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2021-2022学年北京市各区高三一模试题汇编—统计概率
一、选择题
1、（2022丰台一模第7题）7．在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者.则这6位志愿者不同的分配方式共有
（A）19种 （B）20种 （C）30种 （D）60种
【答案】：A
分析：方法1：分类：1男2女、2男1女、3男
法2：排除法 6人中人取3人，排除3人全是女
2、（2022朝阳一模第7题）已知三棱锥，现有质点从点出发沿棱移动，规定质点从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到点的不同路径的种数为
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
【答案】：B
分析：计数问题经常采用：数一数，列一列
共6种
3、（2022石景山一模第3题）从中不放回地抽取个数，则在第次抽到偶数的条件下，第次抽到奇数的概率是
A． B． C． D．
【答案】：D
分析：本题为条件概率，第次抽到偶数，剩余4个，3个奇数1个偶数，故第二次抽到奇数的概率为
4、（2022东城一模第7题）7、在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首. 北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上 “二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】：B
分析：
5、（2022海淀一模第10题）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
年龄（岁） 总计
确诊组人数 0 3 7 4 0 14
排除组人数 7 41 15 19 2 84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人. 用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比. 给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③的取值范围都是；
④.
其中，正确结论的个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4
【答案】：B
① 98人中确诊的有14人，若抽取的7人可能都在排除组，没有在确诊组，故①错
② 排除组小于20岁的有7人，抽取的7人都小于20岁的概率，故②错
③ 第一种，有96人，有2人，故抽取的80岁以上的人数为M，则M可取0,1,2
当M=0时，X=Y=0；当M=1时，X=Y= ；当M=2时，X=Y= 。故③正确
④ E(X)是从98人中取出某确定2人的均值，E(Y)是从84人中取出某确定2人的均值，故Y取到某确定2人的可能性更大，平均水平更大,故④正确
二、填空题
6、（2022门头沟一模第12题）下表记录了某地区一年之内的月降水量.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 ；分位数是 ．
56； 64
解：56，64；数据按从小到大排序得：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，它的中位数为56；，第10个数是64
三、解答题（第1题-第5题为二项分布，第6题为超几何分布）
1、（2022丰台一模第18题）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为.当为何值时，最小.（结论不要求证明）
解：（Ⅰ）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为.
（Ⅱ）由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为.
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为.
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.
所以，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
．
（Ⅲ）.
2、（2022门头沟一模第17题）第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共类志愿服务．
（Ⅰ）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
（Ⅱ）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望．
（Ⅲ）万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：
岁人群 其它人群
支持 不支持 支持 不支持
方案 人 人 人 人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．
将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
解：（Ⅰ）在甲分配到对外联络服务的条件下，乙被分配到场馆运行服务这一事件为，
（Ⅱ）可取0，1，2
；；
0 1 2
（Ⅲ）
3、（2022海淀一模第18题）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）. 相关数据表明，入睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.
组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比
1 0.1% 9.2%
2 11.1% 47.4%
3 34.6% 31.6%
4 48.6% 11.8%
5 5.6% 0.0%
注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.
（Ⅰ）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？
（Ⅱ）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占80%. 从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取3人，以表示这3人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间内.试判断这种说法是否正确，并说明理由.
解：（Ⅰ）早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.
（Ⅱ）X的取值范围是，1，2，，
所以随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以随机变量的数学期望.
（Ⅲ）这种说法不正确.
例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为
所以这种说法不正确.
法2. 例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为
.
所以这种说法不正确.
4、（2022西城一模第18题）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站 上车站 牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫 合计
牡丹园 /// 5 6 4 2 7 24
积水潭 12 /// 20 13 7 8 60
牛街 5 7 /// 3 8 1 24
草桥 13 9 9 /// 1 6 38
新发地 4 10 16 2 /// 3 35
新宫 2 5 5 4 3 /// 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系.
解：（Ⅰ）设选取的乘客在积水潭站上车、在牛街站下车为事件，
由已知，在积水潭站上车的乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，
所以.
（Ⅱ）由题意可知，
；；
；.
随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为
.
（Ⅲ）.
5、（2022东城一模第18题）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生
男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01
女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00
合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01
（Ⅰ）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占的比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率.
（Ⅱ）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望.
（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系. （结论不要求证明）
解：（Ⅰ）设事件A＝“该市民年龄为15岁及以上”.
事件B＝“该市民受教育程度为硕士研究生”.
依题意，，.
由概率的乘法公式可得，
.
因此，从全市常住人口中随机选取1人，该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率约为0.051.
（Ⅱ） 从Z市15岁及以上的常住人口中随机选取1人，受教育程度为大学本科及以上
的概率为0.23＋0.06＋0.01＝0.3.
X的所有可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.49 0.42 0.09
故X的数学期望.
（III）a＞b.
