资源简介

模型1 八字模型
一.模型结论
二．模型应用
（一）角的八字模型
1.一副三角板如图摆放,其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上,边BC与DF交于点O,则∠BOD的度数是___________。
2.如图，已知D是△ABC的BC边的延长线上一点，DF⊥AB，交AB于点F，交AC于点E，∠A=56°，∠D=30°，则∠ACB的度数为_________
3.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少？
3.已知:如图,AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD.
(1)如果∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度数;
(2)求证:∠M=1/2(∠B+∠D)
边的八字模型
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
模型2 燕尾（飞镖）模型
一．模型结论
二.模型应用
（一）角的飞镖模型
1.将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度
数为__________
2.如图,是一块不规则的纸片,∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为__________
（二）边的飞镖模型
如图,在△ABC中,D、E在BC边上,且BD=CE。求证:AB+AC>AD+AE.
面积的飞镖模型
1.如图,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,连接AF,CE交于点G,若矩形ABCD的面积为3,则四边形AGCD的面积为_____________.
2.如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC边上,AD与BE交于点F,若CD=3BD,EC=4AE,四边形CDFE的面积是10,则△ABC的面积为___________.
模型3 角平分线模型
模型结论
特征 图示 结论
双内角平分线 ∠D=90°+∠A
双外角平分线 ∠D=90°-∠A
一内一外角平分线 ∠D=∠A
一内角平分线与高 ∠DAE=
角平分线与平行线 等腰三角形
模型应用
（一）双角平分线
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AE＝ ___________
第1题 第2题
2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O,D是∠ACE与∠ABC平分线的交点，若∠BOC=110°，则∠D的度数为_________
3.如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，求∠A2017的度数____________
4.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，F为射线AE上一点（不与E点重合），且FD⊥BC.
（1）若点F与点A重合，如图①，求∠EFD的度数；
（2）若点F在线段AE上（不与点A重合），如图②，求∠EFD度数；
（3）若点F在△ABC外部，如图③，此时∠EFD的度数会变化吗？是多少？
角平分线与平行
1.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为__________
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.
3.已知，在△ABC中，BP、CP为角平分线，过P点作EF//BC，交AB于E，交AC于F。求证：EF=BE+CF。
4.如图，△ABC中，M为BC边上中点，AD平分∠BAC,ME∥DA，交BA延长线于点F。
求证：（1）∠1=∠2 （2）CF=（AB+AC）
辅助线（一） 角平分线
一.辅助线做法
特征及做法 图示 结论
做法：往角两边做垂直 AP=BP，OA=OB, △APO≌△BPO
特征：在平分线上的垂直 做法：延长 △AOB为等腰三角形
做法：平行 △OQP为等腰三角形
做法：截长补短 △APO≌△BPO
模型应用
1.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°,AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为多少？
已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE上OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，如图所示.若DE＝2，则DF＝_________
第2题 第3题
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC过点C作CE⊥BC，交AD于点E，且EC平分∠BED，连接BE.若AB＝6，则CD＝__________
4.如图，在△ABC中：∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD
5.感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B十∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD=180°,∠ABD＜90°，求证：DB＝DC
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a；则AB一AC＝______（用含a的代数式表示）.
6.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积．
7.如图，已知在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是多少？
8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,AD⊥BD，∠C与∠BAD互补。若AD=，求AC的长
9.如图，点D是△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD，∠A=∠ABD，若BD=1，BC=3，求AC的长
10.如图，在△ABC中，AC=AB,CD平分∠ACB交AB于点D，若BD=4，BC=9，求AC的长
11.如图，已知∠AOB＝120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE＋OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明
模型4 全等三角形模型
一.模型结论
模型 图示
一线三等角 同侧
异侧
三垂直
手拉手
二.模型应用
1.如图，分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA
（1）求证：BE=DC
（2）求∠BOD的度数；
（3）求证：OA平分∠DOE
2.已知△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，BD的延长线交AC于点F，交CE于G
（1）求证：BD⊥CE；
（2）连接AG，求证：EG+DG=AG
3.如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110，∠BOC=∠a
△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°后得到△ADC，连接OD
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当∠a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
4.如图①，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC,AD=AE，将
△ADE绕点A旋转，连接BD、CE，
（1）若∠BAC=∠DAE=35°，求证：BD=CE；
（2）连接BE，当点D在线段BE上时。
①如图②，若∠BAC=∠DAE=60°，则∠BEC的度数为线段BD与CE之间的数量关系是_____________
②如图③，若∠BAC=∠DAE=90°，AM为△ADE中DE边上的高，请判断∠BEC的度数及线段AM,BE,CE之间的数量关系并说明理由.
