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专题复习十----算法、推理与证明及复数
§10.1 算法与程序框图
一、要点梳理
1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的________和_______的步骤．
2．程序框图又称__________，是一种用________、__________及____________来表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；__________带方向箭头，按照算法进行的顺序将__________连接起来．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构是由________________________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．
其结构形式为
(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．
其结构形式为
　
(3)循环结构____________________________________________________．反复执行的处理步骤称为__________．循环结构又分为______________和____________．
其结构形式为
　
4．算法的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性．
二、难点正本　疑点清源
1．在数学中，现代意义上“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成的．
2．通俗地说，算法就是计算机解题的过程．在这个过程中，无论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法，前者是推理实现的算法，后者是操作实现的算法．或者说，算法是解决一个(类)问题的方法和步骤(程序)．
三、基础自测
1．如图1，是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．

（图1） （图2）
2．阅读如图所示的程序框图，若输入的x是2，则输出的y值为________．
3．若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数为________．
4．关于程序框图的图形符号的理解，正确的有 (　　)
①任何一个程序框图都必须有起止框；
②输入框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框之前；
③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号；
④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．(2011·新课标卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(　　)
A．120 B．720 C．1 440 D．5 040
四、题型分类 深度剖析
题型一　算法的意义与设计及顺序结构的应用
例1　写出求过两点M(－2，－1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法．
探究提高：算法设计要求是：(1)写出的算法，能解决一类问题，而且能重复使用．(2)使算法尽量简单，步骤尽量少，且明确有效．(3)要保证算法的正确性，能在计算机上执行．
变式训练1 f(x)＝x2－2x－3.求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．
题型二　算法的条件结构
例2　已知函数y＝
写出求该函数的函数值的算法及程序框图．
探究提高：利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，要根据题目的要求引入一个或多个判断框．而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作也相应地进行变化，故应逐个分析判断框内的条件．
变式训练2 如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－2，h＝0.5，那么输出的各个数的和等于 (　　)
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
题型三　算法的循环结构
例3　设计算法求＋＋＋…＋的值，并画出程序框图．
探究提高：利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累加变量；第三要注意在哪一步开始循环．
变式训练3程序框图如图3所示，则该程序运行后输出的k的值是________．

（图3） （图4）
五、解题思想方法示范（抓住循环结构中的两个关键点）
试题：(5分)执行如图4所示的程序框图，输出的A为________．
审题视角　(1)计数变量是k，累加变量是A，其规律是2A＋1后再赋值给A.(2)运算次数，即循环结束由判断条件决定．本题中k>10时就结束循环．
正确答案　2 047
批阅笔记　(1)在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量是用什么字母表示的，再把这两个变量的变化规律弄明白，就能理解这个程序框图的功能了，问题也就清楚了．
(2)在解决带有循环结构的程序框图问题时，循环结构的终止条件是至关重要的，这也是考生非常容易弄错的地方，考生一定要根据问题的情境弄清楚这点.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性．
2．算法的思想与数学知识的融合会是新高考命题的方向，要注意此方面知识的积累．
失误与防范
1．注意起止框与输入、输出框、判断框与处理框的区别．
2．注意条件结构与循环结构的联系．
3．要弄清楚三种基本逻辑结构的构成方式及功能，以免使用时造成混乱或错误．§10.1 算法与程序框图
A组　专项基础训练
一、选择题
1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 (　　)
　 A．3 B．11 C．38 D．123
　　
　 （第1题图）　　　　 （第2题图）
2．阅读程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为 (　　)
A．0.5 B．1 C．2 D．4
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
　 　
（第3题图）　　　　　　　　 （第4题图）
4．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
5．如下图所示，程序框图(流程图)的输出结果是________．
6．2010年上海世博会园区每天9∶00开园，20∶00停止入园．在如图所示的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填________．
　　
（第5题图）　　　　　　 　 （第6题图）
7．如图所示，程序框图(流程图)的输出值x＝______.
8．根据如图所示的程序框图，可知输出的结果i为________．
　　
　 （第7题图）　　　　　 　 （第8题图）
B组　专项能力提升
一、选择题
1．下图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于 (　　)
　 A．11 B．10 C．8 D．7
　
（第1题图）　　　　　　 （第2题图）
2．执行如图所示的程序框图，输出的s值为 (　　)
A．－3 B．－ C. D．2
3．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V.那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 (　　)
A．A>0，V＝S－T B．A<0，V＝S－T
C．A>0，V＝S＋T D．A<0，V＝S＋T
第3题图　　　　　　　 第4题图
二、填空题
4．若执行如上图所示的程序框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数为
___ _．
5．执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．

（第5题图） （第6题图）
6．已知等式3×1 632＝3×2 064中，“”内表示的是同一个一位数字，如图的程序框图表示的是求等式中“”表示的数字的算法，其中判断框内应填________．
7．已知数列{an}的通项公式an＝，计算其前102项和的程序框图如图所示，图中①，②应该填____________，__________.
