资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第20节 解直角三角形
【考试要求】
1.理解锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°角的三角函数值；
2.了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些实际问题；
3.进一步体会数形结合和函数思想的运用.
【考情预测】
该板块主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用.有时比较简单，有时难点较大不易得分，分值为12分左右。预计2022年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
【考点梳理】
1．锐角三角函数的意义：
如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：
∠α的正弦sinα＝；∠α的余弦cosα＝；∠α的正切tanα＝
2．同角三角函数之间的关系：sin2A＋cos2A＝ 1 ，tanA＝．
3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．(2)tanα·tan(90°－α)＝1.
(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．
(4)对于锐角A有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
4．特殊的三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：
(1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2．(2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边与角的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．
6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题．
(1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．
(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角，
(3)坡角：坡面与水平面的夹角．
(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．
(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图32 4．
【重难点突破】
考向1. 三角函数的概念与特殊角的三角函数值
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）如图，已知在中，，则的值是______．
【答案】
【分析】在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】解： ， 故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江杭州市·中考真题）sin30°的值为_____．
【答案】
【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．
变式1-2．（2021·浙江萧山·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　）
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
【答案】D
【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．
【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，则cosA＝＝，故A错误；
sinB＝＝，故B错误；tanA＝，故C错误；tanB＝＝，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．
变式1-3．（2021·浙江杭州·三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　）
A．b＝a sinA B．b＝a tanA C．c＝a sinA D．a＝c cosB
【答案】D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝，则b＝，故B选项错误；cosB＝，则a＝ccosB，故D选项正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
【考点巩固训练】
1．（2021 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据余弦的定义解答即可．
【答案】解：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝5，∴cosB＝＝，故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
2．（2021 温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．
【答案】解：∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，
∴cosB＝＝．故选：B．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
3．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中，,即，故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程．
4．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
∴，∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．
5．（2021·四川巴中·中考真题）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）
A．sinB B．sinC C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】解：由勾股定理得：
,∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴，，，，只有A错误．故选择：A．
【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
6．（2021·广东阳东·二模）计算：sin30° tan45°﹣( ＝__________．
【答案】
【分析】首先根据，tan45°=1，，再计算即可．
【详解】原式===．
【点睛】本题考查实数的计算，掌握特殊角的三角函数值和非零数的零次幂的计算方法是解题的关键．
考向2. 解直角三角形
【典例精析】
【例】（2021 台州模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，AB＝10，则△ABC的面积为　　．
【思路点拨】根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解．
【答案】解：∵在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∵sinA＝＝，tanB＝＝，AB＝10，∴a＝c＝5，b＝a＝5，
∴S△ABC＝ab＝×5×5＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解此题的关键是进行合理的推断得出三角形为直角三角形．
【变式训练】
变式2-1. （2021 路桥区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AB，BC，CD，AE，线段AE的延长线交BC于点F，则tan∠AFB的值（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】如图，连接MC和BM，把∠AFB转化成∠BCM，进而证明∠BMC＝90°，问题便迎刃而解．
【答案】解：如图，连接MC和BM，
∵AM∥EC，AM＝EC＝1，∴四边形AMCE为平行四边形，∴AF∥MC，∴∠AFB＝∠MCB，
∵tan∠ABM＝，tan∠CMN＝，∴∠ABM＝∠CMN，
∵∠ABM+∠AMB＝90°，∴∠CMN+∠AMB＝90°，∴∠BMC＝90°，
∴tan∠AFB＝tan∠BCM＝．故选：A．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，难度较大，主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，关键是把所求角的三角函数值转化到格点直角三角形中解决问题，体现了数学中的转化思想．
变式2-2. （2021·广西玉林市·中考真题）如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，然后根据图形及三角函数可直接进行排除选项．
【详解】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示：
