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第2章
匀变速直线运动
灯
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N0:20110721154226535147
明
灵据已知条件明确已知时问，利用F心
明确刹车时间
析
分析已知时间和刹车所用时间的关系
定
根据已知量和待求量，结合运动学公式求解速度变化规律
核心素养目标 新课程标准
1.通过匀变速直线运动概念提出的过程，体会物理观念和科学思维在物理教学中的作用。2．通过图像法描绘匀变速直线运动的特点和规律，体会数形结合思想的应用。3．通过应用匀变速直线运动规律解决实际问题的过程，体会物理学在研究问题中的作用 1.认识匀变速直线运动的特点。2．能根据加速度公式推导出匀变速直线运动的速度公式，并能应用解决实际问题。3．认识匀变速直线运动的v t图像，掌握其物理意义并会应用
知识点一　匀变速直线运动的特点
[情境导学]
(1)百米比赛中运动员的起跑阶段可以近似看成什么运动？
(2)“复兴号”高铁进站时的运动可近似看成什么运动？
提示：(1)匀加速直线运动。(2)匀减速直线运动。
[知识梳理]
1．匀变速直线运动
物体加速度保持不变的直线运动。
2．特点
(1)轨迹是直线。
(2)加速度的大小和方向都不改变。
3．分类
(1)匀加速直线运动：加速度和速度方向相同的匀变速直线运动，其运动的速度大小均匀增加。
(2)匀减速直线运动：加速度和速度方向相反的匀变速直线运动，其运动的速度大小均匀减小。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)加速度不变的运动就是匀变速直线运动。(×)
(2)匀变速直线运动的加速度不变。(√)
(3)速度增加的直线运动是匀加速直线运动。(×)
(4)物体的加速度与速度同向，且a恒定不变，物体一定做匀加速直线运动。(√)
2．下列有关匀变速直线运动的描述正确的是(　　)
A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动
D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量
解析：选D　匀变速直线运动有两个特点：(1)轨迹为直线；(2)加速度恒定。只有具备这两个特点，物体做的运动才是匀变速直线运动，B错误，D正确；匀变速直线运动的速度不断变化，所以速度变化量不为零，相等时间内通过的位移也不相同，A、C错误。
知识点二　匀变速直线运动的速度—时间关系
[情境导学]
如图所示，一汽车在平直的公路上做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫作初速度)，加速度为a。怎样求t时刻物体的瞬时速度vt
提示：由加速度的定义式a＝＝＝，整理得vt＝v0＋at。
[知识梳理]
1．匀变速直线运动的速度公式：vt＝v0＋at。
(1)各量的意义：vt为物体在t时刻的速度，v0为初速度，a为加速度，t为运动时间。
(2)当v0＝0时，vt＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。
2．匀变速直线运动的v t图像、a t图像
(1)v t图像：匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜的直线，如图甲所示。
(2)a t图像：如果以时间为横坐标，加速度为纵坐标，可以得到加速度随时间变化的图像，通常称为a t图像，如图乙所示。做匀变速直线运动的物体，其a t图像为平行于时间轴的直线。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)匀加速直线运动的速度方向一定是正方向。(×)
(2)匀加速直线运动的速度大小与时间成正比。(×)
(3)公式vt＝v0＋at既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。(√)
(4)匀变速直线运动的v t图像、a t图像都是倾斜直线。(×)
2．电动玩具车做匀加速直线运动，其加速度大小为2 m/s2，那么它的速度从2 m/s增加到4 m/s所需要的时间为(　　)
A．5 s　　　　　　　 B．1 s
C．2 s D．4 s
解析：选B　根据加速度的定义式，可得所需要的时间为t＝＝ s＝1 s，故选项B正确，选项A、C、D错误。
匀变速直线运动
[问题探究]
你坐在沿直线行驶的汽车中，能看到：汽车启动时，速度计的指针沿顺时针方向转动；刹车时，速度计的指针沿逆时针方向转动。
(1)如何根据此现象判断汽车的运动是不是匀变速直线运动呢？
(2)如果汽车做的是匀减速直线运动，加速度如何变化？
提示：(1)若速度计的指针随时间均匀变化，则汽车做的是匀变速直线运动；若速度计的指针随时间变化不均匀，则汽车做的不是匀变速直线运动。
(2)若汽车做匀减速直线运动，加速度不变。
