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第一讲 命题和相交线
一、教学目标
1、会写一个命题的逆命题并判断命题的真假
2、用正确的格式进行简单证明
3、理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；
4、理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；
二、知识点梳理
互逆命题定义
一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题。在互逆命题中我们规定其中一个命题为原命题，则另一个命题为原命题中的互逆命题。
注意：
任何一个命题都有逆命题；
一对互逆命题可以都是真命题，也可是都是假命题，还可以其中一个是假命题，一个是真命题。
证明
1、定义
根据已学过的基本事实定义，性质和定理等,进行有理有据的推理，这种推理的过程叫做证明。
2、证明的步骤
仔细审题，领会题意，分清条件和结论，画出与题意相符合的图形。
根据所画的图形，结合命题的条件和结论，写出已知、求证。
结合图形进行分析，探索由已知退出求证的途径，写出证明过程。
3、证明的格式：
证明的基本格式是：“因为。。。。。。（ ），所以。。。。。。（ ）。”
或“∵。。。。。。（ ），∴。。。。。。（ ）。”
逆定理定义
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也称原定理的逆定理。
注意：
每个命题都有逆命题，每个定理不一定都有逆定理。因为一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以并不是每一个定理都有逆定理。
（四）相交线
1、相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。
图1 图2 图3
2、对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。
3、对顶角的性质
对顶角相等。
4、邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
（五）垂线
1、垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
图4
如图4所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点O，则记作AB⊥CD于点O。
其中“⊥”是“垂直”的记号；是图形中“垂直”(直角)的标记。
注意：垂线的定义有以下两层含义：
（1）∵AB⊥CD（已知） （2）∵∠1＝90°（已知）
∴∠1＝90°（垂线的定义） ∴AB⊥CD（垂线的定义）
2、垂线的性质
（1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。
3、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
图5 图6
如图5所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
4、垂线的画法（工具：三角板或量角器）
5、画已知线段或射线的垂线
（1）垂足在线段或射线上；（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上
（六）“三线八角”
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线的两方，这样位
置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
典型例题
命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题。
2、“对顶角相等”的逆命题是 。
3、判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；
（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。
4、如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问∠1与∠4，∠2与∠4，∠3与∠4，各是什么角？
图（1）
5、如下图（2）
图2
（1）∠1与∠2是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。
（2）∠1与∠3是两条直线_______________与_________________被第三条直线____________________所截构成的________________角。
（3）∠3与∠4是两条直线_______________与___________________被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。
（4）∠5与∠6是两条直线_______________与_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。
6、如图所示，AB，CD，EF交于点O，∠1=20°，∠BOC=80°，求∠2的度数。
7、如图所示，，，交于点O，∠1=∠2，∠3:∠1=8:1，求∠4的度数。
四、课堂练习
1、判断下列说法的正误。
（1）对顶角相等； （2）相等的角是对顶角；
（3）邻补角互补； （4）互补的角是邻补角；
（5）同位角相等； （6）内错角相等；
（7）同旁内角互补；
（8）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
（9）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（10）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
2、下列说法正确的是（ ）
A、相等的角是对顶角
B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
3、（1）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知） ∴______ =______（ ）
（2）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知） ∴∠1=______（ ）
（3）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知） ∴∠1=______（ ）
（4）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOD=______（ ）
（5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOC=______（ ）
（6）如图（1），∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）
∴∠BOC=______（ ）
（7）如图（2），∵a⊥b（已知） ∴∠1=______（ ）
（8）如图（2），∵∠1=______（已知） ∴a⊥b（ ）
（9）如图（3），∵点C为线段AB的中点 ∴AC=______（ ）
(10) 如图（3），∵ AC=BC∴点C为线段AB的中点（ ）
4、如图5－1，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_________对，它们分别是_________，
∠AOD的邻补角是_________。
5、如图5－2，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的对顶角，与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。
6、如图5－3，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE为_________。
图5－1 图5－2 图5－3
7、如图2-44，∠1和∠4是 、 被 所截得的 角，
∠3和∠5是 、 被 所截得的 角，
∠2和∠5是 、 被 所截得的 角，
AC、BC被AB所截得的同旁内角是 。
8、如图2-45，AB、DC被BD所截得的内错角是 ，
AB、CD被AC所截是的内错角是 ，
AD、BC被BD所截得的内错角是 ，
AD、BC被AC所截得的内错角是 。
五、课后作业
1、如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )毛
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、如图1所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF等于(  )
A、150° B、180° C、210° D、120°
(1) (2) (3)
3、下列说法正确的有( )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、如图2所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为( )
A、62° B、118° C、72° D、59°
5、如图3所示,直线L1,L2,L3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( )
A、∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60° B、∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30
C、∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60° D、∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30°
6、如图4所示,AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___。
(4) (5) (6)
7、如图4所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______。
8、如图5所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______。
9、如图6所示,已知直线AB,CD相交于O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD=______。
10、对顶角的性质是______________________。
11、如图7所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____，∠2=____。
(7) (8) (9)
12、如图8所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,则
∠EOB=______________。
13、如图9所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成两部分, 且
∠BOE:∠EOD=2:3,则∠EOD=___
14、如图所示,AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE的 度数。
15、如图所示,直线AB与CD相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD的度数。
16、如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数。
O

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