资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第21节 多边形与平行四边形
【考试要求】
1.了解多边形的相关概念，掌握多边形的内角和与外角和的计算方法；
2.了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，理解平行四边形的边、角、对角线之间的关系并能应用于计算或证明；
3.掌握平行四边形的判定方法，会判断一个四边形是不是平行四边形.
【考情预测】
本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定及中位线的可能性比较大。解答题中考查平行四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【考点梳理】
1．n边形以及四边形的性质：
(1)n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)，外角和为360°，对角线条数为．
(2)四边形的内角和为360°，外角和为360°，对角线条数为 2 ．
(3)正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．
2．平行四边形的性质及判定：
(1)性质：①平行四边形的两组对边分别平行且相等．②平行四边形的对角相等，邻角互补．
③平行四边形的对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形．
(2)判定：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
4．在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离．夹在两条平行线间的平行线段相等．
【重难点突破】
考向1. 多边形的内角和与外角和
【典例精析】
【例】（2021 丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是　 　．
【详解】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180＝720，解得：n＝6．
∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7，故答案为：6或7．
【变式训练】
变式1-1．（2021 宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【思路点拨】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【答案】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°＝9．故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
变式1-2．（2021 湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 　　度．
【详解】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM108°，
∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案是：36．
变式1-3．（2021 温岭市期末）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（　　）
A．6条 B．8条 C．9条 D．12条
【思路点拨】设这个多边形是n边形．构建方程求出n即可解决问题．
【答案】解：设这个多边形是n边形．由题意＝180°﹣150°，解得n＝12，
∴则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为12﹣3＝9条，故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，多边形的对角线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点巩固训练】
1．（2021 台州）正十边形的每一个内角的度数为（　　）
A．120° B．135° C．140° D．144°
【思路点拨】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．
【答案】解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．
∴每个内角的度数为 180°﹣36°＝144°；故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．
2．（2021 萧山区期中）已知一个正多边形的内角为a度，则下列不可能是a的值的是（　　）
A．90 B．100 C．120 D．176.4
【思路点拨】根据正多边形外角和为360°，再利用内外角互补，只要360°不能整除内角，即不是正多边形．
【答案】解：A、根据正多边形外角和为360°，当正多边形的内角为90°，即外角为90°，
360°÷90°＝4，故可以是正多边形，正确；B、当正多边形的内角为100°，即外角为80°，
360°÷80°＝4.5，故不可以是正多边形，故本选项错误；
C、当正多边形的内角为120°，即外角为60°，360°÷60°＝6，故可以是正多边形，正确；
D、当正多边形的内角为176.4°，即外角为3.6°，
360°÷3.6°＝100，故可以是正多边形，正确．故选：B．
【点睛】此题主要考查正多边形内角与外角之间的关系，以及多边形外角和定理，注意计算的正确性．
3．（2021 金华期中）当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（　　）
A．增大，增大 B．增大，不变 C．不变，增大 D．不变，不变
【思路点拨】利用n边形的内角和公式（n﹣2） 180°（n≥3）且n为整数），多边形外角和为360°即可解决问题．
【答案】解：根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，
可以得到一个多边形的边数增加时，则内角和增大．多边形外角和为360°，保持不变．故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式和外角和定理，是需要熟练掌握的内容．
4．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
5．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，故选D．
【点睛】本题考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
6．（2021·台湾·模拟预测）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可．
【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E，
，，，
故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意；
多边形的外角和是，∴∴
故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是是解题的基础．
考向2. 平行四边形的性质
【典例精析】
【例】（2021·四川宜宾市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021·湖南株洲市·中考真题）如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补角的定义求，再利用平行四边形对角相等的性质求解即可．
【详解】∵∴
∵四边形是平行四边形∴．故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质．平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角相互相平分．
变式2-2. （2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A．30 B．60 C．65 D．
【答案】B
【分析】先根据平行四边形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用平行四边形的面积公式即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
，，
则的面积为，故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与面积公式、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
变式2-3. （2021·四川南充市·中考真题）如图，点O是对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
【详解】∵点O是对角线的交点，∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若，则DO=DC，由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·贵州遵义·中考真题）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
【详解】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
2．（2020 金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　 　°．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，故答案为：30．