[要点归纳]
匀速直线运动与匀变速直线运动
匀速直线运动 匀变速直线运动
相同点 物体都沿直线运动，即不会做曲线运动
不同点 速度不变(加速度为0)，物体一直朝一个方向匀速运动 加速度恒定，速度均匀变化，物体可能一直朝一个方向加速运动，也可能先减速到0，又反向加速运动
[例题1]　关于匀变速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．是加速度不变、速度随时间均匀变化的直线运动
B．是速度不变、加速度变化的直线运动
C．是速度随时间均匀变化、加速度也随时间均匀变化的直线运动
D．当加速度不断减小时，其速度也一定不断减小
[解析]　匀变速直线运动是速度均匀变化、加速度不变的直线运动，故A正确，B、C错误；当加速度不断减小时，若加速度与速度同向，则速度在不断增加，只是增加得越来越慢，D错误。
[答案]　A
(1)物体是否做匀变速直线运动关键看加速度是否恒定。
(2)物体加速还是减速关键是加速度和速度的方向关系。　　　　
[针对训练]
1．一辆汽车在平直的高速公路上行驶，已知在某段时间内这辆汽车的加速度方向与速度方向相同，则在这段时间内，关于该汽车的说法错误的是(　　)
A．一定做加速直线运动
B．不一定做匀加速直线运动
C．可能做匀变速直线运动
D．一定做匀变速直线运动
解析：选D　汽车的加速度方向与速度方向相同，所以汽车一定做加速直线运动，A正确；因为不能判断加速度大小是否恒定，所以不能确定汽车是否做匀变速直线运动，故B、C正确、D错误。选项D符合题意。
2．下列关于匀变速直线运动的说法正确的是(　　)
A．匀加速直线运动的加速度一定随时间增大
B．匀减速直线运动就是加速度为负值的运动
C．匀变速直线运动的速度随时间均匀变化
D．速度先减小再增大的运动一定不是匀变速直线运动
解析：选C　匀加速直线运动的速度随时间均匀增大，但加速度不变，所以A错误；加速度的正、负仅表示加速度方向与设定的正方向相同还是相反，是否是减速运动还要看速度的方向，速度与加速度反向则为减速运动，所以B错误；匀变速直线运动的速度随时间均匀变化，所以C正确；加速度恒定、初速度与加速度方向相反的匀变速直线运动中，速度就是先减小再增大的，所以D错误。
速度与时间关系的理解及应用
[问题探究]
以72 km/h的速度在平直公路上行驶的汽车，遇紧急情况而急刹车获得大小为4 m/s2的加速度。
(1)刹车过程中，汽车做什么运动？
(2)速度减为零后，汽车处于什么运动状态？
(3)刹车后6秒内汽车做什么运动？
提示：(1)匀减速直线运动。
(2)静止。
(3)1～5秒，汽车做减速直线运动，5～6秒，汽车保持静止。
[要点归纳]
1．适用范围：公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式中v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向。一般以v0的方向为正方向：
(1)匀加速直线运动中a＞0；
(2)匀减速直线运动中a＜0。
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，vt＝v0(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，vt＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。
4．应用速度公式vt＝v0＋at解题的思路
(1)选取研究对象和过程。
(2)画出运动草图，标上已知量。
(3)选定正方向，判断各量的正、负，利用vt＝v0＋at由已知条件求解，最后指明所求量的方向。
[例题2]　汽车以45 km/h的速度匀速行驶。
(1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s末速度能达到多少？
(2)若汽车刹车以0.6 m/s2的加速度减速，则10 s末速度能达到多少？
(3)若汽车刹车以3 m/s2的加速度减速，则10 s末速度为多少？
[解析]　(1)初速度v0＝45 km/h＝12.5 m/s，加速度a1＝0.6 m/s2，时间t1＝10 s,10 s末汽车的速度为
v1＝v0＋a1t1＝(12.5＋0.6×10)m/s＝18.5 m/s。
(2)汽车匀减速运动，a2＝－0.6 m/s2，减速到停止的时间t＝＝ s≈20.83 s＞10 s。
所以10 s末汽车的速度为
v2＝v0＋a2t2＝(12.5－0.6×10)m/s＝6.5 m/s。
(3)汽车刹车所用时间t3＝＝ s＜10 s。
所以10 s末汽车已经刹车完毕，则10 s末汽车速度为0。
[答案]　(1)18.5 m/s　(2)6.5 m/s　(3)0
解决刹车类问题的基本思路
　　　　
[针对训练]
1．(多选)在运用公式v＝v0＋at时，关于各个物理量的符号，下列说法正确的是(　　)
A．必须规定正方向，式中的v、v0、a才能取正、负号
B．在任何情况下a＞0表示做匀加速运动，a＜0表示做匀减速运动