6、（2022朝阳一模第17题）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在[90,100]中的人数，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差与的大小．（直接写结果）
解：（Ⅰ）由题意得，，
解得．
因为，
所以估计全校学生的平均成绩为72.6．
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
所以X的分布列为
0 1 2 3
所以X的数学期望为．
（Ⅲ）．
7、（2022房山一模第18题）良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 合计
空气质 量优良 天数 24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288
空气质 量污染 天数 7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77
（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量表示选出的3天中空气质量优良的天数，求的分布列；
（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为. 试判断，的大小关系.
（结论不要求证明）
解：（Ⅰ）记事件为 “从2021年中任选1天，这一天空气质量优良” ,
则.
（Ⅱ）的所有可能取值为.
方法1：记事件为 “从4月任选1天，这一天空气质量优良”，
事件为 “从6月任选1天，这一天空气质量优良”,
事件为 “从9月任选1天，这一天空气质量优良”.
由题意知，事件相互独立，
且,
所以
.
方法2：.
. . .
所以的分布列为:
（Ⅲ）.
8、（2022石景山一模第17题）．某学校高中三个年级共有名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了名学生一周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：
高一年级
高二年级
高三年级
（Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数；
（Ⅱ）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；
（Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小．（结论不要求证明）
解:（Ⅰ）抽出的位学生中，来自高三年级的有名，根据分层抽样方法，
可得高三年级的学生共有（人）；
（Ⅱ）设事件为“甲是现有样本中高一年级中的第个学生”，，
事件为“乙是现有样本中高二年级中的第个学生”，，
由题意知：，，由于事件与事件相互独立，
所以，
设事件为“该周甲的学习时间不大于乙的学习时间”，
由题意知，，
由于彼此互斥，所以
所以，
故该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间概率为
（Ⅲ），，
三组总平均值，新加入的三个数的平均数为，
比小，故拉低了平均值，所以．2021-2022学年北京市各区高三一模试题汇编—统计概率
一、选择题
1、（2022丰台一模第7题）7．在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者.则这6位志愿者不同的分配方式共有
（A）19种 （B）20种 （C）30种 （D）60种
2、（2022朝阳一模第7题）已知三棱锥，现有质点从点出发沿棱移动，规定质点从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到点的不同路径的种数为
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
3、（2022石景山一模第3题）从中不放回地抽取个数，则在第次抽到偶数的条件下，第次抽到奇数的概率是
A． B． C． D．
4、（2022东城一模第7题）7、在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首. 北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上 “二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为
（A） （B） （C） （D）
5、（2022海淀一模第10题）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：
年龄（岁） 总计
确诊组人数 0 3 7 4 0 14
排除组人数 7 41 15 19 2 84
为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人. 用分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比. 给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；
③的取值范围都是；
④.
其中，正确结论的个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4
二、填空题
6、（2022门头沟一模第12题）下表记录了某地区一年之内的月降水量.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66
根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 ；分位数是 ．
三、解答题（第1题-第5题为二项分布，第6题为超几何分布）
1、（2022丰台一模第18题）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为.当为何值时，最小.（结论不要求证明）
2、（2022门头沟一模第17题）第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共类志愿服务．
（Ⅰ）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
（Ⅱ）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望．
（Ⅲ）万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：
岁人群 其它人群
支持 不支持 支持 不支持
方案 人 人 人 人
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．
将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
3、（2022海淀一模第18题）《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）. 相关数据表明，入睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.
组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比
1 0.1% 9.2%
2 11.1% 47.4%
3 34.6% 31.6%
4 48.6% 11.8%
5 5.6% 0.0%
注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.
（Ⅰ）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？
（Ⅱ）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占80%. 从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取3人，以表示这3人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间内.试判断这种说法是否正确，并说明理由.
4、（2022西城一模第18题）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站 上车站 牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫 合计
牡丹园 /// 5 6 4 2 7 24
积水潭 12 /// 20 13 7 8 60
牛街 5 7 /// 3 8 1 24
草桥 13 9 9 /// 1 6 38
新发地 4 10 16 2 /// 3 35
新宫 2 5 5 4 3 /// 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系.
5、（2022东城一模第18题）根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：
受教育程度 性别 未上学 小学 初中 高中 大学 专科 大学 本科 硕士 研究生 博士 研究生
男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01
女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00
合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01
（Ⅰ）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占的比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率.
（Ⅱ）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望.
（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为a年和b年，依据表中的数据直接写出a与b的大小关系. （结论不要求证明）
6、（2022朝阳一模第17题）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
（Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在[90,100]中的人数，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差与的大小．（直接写结果）
7、（2022房山一模第18题）良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 合计
空气质 量优良 天数 24 18 11 27 23 21 26 29 27 29 23 30 288
空气质 量污染 天数 7 10 20 3 8 9 5 2 3 2 7 1 77
（Ⅰ）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
（Ⅱ）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量表示选出的3天中空气质量优良的天数，求的分布列；
（Ⅲ）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天数的方差为. 试判断，的大小关系.（结论不要求证明）
8、（2022石景山一模第17题）．某学校高中三个年级共有名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了名学生一周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：
高一年级
高二年级
高三年级
（Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数；
（Ⅱ）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；
（Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小．（结论不要求证明）

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