由题意得：，
∴，∴，
∴，∴；故选A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数求解问题是解题的关键．
变式2-3. （2021 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，sinA＝，点D在AB边上，且∠BDC＝45°，BC＝5．（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．
【思路点拨】（1）由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，根据sinA的值，求出AB的长，进而确定出AD的长；（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，由三角形ADE为等腰直角三角形，求出AE与DE的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【答案】解：（1）∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴BC＝BD＝5，
∵sinA＝，∴AB＝12，∴AD＝AB﹣BD＝12﹣5＝7；
（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，
∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝，则sin∠ACD＝．
【点睛】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，
∵，∴，∵BC＝3，∴GB＝，
∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝==，∴tanα的值为，故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2019·四川绵阳市·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为5，
∴，∴，∴．故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出．
3．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，可得结论．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于H．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝，∴OC＝AB＝，
∵＝ AB CH＝ AC BC，∴CH＝，∴sin∠BOC＝＝，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出CH的长，属于中考常考题型．
4．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．
【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=BC=6，∴AD=，
过点O作OF⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴OF=OD，
∵
∴，即：，解得：OD=3，∴tan∠OBD=，故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键．
5．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：在中，∵，∴．
在中，．故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
6．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．
考向3. 解直角三角形的应用
【典例精析】
【例】（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，，．（1）椅面CE的长度为_________cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为________cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）
【答案】40 12.5
【分析】（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，，列比例求出CM长度，则CE=AB-CM；（2）根据图2可得，对应袋图3中求出CD长度，列比例求AB即可．
【详解】解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，
∵椅面CE与地面平行，∴，
∴，解得：CM=8cm，
∴CE=AB-CM=48-8=40cm；故答案为：40；
（2）在图2中，∵，椅面CE与地面平行，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∵H是CD的中点，∴，
∵椅面CE与地面平行，∴，∴，
图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，因为 ，，
∴，∴，∴，
解得：，故答案为：12.5．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，∴，∵，∴，
∴，故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
变式3-2. （2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．小岛到航线的距离是__________（，结果用四舍五入法精确到0.1）．
【答案】10.4
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，从而得到AC=BC=12,利用sin60°=计算AD即可
【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠CAB=30°，∴AC=BC=12,
∵sin60°=，∴AD=AC sin60°=12=6≈10.4故答案为：10.4.
【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键．
变式3-3. （2021·四川内江·中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）
【答案】米．
【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】解：作于点，设米，
在中，，则（米，
∵，且AE=8∴ ∴
在直角中，米，
在直角中，，米．
，即．解得：，
则米．答：的高度是米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点巩固训练】
1.（2021 宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　 　米（结果保留根号）．
【思路点拨】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【答案】解：由于CD∥HB，∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°∴AH＝CH＝1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B＝∴HB＝＝＝＝1200（米）．
∴AB＝HB﹣HA＝1200﹣1200＝1200（﹣1）米 故答案为：1200（﹣1）
【点睛】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
2．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【答案】D
【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．
【详解】如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，∴,
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为，∴在Rt△CED中，，
∵，∴，∴，∴，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，∴，
将代入解得：，∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．
3．（2021·浙江绍兴市·中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若，则BC长为_______cm（结果保留根号）．
【答案】
【分析】根据题意即可求得∠MOD=2∠NOD，即可求得∠NOD=30°，从而得出∠ADB=30°，再解直角三角形ABD即可．
【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O，
∴∠MOD=2∠NOD， ∵∠MOD+∠NOD=90°，∴∠NOD=30°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠A=90°，AD=BC，∴∠ADB=∠NOD=30°，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD=30°是解题的关键．