C．习惯上总是规定物体开始运动的方向为正方向，a>0表示做匀加速运动，a<0表示做匀减速运动
D．v的方向总是与v0的方向相同
解析：选AC　应用公式v＝v0＋at解题时首先要规定正方向，规定了正方向后，v、v0、a等物理量就可以用带有正负号的数值表示，选项A正确；物体是否做加速运动并非看a的正负，而是要看速度与加速度的方向关系，因正方向的规定是任意的，故a<0的运动也可以是匀加速运动，选项B错误，选项C正确；显然可往复的直线运动中的v的方向并不总是与v0的方向相同，选项D错误。
2．一物体做匀变速直线运动，初速度为15 m/s，方向向东，第5 s末的速度为10 m/s，方向向西，则物体开始向西运动的时刻为(　　)
A．第2 s初　　　　　　 B．第4 s初
C．第9 s初 D．第15 s末
解析：选B　若规定末速度的方向为正方向，则v0＝－15 m/s，vt＝10 m/s，根据vt＝v0＋at得a＝5 m/s2。设经过时间t1，物体的速度减为0，根据0＝v0＋at1得t1＝3 s，显然选项B正确。
3.磁悬浮列车由静止开始加速出站，加速度为0.6 m/s2，2 min 后列车速度为多大？列车匀速运动时速度为432 km/h，如果以0.8 m/s2的加速度减速进站，减速160 s时速度为多大？
解析：取列车开始运动方向为正方向，列车初速度v1＝0，则列车2 min后的速度v＝v1＋a1t1＝(0＋0.6×2×60)m/s＝72 m/s
当列车减速进站时a2＝－0.8 m/s2
初速度v2＝432 km/h＝120 m/s
从开始刹车到速度为0的时间
t2＝＝ s＝150 s
所以160 s时列车已经停止运动，速度为0。
答案：72 m/s　0
匀变速直线运动的速度—时间图像
[问题探究]
四个物体运动的v t图像如图所示。
(1)它们分别做什么运动？
(2)匀加速直线运动的v t图像斜率一定为正值吗？匀减速直线运动的v t图像斜率一定为负值吗？
提示：(1)甲做匀速直线运动；乙做匀加速直线运动；丙做匀减速直线运动；丁做反向匀加速直线运动。
(2)不一定；不一定。
[要点归纳]
1．直线运动的v t图像
(1)匀速直线运动的v t图像
匀速直线运动的v t图像是一条平行于时间轴的直线。如图所示，从图像中可以直接读出甲、乙速度的大小和方向。
(2)匀变速直线运动的v t图像
匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜的直线。如图所示：
①直线a为匀加速直线运动的图像。
②直线b为匀减速直线运动的图像。
③直线c表示0～t1时间内做匀减速直线运动，t1时刻后反向做匀加速直线运动，由于加速度不变，整个运动过程是(有往复的)匀变速直线运动。
2．由v t图像能获得的信息
图线上某点的纵坐标 正、负 表示瞬时速度的方向
绝对值 表示瞬时速度的大小
图线的斜率 正、负 表示加速度的方向
绝对值 表示加速度的大小
图线与坐标轴的交点 纵截距 表示初速度
横截距 表示开始运动或速度为零的时刻
图线的拐点 表示加速度改变
两图线的交点 表示对应时刻速度相等
[例题3]　甲、乙两质点的v t图像如图所示，由图像可知(　　)
A．t＝0时刻，甲的速度大
B．甲、乙两质点都做匀加速直线运动
C．相等时间内乙的速度改变大
D．在5 s末以前甲质点速度大
[解析]　从题图中可看出乙的纵截距大，表明t＝0时刻，乙的速度大，故选项A错误；由于甲、乙都是倾斜的直线，且甲的斜率比乙的大，表明甲、乙都做匀加速直线运动，且甲的加速度大，即相等时间内甲的速度改变大，故选项B正确，选项C错误；在5 s末之前，任一时刻甲的速度小于乙的速度，故选项D错误。
[答案]　B
应用v t图像的三点提醒
(1)v t图像只能描述直线运动，反映了速度v随时间t变化的规律，并非物体的运动轨迹，如图所示，图线1、2、3、4都表示直线运动。
(2)当v t图像为穿过t轴的直线时，物体的运动方向即速度方向发生了变化，但加速度的大小和方向都不变，即物体先做匀减速直线运动，速度减小为零后反向做匀加速直线运动，全程为有往复的匀变速直线运动，如图线2、3所示。
(3)v t图像向上倾斜时加速度为“正”，如图线1、2所示；向下倾斜时加速度为“负”，如图线3、4所示。但不能据此判断物体做加速运动还是减速运动，关键还是看加速度的方向与速度的方向之间的关系，或者根据v t图像判断速度在增大还是减小。　　　　
[针对训练]
1.(多选)2020年2月21日我国海军第33批护航编队执行护航任务，在亚丁湾索马里海盗的几艘快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国海军发射爆震弹成功将其驱逐。假如其中一艘海盗快艇在海面上的速度—时间图像如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s
B．海盗快艇在66 s末开始调头逃离
C．海盗快艇在0～66 s做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．海盗快艇在96～116 s内做匀减速直线运动