5.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC, AB=BC,E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由
辅助线（二） 全等三角形
辅助线做法
模型 做法 图示
倍长中线 延长中线，做倍长
截长补短 长边上截取短边长
延长短边等于长边
半角模型 旋转半角一侧三角形 等腰直角三角形 等边三角形 菱形 正方形
反向手拉手 做等腰三角形的对称
二.模型应用
1.问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是:延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决面请回答:
（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是:_______
（2）AD的取值范围是____________；
方法运用:
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证:BF＝AC
（4）如图3，在矩形ABCD中AB/BC＝1/2，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EF/BE＝1/2，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证:EG＝CG
2.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证:CE＋CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由
3.（1）问题背景:如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________
（2）探索延伸:
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD上述结论是否仍然成立？并说明理由.
4.在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BE,CD，点M是CD的中点，连接AM.
（1）观察猜想：如图①，当点B,A,E在一条直线上时，线段AM与BE的数量关系是，位置关系是_______________
（2）探究证明：当Rt△ABC和Rt△ADE的位置如图②所示时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展延伸：将题中条件“AB=AC,AD=AE”改为“∠ABC=∠AED=30”，其他条件不变，如图③，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AE=2，AB=6.请直接写出AM的取值范围。
5.如图,在四边形ABCD中,AB=AD, ∠BAD=90°,点E,F分别在BC,CD上, ∠EAF=45°.
如图①,当 ∠B和 ∠ADC都是直角时,将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合, 判断线段BE、DF和EF之间的数量关系,并证明;
如图2.若将(1)中条件改为∠B和∠D均不为直角,且
∠B+∠D=180°时,(1)中的结论是否依然成立 若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)如图③,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,若BD=1,求 DE的长.
6.如图,在△ABC中,点D,E均在边BC上,点D在点E左侧.
若∠BAC=90°,AB=AC,且∠DAE =45°. 求证:BD2+CE2=DE2;
(2)若∠BAC = 60°, AB = AC =5,且∠DAE = 30°,当BD =1 时,求线段CE的长.
7.【问题提出】
(1)如图①,在边长为10的等边△ABC中,点D在边BC上,BD=6,连接AD,△ACD的面积为__________
【问题探究】
(2)如图2,已知在边长为6的正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在边CD上,且∠EAF=45°.若 EF=5,求△AEF 的面积;
【问题解决】
(3)如图③是某座城市延康大道的一部分,因自来水抢修需在AB=4 m,AD=6 m的矩形ABCD区域内 开挖一个△AEF的工作面,其中点E、F分别在BC、CD边上(不与点B、C、D重合),且∠EAF=45°,为了减少对该路段的拥堵影响,要求△AEF面积最小,那么是否存在一个面积最小的△AEF 若存在,请求出△AEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.
8.如图①，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD,EC,BD相交于点G，与AD相交于点F,AF=AB.
（1）若AB=1，求AE的长；
（2）如图②，连接AG，求证：EG-DG=AG.
9.如图①，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，BE=CE，点G在线段CD上，CG=CA,GF=DE，∠AFG=∠CDE.
（1）填空：与∠CAG相等的角是____________
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）如图②，若∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACD，求值
10.如图①，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别是边BC、CD上一点，且∠EAF＝60°，连接AC，EF
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）如图②，连接BD，分别交AE，AC，AF于点M，O，N，已知AB＝6，BM＝.
①求AM的长； ②求△AMN的面积
辅助线（三） 等腰三角形
辅助线做法
做法 图示 结论
三线合一 AD三线合一
平行 △BEG为等腰三角形
倍长腰 △BDC为直角三角形
模型应用
1.如图,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,D为边AC的中点,E,F 分别为AB,BC边上的点,且DE ⊥DF,连接EF,若AE=4, FC=3, 求EF的长.
2.如图,在矩形ABCD中,E是CB延长线上一点,且CE=AC,F是AE的中点,求证:BF⊥DF.
3.如图，△ADE和△ABC是两个全等的含30°,60°的直角三角形,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.求证:△EMC为等腰直角三角形.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于点D. 求证:DE=DF.