§10.1 算法与程序框图 答案
要点梳理
1．明确　有限
2．流程图　 程序框　 流程线　 文字说明 流程线　 程序框
3．(1)若干个依次执行的步骤 　(3)从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况　循环体　当型(WHILE型) 直到型(UNTIL型)
基础自测
1．x>0？(或x≥0？)　 2. 1　 3.  4．B　 5．B　
题型分类·深度剖析
例1　解：　第一步，x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3；
第二步，得出直线方程＝；
第三步，令x＝0，得y； 第四步，令y＝0，得x；
第五步，S＝|x| |y|； 第六步，输出S.
变式训练1　解：　算法如下：
第一步，令x＝3. 第二步，把x＝3代入y1＝x2－2x－3.
第三步，令x＝－5. 第四步，把x＝－5代入y2＝x2－2x－3.
第五步，令x＝5. 第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.
第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.
第八步，输出y1，y2，y3，y的值．
该算法对应的程序框图如图所示：
例2　解　算法如下：
第一步：输入x；
第二步：如果x>0，则y＝－2x；如果x＝0，则y＝0；如果x<0，则y＝2x；
第三步：输出函数值y.
相应的程序框图如图所示．
变式训练2　B　
例3　解　算法如下：
第一步，令S＝0，i＝1；
第二步，若i≤2 011成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法；
第三步，S＝S＋；
第四步，i＝i＋1，返回第二步．
程序框图：
方法一　当型循环程序框图：
方法二　直到型循环程序框图：
变式训练3　 5
A组　专项基础训练
1．B　 2.C　 3.A　 4.B　 5．15 6．S＝S＋a 7．12 8．7
B组　专项能力提升
1．C　2.D　3．C　4. 5．68 6．i>9？(或i≥10？) 7．an＝an－4　n＝n＋1
§10.2 基本算法语句
一、要点梳理
1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句
一般格式
功能
输入语句
输出语句
赋值语句
2.条件语句
(1)程序框图中的____________与条件语句相对应．
(2)条件语句的格式及框图
①IF—THEN格式
②IF—THEN—ELSE格式
3．循环语句
(1)程序框图中的____________与循环语句相对应．
(2)循环语句的格式及框图．
①UNTIL语句
②WHILE语句
二、难点正本　疑点清源
1．关于赋值语句，有以下几点需要注意：
(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．
(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．
(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现一个或多个“＝”．
2．两种循环语句的区别
(1)WHILE
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止．这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句．因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环．
(2)UNTIL
当计算机遇到UNTIL语句时，先执行一次循环体，再判断是否满足条件，若不满足，再执行循环体，然后再检查是否满足条件，如此反复，直到满足条件时为止．当满足条件时，将不执行循环体，直接跳到LOOP UNTIL语句后，执行LOOP UNTIL后的语句．因此，直到型循环又称为“后测试型”循环．
三、基础自测
1．下列关于“赋值语句”叙述正确的是 (　　)
A．3.6＝x是赋值语句
B．利用赋值语句可以进行代数式的化简
C．赋值语句中的等号与数学中的等号意义相同
D．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值
2．下列关于循环语句的说法，不正确的是 (　　)
A．算法中的循环结构只能由WHILE语句来实现
B．一般程序设计语言中有当型和直到型两种循环语句结构
C．循环语句中有当型和直到型两种语句，即WHILE语句和UNTIL语句
D．算法中的循环结构由循环语句来实现
3．读下面一段程序，当x＝1时，求y＝______________________________.
INPUT　“x”；x
y＝x^3＋3+3*x^2-24*x+30
PRINT y
END
4．当a＝1，b＝3时，执行完下面一段过程后x的值是________．
IF　a　x＝a＋b
ELSE
　x＝a－b
END　IF
5．执行完下面一段程序后，输出的结果是________．
i＝1
S＝0
WHILE　i<＝100
　S＝S＋i
　i＝i＋1
WEND
PRINT　S
END
四、题型分类 深度剖析
题型一　输入、输出、赋值语句的应用
例1　已知直线方程为Ax＋By＋C＝0 (AB≠0)，试编写一个程序，输入符合条件的A、B、C的值，输出该直线在x轴、y轴上的截距和斜率．
探究提高：　(1)编写程序的关键在于搞清问题的算法，特别是算法的结构，然后确定采取哪一种算法语句．
(2)书写程序时，要注意在BASIC语言中，常见运算符号的书写方式：如a^b(ab)；a*b(a×b)；a/b；SQR(x)()；ABS(x)(|x|)等，明确它们的运算规则：先乘除，后加减；乘幂优先于乘除；函数优先于乘幂；同级运算从左向右按顺序进行；括号内最优先．
变式训练1 某企业为职工计算工资时按时间计，每月的总工资＝每月劳动时间×每小时工资，从总工资中扣除15%作为医疗保险金，再以总工资的5‰作为奖金，要求输入劳动时间和每小时工资数，输出每位职工应发工资．设计算法并画出程序框图，写出程序．
题型二　条件语句的应用
例2　如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边
上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向
点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并画出程序框图，写出程序．
探究提高：条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，求分段函数的函数值往往用条件语句编写程序，有时还利用条件语句的嵌套，例如本题就利用了条件语句的嵌套，这就要求区别好两种格式：IF—THEN—ELSE格式和IF—THEN格式．
变式训练2 到银行办理个人异地汇款时，银行要收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元手续费．试用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费为y元的过程，画出程序框图并写出程序．