解析：选AC　从v t图像上得知海盗快艇行驶的最大速度为15 m/s，在0～66 s内v t图像的斜率逐渐减小，故加速度逐渐减小，但速度仍在增大，选项A、C正确；在66 s末海盗快艇速度方向没变，速度大小减小，选项B错误；在96～116 s内海盗快艇调头做匀加速直线运动，选项D错误。
2．(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v t图像如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4 s末
C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
解析：选BC　由题图知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，A错误，C正确；t＝1 s和t＝4 s时，甲、乙两物体速度相同，B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向，选项D错误。
3．(多选)甲、乙两物体在同一直线上做匀变速直线运动的速度—时间图像如图所示，由此可知(　　)
A．甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1
B．在t＝4 s时，两者的瞬时速度大小相等
C．甲和乙的加速度方向相同，大小之比为3∶1
D．甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1
解析：选AD　甲的初速度为3 m/s，乙的初速度为1 m/s，因此甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1，选项A正确；在t＝2 s时，两者的瞬时速度相同，大小都为2 m/s，选项B错误；甲沿正方向做匀减速直线运动，乙沿正方向做匀加速直线运动，甲的加速度为－0.5 m/s2，乙的加速度为0.5 m/s2，因此甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1，选项C错误，选项D正确。
1．(多选)一辆电车做直线运动，速度vt随时间t变化的函数关系为vt＝(0.3t＋5)m/s，则下列说法正确的是(　　)
A．电车做匀速直线运动
B．电车的速度变化率大小是0.3 m/s2
C．电车做匀变速直线运动
D．电车的初速度为5 m/s
解析：选BCD　电车做直线运动，由vt＝(0.3t＋5)m/s对照速度公式vt＝v0＋at，知电车做匀变速直线运动，v0＝5 m/s，加速度a＝0.3 m/s2，则速度的变化率大小为0.3 m/s2，故A错误，B、C、D正确。
2．“歼 20”飞机在第11届中国国际航空航天博览会上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一代隐身战斗机首次公开亮相。在某次短距离起飞过程中，战机只用了10 s就从静止加速到起飞速度288 km/h，假设战机在起飞过程中做匀加速直线运动，则它的加速度大小为(　　)
A．28.8 m/s2　　　　　　 B．10 m/s2
C．8 m/s2 D．2 m/s2
解析：选C　飞机末速度vt＝288 km/h＝80 m/s，飞机做初速度为零的匀加速直线运动，根据公式vt＝v0＋at，可知vt＝at，即a＝＝ m/s2＝8 m/s2，选项C正确。
3.如图所示为某质点的v t图像，下列说法正确的是(　　)
A．在0～6 s内，质点做匀变速直线运动
B．在6～10 s内，质点处于静止状态
C．在4 s末，质点向相反方向运动
D．在t＝12 s末，质点的加速度为－1 m/s2
解析：选D　由v t图像的斜率表示加速度可知，质点在0～4 s内做加速度为1.5 m/s2的匀加速直线运动，在4～6 s内做加速度为－1 m/s2的匀减速直线运动，在0～6 s内加速度发生变化，故不能说质点做匀变速直线运动；质点在6～10 s内做匀速直线运动；在0～14 s内图线始终在t轴上方，故质点的运动方向不变；质点在10～14 s内做加速度为－1 m/s2的匀减速直线运动。综上所述只有D选项正确。
4．汽车以54 km/h的速度在水平公路上匀速行驶。
(1)若汽车从计时起点开始以大小为0.5 m/s2的加速度加速，则10 s时速度能达到多大？
(2)若汽车从计时起点开始以大小为3 m/s2的加速度减速刹车，则3 s时速度为多大？6 s时速度为多大？
解析：v0＝54 km/h＝15 m/s，取初速度方向为正方向。
(1)由v＝v0＋at得10 s时速度大小为
v1＝(15＋0.5×10)m/s＝20 m/s。
(2)设历时t0汽车停下，t0＝＝ s＝5 s
由v＝v0＋at得3 s时速度大小为
v2＝[15＋(－3)×3]m/s＝6 m/s
因为t＝6 s＞t0＝5 s，故6 s时速度为0。
答案：(1)20 m/s　(2)6 m/s　0