4．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度（结果保留根号）；（2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为382m．
【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解；
（2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)，
在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴，∴AC=120(m)，
答：无人机的高度AC=；
（2）根据题意得：DE=8(m)，则CE= DE+CD=520(m)，过点B作BF⊥CE于点F，
则四边形ABFC为矩形，∴AB=FC，BF=AC=，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，∴，
∴EF==138.4(m)，∴AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)，
答：AB的长度为382m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
5．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
【答案】（1）观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）救援船到达C点需要的最少时间为小时．
【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可求解；（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，求得四边形BFCE为矩形，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）过C作CE⊥AB于E，
由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25，
在Rt△ACE中，AE=CE=AC=25=25(海里)，
在Rt△BCE中，BC=2CE=50(海里)，BE==25 (海里)，
∴观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，
∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°，∴四边形BFCE为矩形，
∴CF=BE=25 (海里)，BF=CE=25(海里)，
在Rt△CDF中，CF=25 (海里)，DF=55(海里)，
∴CD=70(海里)，
救援船到达C点需要的最少时间为(小时)．
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．
【详解】解：（1）在Rt△ADF中，
∴ = = =88cm
在Rt△AEF中，∴
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则 ∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴ ∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴
在Rt△ANM中， ∴
∴∴的最小值为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第20节 解直角三角形
【考场演练】
一、选择题
1．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
2．（2021·天津中考真题）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】解：由题意可知，，故选：A．
【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．
3．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理和三角函数求解．
【详解】∵在中，，∴
在中，，故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
4．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得是等边三角形，可得，进而根据，可得，进而可得,根据， ，，即可求得．
【详解】四边形是菱形，,，
，是等边三角形，，
，，，，，
，即，
，．故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
5．（2021 萧山区一模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝Rt∠．已知∠A＝α，外角∠DCE＝β，BC＝a，CD＝b，则下列结论错误的是（　　）
A．∠ADC＝90°﹣α+β B．点D到BE的距离为b sinβ
C．AD＝ D．点D到AB的距离为a+bcosβ
【思路点拨】延长AD，BC交于点F，过D作DG⊥BC于G，过D作DH⊥AB于H，通过解直角三角形，即可得到正确结论．
【答案】解：如图所示，延长AD，BC交于点F，
∵∠ABC＝Rt∠，∠A＝α，∴∠F＝90°﹣α，
∴∠ADC＝∠F+∠DCE＝90°﹣α+β，故A正确；
如图所示，过D作DG⊥BC于G，∵∠DCE＝β，CD＝b，
∴DG＝b sinβ，即点D到BE的距离为b sinβ，故B正确；
如图所示，过D作DH⊥AB于H，则HD＝BG＝BC+CG＝a+b cosβ，
∴Rt△ADH中，AD＝＝，故C错误；
∵HD＝BG＝BC+CG＝a+b cosβ，∴点D到AB的距离为a+bcosβ，故D正确；故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
6．（2022 杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【思路点拨】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
【答案】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a cosx+b sinx，故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【答案】A
【分析】作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在△BEG和△CEG中求解即可．
【详解】如图，作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点，则四边形DFBG为矩形，DF=BG，
∵斜坡的坡度，∴，
∵AD=130，∴DF=50，AF=120，∴BG=DF=50，由题意，∠CEG=60°，∠BEG=45°，
∴△BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50，在Rt△CEG中，CG=EG=50，
∴米，故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．
8．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】C
【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsinβ与AD=ABsinα，两线段作差即可．
【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB=CE=10米，∵sinβ，
在Rt△ECD中，sin，∴CD=，
在Rt△ABD中，sin，∴，∴AC=CD-AD=8-6=2．故选择C．
【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．
9．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．
【详解】解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：，解得x=，则BD=，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，
，则∠BFD=22.5°，∴外接圆半径d=BF=，
根据题意知周长÷d==，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．
10．（2021·福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．
【详解】，
．故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．
11．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
12．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．
【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知，∴，∴S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，