题型三　循环语句的应用
例3　高三(1)班共有50名同学参加数学竞赛，现已有这50名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀同学的平均分输出的算法(规定90分以上为优秀)，画出程序框图，并设计程序．
探究提高：在解决实际问题时，要正确理解其中的算法思想，根据题目写出其关系式，再写出相应的算法．在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套这些语句需要保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行．
变式训练3 (1)阅读下面两个算法语句：
i＝1 i＝1
WHILE　i*(i＋1)<20 DO
　i＝i＋1 i＝i＋1
WEND LOOP　UNTIL　i*(i＋1)<20
PRINT　“i＝”；I PRINT　“i＝”；i
END END
图1　 图2
执行图1中语句的结果是输出________；
执行图2中语句的结果是输出________．
(2)如果程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL后面的“条件”应为__________．
i＝11
S＝1
DO
　S＝S*i
　i＝i－1
LOOP UNTIL　条件
PRINT　SEND
五、易错警示（对循环语句中的循环终止条件把握不准致误）
试题：(12分)写出计算＋＋＋…＋的一个算法程序．
学生错解展示
程序如下：
S＝0
i＝1
WHILE　i<＝
S＝S＋
i＝i＋1
END　WHILE
PRINT　S
审题视角　(1)计算的是一个累加算式，所以要用到循环语句；
(2)累加次数为100，所以条件应为i≤100；
(3)可以选择当型，也可以选择直到型，但应注意条件的变化．
规范解答
解：程序如下：
S＝0
i＝1
WHILE　i<＝100
S＝S＋
i＝i＋1
WEND
PRINT　S
END
批阅笔记：(1)此解法的错误在于循环起始终止条件不正确，实际上，在循环结构中，引入循环变量i，一是为了计数，二是为了控制循环，使程序执行后输出结果与实际结果一致．本题中，循环条件应为i≤100，且后两行格式有误．一般地，写完一个算法程序后，应执行一遍循环体，检验一下自己的算法是否符合格式要求和题目要求．(2)本题正解给出了当型循环语句，同学们也可用直到型语句书写.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．输出语句是任何一个程序必不可少的语句．
2．赋值语句是一种重要的基本语句，也是一个程序必不可少的语句．利用赋值语句可以实现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量．
3．要区分条件语句的两种格式：IF—THEN—ELSE格式和IF—THEN格式．
4．条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题都要用到条件语句．
5．循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决遇到需要反复执行的任务时，用循环语句编写程序．
失误与防范
1．赋值语句不能与等号相混淆．
2．赋值语句左右两边不能对调．
§10.2 基本算法语句
A组　专项基础训练
一、选择题
1．以下程序中，输出时A的值是输入时A的值的 (　　)
　 INPUT　A
A＝A＋A
A＝2
PRINT A
END
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
2．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是 (　　)
IF a<10 THEN
　 y＝2*a
ELSE
y=a*a
PRINT y
END
A．9 B．3 C．10 D．6
3．程序的运行结果为 (　　)
i＝0
S＝0
WHILE　S<＝20
　 S＝S＋i
　 i＝i＋1
WEND
PRINT　i
END
A．6 B．7 C．8 D．9
4．下面的程序语句输出的结果S为 (　　)
i＝1
WHILE i<8
S＝2*i+3
i=i+1
WEND
PRINT S
END
A．17 B．19 C．21 D．23
二、填空题
5．如下图，程序运算输出的结果是__________．
a＝5
b＝3
c＝(a＋b)/2
d＝c*c
PRINT　“d＝”，d
END
6．根据所给出的算法语句，可求得f(－3)＋f(2)的值为________．
INPUT　x
IF　x≤0　THEN
f(x)＝4*x
ELSE
f(x)=
END IF
PRINT f(x)
END
7．根据如图所示的程序，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．
INPUT　a，b
IF　a>b　THEN
　 m＝a
ELSE
　 m＝b
END IF
PRINT m
END
三、解答题
8．设计算法，根据输入的x的值，计算y＝ 的值，写出计算程序．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．读程序
INPUT　x
IF　x>0　THEN
y＝SQR(x)
ELSE
y＝(0.5)^x－1
END　IF
PRINT　y
END
当输出的y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
2.下面方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为 (　　)
i＝1S＝0
DO
　INPUT x
　S＝S＋x
　i＝i＋1
LOOP　UNTIL 　　　　
a＝S/20
PRINT a
END
　A．i >20 B．i <20
C．i >＝20 D．i <＝20
3．下面程序运行后，输出的值是 (　　)
i＝0
DO
　i＝i＋1
LOOP UNTIL　i*i>＝2 000
i＝i－1
PRINT　i
END
A．42 B．43 C．44 D．45
二、填空题
4．下述程序的表达式为_____________________________________________________．
i＝1
S＝0
WHILE　i<10
　 S＝S＋1/(2*i+1
i=i+1
WEND
PRINT S
END
5．下面的程序运行后第3个输出的数是________．
i＝1
x＝1
DO
PRINT　x
i＝i＋1
x＝x＋
LOOP　UNTIL　i＝5
END
6．运行下面的程序，在两次运行中分别输入－4和4，则运行结果依次为________．
INPUT　“x＝”；x
IF x>＝2 THEN
y＝3＋x^2
ELSE
　 IF　x>＝0　THEN
y＝2]y＝x/2
　 END IF
END IF
PRINT y＋1
END
7．阅读下面两个程序：
其中程序(1)的输出结果是a＝________，b＝________，c＝________.