3．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61° B．109° C．119° D．122°
【答案】C
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出，根据角平分线的性质得：AE平分∠BAD求，再根据平行线的性质得，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴，
∴∵AE平分∠BAD∴
∵∴故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键．
4．（2021·贵州安顺市·中考真题）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，∴AF＝4 3＝1，DE＝4 3＝1，∴EF＝4 1 1＝2．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
5．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE∴Rt△AE B′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中， ∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1∴=故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（2021 绍兴）问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【详解】解：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图2所示：∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5，
∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5；
（2）分三种情况：①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴；
③如图5所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，∴2；综上所述，的值为或或2．
考向3. 平行四边形的判定及简单综合
【典例精析】
【例】（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．
【详解】（1）证明，∴，
在中，，，∴，
∴，∴，∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，∴BE=DF，
∵四边形是平行四边形，∴，
在中，，∴AE=3，BE=4．
∵BE=DF，AE=CF，∴BE=DF=4，AE=CF=3，
，，∴，
∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，
∴，得到EF=，或EF=（舍去），
∴BD=4+4+=，即BD=．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．
【变式训练】
变式3-1. （2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；
C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．故选：B．
【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．
变式3-2. （2021·河北中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
图2
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】A
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；乙方案：由，可得,即可得，再利用对角线互相平分得证；丙方案:方法同乙方案．
【详解】连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形
四边形为平行四边形．
乙方案：四边形是平行四边形
，，
又 (AAS)
四边形为平行四边形．
丙方案:四边形是平行四边形
，，，
又分别平分， 即
（ASA）
四边形为平行四边形．所以甲、乙、丙三种方案都可以．故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
变式3-3. （2021·山东聊城市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD中，
∴．∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，∴BO为AC的垂直平分线，．∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，．在 Rt△COD 中，CD＝5，，
∴，，∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 江干区期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是（　　）
A．AF＝FE B．∠BAE＝∠DCF C．AF⊥CF，CE⊥AE D．BE＝DF
【思路点拨】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【答案】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、AF＝EF无法证明得到OE＝OF，故本选项正确．
B、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项错误；
C、若AF⊥CF，CE⊥AE，由直角三角形的性质可得OE＝AC＝OF，故本选项错误；
D、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项错误；故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是____．
【答案】40°
【分析】如图，由折叠的性质可得，进而可得，然后易得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．
【详解】解：如图所示：
∵，由折叠的性质可得，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴；故答案为40°．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．
3．（2021·山东滨州·中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接DF，EN，通过SAS定理证明△MDF≌△FEN判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④．
【详解】解：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故结论①正确；
连接DF，EN，∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，，∴△MDF≌△FEN（SAS），∴∠DMF=∠EFN，故结论②正确；∵EF∥AB，DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∴∠DFE=∠BAC，
又∵△MDF≌△FEN，∴∠DFM=∠ENF，∴∠EFN+∠DFM=∠EFN+∠ENF=180°-∠FEN
=180°-（∠FEC+∠NEC）=180°-（∠BAC+90°）=90°-∠BAC，
∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，∴MF⊥FN，故结论③正确；
∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∴，∴S△CEF=S四边形ABFE，故结论④错误，
∴正确的结论为①②③，共3个，故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
4．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析
【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可；（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．
【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；
（2）证明：∵，，∴，
∵，∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
5．（2021·湖南永州市·中考真题）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，．
（1）求证：．（2）判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）见详解；（2）四边形是平行四边形，理由见详解
【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠B，再证明AC=BD，根据SAS即可得到结论；
（2）由得∠ACE=∠BDF，DF=CE，根据平行四边形的判定定理，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，∴∠A=∠B，
∵，∴，即：AC=BD，
在和中，∵，∴；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
