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1、椭圆定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|=2c>0)
的点的轨迹叫做椭圆.即
平面内与两定点F1、F2的距离的
复 习
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>2c>0)
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
思考：我们有什么方法来探求（画出）轨迹图形？
( |F1F2|=2c)
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
（1）2a<2c ；
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差
等于常数2a 的点的轨迹叫做双曲线.
（2）2a >0 ；
动画
的绝对值
（小于︱F1F2︱）
注意
双曲线的定义:
| |MF1|-|MF2| | = 2a
( 2a<2c)
o
F
2
F
1
M
2
1
o
F
F
M
M
射线F2M,F1M
双曲线
点M的轨迹是双曲线
若2a=2c,
若2a>2c，
点M的轨迹是两条射线
点M的轨迹不存在。
| |MF1|-|MF2| | = 2a
若2a<2c,
总结规律：（ ）
，轨迹为双曲线；
，
,
o
F
2
F
1
M
2
1
o
F
F
M
M
射线F2M,F1M
双曲线
轨迹为两条射线；
轨迹不存在．
3.列等式
4.代坐标
5.化简方程
1.建系
2.设坐标
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
探究二：双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
(x,y)
| |MF1|-|MF2| | = 2a(2a<2c)
(-c,0)
(c,0)
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a
_
标准方程的推导
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
双曲线的标准方程
练习1：写出以下双曲线的焦点坐标
(±5,0)
(0,±5)
F1 ( -c, 0)
F2 ( c, 0)
F1(0, - c)
F2(0, c)
练习2：已知双曲线
的左支上一点P到左焦点
的距离为10，则点P
到右焦点的距离为 ．
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上
一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线
的标准方程.
∵　2a = 6,　c=5
∴　a = 3, c = 5
∴　b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为：
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
解:
先定型，再定量
练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
小结
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
x2
a2
-
y2
b2
=
1
x2
y2
a2
+
b2
=1
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
y2
b2
=
1
椭 圆
双曲线
y2
x2
a2
-
b2
=
1
F（0，±c）
F（0，±c）

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