程序(2)的输出结果是x＝________.
a＝－6
b＝2
IF　a<0　THEN
　 a＝－a
END　IF
b＝b2
a＝a＋b
c＝a－2*b
a=a/c
b=b*c+1
PRINT a, b, c
END (1)
x＝
i＝1
WHILE　i<3
　x＝
　i＝i＋1
WENDPRINT　x
END
　　　　　 (2)
三、解答题
8．设计算法求1＋＋＋…＋的值，画出程序框图，并编写程序．
§10.2 基本算法语句 答案
要点梳理
1.
语句
一般格式
功能
输入语句
INPUT“提示内容”；变量
输入信息
输出语句
PRINT“提示内容”；表达式
输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式代表的值赋给变量
2.(1)条件结构　3.(1)循环结构　
基础自测
1．D　2.A　3.10　4.4　5.5 050
题型分类·深度剖析
例1　解　令y＝0，得直线在x轴上的截距M＝－；令x＝0，得直线在y轴上的截距N＝－.化成斜截式后可知该直线的斜率k＝－.
程序如下：
INPUT　A，B，C
M＝(－C)/A
N＝(－C)/B
k＝(－A)/B
PRINT“M＝”；M
PRINT“N＝”；N
PRINT“k＝”；k
END
变式训练1　解　算法如下：
第一步：输入每月劳动时间t和每小时工资a；
第二步：求每月总工资y＝每月劳动时间t×每小时工资a；
第三步：求应发工资z＝每月总工资y×(1－15%)＋y×5‰；
第四步：输出应发工资z.
程序框图：
程序：
INPUT t，a
y＝a*t
z＝0.85*y+0.005*y
PRINT z
END
例2　解　由题意可得
y＝.程序框图如图：
程序：
INPUT “x＝”；x
IF　x>＝0 AND x<＝4 THEN
y＝2*x
ELSE
IF x<＝8 THEN
　 y＝8
ELSE
　 y＝2*(12-x)
END IF
END IF
PRINT y
END
变式训练2　解：　依题意，我们可求手续费y与汇款额之间的关系式为
y＝
依分析可知程序框图如图所示：
程序如下：
INPUT　“汇款金额为”；x
IF　x>0　AND　x<＝100　THEN
y＝1
ELSE
IF　x<＝5 000　THEN
　　 y＝0.01*x
ELSE
　　 y＝50
END　IF
END　IF
PRINT　“手续费为”；y
END
例3　解　程序框图如下：程序为：
S＝0
M＝0
i＝1
WHILE　i<＝50
INPUT x
IF x>90 THEN
　　　 S＝S＋x
　 M＝M＋1
END IF
　 i＝i＋1
WEND
P＝S/M
PRINT P
END
变式训练3　(1)i＝4　i＝2
(2)i<9(或i<＝8)
A组　专项基础训练
1．D　 2.D　 3.B　 4.A　 5．d＝16　 6.－8　 7.3
8．解　算法如下：
第一步，输入x；
第二步，如果x>2.5，则y＝x2－1；
第三步，如果x≤2.5，则y＝x2＋1；
第四步，输出y.
程序如下：
INPUT　“x＝”；x
IF　x>2.5　THEN
y＝x^2－1
ELSE
y＝x^2＋1
END　IF
PRINT　“y＝”；y
END
B组　专项能力提升
1．C　 2．A　 3．C　 4． S＝＋＋…＋＋
5．2 6．－1, 20 7．(1)5 　9 　2　 (2)
8．解　程序框图：
程序：
S＝0
n＝1
i＝1
WHILE　i<＝10
S＝S＋1/n
n＝n＋2
i＝i＋1
WEND
PRINT S

§10.3 合情推理与演绎推理
一、要点梳理
1．合情推理主要包括____________和____________．
合情推理的过程
从具体问题出发 →观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
(1)归纳推理：由某类事物的____________具有某些特征，推出该类事物的____________都具有这些特征的推理，或者由____________概括出____________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由________到________、由________到________的推理．
归纳推理的基本模式：a、b、c ∈M且a、b、c具有某属性，
结论：?d ∈M，d也具有某属性．
(2)类比推理：由______________具有某些类似特征和其中____________的某些已知特征，推出______________也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由________________的推理．
类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
B：具有属性a′，b′，c′；
结论：B具有属性d′.
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
2．演绎推理：从________的原理出发，推出某个____________的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由________到__________的推理．
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)“三段论”可以表示为
①大前提：M是P；
②小前提：S是M；
③结论：S是P.
用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.
二、难点正本　疑点清源
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理，是数学的基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常运用的思维方式．在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．
2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．
三、基础自测
1．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33＝________.
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
4．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________________________________.
四、题型分类 深度剖析
题型一　归纳推理
例1　已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋<2，
＋<2，＋<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式 _____________________．
探究提高：　对题设条件给出的不等式，要善于发现其中的数字之间的特点，才能找到规律，得到一般形式．
变式训练1 观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<________.