∵，∴∠ACE=∠BDF，DF=CE，∴DF∥CE，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握上述性质和判定定理，是解题的关键．
6．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．
【详解】证明：（1），，即，
，，
在与中，，；
（2）由（1）得：，，，
，，四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．
考向4. 中位线
【典例精析】
【例】（2021·四川雅安市·中考真题）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．5
【答案】A
【分析】由DE是的中位线，可得AC=12，在中，点F为AC中点，可得BF=即可．
【详解】解：∵DE是的中位线，∴AC=2DE=2×6=12，
∵在中，，点F为AC中点，∴BF=，故选择A．
【点睛】本题考查三角形中位线与三角形中线性质，掌握三角形中位线与三角形中线性质是解题关键．
【变式训练】
变式4-1. （2021·江苏南京市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．
【答案】6
【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．
【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；
点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点
得 得点B的横坐标是6．故答案为6．
【点睛】本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键．
变式4-2. （2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．
【详解】解：点，分别为，的中点，，
点，分别为，的中点，，，
，△的面积，故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
变式4-3. （2021·江苏泰州市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
【答案】0＜S≤2
【分析】过点M作ME⊥PN于E，根据三角形的中位线定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根据三角形的面积公式得出S==ME，结合已知和垂线段最短得出S的范围；
【详解】解：过点M作ME⊥PN于E，
∵P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，AB＝CD＝4，∴PM=PN=AB=CD=2，
∴△PMN的面积S==ME，∵AB与CD不平行，∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴M、N不重合，∴ME＞0，∵ ME≤MP=2，∴0＜S≤2
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行第三边，等于第三边的一半是解题的关键
【考点巩固训练】
1．（2021·青海中考真题）如图，在中，，，分别是边，，的中点，若的周长为10，则的周长为______．
【答案】20
【分析】据三角形中位线定理得到AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵△DEF的周长为10，∴DE+EF+DF=4，
∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，
∴△ABC的周长=AC+AB+BC=2（DE+EF+DF）=20，故答案为：20．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
2．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，若，，则点A到BC的距离是________．
【答案】
【分析】根据题意可求得AC、AB、BC的长度，设点A到BC的距离是h，由的面积相等可列式，从而点A到BC的距离即可求解．
【详解】解：∵在中，，D，E分别是，的中点，，
∴，DE//AC，∴∠BDE=∠BAC=90°，∴∠ADE=90°，，
∴，∴，
设点A到BC的距离是h，则，即，解得：，
∴点A到BC的距离是．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度．
3．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是边的中点．已知，则_____．
【答案】5
【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．
【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点， ∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝BC＝5．故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出EO是△ABC的中位线是解题关键．
4．（2021·广西梧州·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
【答案】
【分析】如图，连接 过作于 再求解正六边形的边长为 证明 再求解 再利用三角形的中位线定理可得答案.
【详解】解：如图，连接 过作于 正六边形ABCDEF的周长是24cm，
分别为的中点，
同理： 六边形GHKLMN的周长是
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，正多边形的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键.
5．（2021·浙江越城·一模）我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．
（1）概念理解：如图1，四边形ABCD中，F为CD的中点，∠ADB＝90°，E是AB边上一点，满足DE＝AE，试判断EF是否为四边形ABCD的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E以每秒1个单位的速度，从点A出发向点C运动，动点F以每秒6个单位的速度，从点C出发沿射线CB运动，当点E运动至点C时，两点同时停止运动．D为线段AB上任意一点，连接并延长CD，射线CD与点A，B，E，F构成的四边形的两边分别相交于点M，N，设运动时间为t．问t为何值时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF为四边形ABCD的准中位线，AB＝CD，延长FE分别与BA，CD的延长线交于点M，N，请找出图中与∠M相等的角并证明．
【答案】（1）是，见解析；（2）t＝或t＝2或t＝4；（3）∠M＝∠CNF，见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠EDA＝∠EAD，根据余角的性质得到∠EDB＝∠ABD，得到AE＝BE，于是得到结论；（2）当MN为点A，B，F，E构成的四边形的准中位线时，①如图①，当0≤t≤时，②当＜t≤6时，根据题意列方程即可得到结论；（3）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，根据三角形的中位线定理得到EH∥AB，EH＝AB，求得∠M＝∠HEF，又根据三角形的中位线定理得到FH∥CD，FH＝CD，求得∠CNF＝∠HFE，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵DE＝AE，∴∠EDA＝∠EAD，
∵∠EDA＋∠EDB＝90°，∠EAD＋∠ABD＝90°，
∴∠EDB＝∠ABD，∴DE＝BE，∴AE＝BE，
∵F为CD的中点，∴EF为四边形ABCD的准中位线；
（2）当MN为点A，B，F，E构成的四边形的准中位线时，
①如图①，当0≤t≤时，则需满足EF∥AB且M（D）为AB的中点，∴，解得：t＝；
②当＜t≤6时，需满足BE∥AF且M为AF的中点，∴，解得：t＝2或t＝4，
综上所述，当t＝或t＝2或t＝4时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线；
（3）∠M＝∠CNF，
理由：连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别为AD，BD的中点，∴EH∥AB，EH＝AB，∴∠M＝∠HEF，
∵F，H分别为BC，BD的中点，∴FH∥CD，FH＝CD，∴∠CNF＝∠HFE，
∵AB＝CD，∴HE＝HF，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠M＝∠CNF．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，围绕线段的中点，考察了等腰三角形的性质以及判定、三角形的中位线定理等知识，正确理解新概念四边形的“准中位线”是本题解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第21节 多边形与平行四边形
【考场演练】
一、选择题
1．（2020 温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【详解】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．
2．（2021·黑龙江铁锋·九年级期末）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
