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2021-2022学年北京市各区高三一模试题汇编—函数与导数
一、选择题部分
1.（2022朝阳一模第5题）已知函数若，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
解析：本题考查分段函数和分类讨论的思想。若，则，解得；若，则，解得，舍；故，答案：C.
2.（2022海淀一模第8题）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度后得到函数的图象，则不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
解析：本题考查基本初等函数的图象和图像变换。由题意的图象如图所示，故原不等式的解集为，答案：C.
3.（2022石景山一模第6题）函数的图象大致为
解析：本题考查分段函数的概念和指数函数的图象，由题意，故答案为D。
4.（2022石景山一模第9题）“”是“在上恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：在上恒成立，即在上恒成立.令，由导数知识或“对勾函数”的图像性质易得函数的值域为，故“在上恒成立”的充要条件是。所以“”是“在上恒成立”的必要不充分条件，故答案为B。
5．（2022房山一模第7题）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为
A. 2600 B. 2700 C. 26 D. 27
解析：设鲑鱼以的速度游动时的耗氧量为，静止时耗氧量为，
所以 ，即 ①， ②，则①-②得，，所以，故选D
6．（2022房山一模第8题）已知函数，则“”是“为奇函数”的
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由题，
充分性：若，则，所以是奇函数，故充分性成立；
必要性：若为奇函数，则，则，故必要性不成立，所以选A
7. （2022房山一模第3题）函数的图像与函数的图像关于轴对称，则
A. B.
C. D.
解析：因函数的图像与函数的图像关于轴对称，故，则，故选D
8. （2022房山一模第6题）已知，，，则
A. B.
C. D.
解析：因在上为增函数，所以，故；且，所以；又因在上单调递增，故，即
9.（2022丰台一模第9题） 已知函数无最小值，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
答案 D，排除法，先试a=-1,-2,1即可，画图
10.（2022东城一模第2题）下列函数中，定义域与值域均为的是
（A） （B） （C） （D）
分析：先看一下定义域的定义域是，的定义域中， 的值域为，排除（A）、（B）、（D），所以选择（C）.
11.（2022东城一模第10题）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数. 已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为
（本题取）
（A）31 （B） （C） （D）
分析：首先做好认真审题，由题意知A(0)=500, 经过10天后有2 000名用户,所以得
2000=500，，则用户超过50 000名至少经过的天数满足，由方程组
可以解得t的值，解方程组是难点，先由2000=500得到10k=，再由
得到tk=ln100，两式相除，结合换底公式可得33.3，取整得34.所以选（D）
二、填空题部分
（2022海淀一模第13题）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为 .
解析：若函数的值域为，则的值域为.因为所以要使的值域为.需使，故即可.答案：本题答案不唯一，写一个正数即可。
2.（2022石景山一模第11题）函数的定义域是_________．
解析：由题意，故该函数的定义域为．
3.（2022房山一模第14题）函数的图象在区间上连续不断，能说明“若在区间上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为___．
解析：本题考查零点存在性定理，即零点存在性定理是函数存在零点的必要条件，且适用于变号零点的判断，如果函数存在不变号零点，则不满足零点存在定理的条件，故函数只需在区间上存在不变号零点即可，例如
4.（2022海淀一模第15题）已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数； ②有无数个零点；
③的最小值为； ④的最大值为1.
其中，所有正确结论的序号为____________.
解析：对于①，，所以是偶函数，正确；对于②，令得，所以得，有无数个零点，正确；对于③，首先发现，因为，所以，故连续函数在1的“附近”单调递增，存在比1小的自变量（如）使，所以③错误；对于③，分子最大可取1，分母最小为1，当时可同时取到，所以的最大值为1， ④正确。本题答案： ①②④.
5.（2022石景山一模第15题）已知非空集合满足：，，函数对于下列结论:
① 不存在非空集合对，使得为偶函数；
② 存在唯一非空集合对，使得为奇函数；
③ 存在无穷多非空集合对，使得方程无解．
其中正确结论的序号为_________．
解析：对于①，由于无论1在A,B中的哪个集合，，但若，若，即不可能满足，所以不可能为偶函数，①正确；对于②，当或均可使为奇函数，故②错误；对于③，对于任意负数a，当均可使方程无解，故③正确。答案为①③。
6.（2022丰台一模第11题）函数的定义域是 ．
答案
7.（2022丰台一模第13题）已知函数的定义域为.能够说明“若在区间上的最大值为，则是增函数”为假命题的一个函数是 ．
答案 （答案不唯一）
8.（2022西城一模第15题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则函数至少有一个零点；
②存在实数，，使得函数无零点；
③若，则不存在实数，使得函数有三个零点；
④对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点.