题型二　类比推理
例2　请用类比推理完成下表：
平面
空间
三角形两边之和大于第三边
三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半
三棱锥的体积等于任意一个表面的面积与该表面上的高的乘积的三分之一
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半
探究提高：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．当然类比时有可能出现错误，如：在平面内，直线a、b、c，若a ⊥b，b ⊥c，则a//c；在空间内，三个平面α、β、γ，若α ⊥β，β ⊥γ，但α与γ之间可能平行，也可能相交．
变式训练2 在R t △ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A—BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
题型三　演绎推理
例3　数列{an}的前n项和记为S n，已知a1＝1，an＋1＝·S n (n ∈N*)，
证明：(1)数列是等比数列； (2)S n＋1＝4an.
探究提高:　演绎推理的一般模式为三段论，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．
变式训练3 已知数列{an}满足：a1＝，＝，an an+1<0 (n≥1)；数列{b n}满足：b n＝a2n＋1－a2n (n≥1)．
(1)求数列{an}，{b n}的通项公式；
(2)证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．
五、易错警示(类比不当致误)
试题：(10分)在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论．
学生解答展示
审题视角　(1)由平面图形类比到空间图形．(2)三角形内的点到边的距离与对应边上的高的比之和为1.要抓住比值之和为1.(3)可以从三角形内的结论的证明进一步联想．
规范解答
解：　设ha，h b，h c，h d分别是三棱锥A—BCD四个面上的高，P为三棱锥A—BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是我们可以得到结论：
＋＋＋＝1.
批阅笔记：(1)类比推理是一种由此及彼的合情推理，“合乎情理”是这种推理的特征，一般的解答思路是进行对应的类比，如平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体)，平面上的面积对应空间的体积等．类比推理得到的结论不一定正确，故这类题目在得到类比的结论后，还要用类比方法对类比结论的正确性作出证明，例如本题在三角形中的结论是采用等面积法得到的，在三棱锥中就可以根据等体积法得到，这样不但写出来类比的结论，而且这个结论还是一个正确的结论．
(2)本题错误的原因，是没有抓住比值的特点，只考虑到了由长度到面积的类比，从而导致错误.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
失误与防范
1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．
§10.3 合情推理与演绎推理
A组　专项基础训练
一、选择题
1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 (　　)
　 A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
2．下面是关于演绎推理的几种叙述：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得出的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④“三段论”中的大前提有时可以省略．其中正确的说法个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于 (　　)
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为 (　　)
A．01 B．43 C．07 D．49
二、填空题
5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为____________________________ __.
6．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖______块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．
7．仔细观察下面○和●的排列规律：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○　●……
若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．
三、解答题
8．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角不相等，则两角不是对顶角；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；
(3)0.是有理数；
(4)y＝sin x(x ∈R)是周期函数．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 (　　)
2．已知函数f(x)＝sin x＋ex＋x2 010，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2 011(x)等于 (　　)
A．sin x＋ex B．cos x＋ex
C．－sin x＋ex D．－cos x＋ex
3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
4．如图所示，在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图形所标的边长，有c2＝a2＋b2.
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN.如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示底面积，试类比得到一个相应的命题 .
5．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b (m ≠n，m、n ∈N*)，则
a m +n＝；现已知等比数列{b n} (b≠0，n ∈N*)，b m＝a，b n＝b (m ≠n，m、n ∈N*)，若类比上述结论，则可得到b m+n＝____________.
6．观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
7.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这
两个正方体重叠部分的体积恒为 .
三、解答题
8．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
§10.3 合情推理与演绎推理 答案
要点梳理
1．归纳推理　类比推理　(1)部分对象　全部对象　个别事实　一般结论　部分　整体　个别　一般　(2)两类对象　一类对象 另一类对象　特殊到特殊
2．一般性　特殊情况下　一般　特殊
基础自测
1．①②④　2.3　3.1∶8 4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
题型分类·深度剖析
例1　＋≤2 (m＋n＝20，m、n均为正实数)
变式训练1　
例2　三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一
变式训练2　解　如图①所示，由射影定理知
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝. 图①
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
∴＝＋.
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体A—BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
如图②，连接BE并延长交CD于F，连接AF. 图②
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF，
在R t △ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.
在R t △ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
例3　证明　(1)∵an＋1＝S n＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即n Sn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(2)由(1)可知＝4· (n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an (n≥2)(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
变式训练3　(1)解：　由题意可知，1－a2n＋1＝(1－a2n)．
令cn＝1－a2n，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a21＝，则数列{cn}是首项为c1＝，公比为的等比数列，
即cn＝·n－1.
故1－a2n＝·n－1?a2n＝1－·n－1.
又a1＝>0，an a n＋1<0，
故an＝(－1)n－1 .
b n＝a2n＋1－a2n＝－＝·n－1.
(2)证明　用反证法证明．
假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t (rb s>b t，则只可能有2bs＝b r＋b t成立．
∴2·s－1＝r－1＋t－1.
两边同乘21－r＝3t－1，
化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．
A组　专项基础训练
1．A　2.C　3.D　4.B　5．13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2 6．503　 7．14
8．解　(1)若两个角是对顶角，则两角相等，(大前提)
∠1和∠2不相等，(小前提)
所以∠1和∠2不是对顶角．(结论)
(2)每一个矩形的对角线相等，(大前提)
正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的对角线相等．(结论)
(3)所有的循环小数是有理数，(大前提)
0.是循环小数，(小前提)
所以0.是有理数．(结论)
(4)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x是三角函数，(小前提)
所以y＝sin x是周期函数．(结论)
B组 专项能力提升
1．A 2．D　3．B　4．S21＋S22＋S23＝S24 5.  6．962 7. 
