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高中数学-北师大版-必修第一册
§1 集合
1.1 集合的概念与表示
第一章 预备知识
学习目标
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系.
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号
语言刻画集合.
3.在具体情境中，了解空集的含义.
重点：使学生了解集合的定义.
难点：表示具体的集合时，如何从列举法和描述法中作出恰当的选择.
什么是集合？
集合有哪些特性？
知识梳理
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，
通常用大写英文字母…表示.
集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用
小写英文字母…表示.
一、集合与元素的相关概念
例如，正整数1，2，3可以组成一个集合，这个集合有3个元素，分别是；全体正奇数也可以组成一个集合，这个集合有无穷多个元素，1，3，5是它的一部分元素.
集合是数学中的基本概念，它具有三个特性：
（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.
（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.
（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.
一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了.
如果元素在集合中，就说元素属于集合，记作；
如果元素不在集合中，就说元素不属于集合，记作.
例如，若集合B是小于10的所有素数组成的集合，则2∈B，6 B.
在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数叫素数，也叫质数.1既不是质数，也不是合数.
互异性的主要作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数（即字母）时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.
(3)无序性：集合中的元素是_______，如{a，b，c}与{c，b，a}是同一集合．
确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性
时才能构成集合.界定模糊的元素不能构成集合.如“小河流”“难题”等.
无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等.{1，2，3}与{3，2，1}表示同一集合.
确定的
互不相同的
无序的
二、集合中元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是___________．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是 ．
数的集合简称数集.下面是一些常用的数集及其记法：
自然数组成的集合简称自然数集，记作 ；
正整数组成的集合简称正整数集，记作 ；
整数组成的集合简称整数集，记作 ；
有理数组成的集合简称有理数集，记作 ；
实数组成的集合简称实数集，记作 .
全体正实数组成的集合简称正实数集，记作 .
三、常用数集及其记法
N
N+或N*
Z
Q
R
+
N，N*，N+的区别
（1）N为非负整数集（即自然数集），而N*或N+表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*（N+）不包括0.
（2）N*和N+的含义是一样的，初学者往往误记为或 ，为避免出错，对于N*和N+ ，可形象地记为
“星星（*）在天上，家（+）在地上”.
四、集合的表示方法
集合的表示方法，常用的有列举法和描述法.
1.列举法
列举法是把集合中的的元素一一列举出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{}.
注意：（1）花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义.
（2）元素间用“，”隔开，元素不重复，满足元素的互异性.
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合；
（2）对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.
什么样的集合适合用列举法表示？
用列举法表示集合的步骤
（1）求出集合中的元素；
（2）把各元素放入花括号内，并用逗号隔开.
2.描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“丨”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
描述法中的注意事项
（1）用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式.
（2）准确说明集合中元素的共同特征.
（3）所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，代表元素的范围明确，可以省略.如非常明确x∈R，则“∈R”可以省略.
（4）用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，要准确使用“且”“或”等表示描述语句之间关系的词.
用描述法表示集合的步骤
（1）找出集合的代表元素，并写在花括号内竖线的左侧；
（2）用简明、准确的语言表示元素的公共特征，并写在花括号内竖线的右侧.
什么类型的集合适合用描述法表示？
描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数个元素（无限集）宜用描述法，如集合{x|x是100以内的奇数}.
在具体问题中，应根据实际需要选择适当的方法来表示集合.
例如，方程x2+2x＝0的解集F，既可以用列举法表示为F＝{0，-2}，也可以用描述法表示为F＝{x|x2+2x＝0}.
五、集合的分类
含有有限个元素的集合叫作有限集，如集合{-2，3}；
含有无限个元素的集合叫作无限集，如整数集.
我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作.例如，集合{x∈|x2+2＝0}和集合{x∈Q|x2-2＝0}都是空集.
，0，{0}与{}之间的关系
与0 与{0} 与{}
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素；
{}含一个元素，该元素是
六、区间
设a，b是两个实数，且a【注意】（1）集合{x|a≤x≤b}中，a与b的大小关系有三种：
a>b，a＝b，a（2）区间［a，b］中，a与b的大小关系只有一种：a（3）解题时，若给出区间[x，2-x]，则必有x<2-x，即x<1.