【答案】A
【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解】解：设新多边形的边数为n，则（n-2） 180°=2340°，解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2） 180°（n为边数）是解题的关键．
3．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长AB与CD，根据平角定义可求∠4与∠5，再根据多边形外角和可求解．
【详解】解：延长AB和DC，得∠4与∠5，∴∠4=180°-∠B，∠5=180°-∠C，
∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．故选：B．
【点睛】本题考查了五边形的角度问题，平角定义，多边形外角和，掌握平角定义，多边形外角和是解题的关键．
4．（2021 嘉兴期末）如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC
【思路点拨】根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；分别进行推理即可．
【答案】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项A正确；
B．∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；选项B正确；
C..∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OA＝OC，
又∵OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形；选项C正确；D．∵AD∥BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，选项D不正确；故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
5．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，BE平分∠ABC交DC于点E．若，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD∥BC，DC∥AB，然后即可得到∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，再根据∠A=60°，BE平分∠ABC，即可得到∠DEB的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，∵∠A=60°，∴∠ABC=120°，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=60°，∴∠DEB=120°，故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
6．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】根据中点的定义可得AD、AF的长，根据三角形中位线的性质可得DE、EF的长，即可求出四边形ADEF的周长．
【详解】∵，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴AD=2，AF=，DE、EF为△ABC的中位线，
∴EF=2，DE==，∴四边形ADEF的周长=2+2+=9，故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．
7．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可
【详解】解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，∴
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形∴GH=EF，HE=GF 设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q， ∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，∴，
∵
∵ ∴，即 而，
所以，，故选项A符合题意，
∴，故选项B不符题意，而于都不一定成立，故都不符题意，故选A
【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系．
8．（2021 余杭区期末）在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（不与点B，D重合）．下列条件中，无法判断四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．AE∥CF B．AE＝CF C．BE＝DF D．∠BAE＝∠DCF
【思路点拨】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【答案】解：如图，连接AC与BD相交于O，在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、AE∥CF能够利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
C、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
9．（2021 余姚市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，若AE、BE分别是∠DAB、∠CBA的角平分线，且AB＝4，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．12
【思路点拨】利用角平分线的性质结合平行四边形的性质解答即可．
【答案】解：∵AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，∴∠DAE＝∠EAB，∠CBE＝∠ABE，
∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA，
∴∠DAE＝∠DEA，∠CEB＝∠CBE，∴AD＝DE，BC＝EC，
∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，
∴平行四边形ABCD的周长＝AD+DC+BC+AB＝2AB+AB＝12，故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，利用角平分线的性质结合平行四边形的性质解答是解题关键．
10．（2021 泰顺县模拟）如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠CAB＝，∠CAB的角平分线交BC于点D，点P是AB上一个动点，以PD，DB为一组部边构造平行四边形DPQB，连结CQ，则CQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．8
【思路点拨】由锐角三角函数可求AB的长，AC的长，由角平分线的性质可求CD＝DE，由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC＝AE＝8，由勾股定理可求DB的长，由平行四边形的性质和相似三角形的性质可求OQ的长，即可求解．
【答案】解：如图，当CQ⊥AB时，垂足为O，此时CQ的值最小，过点D作DE⊥AB，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠CAB＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝8，
∵S△ABC＝×8×6＝×10×CO，∴CO＝，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DE，且AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝8，∴BE＝2，
∵DB2＝DE2+BE2，∴DB2＝（6﹣DB）2+4，∴DB＝，
∵四边形DPQB是平行四边形，∴PQ＝DB＝，PQ∥BC，∴△POQ∽△BOC，
∴∴∴OQ＝，∴CQ＝CO+OQ＝，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出PQ的长是本题的关键．
11．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．
【详解】解：如图，延长EG交AB于H，
∵∠BMF=∠BGE=90°，∴MF//EH，∴∠BFM=∠BHE，∵，∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质，关键在于作出辅助线，利用平行四边形的性质进行求解．
12．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．
【答案】B
【分析】由已知可得EA=EC，再根据三角形BCE的周长可以得到AB的长，从而得到CD的长 ．
【详解】解：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC，
∵△BCE 的周长为14，∴BC+CE+EB=14，∴BC+EA+EB=14，即BC+AB=14，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC=AB，BC=AD=6，∴DC=14-BC=14-6=8，故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的作图与性质是解题关键．
二、填空题
13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