8．证明　∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B>，∴A>－B，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin A>sin＝cos B，
同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，
∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C．
§10.4 直接证明与间接证明
一、要点梳理
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的__________________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．
(2)分析法
①定义：从________________________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：→→→…→.
2．间接证明
反证法：假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
二、难点正本　疑点清源
证明数学问题的方法比较多，只是我们比较常用的方法有综合法、分析法和反证法．在证明问题时，既可独立运用，又可综合应用．
(1)对于较复杂问题的解决，往往既使用综合法又使用分析法，其结合使用的基本格式为：P?P1?P2…?P n?Q m?Q m－1?…?Q1?Q(P是已知的条件、公理、定义、公式，Q则表示要证明的结论．)
(2)反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有：①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难的问题．
三、基础自测
1．用反证法证明命题：“a，b ∈N，a b可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．
2．要证明“＋<2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)
①反证法 ②分析法 ③综合法．
3．下列条件：①a b>0，②a b<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使
＋≥2成立的条件的个数是________．
4．已知函数f(x)＝lg ，若f(a)＝b，则f(－a)＝________(用b表示)．
5．设a、b ∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是 (　　)
　 A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
四、题型分类 深度剖析
题型一　综合法
例1　设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.
探究提高：综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．
变式训练1 已知a、b、c为正实数，a＋b＋c＝1.
求证：(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≤6.
题型二　分析法
例2　已知函数f(x)＝tan x，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，
求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.
探究提高：分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体地说，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
变式训练2 (1)用分析法证明：ac＋b d≤·.
(2)已知a>0，－>1，求证：>.
题型三　反证法
例3　实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋b d>1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数．
探究提高：结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样．有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．
变式训练3 等差数列{an}的前n项和为S n，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和S n；
(2)设b n＝ (n ∈N*)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
五、解题思想方法示范（分析法与综合法的整合）
试题：(12分)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
审题视角:(1)先判断它们的大小，可用特例法．(2)用分析法探寻证题思路．(3)用综合法完成证明．事实上，取a＝1，b＝2，c＝4，
则f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log23＋log26＝log218,2f(b)＝2f(2)＝2log24＝log216，于是由log218>log216，猜测f(a)＋f(c)>2f(b)．
要证f(a)＋f(c)>2f(b)，则只需证log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，
即证log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，也即证(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.
展开整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b.
因为b2＝ac，所以只要证a＋c>2，显然是成立的．
规范解答
解:　f(a)＋f(c)>2f(b)． [2分]
证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，
所以a＋c>2. [4分]
因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，
即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，
从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. [8分]
因为f(x)＝log2x是增函数，
所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2， [10分]
即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．
故f(a)＋f(c)>2f(b)． [12分]
批阅笔记:(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程．有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功．
(2)本题错误原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不用综合法表述，从而导致解题格式不规范．将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：
第一步：分清命题“p →q”的条件和结论；
第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；
第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p →q为真．
第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．
失误与防范
1．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
§10.4 直接证明与间接证明
A组　专项基础训练
一、选择题
1．若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a>b与a③a ≠c，b ≠c，a ≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是 (　　)
A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3
2．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=1.(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于 (　　)
A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2
3．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1} (i＝0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中
h0＝a0D○＋a1，h1＝h0D○＋a2，D○＋运算规则为：0D○＋0＝0,0D○＋1＝1,1
D○＋0＝1,1D○＋1＝0.
例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 (　　)
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二、填空题
4．关于x的方程ax＋a－1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是__________．
5．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________．
6．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z，且y ⊥z，则x ∥y”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号)
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；
⑤x，y，z为直线．
7．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是__________________．
三、解答题
8．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x ∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有 (　　)
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
2．命题“如果数列{an}的前n项和S n＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立 (　　)
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n ∈N*)，且对任意m，n ∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论的个数为 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
4．若a，b，c为R t △ABC的三边，其中c为斜边，那么当n>2，n ∈N*时，an＋bn与cn的大小关系为____________．
5．下面有4个命题：
①当x>0时，2x＋的最小值为2；
②若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛 物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
③将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位，可以得到函数y＝sin的图像；
④在R t △ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；
类比到空间，若三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S—ABC的外接球的半径R＝.
其中错误命题的序号为________．
6．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．
三、解答题
7．已知f(x)＝x2＋ax＋b.
(1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
8．已知a>0，求证： －≥a＋－2.
§10.4 直接证明与间接证明 答案
要点梳理
1．(1)①推理论证　成立　(2)①要证明的结论　充分条件 2．不成立　矛盾
基础自测
1．a，b都不能被5整除　2.② 3．3　4.－b　5.D
题型分类·深度剖析
例1　证明　∵a，b，c>0，根据基本不等式，
有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.
三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．
即＋＋≥a＋b＋c.
变式训练1　证明　(1)方法一　a2＋b2＋c2－＝(3a2＋3b2＋3c2－1)
＝[3a2＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2]
＝(3a2＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc)
＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
∴a2＋b2＋c2≥.