∵OD⊥AB，AB为弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，
∴OA=，∴S圆=．故答案为A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．
二、填空题
13．（2021 绍兴一模）比较三角函数值的大小：sin30°　 　tan30°（填入“＞”或“＜”）．
【思路点拨】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【答案】解：sin30°＝，tan30°＝，＜，即sin30°＜tan30°，故答案为：＜．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
14．（2021·四川乐山市·中考真题）在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________．
【答案】或或2
【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．
【详解】解：情形1：，则，
，
∵，∴，∴是等边三角形，∴；
情形2：，则，，，
∵，∴，∴，解得；
情形3：，则，，，
∵，∴；故答案为：或或2．
【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
15．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
【答案】
【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，
∵BH∥x轴，∴∠ABH＝α，在Rt△ABH中， ,，
即= ∵sinα随BA的减小而增大，
∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，∴△ACF∽△CBG，∴，
∵，即，∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，
∵∴当n时，BG最大值故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．
16．（2021·四川绵阳·中考真题）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
【答案】
【分析】CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出，再根据锐角三角函数和勾股定理得到，求出的值即可．
【详解】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，，
又，∴四边形CEDF为正方形，，，
在中，，∵，，
，，，，即，
又，，∵在中，，∴，
∵在中，，∴，
，，，即（舍负），故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
17．（2021·湖南娄底市·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则________．
【答案】15．
【分析】根据同角的余角相等得到，进一步根据三角函数求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵且四边形为平行四边形，∴，，
又∵,∴，∴，∴,
又∵，∴mm．故答案为：15．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值．
18．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为_____________cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
【答案】6.3
【分析】作辅助线如图，则四边形CDGF是矩形，可得CD=FG，然后分别解直角△ABG和直角△BCF求出BG和BF的长即可．
【详解】解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，在直角△ABG中，，，
∴（cm），∠ABG=30°，
∵，∴∠CBF=20°，∴∠BCF=70°，在直角△BCF中，，∠BCF=70°，
∴（cm），∴CD=FG=（cm），
即点到的距离为6.3cm；故答案为：6.3．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确添加辅助线构建直角三角形、掌握求解的方法是关键．
三、解答题
19．（2021·四川新都·一模）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）2；（2）0
【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值、乘方、开方、零指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可；（2）首先计算乘方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝2；
（2）
＝
＝
＝0．
【点睛】实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角值是解题的关键．
20．（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）.（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接OA，∵，的平分线，∴AD=BD=，CD⊥AB，
∵的半径为5，∴OD=，
∴CD=CO+OD=5+=，∴BC=，
∴．故答案是：．
【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键．
21．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】420米
【分析】过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF＝140,在Rt△ADF中，利用三角函数可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）．
【详解】解∶过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．
由题意得，＝37°．在R△CDE中∵，
，．
，．
∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE＝DF，BF＝DE＝160，∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
在Rt△ADF中，，∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60.
∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）．
所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．
22．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】96米
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】延长交于点，过点作，交于点，
由题意得，，∴四边形为矩形，∴，.
在中，，∴，，
∴，，∴，
∴.在中，，
∴，∴，∴，
∴. 答：大楼的高度约为96米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（2021·山东威海市·中考真题）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】路灯的高度为13.4m．
【分析】延长AC交PQ于点E，交MN于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，设路灯的高度为xm，则MN=PQ= xm，MF=PE=x-1.2；在Rt△AFM中求得，即可得；
在Rt△CEP中，可得，由此即可求得路灯的高度为13.4m．
【详解】延长AC交PQ于点E，交MN于点F，
由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，
设路灯的高度为xm，则MN=PQ= xm，MF=PE=x-1.2，
在Rt△AFM中，∠MAF=10°，MF= x-1.2，，
∴，∴，∴；
∴CE=AE-AC= -10，在Rt△CEP中，∠PCE=27°，CE= -10，，
∴，解得x≈13.4，∴路灯的高度为13.4m．
答：路灯的高度为13.4m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．
24．（2021·湖北荆门·中考真题）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【答案】（1）；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域
【分析】(1)如图1, 作，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC计算即可;(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为作圆，作圆的切线 计算∠PBD的大小，从而得到∠CBD的大小，从而判断即可.