辅助线（四） 中点
辅助线做法
模型 做法或特点 图示
倍长中线 延长中线，做倍长
构造中线 特点：等腰、等边或直角三角形 做法:①等腰、等边底边中线 ②直角：斜边中线
中位线 ①连接中点 ②做平行
垂直平分线 构造等腰三角形
垂径定理 特点:圆内弦中点 做法:①从圆心做垂直 ②连接半径
二.模型应用
1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P、Q分别是AD、BC、BD,AC的中点.求证:MN与PQ互相垂直平分.
2.如图,ABCD的对角线AC与BD交于点0,且AD=3,AB=5,在AB延长线上取一点E,使BE=AB, 连接OE交BC于点F,求BF的长.
3.在等腰△ABC中,AC=BC,△ADE 是直角三角形,∠DAE=90°,∠ADE=∠ACB,连接BD,BE,点F是BD的中点,连接 CF.
当∠CAB=45°时.
①如图1,当顶点D在边AC上时,请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是___________,线段BE与线段CF的数量关系是__________
②如图2,当顶点D在边AB上时,(1)中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
学生经过讨论,探究出以下解决问题的思路,仅供大家参考: 思路一:作等腰△ABC底边上的高CM,并取BE的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题;
思路二:取DE的中点G,连接AG,CG,并把△CAG绕点C逆时针旋转90°,再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题.
当∠CAB=30°时,如图3,当顶点D在边AC上时,写出线段BE与线段 CF的数量关系,并说明理由
4.（1）操作发现:如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是________；位置关系是______________
（2）类比思考:
如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由
（3）深入研究:
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明
5.如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为边作正方形 DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接CM.
请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系;
把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E,G恰好分别落在线段AD,CD上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由;
若DG=,AB=4.
①把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段 CD上,连接EM,如图3,其他条件不变,计算EM的长度;
②若把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周,请直接写出EM的最大值.
6.如图，有ABCD中。点M为边AD的中点。过点C作CE⊥AB于点E，连接ME.MC，求证：∠EMC=2∠AEM.
模型五 相似三角形模型
模型结论
模型 图示 结论
一线三等角 APC∽BPD
射影定理 ABC∽DBA∽DAC
手拉手相似 ADB∽AEC
半角模型 ABN∽MAN∽MCA ABD∽CAE∽CBA
模型应用
1.如图，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，沿AE折叠
△ADE，使得点D落在BC边上的点F处，若AF=10，且CE=CF，则矩形ABCD的周长为____________
第1题 第2题
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AD=6,BD=12
则CD=______，AC=_______,AB:AC=_______
如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,求证:△ABP∽△PCD.
3.如图,在Rt△ABC 和Rt △ADE中, ∠ABC=∠ADE =90°,∠ ACB = ∠AED,点C,E,D在同一直线上,且AC=2AE,AB=3.
求AD的长;
(2)若sin∠CAE=,求点D到AB的距离.
4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是边BC上一点，BF⊥AE于点F，连接OF.
（1）求证：△AOF∽△AEC；
（2）若AB=6，CE=2BE，求AF的长
5.如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是BC的中点，连接DE，作∠DEF=45°，交CA的延长线于点F，已知∠B=∠C=45°，连接DF.
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）若BD=2，CF=25，求DF的长
6.如图，△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，D是AB上任意一点， AE⊥CD交CD延长线于E,BF⊥CD于F.求证：EF=BF-AE
7.在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，GE⊥EF，若AG=2，BF=3，求GF的长
辅助线（五） 相似三角形
辅助线做法
做法 特征及做法
平行 特征：已知比例关系
构造一线三等角 特征：已知一直角 一线上两个相等角
二.模型应用
1.如图，在Rt△AOB中为坐标原点，∠AOB＝90°，∠B＝30°，如果点A在反比例函数y=（x＞0）的图象与运动，那么点B在函数____________(填函数解析式）的图象上运动
2.如图,△ABC是等边三角形,点D、B、C、E在同一条直线上,若∠DAE=120°,求证: △DAB∽△AEC.
3.在ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=60°，点E是AB边上一点，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，且∠EFD=60°，求AE的值
4.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q
（1）tan∠ACB＝____________
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，PQ/PB的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，求PC的长
5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E,F分别在BC,CD上, 若AE=,∠EAF=45°,求AF的长.