方法二　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥.
方法三　设a＝＋α，b＝＋β，c＝＋γ.
∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0.
∴a2＋b2＋c2＝2＋2＋2＝＋(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2
＝＋α2＋β2＋γ2≥，
∴a2＋b2＋c2≥.
(2)∵＝≤＝，
同理≤，≤，
∴＋＋≤＝6，∴原不等式成立．
例2　证明　要证[f(x1)＋f(x2)]>f，
即证明(tan x1＋tan x2)>tan，
只需证明>tan ，
只需证明>.
由于x1、x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．
∴cos x1cos x2>0，sin(x1＋x2)>0，
1＋cos(x1＋x2)>0，
故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cos x1cos x2，
即证1＋cos x1cos x2－sin x1sin x2>2cos x1cos x2，
即证：cos (x1－x2)<1.
这由x1、x2∈，x1≠x2知上式是显然成立的．
因此，[f(x1)＋f(x2)]>f.
变式训练2　证明　(1)①若ac＋b d<0，结论显然成立；
②若ac＋bd≥0，要证ac＋b d≤·成立，
只需证(ac＋b d)2≤(·)2.
即a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，∴2abcd≤a2d2＋b2c2，
∴(ad－b c)2≥0显然成立．
综上所述：ac＋b d≤·.
(2)要证>成立，
只需证1＋a>，
只需证(1＋a)(1－b)>1 (1－b>0)，
即1－b＋a－a b>1，
∴a－b>a b，
只需证：>1，即－>1.
由已知a>0，－>1成立，
∴>成立．
例3　证明　假设a，b，c，d都是非负数，则由a＋b＝c＋d＝1，
有1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋b d＋ad＋b c ≥a c＋b d，即ac＋bd≤1，这与ac＋b d>1矛盾，故假设不成立．
即a，b，c，d中至少有一个为负数．
变式训练3　(1)解　由已知得
，∴d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项b p，b q，b r(p，q，r互不相等且∈N*)成等比数列，
则b2q＝b p b r.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r ∈N*，∴，
∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.
与p ≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
A组　专项基础训练
1．C　 2.A　 3.C　 4.　 5.m8．(1)证明　x是正实数，由基本不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·
2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．
(2)解　若x ∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x>0时，不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)≥0，
此时不等式仍然成立．
B组　专项能力提升
1．C　 2.B　 3.A　 4．an＋bn7．(1)解　∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，
f(3)＝3a＋b＋9，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.
(2)证明　假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于.
则－－∴－1<－2f(2)<1，－1∴－2这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．
∴假设错误，即所证结论成立．
8．证明　要证 －≥a＋－2，
只要证 ＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证2
≥2，
即a2＋＋4＋4
≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
§10.5 数系的扩充与复数的引入
一、要点梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi ()的数叫做复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若____________，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋d i?__________(a，b，c，d ∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋d i共轭?______________(a，b，c，d ∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示__________；各象限内的点都表示____________．
(5)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__________或__________，
即|z|＝|a＋bi|＝__________.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)( )．
(2)复数z＝a＋bi()_____________________________.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋d i (a，b，c，d ∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋d i)＝________________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋d i)＝________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋d i)＝________________；
④除法：＝＝＝________________(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝__________.
二、难点正本　疑点清源
1．对于复数z＝a＋bi必须满足a、b均为实数，才能得出实部为a，虚部为b.对于复数相等必须先化为代数形式才能比较实部与虚部．
2．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题．
三、基础自测
1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为________．
2．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
3．已知复数z满足＝1－2i，则复数z＝____________.
4．在复平面内，复数对应的点的坐标为__________．
5．把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·等
于 (　　)
A．3－i B．3＋I C．1＋3i D．3
四、题型分类 深度剖析
题型一　复数的分类
例1　已知m ∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z ∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)＝＋4i.
探究提高：(1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解．(2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi (b ∈R)；对应点在直线y＝x上，则z＝a＋a i(a ∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点．
变式训练1 当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限．
题型二　复数的代数运算
例2　计算：(1)；(2)＋2 010；
(3)6＋；(4)·2 008.
变式训练2 (1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
(2)复数的值是________．
(3)已知复数z满足＝2－i，则z＝__________.
题型三　复数的几何意义
例3　如图所示，平行四边形OABC，顶
点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)、所表示的复数； (2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
变式训练3 (1)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限
为 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 (　　)
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
五、解题思想方法示范（用待定系数法解决复数问题）
试题：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
审题视角　(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．
规范解答
解：设x＝a＋bi (a，b ∈R)，
则y＝a－bi，x＋y＝2a，x y＝a2＋b2， [3分]
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， [5分]
根据复数相等得， [7分]
解得或或或. [9分]
故所求复数为
或或或. [12分]批阅笔记:(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．
(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
3．要记住一些常用的结果，如i、－＋i的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度．
失误与防范
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．
3．两个虚数不能比较大小．
4．利用复数相等a＋bi＝c＋d i列方程时，注意a，b，c，d ∈R的前提条件．
5．z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.