定义 符号 数轴表示




表1-1
这里的实数称为区间的端点，称为闭区间，称为开区间，，称为半开半闭区间.在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点.
表1-2
定义 符号 数轴表示




这里的符号“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.
这样，实数集可以表示为，集合可以表示为，集合可以表示为.
理解区间概念时，需注意以下三点
（1）区间实质上是一类特殊数集（即由数轴某一段上所有点对
应的实数组成的集合）的符号表示；
（2）区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开；
（3）区间表示实数集的三个原则：
连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆.
常考题型
一、集合的含义及表示
1.集合的基本概念
例1 ［2020·四川广元外国语学校高一检测］下列说法正确的是（　）
A.我校爱好足球的同学组成一个集合
B.由1，2，3组成的集合表示的是不大于3的自然数组成的集合
C.由1，2，3，4，5组成的集合与由5，4，3，2，1组成的集合是同一集合
D.数1，0，5，，，， 组成的集合有7个元素
【解析】　选项A中，“爱好足球”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故A错误；
选项B中，不大于3的自然数为0，1，2，3，故B错误；
选项C中，两集合中的元素相同，只是次序不同，根据集合中元素的无序性，两集合为同一集合，故C正确；
选项D中，因为，，所以该集合只有1，0，5，， 这5个元素，故D错误.
【答案】　C
◆一组对象能否构成集合的判断方法
判断指定的一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否满足集合中元素的“确定性”，即能否找到一个明确的标准， 使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
【必备知识】集合中元素的三个特性
确定性是指集合中的元素是明确的，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者只能取其一.
互异性是指集合中的元素是不重复出现的.
无序性指集合中的元素没有顺序.切记当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等.
2.集合{x-1，x2-1，2}中的x不能取的值是 （　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
1.现有以下说法，其中正确的是 （　　）
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合.
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
训练题
D
B
3.［2020·黑龙江青冈一中高一检测］给定下列元素组成的四个集合：
①长方形；②方程x2-2x-3＝0的实根；
③小于20的质数；④比2小的有理数.
其中为有限集的是 （　　）
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
B
2.集合的表示方法
例2 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.
（1）大于1且小于70的正整数构成的集合；
（2）方程x2-2x+1＝0的实数解构成的集合；
（3）方程组的解的集合；
（4）［2020·上海市行知中学高一检测］用描述法表示
图中的阴影部分（包括边界）.
【解】　（1）设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，
则可用描述法表示为A＝{x|1（2）设方程x2-2x+1＝0的实数解构成的集合为B，
因为Δ＝4-4＝0，所以该方程有两个相等的实数根，为1，所以B＝{1}，是有限集.
（3）由得
故方程组的解的集合可用描述法表示为 {（x，y）|} ，
也可用列举法表示为{（4，-2）}，是有限集.
（4）由于阴影部分所在象限为第一、三象限，且在x，y轴上都有点，故xy≥0.根据图象可知
-1≤x≤，-≤y≤1，所以用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）为
【必备知识】
（1）列举法：适用于元素个数较少的有限集或元素个数较多但有规律的有限集或无限集. 其方法如下：
把集合中的元素一一列举出来，用“，” 隔开，并写在“{ 　}”内.
（2）描述法：适用于任何集合，特别是元素具有明显共同特征的集合.
其方法如下：
先在花括号里写上表示这个集合中元素的一般符号及取值（或取值范围），再画一条竖线“|”，在竖线“|”后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
【提示】
（1）用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2） 用描述法表示集合时要注意：
①写清楚元素的代表符号；
②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式等；
③所有描述的内容都要写在花括号内；
④应恰当运用“且”与“或”.
训练题
1.（1）［2019·上海市上海中学高一检测］已知集合＝＝， ，y∈}，用列举法表示集合A为　 　　　　　　　　 .
（2） ［2020·上海市嘉定一中高一检测］用列举法表示集合＝　 　　　.
（3）对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（　 ）
A.{x|x是小于18的正奇数} B. {x|x＝4k+1，k∈Z且k<5}
C. {x|x＝4t-3，t∈N且t≤5} D. {x|x＝4s-3，s∈*且s≤5}
{-4，-3，-2，-1，0，1，2}
{2，5，8}
D
2.用描述法表示下列集合：
（1）小于10的所有非负整数的集合；
（2）平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
（3）方程组的解的集合.