【详解】解：（1）如图1，作，交AB的延长线于C，
由题意知：，．设：则，
，解得，
经检验：是原方程的根，且符合题意，；
（2），．
因此海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以为圆心，为半径作圆，过作圆P的切线 交于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于的方向航行能安全通过这一海域．
【点睛】本题考查了方位角，特殊角的三角函数值，解直角三角形，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键．
25．（2021·江苏盐城市·中考真题）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．
（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米
【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可；（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD．
【详解】解：（1）过点作交于，
∵，∴，
∴，答：点距离地面113厘米；
（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，
过点作交于点，∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，∴AB=GN=84(cm)，
∵，将支杆绕点顺时针旋转，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴，，，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴，
∵，∴，
∵，∴，，，
答：长为58厘米．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键．
26．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）；（2）点到直线的距离约为7.3cm．
【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；（2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．
【详解】解：（1）如图，
∵，，∴．
∵，∴．
又∵，∴点转动到点的路径长．
（2）如图，过点作于点，过点作于点．
在中， ．
在中，．
∴．
又∵，∴点到直线的距离约为7.3cm．
【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第20节 解直角三角形
【考场演练】
一、选择题
1．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津中考真题）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．2
5．（2021 萧山区一模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝Rt∠．已知∠A＝α，外角∠DCE＝β，BC＝a，CD＝b，则下列结论错误的是（　　）
A．∠ADC＝90°﹣α+β B．点D到BE的距离为b sinβ
C．AD＝ D．点D到AB的距离为a+bcosβ
6．（2022 杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
7．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
8．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
9．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2021·福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021 绍兴一模）比较三角函数值的大小：sin30°　 　tan30°（填入“＞”或“＜”）．
14．（2021·四川乐山市·中考真题）在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________．
15．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．
16．（2021·四川绵阳·中考真题）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
17．（2021·湖南娄底市·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则________．
18．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为_____________cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）
三、解答题
19．（2021·四川新都·一模）（1）计算：；
（2）计算：．
20．（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）.（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
21．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
22．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．
（参考数据：，，，，，）
23．（2021·山东威海市·中考真题）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，）
24．（2021·湖北荆门·中考真题）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
25．（2021·江苏盐城市·中考真题）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．
（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
26．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 图形与性质（浙江省专用）
第20节 解直角三角形
【考试要求】
1.理解锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°角的三角函数值；
2.了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些实际问题；
3.进一步体会数形结合和函数思想的运用.
【考情预测】
该板块主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，看似考查解题的综合能力，实质是基本的定义和应用.有时比较简单，有时难点较大不易得分，分值为12分左右。预计2022年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
【考点梳理】
1．锐角三角函数的意义：
如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：
∠α的正弦sinα＝；∠α的余弦cosα＝；∠α的正切tanα＝
2．同角三角函数之间的关系：sin2A＋cos2A＝ 1 ，tanA＝．
3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．(2)tanα·tan(90°－α)＝1.
(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．
(4)对于锐角A有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
4．特殊的三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：
(1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2．(2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边与角的关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．
6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题．
(1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．
(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角，
(3)坡角：坡面与水平面的夹角．
(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．
(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图32 4．
【重难点突破】
考向1. 三角函数的概念与特殊角的三角函数值
【典例精析】
【例】（2021·浙江中考真题）如图，已知在中，，则的值是______．
【变式训练】
变式1-1．（2021·浙江杭州市·中考真题）sin30°的值为_____．
变式1-2．（2021·浙江萧山·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　）
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
变式1-3．（2021·浙江杭州·三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　）
A．b＝a sinA B．b＝a tanA C．c＝a sinA D．a＝c cosB
【考点巩固训练】
1．（2021 湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB=（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·四川巴中·中考真题）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）
A．sinB B．sinC C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
6．（2021·广东阳东·二模）计算：sin30° tan45°﹣( ＝__________．
考向2. 解直角三角形
【典例精析】
【例】（2021 台州模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，AB＝10，则△ABC的面积为　　．
【变式训练】
变式2-1. （2021 路桥区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AB，BC，CD，AE，线段AE的延长线交BC于点F，则tan∠AFB的值（　　）
A． B． C． D．
变式2-2. （2021·广西玉林市·中考真题）如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
变式2-3. （2021 宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，sinA＝，点D在AB边上，且∠BDC＝45°，BC＝5．（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．
【考点巩固训练】
1．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·四川绵阳市·中考真题）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )
A． B． C． D．
3．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（　　）
A．1 B． C． D．
4．（2021·四川宜宾市·中考真题）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
6．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）
A． B． C． D．
考向3. 解直角三角形的应用
【典例精析】
【例】（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，，．（1）椅面CE的长度为_________cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为________cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）
【变式训练】
变式3-1. （2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
变式3-2. （2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．小岛到航线的距离是__________（，结果用四舍五入法精确到0.1）．
变式3-3. （2021·四川内江·中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）
【考点巩固训练】
1.（2021 宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　 　米（结果保留根号）．
2．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
3．（2021·浙江绍兴市·中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若，则BC长为_______cm（结果保留根号）．
4．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度（结果保留根号）；（2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
5．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
6．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