14．（2021·北京西城·九年级期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________ 度，这个多边形的边数是_________．
【答案】60 8
【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可；
【详解】，又
即解得：
为正整数故答案为：60,8
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键．
15．（2021 嘉兴）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　　．
【详解】解：如图，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，∴AC2，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC，
在Rt△OAB中，OB，
又AH⊥BD，∴OB AHOA AB，即，解得AH．故答案为：．
16．（2021·山东济南·一模）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用表示，为大于3的整数）
【答案】n-3
【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．故答案为：（n-3）．
【点睛】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角形的问题．
17．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________
【答案】
【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以，过点作于，如图，则，然后利用30°的三角函数值即可求出，从而得到的长．
【详解】解：由作法得，平分，又∵∠CBE＝60°，，
四边形为平行四边形，，，，，
如图，过点作于，
∵，，∴，在中，，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定及性质以及解直角三角形的应用．
18．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．
【答案】
【分析】过点C作CM//交于点M，证明求得，根据AAS证明可求出CM=1，再由CM//证明△，由相似三角形的性质查得结论．
【详解】解：过点C作CM//交于点M，
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形
∴，，
∴，∴∴
∵∴∴
∴∠
∵∴∵∴∠
∵，∴∴∠∴∠
在和中，∴∴
∵ ∴△∴∴
∴故答案为：．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
三、解答题
19．（2020 绍兴）如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝2；
（2）∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)．求证：BE=DF．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】见解析
【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论．
【详解】解：若选②，即OE=OF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，
∵OE=OF，∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；
若选①，即AE=CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO，∵AE=CF，∴OE=OF，
又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；
若选③，即BE∥DF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，
∵BE∥DF；∴∠BEO=∠DFO，
又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE=DF；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是关键．
21．（2021·湖南怀化市·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，．求证：（1）（2）
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证明∠EAD=∠FCB，利用SAS证明两三角形全等即可．（2）利用，得出∠E=∠F，再利用内错角相等两直线平行即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC∴∠DAC=∠ACB∴∠EAD=∠FCB
在△ADE和△CBF中，∴ (SAS)
（2）∵∴∠E=∠F∴ED∥BF
【点睛】本题考查全等三角形的证明、平行四边形的性质、平行线的判定及性质、灵活进行角转换是关键．
22．（2021 镇海区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE，BF，EF．（1）求证：△ADE≌△BCF．（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，sin∠ABE＝，BF＝4，求BE的长．
【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）想证明四边形ABFE是平行四边形，得出AE＝BF＝4，由△ADE≌△BCF，得出∠AED＝∠BFC，由三角形的外角性质证出∠BAE＝90°，再由三角函数定义即可求出BE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
∵CF∥DB，∴∠BCF＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCF
在△ADE与△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS）．
（2）解：∵CF∥DB，且CF＝DE，
∴四边形CFED是平行四边形，∴CD＝EF，CD∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE＝BF＝4，
∵△ADE≌△BCF，∴∠AED＝∠BFC，
∵∠BFC﹣∠ABE＝90°，∴∠AED﹣∠ABE＝90°，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∴∠BAE＝90°，
∵sin∠ABE＝＝，∴BE＝AE＝6．
【点睛】此题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数等知识；熟练掌握平行四边形的性质和判定，和全等三角形的判定以及菱形的判定解答．
23．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：．
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】（1）①10；②5；（2），，
【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，即可完成求解；②证明出即可完成求解；（2）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 ，以及点 C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．
【详解】（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，，．
平分，．．．
同理可得：．点E与点F重合，．
②如图2，点E与点C重合，同理可证，∴ ABCD 是菱形，
，点F与点D重合，．
（2）情况1，如图3，可得，．
情况2，如图4，同理可得，，
又，．
情况3，如图5，由上，同理可以得到，
又，．综上：的值可以是，，．
【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．
24．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，四边形中，，，连接．
（1）求证：；
（2）尺规作图：过点作的垂线，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，已知四边形的面积为，，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）作图见详解；（3）CE=4．
【分析】（1）根据，得到∠BAC=∠DCA，结合，AC=CA，利用“AAS”即可证明；
（2）如图，延长AB，任意取一点H，使H和点C在AB两侧，以C为圆心，CH为半径画弧，交AB于F、G，分别以F、G为圆心，以大于FG长为半径画弧，两弧交于I，作直线CI，交AB延长线于E，则CD⊥AB与E；（3）证明四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形面积公式即可求解．
【详解】解：（1）∵，∴∠BAC=∠DCA，
又∵，AC=CA，∴；
（2）如图，延长AB，任意取一点H，使H和点C在AB两侧，以C为圆心，CH为半径画弧，交AB于F、G，分别以F、G为圆心，以大于FG长为半径画弧，两弧交于I，作直线CI，交AB延长线于E，则CD⊥AB与E；
（3）∵，∴AB=CD，
