5）ch=ab=2S(h是斜边上的高)
（6）外接圆半径R=，内切圆半径r=
3. 判定：（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；（3）勾股定理逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形
【重难点突破】
考向1. 等腰三角形的性质
【典例精析】
【例】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
【变式训练】
变式1-1．（2021 嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）
A． B． C． D．4
变式1-2．（2019 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
变式1-3．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【考点巩固训练】
1．（2021·新疆中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．
2．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，点D是边BC上的一点．若，，则∠C的大小为____________．
3．（2021 湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
4．（2022 台州）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
5．（2021 慈溪市期中）已知，在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠B不可能等于（　　）
A．70° B．40° C．55° D．45°
考向2. 等边三角形的性质
【典例精析】
【例】（2020 台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　 　．
【变式训练】
变式2-1. （2020 绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2，则m的值为　 　．
变式2-2. （2020 宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
变式2-3. （2021 宁波期中）若正三角形的边长为2cm，则这个正三角形的面积是　　cm2．
【考点巩固训练】
1．（2021 新昌县期末）已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为　　．
2．（2021 仙居县期末）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小
3．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·湖北中考真题）已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当时，作的中线；
（2）如图2，当时，作的中线．
考向3. 等腰三角形的判定
【典例精析】
【例】（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．
（1）求证：．（2）若，求的面积
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江杭州市·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）
A． B． C． D．
变式3-2. （2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．
变式3-3. （2021·陕西中考真题）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A．6 cm B．7 cm C． D．8cm
【考点巩固训练】
1．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
3．（2021 杭州期中）已知∠MON＝20°，点A、B分别是射线OM、ON上的动点（A、B不与点O重合），若AB⊥OM，在射线ON上有一点C，设∠OAC＝x°，下列x的值不能使△ABC为等腰三角形的是（　　）A．20 B．45 C．50 D．125
4．（2021 温岭市期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（　　）
A．（0，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（4，2）
5．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．（1）求证：；（2）若，求的度数．
考向4. 等边三角形的判定
【典例精析】
【例】（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
【变式训练】
变式4-1. （2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，在中，，．将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是____________．
变式4-2. （2021·四川广安市·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点、都与点重合，折痕分别为、.已知，，，则的长为_______．
变式4-3. （2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【考点巩固训练】
1．（2020·四川眉山市·中考真题）如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在边的中点处，则的长为________．
2．（2021·辽宁营口市·中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．
3．（2021·天津中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
5．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．
考向5. 直角三角形的性质与判定
【典例精析】
【例】（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练】
变式5-1.（2021 温岭市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，BD是AC边上的中线，则BD＝　 　．
变式5-2. （2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为______．
变式5-3. （2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
【考点巩固训练】
1．（2021 东阳市模拟）四边形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠BAD＝∠BCD＝90°，BD＝8，则AC的长可能是（　　）
A．11 B．9 C．7 D．10
2．（2022 西湖区期末）如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC＝60°，AB＝a，CF＝EF，则△ABC的面积为　　（用含a的代数式表示）．
3．（2021 龙湾区模拟）如图，把一副三角板按如图放置，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点E是AB的中点，连结CE，DE，DC．若AB＝8，则△DEC的面积为　　．
4．（2021 余姚市期末）如图，AD是△ABC的高线，且BD＝AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．
考向6. 勾股定理及逆定理的应用
【典例精析】
【例】（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式6-1. （2021·湖北襄阳市·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
变式6-2. （2021 路桥区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（　　）
A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1
变式6-3. （2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为______．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
3．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2021·湖南岳阳市·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．
5．（2021 慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，5，7 C．1，，3 D．1，
6．（2019 宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
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