其中所有正确结论的序号是_____.
答案 ①②④
9.（2022东城一模第14题）已知函数 若，则不等式的解集为_ ___；若恰有两个零点，则的取值范围为___ ___．
分析：当时，分条件解得想,，合并得到，注
意写成集合或区间形式.要使函数有两个零点，可以分类处理问题，当k时，二次函
数对称轴小于零，且，但由于，所以当时只有一个零点，结合图像
可知,时无零点，所以当k时不成立；当时，不成立；当时，二次函数对称轴大于零，当时函数单调递减且，所以当时无零点，但时，由导数可得.
三、解答题部分
1.（2022朝阳一模第19题）（本小题15分）已知，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上存在极值，求的取值范围；
（Ⅲ）设，在（Ⅱ）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．
解：（Ⅰ），
因为曲线在点处的切线与轴重合，
所以．
所以, 经检验符合题意.
（Ⅱ）①当时，，
函数在区间上单调递增，所以在区间上无极值．
所以不合题意．
②当时，令，解得．
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减．
所以当时，函数取得极大值．
令，解得．
所以的取值范围是．
（Ⅲ）由题可知，，．
则．
令，即，解得．
因为，则，所以．
当，，所以函数在区间上单调递减．
2.（2022海淀一模第19题）已知函数.
（Ⅰ）求曲线 在点处的切线的方程；
（Ⅱ）若函数在处取得极大值，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.
解：（Ⅰ）因为，所以，，
所以，所以切线为：.
（Ⅱ）.
（1）当时，，令，得，与的情况如下：
0
0
↗ ↘
此时，在处取得极大值，符合题意；
（2）当时，令，得，或.
① 当时, ,与的情况如下：
0
0 0
↗ ↘ ↗
此时，在处取得极大值，符合题意；
② 当时，，，单调递增，无极大值，不符合题意；
③ 当时, ,与的情况如下：
0 0
↗ ↘ ↗
此时，在处取得极小值，不符合题意；
（3）当时，.与的情况如下：
0 0
↘ ↗ ↘
此时，在处取得极大值，符合题意.
综上，.
（Ⅲ）.
3.（2022石景山一模第19题）设函数
（Ⅰ）若，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）当时，求证：．
（Ⅱ）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），所以．
（ⅰ），．
又，所以在点处的切线方程为
（ⅱ）令，
，
时，，在上单调递减，
所以，
所以当时，
（Ⅱ），的定义域为，
，即．
当≤0即≥时，≥，在上单调递增，
又，所以在上无零点，不合题意；
当即时有两根；
当即时，，，
此时在上单调递增，又，所以在上无零点，不合题意；
当时，此时在上无零点，不合题意；
当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，，
所以，在区间上存在唯一零点，即即可．解得．
综上，若在区间上存在唯一零点，则
4.（2022房山一模第19题）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间存在极小值，求的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，
则
所以
所以曲线在处的切线方程为 .
（Ⅱ）.
令， .
则 .
解 得.与的变化情况如下：
极小值
所以函数在区间上的最小值为
方法1：①当时， 所以恒成立， 即恒成立，
所以函数在区间上是增函数，无极值，不符合要求.
②当 时，因为，
所以 存在，使得.
极小值
所以函数在区间上存在极小值，符合要求..
③当时，因为 ，
所以函数在区间上无极值.
取，则.
所以存在，使得
易知，为函数在区间上的极大值点.
所以函数在区间上有极大值，无极小值，不符合要求.
综上，实数的取值范围是.
方法2：“在区间上存在极小值”当且仅当“”，解得.
证明如下：
当 时，
因为 ，所以 存在，使得.
极小值
所以函数在区间上存在极小值.
所以 实数的取值范围是.
5.（2022门头沟一模第19题）已知．
（Ⅰ）当时，判断函数零点的个数；
（Ⅱ）求证: ；
（Ⅲ）若在恒成立,求的最小值．
解：（Ⅰ）当时，，单调递增，，只有一个零点；
（Ⅱ）设增，．
（Ⅲ）解法一：当时，由（Ⅱ）得，恒成立．
当时，设
．
增，，由零点定理，，所以
在上减，不恒成立，所以的最小值为．
解法二：设．
①当时，，在增，，在恒成立．
②当时，设
．
增，，由零点定理，，所以
在上减，不恒成立，所以的最小值为．
6.（2022丰台一模第20题）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
解：（Ⅰ）当时，，
所以.
令，解得.
因为，所以切点坐标为.故切线方程为.
（Ⅱ）因为，
所以
令，解得.
当时，由,得，
所以，则在定义域上是增函数.
故至多有一个零点，不合题意，舍去.
