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浙教A版九年级数学上册 第4章 达标检测卷
(限时: 120分钟 满分: 120分)
班级： 姓名： 得分：
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列各组线段中，成比例的一组是(　　)
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6
C．a＝2，b＝，c＝2 ，d＝10 D．a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10
2．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝4，CE＝2，BD＝3，则BF的长为(　　)
A．1.5 B．2 C．4.5 D．5
3．若x＝＝＝，则x＝(　　)
A．－1或 B．－1 C． D．不能确定
4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是(　　)
A．∠ADC＝∠ACB B.＝
C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD·AB
5．一根1 m长的标杆，竖直放置在地面上，影长为1.5 m，同一时刻，一棵树落在地面上的影长为12 m，则树高为(　　)
A．6 m B．8 m C．12 m D．18 m
6．有下列结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似．其中正确的结论有(　　)
A．①③⑤ B．②③⑤ C．②③④ D．①②⑤
7．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，位似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－3，－2) B．(－12，－8)
C．(－3，－2)或(3，2) D．(－12，－8)或(12，8)
8．如图，P是△ABC的边AC上一点，AB2＝AP·AC，∠A＝45°，∠ABC＝110°，则∠ABP的度数为(　　)
A．25° B．35° C．45° D．110°
9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2和x、y轴交于B、A两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C，M是线段AB上的一个动点，连结CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx＋b上，则b的最大值是(　　)
A．－ B．－ C．－1 D．0
二、填空题(每题4分，共24分)
11．若＝，则＝________．
12．如果两个相似三角形的周长比是1∶，那么它们的面积比是________．
13．已知a＝3，b＝27，则a，b的比例中项为________．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为________．
15．在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是________．
16．在Rt△ABC中，斜边AB＝9 cm，点D在AB上，且AD＝AB，若以BD为直径的半圆O在某条直角边上截得的线段长为2 cm，则直角边AC的长为________．
三、解答题(共66分)
17．(6分)已知a、b、c为△ABC的三边长，且a＋b＋c＝48，＝＝，求△ABC三边的长．
18．(6分)如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，如果AB＝9，AE＝4，AF＝3，那么FC的长是多少？
19．(6分)如图，在由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．图中△ABC为格点三角形，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转60°后得到的△AB′C′；
(2)在BC边上找一点D，连结AD，使得△ABD的面积与△ACD的面积之比是2∶1.
20．(8分)如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的平分线，且AC2＝CD·BC，求证：△ABC∽△DAC.
21．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)、A(1，2)、B(3，1)．(每个小方格的边长均为1个单位)
(1)将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1.
(2)以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2∶1.
22．(10分)如图，小宇晚上从路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为
1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小宇的身高是1.5米，求路灯AB的高度．
23．(10分)解答下列各题：
(1)【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B.求证：AC2＝AD·AB.
(2)【尝试应用】
如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点， ∠AEF＝∠D.若AE＝6，BF＝5，求CD的长．
(3)【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．
24．(12分)阅读材料：
如图1，在△ABC中，线段DE的端点D，E分别在AB和AC上，若AD·AE＝BD·CE，则称DE是△ABC的“友好分割”线段．
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)如图2，若DE是△ABC的“友好分割”线段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的长．
(2)如图3，在△ABC中，点F在BC上，FD∥AC交AB于点D，FE∥AB交AC于点E，连结DE，求证：DE是△ABC的“友好分割”线段．
(3)如图4，DE是△ABC的“友好分割”线段，延长DE交BC的延长线于点F，过点A作AG∥DE，交△ADE的外接圆于点G，连结GE，设＝x，＝y.
①求y关于x的函数表达式；
②连结BG，CG，当y＝时，求的值．
答案
一、1．B　2．C　3．A　4．B　5．B　6．D
7．C　8．A　9．C　10．A
二、11．　12．1∶3　13．±9　14．1
15．3 s或4.8 s16．3 cm或6 cm
三、17．解：设＝＝＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
又∵a＋b＋c＝48，
∴3k＋4k＋5k＝48，解得k＝4，
∴a＝12，b＝16，c＝20.
18．解：∵EF∥BC，∴＝，
∴＝，∴AC＝，
∴FC＝AC－AF＝.
19．解：(1)如图1所示；(2)如图1所示．
　
点拨：如图1，点D在BC边上，
∵△ABD与△ACD的高相同，
∴△ABD与△ACD的面积比等于底边长之比，
∴＝.
将图1中部分拆分可得图2，
∵DH∥FG∥BE，
∴CH∶HG∶GE＝CD∶DF∶FB，
又∵CH＝HG＝GE，
∴CD＝DF＝FB，∴BD＝2CD，
∴点D在BC上的位置如图1 所示．
20．证明：∵AC2＝CD·BC，
∴＝.
∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC.
21．解：(1)如图，△O1A1B1即为所求．
(2)如图，△O2A2B2和△O3A3B3即为所求．
22．解：设BC之间的距离为x米，根据题意可知GC⊥BF，HE⊥BF，AB⊥BF，∴AB∥GC∥HE，
∴△DGC∽△DAB，△FHE∽△FAB，
∴＝，＝，
即＝，＝，
∴＝，解得x＝2，
∴＝，∴AB＝4.5米，
即路灯AB的高度是4.5米．
23．(1)证明：∵∠ACD＝∠B，
∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，
∴＝，∴AC2＝AD·AB.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，
∴∠AEF＝∠D＝∠B，
又∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，
∴＝，∴AE2＝AF·AB.
设AF＝x，∵AE＝6，BF＝5，
∴AB＝5＋x，
∴62＝(5＋x)x，即x2＋5x－36＝0.解得x1＝4，x2＝－9(舍去)．
∴AF＝4，AB＝9，∴CD＝AB＝9.
(3)解：如图，延长DC、EF，交于点G.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
又∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE＝3，∠EAC＝∠G.∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠EAC＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴＝，∴DE2＝EF·EG，
又∵EG＝AC＝4EF，
∴DE2＝4EF2，∴DE＝2EF.
由△EDF∽△EGD可得＝，
∴DG＝2DF＝2×4＝8，
∴DC＝DG－CG＝8－3＝5，
∴菱形ABCD的边长为5.
24．(1)解：∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD·AE＝BO·CE.
又∵AD＝2CE，
∴BD＝2AE.
∴AD＋BD＝2(CE＋AE)，
即AB＝2AC.∴AC＝AB＝4.
(2)∵FD∥AC，∴＝.
∵FE∥AB，∴＝.
∴＝.
∴AD·AE＝BD·CE.
∴DE是△ABC的“友好分割”线段．
(3)解：①过点C作CH∥AD交DF于点H，
易证△FCH∽△FBD，△ECH∽△EAD.
∴＝，＝.
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，∴AD·AE＝BD·CE，
∴＝＝x.∴y＝＝＝·＝·＝x2.
②连结DG，
∵AG∥DE，∴∠AGD＝∠EDG.
∴＝，∴＝.
∴AD＝GE，DG＝AE.
由(3)①知＝，∴＝.
∵∠ADG＝∠AEG，∴∠BDG＝∠GEC.
∴△DBG∽△EGC.
∴＝＝＝.
由题意知x>0，
∵y＝x2，∴当y＝时，x＝.
∴＝.
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