∵，∴四边形ABCD为平行四边形，∴,即5CE=20，∴CE=4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，过直线外一点作已知直线的垂线等知识，综合性较强，熟知相关知识点，并根据题意灵活应用是解题关键．
25．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）．
【分析】
（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得；
（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG；
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【详解】（1）．如图，分别延长，相交于点P，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，,
∵为的中点，∴，在△PDF和△BCF中，，
∴△PDF≌△BCF，∴，即为的中点，∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）． ∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为，
∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，
∵为的中点，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，
∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，
∵四边形为平行四边形，∴，DC=AB，
∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴．
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，
∵的面积为20，边长，于点，∴BH=50÷5=4，
∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵将沿过点的直线折叠，点A的对应点为，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵于点，AB//CD，∴，
∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴，即，解得：NH=2，
∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，
∴，即，解得：MQ=，
∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
26．（2021·四川成都市·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1
【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长．（2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长．（3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明，，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值．
【详解】（1）在中，．
根据旋转性质可知，即为等腰三角形．
∵，即，∴，∴．
（2）如图，作交于点D，作交于点E．
由旋转可得，．
∵，∴，∴，∴，．
∵，即，∴．
在中，，∴．∴．
∵，∴，即，∴．
（3）如图，作且交延长线于点P，连接．∵，∴，
∵，即，
又∵，∴．∵，∴，
∴，∴，∴．
∴在和中 ，∴，
∴，即点D为中点．∵点E为AC中点，
∴DE为的中位线，∴，即要使DE最小，最小即可．
根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为．∴此时，即DE最小值为1．
【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第21节 多边形与平行四边形
【考场演练】
一、选择题
1．（2020 温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（2021·黑龙江铁锋·九年级期末）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
3．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021 嘉兴期末）如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC
5．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，BE平分∠ABC交DC于点E．若，则∠DEB的大小为（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
6．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
7．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021 余杭区期末）在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（不与点B，D重合）．下列条件中，无法判断四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．AE∥CF B．AE＝CF C．BE＝DF D．∠BAE＝∠DCF
9．（2021 余姚市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，若AE、BE分别是∠DAB、∠CBA的角平分线，且AB＝4，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．12
10．（2021 泰顺县模拟）如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠CAB＝，∠CAB的角平分线交BC于点D，点P是AB上一个动点，以PD，DB为一组部边构造平行四边形DPQB，连结CQ，则CQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．8
11．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．
二、填空题
13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
14．（2021·北京西城·九年级期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________ 度，这个多边形的边数是_________．
15．（2021 嘉兴）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　　．
16．（2021·山东济南·一模）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要使边形木架不变形至少要再钉______________根木条.（用表示，为大于3的整数）
17．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________
18．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．
三、解答题
19．（2020 绍兴）如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
20．（2021·江苏宿迁市·中考真题）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)．求证：BE=DF．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．（2021·湖南怀化市·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，．求证：（1）（2）
22．（2021 镇海区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE，BF，EF．（1）求证：△ADE≌△BCF．（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，sin∠ABE＝，BF＝4，求BE的长．
23．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：．
探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
24．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，四边形中，，，连接．
（1）求证：；
（2）尺规作图：过点作的垂线，垂足为（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，已知四边形的面积为，，求的长．
25．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
26．（2021·四川成都市·中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第21节 多边形与平行四边形
【考试要求】
1.了解多边形的相关概念，掌握多边形的内角和与外角和的计算方法；
2.了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，理解平行四边形的边、角、对角线之间的关系并能应用于计算或证明；
3.掌握平行四边形的判定方法，会判断一个四边形是不是平行四边形.