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第2章
匀变速直线运动
灯
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N0:20110721154226535147位移变化规律
核心素养目标 新课程标准
1.通过匀变速直线运动位移公式的推导，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。2．通过速度与位移关系的推导，体会数学推理作用的重要性。3．通过匀变速直线运动规律在实际问题中的应用，感悟物理与生活的关系 1.知道v t图像中图线与t轴所围“面积”与物体位移的关系。2．会应用匀变速直线运动的v t图像推导匀变速直线运动的位移公式。3．知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式的推导。4．会应用匀变速直线运动的位移公式解决实际问题
知识点一　匀变速直线运动的位移—时间关系
[情境导学]
如图所示为匀速直线运动的v t图像，图像中的v t图线与对应的时间轴所包围的矩形的(阴影部分)“面积”有什么意义？
提示：表示物体在0～t1时间内的位移。
[知识梳理]
1．匀速直线运动的位移
(1)位移公式：s＝vt。
(2)v t图像：是一条与时间轴平行的直线。
(3)匀速直线运动的位移等于v t图像中的图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积，如图所示。
2．匀变速直线运动的位移
(1)位移在v t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v t图像中的图线和时间轴包围的“面积”。如图所示，在0～t时间内的位移大小等于梯形的“面积”。
(2)位移公式：s＝v0t＋at2，式中v0表示初速度，s表示物体在时间t内运动的位移。
3．匀变速直线运动的位移—时间图像
(1)s t图像
根据匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋at2，可画出位移—时间图像，如图所示，图线为通过原点的抛物线的一部分。
(2)位移—时间图像描述的是物体的位移与时间的关系，它并不表示物体运动的轨迹。因为匀变速直线运动的位移与时间的平方成正比，所以在s t图像中图线不是直线。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)匀变速直线运动的位移与时间的平方成正比。(×)
(2)位移公式s＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。(×)
(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(×)
(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(√)
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为(　　)
A．4 m/s　4 m　　　　　 B．2 m/s　4 m
C．4 m/s　2 m D．2 m/s　2 m
解析：选A　由匀变速直线运动规律s＝v0t＋at2和v＝v0＋at，得s2＝×2×22 m＝4 m，v＝2×2 m/s＝4 m/s，则A正确，B、C、D错误。
知识点二　匀变速直线运动的位移—速度关系
[情境导学]
某城市的交通部门规定，交通繁忙路段机动车辆的速度限制在25 km/h以内，并要求驾驶员必须保持至少5 m的车距。一旦发生交通事故，我们会看到交警测量有关距离(如图)，其中非常重要的是刹车距离。你知道测量刹车距离的目的吗？
提示：测量刹车距离，由公式v－v＝2as即可算出汽车刹车前的速度，从而判断汽车是否超速。
[知识梳理]
1．公式推导：已知匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at①
匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋at2②
联立①②式消去t可得v－v＝2as。
2．位移—速度(s v)关系式：v－v＝2as。
3．特点
已知量和未知量都不涉及时间。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)公式v－v＝2as适用于任何直线运动。(×)
(2)物体的末速度越大，则位移越大。(×)
(3)对匀减速直线运动，公式v－v＝2as中的a必须取负值。(×)
(4)由公式v－v＝2as知，位移s的大小由v0、vt、a共同决定。(√)
2.某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s 增加到10 m/s时位移为s。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是(　　)
