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6.1 平面向量的概念
素养目标 学法指导
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示.(直观想象) 2．理解共线向量、相等向量的概念.(数学抽象) 3．正确区分向量平行与直线平行.(逻辑推理) 4．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.(数学建模) 1．向量是一个既有大小又有方向的量，学习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异. 2．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征. 3．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.
知识点1　向量的基本概念与表示
1．向量的概念
(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量.
(2)数量：只有大小没有__方向__的量称为数量.
2．有向线段
(1)有向线段：具有__方向__的线段叫做有向线段.
(2)表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作____.
(3)有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作__||__.
(4)有向线段的三要素：__起点__、__方向__、__长度__.
3．向量的表示方法
几何表示 用__有向线段__来表示向量，有向线段的长度表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__.即用有向线段的起点、终点字母表示，如，…
字母表示 用小写字母a，b，c，…表示
[知识解读]　用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：a，b，c.书写用 ， ， .
4．向量的相关概念
向量的模 向量的大小称为向量的长度(或模)，记作__||__
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作__0__
单位向量 长度等于__1个单位长度__的向量，叫做单位向量
知识点2　相等向量与共线向量
1．平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作__a∥b__；规定：零向量与任意向量　__平行__，即对任意向量a，都有__0∥a__.
2．相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，记作a＝b.
3．共线向量：平行向量也叫做共线向量.
[知识解读]　1．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
2．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.
题型一　向量的有关概念
典例1　给出下列命题：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
③若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
④在菱形ABCD中，一定有＝.
其中所有正确命题的序号为__③④__.
[分析]　利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断.
[解析]　时间不是向量，故①不正确.
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确.
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确.
④显然正确，故所有正确命题的序号为③④.
[归纳提升]　解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
【对点练习】 　下列说法中正确的是(　D　)
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
[解析]　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
题型二　向量的几何表示及应用
典例2　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量，，.
(2)求的模.
[分析]　先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量.
[解析]　(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5.
[归纳提升]　向量的两种表示方法及应用
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示但需是黑体，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等.便于向量的运算.
【对点练习】 　在如图的方格纸中，画出下列向量.
(1)||＝3，点A在点O的正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值.
[解析]　取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示.
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝＝3．
题型三　共线向量与相等向量
典例3　如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与长度相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
[分析]　(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与的方向相同的向量.
[解析]　(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为，，，，，，.
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC.
∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为，，，，.
(3)与相等的向量为，.
[归纳提升]　相等向量与共线向量的探求方法
寻找相 等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线
寻找共 线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量
【对点练习】 　如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__①②③__.(填序号)
①＝；②∥；
③与共线；④＝.
[解析]　∵与方向相同，长度相等，∴①正确；
∵A，O，C三点在一条直线上，
∴∥，②正确；
∵AB∥DC，∴∥共线，③正确；
∵与方向不同，∴二者不相等，④错误.
典例4　给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有(　A　)
A．0个　　 B．1个
C．2个　　 D．3个
[错解]　D
[错因分析]　对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.
[正解]　①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[误区警示]　明确向量及其相关概念的联系与区别：
(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.
(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.
(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量.
【对点练习】 　下列说法正确的是(　C　)
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
[解析]　平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选C．

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