辅助线(六) 搭建三角形
辅助线做法
注：该辅助线应用于将不在同一三角形中的边或角转移到同一三角形内
特征 做法
已知等腰、等边三角形 构造手拉手模型
已知等腰或正方形等相等边 旋转
已知等腰 平行
二.模型应用
1.如图，P为等边三角形ABC内的一点且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为多少？
2.如图,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为2, ,4,则正方形ABCD的面积为
3.如图,在四边形ABCD中, AD = 4, CD = 3, ∠ABC = ∠ACB = ∠ADC=45°,求BD的长.
4.如图,正方形ABCD中,AB=2,E是BC边的中点,点F是正方形内一动点,EF=2,连接DF,将线段DF绕点D逆时针旋转90°得DG,连接AF,CG,EG,则线段EG长度的最小值为_________
5.如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE=EC，过点D作DF∥AB交AE于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC.
6.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过点M作MP∥AD交AC于点P.求证：AB+AP=PC.
7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,AF=EF，求证：AC=BE.
8.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,求证:CD=AB+BD.
模型六 四边形模型
模型结论
模型 图示 结论
十字架模型 正方形中：①若AE⊥BF,则AE=BF ②若AE=BF,则AE ⊥BF 长方形：相似
内对角互补模型 特点：往两边做垂直
模型应用
1.在△ABC中，∠BAC为锐角，AB>AC,AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）如图①，若△ABC是等腰直角三角形，判断线段AC,CD,AB之间的数量关系并说明理由;
（2）BC的垂直平分线交AD的延长线于点E，交BC于点F，连接CE、BE.
①如图②，若∠ABE=60°，判断AC,CE,AB之间有怎样的数量关系并加以证明;
2如图③，若AC+AB=AE，求∠BAC的度数
如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，∠A=6O°，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE相交于点F.求证：EF=FD.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝3，D为BC边上的中点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，求BF的长
4.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE与对角线BD交于点M，过点M作的AE垂线分别交AB、CD于点F、G，连接AG交BD于点N.
（1）求证：AE＝FG；
（2）求证：BF＋BE＝BM；
（3）若AD＝4，G是边CD的中点，求△DMG的面积
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，点P为对角线AC上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD交直线AB于点E.
（I）如图①，当点E在线段AB上时，∠PDA和∠PEB的数量关系为_______________PE与DP的数量关系为____________；
（2）如图②，当点E在BA的延长线上时，连接DE，若PE＝2，求DE的长；
（3）如图③，当点E在AB上时，过点P作PM⊥AD于点M，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD.设DM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请求出y与x之间的函数关系式及y的最小值
模型七 三角函数
模型结论
模型 做法 图示
特殊角、值模型 不影响已知边或角，做直角三角形
特殊值模型 构造直角三角形 特征：有等特殊值构造相应度数的直角三角形
模型应用
1.如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,BD，使得∠ADC=45°，求证：CD=AD+BD.
2.如图,在ΔABC 中,BC=4.∠B=30°,∠BCA= 135°,求AB的长.
如图,MN是一条东西走向的海岸线.上午9:00一艘船从海岸线上的港口A处沿北偏东30方向航行,上午11:00抵达B点,然后向南偏东75°方向航行,一段时间后,该船抵达位于港口A北偏东60°方向上的C处,该船在航行中的速度均为30海里/时,求此时该船到海岸线的距离。
4.如图，△ABC和△ADE均为直角三角形，∠CAB＝∠EAD＝90°，AB＝AD，AC＝AE，ED的延长线交BC于点F，连接AF.求证：EF-CF＝AF
5.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，且AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°，求证：AD-BD＝CD.
6.如图，已知等边△ABC，D是边AB上一点连接CD，E是线段CD上
一点，连接AE，BE，且AE⊥BE，∠AED＝2∠BED，求证：CE＝BE.
7.如图，已知△ABC是⊙0的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，在∠BAC所对BC上，任取一点D，连接AD，BD，CD.求证：BD＋CD＝AD.
8.在△ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE，连接CD.若AB⊥BC，连接DE，延长AB交DE于点M,BD=，求BM的值
辅助线（七） 圆
辅助线做法
模型 做法 图示
垂径定理 特点：弦上有中点或者垂线 ①从圆心做垂直 ②连接半径
直径圆周角 构造直角三角形
切点 连接切点与圆心
转换圆周角 ①找到∠ADC所对弦AC ②连接A（C）并延长交O于点B ③连接BC(A)
三角形内切圆 连接三角形顶点与圆心
三角形外接圆 连接切点与圆心
模型应用
1.已知,如图,P是⊙O外一点,过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB,分别交⊙O于A,B,连接AC,BC
(1)求证:∠PCA＝∠PBC；
(2)利用(1)的结论,已知PA＝3,PB＝5,求PC的长
2.如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,若∠BAC＝∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由；
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB＝30°,求CE的长.