A.s　　　　　　　　　　 B.s
C．2s D．3s
解析：选B　由公式v－v＝2as，得＝＝，所以B选项正确。
匀变速直线运动位移—时间关系的理解
　　[问题探究]
在匀速直线运动中，物体运动速度不变，其位移s＝vt，可用其v t图像与t轴所围矩形的面积表示位移。在匀变速直线运动中，物体运动速度是变化的。
(1)我们如何将变化的速度转化为不变的速度？用解决不变速度的方法来解决变化速度的问题。
(2)如何计算某段时间内匀变速直线运动的位移？
提示：(1)把匀变速直线运动的v t图像分成无数小段(如图)，每一小段上速度的变化几乎为零，可看作匀速直线运动。
(2)由于每小段可看作匀速直线运动，这样就可以将v t图像与t轴围成的面积看作物体在这段时间内运动的位移，然后将各段v t图像与t轴所围面积相加，就可求出这段时间内匀变速直线运动的总位移。
[要点归纳]
1．公式中各个量的意义
2．适用条件：匀变速直线运动。
3．矢量性：公式s＝v0t＋at2为矢量式，其中的s、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。
一般选初速度v0的方向为正方向。
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值
若位移的计算结果为正值 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反
4．两种特殊形式
(1)当a＝0时，s＝v0t——匀速直线运动的位移公式。
(2)当v0＝0时，s＝at2——由静止开始的匀加速直线运动的位移公式。
[例题1]　“十一黄金周”我国实施高速公路免费通行，全国许多高速公路车流量明显增加，京沪、京港澳、广深等一些干线高速公路的热点路段出现了拥堵。一小汽车以v＝24 m/s 的速度行驶，由于前方堵车，刹车后做匀减速运动，在2 s末速度减为零，求这个过程中的位移大小和加速度的大小。
[解析]　由匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at，可得a＝＝ m/s2＝－12 m/s2，位移大小s＝v0t＋at2＝24×2 m－×12×22 m＝24 m。
[答案]　24 m　12 m/s2
应用位移公式解题的一般步骤
(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。　　　　
[针对训练]
1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是(　　)
A．6 m　　　　　　　　 B．8 m
C．4 m D．1.6 m
解析：选A　根据速度公式v1＝at，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2。第1 s末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移s2＝v1t＋at2＝4×1 m＋×4×12 m＝6 m，故A正确。
2．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为(　　)
A．1∶1 B．3∶4
C．3∶1 D．4∶3
解析：选B　汽车的刹车时间t0＝ s＝4 s，故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为s1＝v0t1＋at＝20×2 m＋×(－5)×22 m＝30 m，s2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m，s1∶s2＝3∶4，B正确。
3．一辆以v0＝90 km/h的速度做匀速运动的汽车，司机发现前方的障碍物后立即刹车，刹车过程可看成匀减速运动，加速度大小为2.5 m/s2，从刹车开始计时，求：
(1)t＝4 s时的速度大小；
(2)汽车运动120 m所用的时间；
(3)前15 s内汽车的位移大小。
解析：(1)由题意得v0＝90 km/h＝25 m/s，由于汽车做匀减速运动，所以a＝－2.5 m/s2，
当t＝4 s时，
可得vt＝v0＋at＝15 m/s。
(2)设刹车时间为t0，则0＝v0＋at0
解得t0＝10 s
由s＝v0t＋at2，当s＝120 m时
解得t＝8 s或t＝12 s＞10 s(舍)。
(3)t0＝10 s＜15 s
故15 s时车已停下，前15 s内的位移为
s＝－＝125 m。
答案：(1)15 m/s　(2)8 s　(3)125 m
位移—速度公式的理解及应用
[问题探究]
如图所示，狙击步枪射击时，若把子弹在枪筒中的运动看作是匀加速直线运动，假设枪筒长s，子弹的加速度为a。
(1)若求子弹射出枪口时的速度有几种方法？
(2)采用哪种方法更简捷，为什么？
提示：(1)方法一：由s＝v0t＋at2求出时间t，再由vt＝v0＋at求出射出时的速度。