【考情预测】
本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定及中位线的可能性比较大。解答题中考查平行四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形综合应用的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【考点梳理】
1．n边形以及四边形的性质：
(1)n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)，外角和为360°，对角线条数为．
(2)四边形的内角和为360°，外角和为360°，对角线条数为 2 ．
(3)正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形．
2．平行四边形的性质及判定：
(1)性质：①平行四边形的两组对边分别平行且相等．②平行四边形的对角相等，邻角互补．
③平行四边形的对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形．
(2)判定：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
4．在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离．夹在两条平行线间的平行线段相等．
【重难点突破】
考向1. 多边形的内角和与外角和
【典例精析】
【例】（2021 丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是　 　．
【变式训练】
变式1-1．（2021 宁波）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式1-2．（2021 湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 　　度．
变式1-3．（2021 温岭市期末）多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（　　）
A．6条 B．8条 C．9条 D．12条
【考点巩固训练】
1．（2021 台州）正十边形的每一个内角的度数为（　　）
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．（2021 萧山区期中）已知一个正多边形的内角为a度，则下列不可能是a的值的是（　　）
A．90 B．100 C．120 D．176.4
3．（2021 金华期中）当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（　　）
A．增大，增大 B．增大，不变 C．不变，增大 D．不变，不变
4．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
6．（2021·台湾·模拟预测）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B．
C． D．
考向2. 平行四边形的性质
【典例精析】
【例】（2021·四川宜宾市·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【变式训练】
变式2-1. （2021·湖南株洲市·中考真题）如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式2-2. （2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A．30 B．60 C．65 D．
变式2-3. （2021·四川南充市·中考真题）如图，点O是对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·贵州遵义·中考真题）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD
2．（2020 金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　 　°．
3．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61° B．109° C．119° D．122°
4．（2021·贵州安顺市·中考真题）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2021 绍兴）问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
考向3. 平行四边形的判定及简单综合
【典例精析】
【例】（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）当，，时，求的长．
【变式训练】
变式3-1. （2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
变式3-2. （2021·河北中考真题）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
图2
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
变式3-3. （2021·山东聊城市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【考点巩固训练】
1．（2021 江干区期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是（　　）
A．AF＝FE B．∠BAE＝∠DCF C．AF⊥CF，CE⊥AE D．BE＝DF
2．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是____．
3．（2021·山东滨州·中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
5．（2021·湖南·中考真题）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，
．（1）求证：．（2）判断四边形的形状，并证明．
6．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；（2）四边形是平行四边形．
考向4. 中位线
【典例精析】
【例】（2021·四川雅安市·中考真题）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．5
【变式训练】
变式4-1. （2021·江苏南京市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．
变式4-2. （2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式4-3. （2021·江苏泰州市·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 ___．
【考点巩固训练】
1．（2021·青海中考真题）如图，在中，，，分别是边，，的中点，若的周长为10，则的周长为______．
2．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，若，，则点A到BC的距离是________．
3．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是边的中点．已知，则_____．
4．（2021·广西梧州·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
5．（2021·浙江越城·一模）我们定义：连接凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．
（1）概念理解：如图1，四边形ABCD中，F为CD的中点，∠ADB＝90°，E是AB边上一点，满足DE＝AE，试判断EF是否为四边形ABCD的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点E以每秒1个单位的速度，从点A出发向点C运动，动点F以每秒6个单位的速度，从点C出发沿射线CB运动，当点E运动至点C时，两点同时停止运动．D为线段AB上任意一点，连接并延长CD，射线CD与点A，B，E，F构成的四边形的两边分别相交于点M，N，设运动时间为t．问t为何值时，MN为点A，B，E，F构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF为四边形ABCD的准中位线，AB＝CD，延长FE分别与BA，CD的延长线交于点M，N，请找出图中与∠M相等的角并证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