.
3.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的切线,垂足为D
(1)求证:AC平分∠BAD；
(2)若AC＝2,CD＝2,求⊙O的直径
4.如图,已知O的半径为2,弦BC的长为2,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).
(1)求∠BAC的度数; (2)求△ABC面积的最大值
5.（十堰）如图,△ABC内接于⊙O,∠ACB＝90°,∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC＝6,BD＝5,求BC的长
6.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m.
（1）求拱桥所在圆的半径；
（2）现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
7.（启东市一模）如图，已知⊙O的直径为8cm，A，B，C三点在⊙O上，且∠ACB＝30°，则AB的长为多少？
8.如图，圆内接四边形ABCD，对角线AC⊥BD，OE⊥AB于M，求证:2OE＝CD
.
9如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE＝∠ADF.若⊙O的半径为，CD＝4，则弦EF的长为多少？
10.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.若直径AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB的长.
模型八 将军饮马
模型结论
模型 图示
一动两定 同侧最小
异侧最小
同侧最大
异侧最大
一定两动
两动两定
三动点
两点一定长 同侧
异侧
二．模型应用
1.如图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AB边上一点,且AE=2, 求线段EF+CF的最小值.
2.如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,求点E坐标
3.如图,在等边△ABC中,AB=4,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,点P是AC上一动点,求BP- EP的最大值.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M,AB=12,△BMC的周长为20, 点P在直线MN上,求PA-PB的最大值.
5.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =120°,∠B=∠D=90°,AB =AD=3,点E,F分别是线段BC,DC上的动点,连接AE, AF,EF.当△AEF的周长最小时,求△AEF的面积.
6.如图,已知A(1,6),B(4,2),点M是y轴正半轴上一点,点 N是x轴正半轴上一点,连接AB,BN, MN, MA.求四边形ABNM周长的最小值为
7.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=BC=4,∠ABC=120°,M, N,P分别是AB,BC,AC上的动点,求PM+PN的最小值
8.如图,菱形ABCD的边长为3,∠BAD=60°,点E、F在对角线AC上(点E在点F的左侧),若EF=1,求DE+BF 的最小值.
模型九 主联从动（瓜豆模型）
模型结论
直线轨迹
已知：已知定点A，动点P和Q,∠PAQ=α,为定值。 点P在直线BC上运动
情况 做法 图示
∠PAQ=0 ①在BC上再找一点P1 ②连接定点A与P1 ③按=在AP1找到Q1 ④连接QQ1，即为运动轨迹
∠PAQ≠0 ①在BC上再找一点P1 ②连接定点A与P1 ③∠P1AQ1=α找到P1Q1所在直线 ④按=在P1Q1找到Q1 ⑤连接QQ1，即为运动轨迹
圆轨迹
已知：已知定点A，动点P和Q,∠PAQ=α,为定值。 点P在O上运动
情况 做法 图示
∠PAQ=0 ①连接定点A与主圆心Q ②按在AP上找到从圆心M ③连接QM,以Q为圆心，以QM为半径作M，即为运动轨迹
∠PAQ≠0 ①连接主动点A与主圆心Q ②按∠PAQ=∠OAM=α找到AM所在直线 ③按=在AP上找到从圆心M ④连接QM,以Q为圆心，以QM为半径作M，即为运动轨迹
二.模型应用
1.如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为, 坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连 接OM,则OM的最大值为_________
2.在平面直角坐标系中,已知A(2,4),P(1,0),B为y轴上的动点,以AB为边构造△ABC,使点C在x轴上,∠BAC=90°.M为BC的中点,则PM的最小值为__________
3.如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF的中点
（1）画出当点F从点E运动到点C时，点P的运动轨迹；
（2）如图②，连接PB，求PB的最小值.
