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铅垂法求面积
【问题导入】
求下列平面直角坐标系中的三角形的面积。
【定义】
在平面直角坐标系中，我们可以把其中一边与坐标轴平行或者重合的三角形叫做规则三角形；反之，则为不规则三角形。
【解题思路】
规则三角形：直接求面积
不规则三角形：转换为规则三角形
【问题延伸】
在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积。
【分析】
用割补法进行面积转换
【步骤总结】
1求点坐标-2求水平宽-3求直线-4求铅垂高-5求面积
【动点问题探究】
【定义】
把AB两点的水平距离称为水平宽，把点C到直线AB的铅锤线段称为铅垂高。
【结论】
一 动点在定点之间
1 【例】
（2021·重庆忠县·九年级期末）如图，抛物线的图象交轴于两点，交轴于点，直线经过两点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标。
（1）；（2）最大面积为，此时P(,)
2 【练】
（2021·重庆八中九年级月考）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴交于点，若。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标。
（1）；（2）面积最大值为，
3 【练】
（2021·重庆·巴川中学校九年级月考）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时Р点的坐标。
（1）；（2）面积的最大值为，P
4 【练】
（2021·重庆·西南大学附中八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），连接BC，过点A作AD平行BC交于抛物线另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点E是直线BC下方抛物线上一点，连接EA、ED、EB，当取最大值时，求点E的坐标。
（1），（6，8）；（2）（3，）
二 动点在定点之外
1 【例】
（2021·重庆市育才中学九年级月考）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A( 1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连BC，交对称轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标。
（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面积最大值为， P（，）
2 【练】
（2021·重庆·一模）如图，抛物线交于轴于两点（点在点的左侧），且两点的横坐标分别是和2，交轴于点，且的面积为24．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若，过点作交轴于点，点是抛物线上下方的一动点，连接，求面积的最大值以及最大值时点的坐标。
（1）；（2）面积的最大值为，点P的坐标为
3 【练】
（2021·重庆八中模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中，直线与抛物线对称轴交于点C。
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接、，求面积的最大值。
（1）；（2）
4 【练】
（2021·重庆市育才中学模拟预测）如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标。
（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）
三 面积定值
（一）动点在部分抛物线
1 【例】
（2021·重庆实验外国语学校八年级期末）如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（1）10；（2）存在，P(2，6)
2 【练】
（2021·重庆·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标。
（1）；（2）
3 【练】
（2021·重庆市求精中学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值。
（1）y＝﹣x2+x+4；（2）m1＝4或m2＝
动点在全部抛物线
1 【例】
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、。
（1）求、满足的关系式及的值；
（2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）c=2，4a-2b+2=0 （2） （-1,2）、、．
2 【练】
二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点的坐标；
（2）如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标。
3 【练】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，，连接，点是抛物线上的一个动点，点是对称轴上的一个动点。
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当三角形PBC的面积为8时，求点的横坐标。
五 面积最值-平行转换
1 【例】
（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线BC的解析式为y。
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标。
（1）；（2）
2 【练】
（2021·重庆九龙坡·模拟预测）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，交轴于、两点，且抛物线的对称轴为直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）过点作直线交轴于点，点是直线上一动点，点是第一象限抛物线上一动点，求四边形面积的最大值与此时点的坐标。
（1）；（2）最大面积为，，
3 【练】
（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B，交y轴于点C。
（1）求的面积；
（2）D为抛物线的顶点，连接，点P为抛物线上点C、D之间一点，连接，，过点P作交直线于点M，连接，求四边形面积的最大值以及此时P点的坐标。
（1）3；（2）最大，
4 【练】
（2021·重庆沙坪坝·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，。
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点为该抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点，之间的任意一点，连接，，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值。
(1)y=， (2)四边形CPBE面积的最大值为4
5 【练】
（2021·重庆实验外国语学校二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x＋2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点。
（1）求直线BC的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求P点的坐标和S1﹣S2的最大值。
（1）y＝；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为（）
6 【练】
（2021·重庆八中一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图像经过点（2，3），与x轴分别交于点A、点B（-1，0），与y轴交于点C。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，过点B作BM∥AC交抛物线于点M，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PB交AC于点N，连接PM，NM，当S△PNM取得最大值时，求点P的坐标和S△PNM最大值。
（1）；（2）,最大值
7 【练】
（2021·重庆巴南育才中学校三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B （点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，2），对称轴为直线x＝﹣2。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AC，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点M．点F是直线AC下方抛物线上的一动点，连接DF交AC于点G，连接EG，求△EFG的面积的最大值以及取得最大值时点F的坐标。
（1）；（2）S△EFG最大为，F(－，－)
8 【练】
（2021·重庆八中九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象经过点和，并与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，过点A作交抛物线于点D，E为直线BC下方抛物线上的一个动点，连接DE，交线段BC于点F，连接CE，AF，求四边形ACEF面积的最大值。
（１）；（２）当时，

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