解：（1）小于10的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x|0≤x<10，x∈Z}.
（2）平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为
{（x，y）|xy<0}.
（3）方程组的解的集合，用描述法表示为.
3.下列四个集合：
①{x|y＝x2+1}；②{y|y＝x2+1}；③{（x，y）|y＝x2+1}；④{y＝x2+1}.
（1）它们各自的含义是什么？
（2）它们是不是相同的集合？
解：（1）①{x|y＝x2+1}中的代表元素是x，表示函数y＝x2+1的自变量的取值范围. 显然x∈R，该集合表示实数集R.
②{y|y＝x2+1}中的代表元素是y，表示的是函数y＝x2+1的函数值构成的集合.由二次函数y＝x2+1的图象易知y≥1，故该集合是{y|y≥1}.
③{（x，y）|y＝x2+1}中的代表元素是（x，y），该集合可以认为是坐标平面内满足y＝x2+1的点（x，y）构成的集合.
④集合{y＝x2+1}表示的是以方程y＝x2+1为元素的集合.
（2）由（1）知，集合①是实数集，集合②是不小于1的实数集，集合③是抛物线上的点构成的点集，集合④是单元素集.故它们是互不相同的集合.
二、集合中元素特性的应用
【答案】D
◆求集合中元素个数的方法
（1）求集合中元素的个数时，要注意集合中的元素应满足互异性.
（2）用列举法表示集合，其默认的条件是集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性.
（3）若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.
训练题
1.已知集合A＝{1，2}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为 （　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.［2020·广西南宁三中高一检测］集合A＝{2，0，1，7}，B＝{x|x2-2∈A，x-2A}，则集合B中的所有元素之积为 （　　）
A. 36 B. 54 C. 72 D.108
D
A
2.已知元素个数求参数
例4 ［2020·江苏省启东中学高一月考］已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}.
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
【解】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1＝0有且只有一个实数根.
当a＝0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x＝-；
当a≠0时，由Δ＝4-4a＝0，解得a＝1，满足条件，此时x＝-1.
（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1＝0无解，此时Δ＝4-4a<0，
解得a>1.
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集或有且只有一个元素.
由（1）（2）得满足条件的a的取值范围是a＝0或a≥1.
◆判断形如ax2+bx+c＝0的方程的实数根个数的方法
（1）当a＝0时，原方程可化为bx+c＝0的形式，再根据b的取值讨论方程的实数根个数：
①若b≠0，则方程有一个实数根，为x＝-；
②若b＝0，c＝0，则任意一个实数均为方程的实数根，若b＝0，c≠0，则方程无实数根.
（2）当a≠0时，需根据Δ的范围确定方程的实数根个数，
①若Δ＝b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；
②若Δ＝b2-4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；
③若Δ＝b2-4ac<0，则方程没有实数根.
训练题
1.［2020·河南洛阳高一检测］已知集合M＝{x∈R|ax2+2x-1＝0}，若M中只有一个元素，则a的值是 （　　）
A.0 B.-1 C.0或-1 D.0或1
2.［2020·安徽宿州高一检测］已知A＝{x|-1A.（2，3） B.［2，3） C.（2，3］ D.［2，3］
C
C
1.元素与集合的关系的判断
三、元素与集合的关系的判断与应用
【答案】　B
◆判断一个元素是否属于某个集合的方法
1.直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应先明确集合是由哪些元素构成的.
2.推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可.此时应先明确已知集合的元素具有什么共同特征，即该集合中元素要满足哪些条件.
训练题
1.给出下列关系：①∈R；②Q；③20N*；④（+2）∈Q；
⑤-5Z；⑥0∈N.其中正确的是　　 　　.（填序号）
①②⑥
3.已知元素与集合的关系求参数
例6［2020·上海市闵行中学高一检测］已知集合M＝{1，m+1，m2+4}，如果5∈M，那么m＝　　　　.
【解析】　集合M＝{1，m+1，m2+4}，5∈M且-2?M，所以若m+1＝5，解得m＝4；若m2+4＝5，解得m＝±1，所以m的值为4或1或-1.