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点以AD为边向右作等腰R△ADE，其中∠DAE＝90°，AD＝AE
（1）在图①中，画出当点D从点B运动到点C的过程中，点E的运动轨迹；
（2）如图②，若AB＝6，点F为AB的中点，连接EF，求EF的最小值
模型十 隐圆
模型结论
模型 特点 图示
定点定长 条件：AB为定长，A为定点，B为动点 结论：点B的运动轨迹是以点A为圆心,AB长为半径圆。
条件：OA=OB=OC 结论：点A,B,C均在O上
条件：在矩形ABCD中,点E是AB边上的定 点,点F是BC边上一点,将△BEF沿EF折叠得到△B'EF 结论:点B'的运动轨迹是以点E为圆心, BE长为半径的一段圆弧
定弦定角 条件:Rt△ABC，AB为定长∠C=90° 结论：点C在以AB为直径的⊙O上运动
条件：△ABC中，点A为动点且∠A为特殊角 结论：点A在以AB为弦， 2∠A为圆心角的圆上
等角共弦 条件:①AC为Rt△ACD和Rt△ABC的公共边 ∠ADC = ∠ABC = 90° 结论：点A, B,C,D均在以AC为直径的O上
条件:①AB为△ABC和ΔABD的公共边 ②点C、D在AB 的同侧 ③∠C=∠D 结论:A,B,C,D在同一个圆
对角互补 条件：四边形对角互补 结论：四边形四点均在圆上
二.模型应用
1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中，点。求证：EF⊥BD
2.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E，点M、N分别是BC、DE的中点，连接DE、MN
（1）猜想MN与DE的位置关系，并证明；
（2）若∠A=60°，求的值
3.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,若BD=3,DC=2,求△ABC的面积.
4.某舞台表演激光,BC=6m,从B,C两处同时发出向上的激光,交点为A.由于激光的变化,交点A也随 之发生变化,为了突出效果,在某段时间按照程序作了如下的设计:
若激光交汇处∠A=60°,求形成光区△ACB的最大面积;
当∠A=60°,且∠B=45°时,求此时激光交汇处的点A到地面舞台BC的距离.(结果保留根号)
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E在对角线AC上,连接 BE,作EF ⊥BE,垂足为点E,直线EF交线段DC于点F,求的值.
6.如图,在矩形ABCD中,点E是边AD上的点,EF⊥BE,交边CD于点F,连接CE, BF,如果tan∠ABE=,那么CE: BF=_________
如图,Rt △ABC中,AC=2,∠CAB=30°,点D和点B分别在线段AC的异侧,且∠ADC=30°,连接BD, 求BD的最大值.
8.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF的中点,连接PB,则线段PB的最小值是
模型十一 最值相关模型
模型结论
模型 做法或特征 图示
两点之间线段最短 直接连接两点
旋转：当三点共线时 原始图:E为AB中点，P是AC上动点 EP最小值
EP最大值
垂线段最短 做垂直
将军饮马 详见将军饮马模型
胡不归 特点：kAP+BP（0主联从动 详见主联从动模型
隐圆 详见隐圆模型
二次函数 列出边长，将几何题的边长转变为函数问题
费马点 特点：△ABC中有一点P使得PA+PB+PC的最小值 做法：旋转60° 额外结论： ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°
二.模型应用
1.如图,在Rt△AOB中,OB=2,∠A=30°,O的半径为1,点P是AB边上 的动点,过点P作O的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为_________
2.如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N.
（1）求证:AF＝EF；
（2）求MN＋NG的最小值；
（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE.
（1）求证:△ABC≌△BDF；
（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN＋PN的最小值
4.如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N.连接PB，在点P运动过程中，PM＋PN＋PB的最小值等于
5.在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1
（1）如图1，当点在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值
6.如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=+1,点D,E分别在边AB,AC 上,且AD=AE=1,连接DE.现将△ADE绕点A顺时针方向旋转,旋转角为 a(0°当0图3,当a=90°,延长CE交BD于点F,求证:CF垂直平分BD;
(3)在旋转过程中,求△BCD的面积的最大值,并写出此时旋转角α的度数.
7.如图，在△ABC中.AB=AC=8.tanA=.BE⊥AC于点E.点D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 ______
第7题 第8题
8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90”，BC=10，AD⊥BC于点D.点M是AD上一点，则BM+AM的最小值为_______
9.如图，已知抛物线与x轴交于点A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C（0，-3），D为抛物线的顶点.
（1）抛物线的解析式为____________________。顶点D的坐标为_________
（2）点M为y轴上的一个动点，连接AM，求 的最小值
10.(2021·淄博)两张宽为3 cm的纸条交叉重 叠成四边形ABCD,如图所示,若∠a=30°,则对角线 BD上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值是多少？

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