当时，随变化和的变化情况如下表：
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，取得最大值.
若时，，此时至多有一个零点；
若时，，又,
由零点存在性定理可得在区间和区间上各有一个零点，
所以函数恰有两个不同的零点，符合题意.
综上所述，的取值范围是.
7.（2022西城一模第20题）已知函数，.
（Ⅰ）当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若没有零点，求的取值范围.
解：（Ⅰ）若，则，.
①在处，，.
所以曲线在处的切线方程为.
②令，，
在区间上，，则在区间上是减函数.
又，
所以在上有唯一零点.
与的情况如下：
＋ －
极大值
所以在上有唯一极大值点.
（Ⅱ），
令，则.
①若，则，在上是增函数.
因为，，
所以恰有一个零点.
令，得.
代入，得，
解得.
所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.
②若，此时的定义域为.
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数.
所以.
又，
由题意，当，即时，无零点，符合题意.
综上，的取值范围是.
8.（2022 东城一模第19题）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
（Ⅱ）若在上有最大值，求的取值范围．
解：（Ⅰ）函数的定义域为．
由得.
则，
解得．
（Ⅱ）．令，
① 当时，，因此恒成立，
所以.
所以在上单调递减，没有最大值．
② 当时，恒成立，
所以.
所以在上单调递减，没有最大值．
③ 当时，方程的两个根为
，.
由得，且．
当时有
+
↗ 极大值 ↘
函数在处取得最大值．
综上，的取值范围为.2021-2022学年北京市各区高三一模试题汇编—函数与导数
一、选择题
1.（2022朝阳一模第5题）已知函数若，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
2.（2022海淀一模第8题）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度后得到函数的图象，则不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
3.（2022石景山一模第6题）函数的图象大致为
4.（2022石景山一模第9题）“”是“在上恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022房山一模第7题）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为
A. 2600 B. 2700 C. 26 D. 27
6．（2022房山一模第8题）已知函数，则“”是“为奇函数”的
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. （2022房山一模第3题）函数的图像与函数的图像关于轴对称，则
A. B. C. D.
8. （2022房山一模第6题）已知，，，则
A. B. C. D.
9.（2022丰台一模第9题） 已知函数无最小值，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
10.（2022东城一模第2题）下列函数中，定义域与值域均为的是
（A） （B） （C） （D）
11.（2022东城一模第10题）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数. 已知小程序发布经过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为
（本题取）
（A）31 （B） （C） （D）
二、填空题部分
（2022海淀一模第13题）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为 .
（2022石景山一模第11题）函数的定义域是_________．
3.（2022房山一模第14题）函数的图象在区间上连续不断，能说明“若在区间上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为___．
4.（2022海淀一模第15题）已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数； ②有无数个零点；
③的最小值为； ④的最大值为1.
其中，所有正确结论的序号为____________.
5.（2022石景山一模第15题）已知非空集合满足：，，函数对于下列结论:
① 不存在非空集合对，使得为偶函数；
② 存在唯一非空集合对，使得为奇函数；
③ 存在无穷多非空集合对，使得方程无解．
其中正确结论的序号为_________．
（2022丰台一模第11题）函数的定义域是 ．
7.（2022丰台一模第13题）已知函数的定义域为.能够说明“若在区间上的最大值为，则是增函数”为假命题的一个函数是 ．
8.（2022西城一模第15题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则函数至少有一个零点；
②存在实数，，使得函数无零点；
③若，则不存在实数，使得函数有三个零点；
④对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点.
其中所有正确结论的序号是_____.
9.（2022东城一模第14题）已知函数 若，则不等式的解集为_ ___；若恰有两个零点，则的取值范围为___ ___．
三、解答题部分
1.（2022朝阳一模第19题）（本小题15分）已知，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上存在极值，求的取值范围；
（Ⅲ）设，在（Ⅱ）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．
2.（2022海淀一模第19题）已知函数.
（Ⅰ）求曲线 在点处的切线的方程；
（Ⅱ）若函数在处取得极大值，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.
3.（2022石景山一模第19题）设函数
（Ⅰ）若，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）当时，求证：．
（Ⅱ）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
4.（2022房山一模第19题）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间存在极小值，求的取值范围．
5.（2022门头沟一模第19题）已知．
（Ⅰ）当时，判断函数零点的个数；
（Ⅱ）求证: ；
（Ⅲ）若在恒成立,求的最小值．
6.（2022丰台一模第20题）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
7.（2022西城一模第20题）已知函数，.
（Ⅰ）当时，
①求曲线在处的切线方程；
②求证：在上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若没有零点，求的取值范围.
8.（2022 东城一模第19题）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
（Ⅱ）若在上有最大值，求的取值范围．

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