【答案】　4或1或-1
◆已知元素a 与集合A 的关系，求参数的策略
（1）当a ∈ A 时，若集合A 是用描述法表示的，则a 一定满足集合A 中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等； 若集合A 是用列举法表示的，则a 一定等于集合A 中的某个元素.
（2）当a A 时，结论相反.
利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可.
1.［2020·湖北沙市中学高一期末］已知集合A＝{2，4，6}， 且当a∈A时，6-a∈A，则a为 （　　）
A.2 B.4 C.0 D.2或4
训练题
D
2.［2020·上海复旦大学附属中学高一检测］若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为　 　　　.
{-2，-1，0，2}
3.根据集合相等求参数
例7 ［2020·江苏沭阳高二检测］设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝，则b-a的值为　　　　.
【解析】显然a≠0，则a+b＝0，所以a＝-b，＝-1，
所以a＝-1，从而可得b＝1，所以b-a＝2.
【答案】2
◆已知集合相等求参数的方法
（1）确定两个集合中已经相等的元素；
（2）将含参数未明确建立联系的两个集合中的元素分别分情况讨论，建立对应相等关系；
（3）根据相等关系求出参数，观察两个集合中的元素是否相等，是否符合集合的特性.
四、集合的新定义问题
例8 ［2015·湖北卷］已知集合，，定义集合A B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A B中元素的个数为 （　　）
A.77 B.49 C.45 D.30
【解析】A＝{（x，y）|x＝±1，y＝0或x＝0，y＝±1或x＝0，y＝0}，
B＝{（x，y）|x＝-2，-1，0，1，2；y＝-2，-1，0，1，2}.
A B表示点集.
由x1＝-1，0，1，x2＝-2，-1，0，1，2，得x1+x2＝-3，-2，-1，0，1，2，3，共7种取值可能.
同理，由y1＝-1，0，1，y2＝-2，-1，0，1，2，得y1+y2＝-3，-2，-1，0，1，2，3，共7种取值可能.
所以①当x1+x2＝-3或3时，y1+y2可以为-2，-1，0，1，2中的一个值，分别构成5个不同的点；
②当x1+x2＝-2，-1，0，1，2时，y1+y2可以为-3，-2，-1，0，1，2，3中的一个值，分别构成7个不同的点，
故A B共有5×2+5×7＝45（个）元素.
【答案】C
【名师点拨】
新定义问题，就是在现有的已知概念、运算性质和运算规律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的问题.
集合新定义问题近年来常出现在高考选择题与填空题中，新定义问题可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，解题的关键是充分理解新定义和新运算的含义，然后严格利用其来解决相关问题.
常见的新定义问题有定义新概念、定义新公式、定义新运算和定义新法则等类型.
解决新定义问题的步骤
1.对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号.
2.仔细体会新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近的知识点，明确它们的共同点和不同点.
3.对新定义中提取的知识点进行转换：如果是新定义的运算、法则，直接按照运算、法则计算即可；如果是新定义的性质，就要对新性质进行适当的转换，也可用特殊值去排除.
训练题 1.已知有限集A＝{a1，a2，…，an}（n≥2）.如果A中的元素ai满足a1a2…an＝a1+a2+…+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合 是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4；
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”.
其中正确的是　　　　.（填上你认为正确的所有结论序号）
2.［2020·广西南宁三中高一检测］对于任意两个自然数m，n，定义运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，mn＝m+n；当m，n一个为偶数，一个为奇数时，mn＝mn.则在此定义下，集合M＝{（x，y）|xy＝18，x∈N，y∈N}中的元素个数为 （　　）
A.26 B.25 C.24 D.23
①③
B
小结
1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系
a∈A，a A.
3.集合中元素的三个特性
(1)确定性 (2)互异性 (3)无序性
4. 用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.
5.用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，不被表面的字母形式所迷惑.
6.理解区间概念时需注意：
（1）区间实质上是一类特殊数集（即由数轴某一段上所有点对
应的实数组成的集合）的符号表示；
（2）区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开；
（3）区间表示实数集的三个原则：
连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆.
【戮力同心 共赴前程】
生如蝼蚁当立鸿鹄之志
命如纸薄应有不屈之心
谢谢
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