§10.5 数系的扩充与复数的引入
A组　专项基础训练
一、选择题
1． i为虚数单位，＋＋＋等于 (　　)
A．0 B．2i C．－2i D．4i
2．若复数(a ∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为 (　　)
A．2 B．4 C．－6 D．6
3．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则复数在复平面内对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
4．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1＋z2为纯虚数，则实数a的值为________．
5．已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝___________________________________
6．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
7．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．
三、解答题
8．已知复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，根据以下要求求实数m的值或范围：
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数；
(3)z对应的点在复平面的第二象限．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．对任意复数z＝x＋y i(x，y ∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是 (　　)
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z| ≤|x|＋|y|
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是 (　　)
A．－11
C．a>0 D．a<－1或a>1
3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为 (　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
二、填空题
4．若复数z1＝a＋2i，z2＝1＋bi，a，b∈R，且z1＋z2与z1·z2均为纯虚数，
则＝___________.
5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若
＝x＋y，则x＋y的值是________．
6．已知复数z＝x＋y i，且|z－2|＝，则的最大值为________．
三、解答题
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
8．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
§10.5 数系的扩充与复数的引入 答案
要点梳理
1．(1)实部　虚部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0 (2)a＝c且b＝d　(3)a＝c，b＝－d
(4)x轴　y轴　实数　纯虚数　非纯虚数 (5)|z|　|a＋bi|　
2．(2)平面向量
3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－b d)＋(ad＋b c)i　
④＋i　 (2)z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
基础自测
1．2　 2.1　 3.－＋I 4．(－1,1)　 5.A
题型分类·深度剖析
例1　解　(1)由z ∈R，
得解得m＝－3.
(2)由z是虚数，得m2＋2m－3≠0，且m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)由z是纯虚数，得解得m＝0或m＝－2.
(4)由＝＋4i，
得－(m2＋2m－3)i＝＋4i，
∴
即解得m＝－1.
变式训练1　解　(1)若z为实数，
则，解得m＝－2.
(2)若z为虚数，则，解得m≠－2且m≠－3.
(3)若z为纯虚数，则，解得m＝3.
(4)若z对应的点在第二象限，
则， 即，
∴m<－3或－2例2　解　(1)原式＝＝
＝
＝＝＝－1＋i.
(2)原式＝＋1 005
＝i＋1 005＝i＋i1 005
＝i＋i4×251＋1＝i＋i＝2i.
(3)方法一　原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.
方法二　(技巧解法)
原式＝6＋＝i6＋＝－1＋i.
(4)原式＝1 004＝1 004＝·1＝－1＋i.
变式训练2　(1)　 (2)－16 (3)－－i
例3　解　(1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，∴所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，
∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.
变式训练3　(1)D　 (2)C　
A组　专项基础训练
1．A　 2.C　 3.A 4．－3 5．－2i 6. 7．2
8．解　(1)由
得　∴m＝3.
(2)由　得m＝－1或－2.
(3)由　得
∴－1B专项能力提升
1．D　 2．A　 3.D 4．－＋I 5．5　 6.
7．解　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a ∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
8．解　设z＝x＋y i (x、y ∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴(z＋a i)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由于(z＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴，解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
专题十 算法初步、推理与证明及复数综合测试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，
考试时间60分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知全集U＝R，AU，如果命题：∈A∪B，则命题“非”是 （ ）
A．非： A B．非： ∈CUB
C．非： A∩B D．非： ∈（CUA）∩（CUB）
2．（2012新课标）复数z=的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为 ( ）
A． B． C． D．
4．（2012新课标）如果执行右边的程序框图,输入正整
数(≥2)和实数,,,,输出,,则
( )
（　　）
A．+为,,,的和
B．为,,,的算术平均数
C．和分别为,,,中的最大数和最小数
D．和分别为,,,中的最小数和最大数
5. 为虚数单位，则=（ ）
A．- B．-1 C． D．1
6．若是关于x的实系数方程的一个复数根,则（　 　）
A．. B．.
C．. D．.
7.运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函
数是 （ ）
A． B．
C． D．
8.对任意复数，为虚数单位，
则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
9.如图所示的程序框图运行的结果是 （ ）

A． B． C． D．
10.复数在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．若实数a、b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的 （ ）
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件
12．（2012北京理）执行如图所示的程序框图,输出的S值为（　 　）
A．2 B．4 C．8 D．16

13．复数（是虚数单位）是实数，则x的值为 （ ）
A．3 B．-3 C．0 D．
14．阅读如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．0 B．
C． D．
15．用秦九韶算法求n 次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ）
A． B．n, 2n, n
C． 0, 2n, n D．0, n, n
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
16.（安徽理1）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 .
17．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1，n∈N*)时，在证明过程的第二步从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是________．
18.根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 .

19.右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_____________.
20．（2012江苏）设,(i为虚数单位),则的值为____.
21．（2012湖北理）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果__________.

22．给出如图所示的流程图，其功能是________．
23.若复数（为虚数单位），则 .
24.按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是 .
25．设N=2n（n ∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，x N依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…x N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．
（1）当N=16时，x7位于P2中的第_ __个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第_ __个位置．
专题十 算法初步、推理与证明及复数综合测试题 答案
一、选择题 DDACB DDDBA CCBBD
二、填空题
16. 2 17. 2 18. 3 19. 63 20.8 21. 9
22. 23. 24. (28,57] 25. （1）6；（2）

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