方法二：根据位移s与速度v的关系式v－v＝2as，可得vt＝。
(2)此问题中，并不知道时间t，时间只是一个中间量，可用一个不含时间的公式v－v＝2as直接解决。所以方法二更简捷。
[要点归纳]
对公式v－v＝2as的理解
公式意义 速度与位移的关系
适用范围 匀变速直线运动
优点 该式不涉及时间，研究的问题中若不涉及时间，利用该式求解更加方便
矢量性 其中的s、vt、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。若选初速度v0的方向为正方向：(1)物体做匀加速直线运动，a取正值；(2)物体做匀减速直线运动，a取负值
两种特殊形式 (1)当v0＝0时，v＝2as——初速度为零的匀加速直线运动；(2)当vt＝0时，－v＝2as——末速度为零的匀减速直线运动
[例题2]　2019年12月17日，我国首艘国产航母“山东舰”服役，中国海军迎来“双航母”时代。军事专家预测中国的下一艘国产航空母舰上将使用弹射系统。已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该舰身长至少应为多少？
[解析]　(1)根据公式v－v＝2as
得v0＝＝30 m/s。
(2)不装弹射系统时，v＝2aL
解得L＝＝250 m。
[答案]　(1)30 m/s　(2)250 m
[针对训练]
1．如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶18 m时的速度为(　　)
A．8 m/s B．12 m/s
C．10 m/s D．14 m/s
解析：选C　由v－v＝2as和v0＝8 m/s、a＝1 m/s2、s＝18 m，得出vt＝10 m/s，故C正确。
2．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆的刹车加速度是15 m/s2，该路段限速为60 km/h，则该车(　　)
A．超速　　　　　　　 B．不超速
C．是否超速无法判断 D．行驶速度刚好是60 km/h
解析：选A　该车辆的末速度为零，由v－v＝2as，可计算出初速度v0＝＝ m/s＝30 m/s＝108 km/h＞60 km/h，该车严重超速，选项A正确。
3．列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为(　　)
A．3v2－v1 B．3v2＋v1
C. D.
解析：选C　由v－v＝2as得v－v＝2a·2l，v－v＝2a·3l，故v3＝ ，选项C正确，选项A、B、D错误。
应用v t图像的“面积”求物体的位移
在v t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示物体的位移。所以已知v t图像求位移时采用“面积”法计算，可以快速解题。
[例题3]　某一物体做直线运动的v t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移；
(3)前4 s内物体通过的路程。
[思路点拨]
(1)t＝1 s时物体速度最大，t＝3 s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大。
(2)利用v t图像求位移一般采用“面积”法计算，即计算v t图像中图线与时间轴所围成的面积。
[解析]　(1)物体距出发点的最远距离
sm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m。
(2)前4 s内的位移
s＝s1＋s2＝v1t1＋v2t2
＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m。
(3)前4 s内通过的路程
L＝s1＋|s2|＝v1t1＋
＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。
[答案]　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
利用v t图像的“面积”求位移的几点提醒
(1)v t图像与t轴所围成“面积”的绝对值表示位移的大小。
(2)“面积”在t轴以上表示位移沿正方向，取正值；在t轴以下表示位移沿负方向，取负值。
(3)物体的总位移等于各部分位移(正、负“面积”)的代数和。
(4)物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。　　　　
[针对训练]
1．(多选)某物体运动的v t图像如图所示，根据图像可知，该物体(　　)
A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2
B．4 s末质点运动方向改变
C．在0到6 s末的时间内，位移为7.5 m
D．在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m
解析：选AD　在0到2 s末的时间内，物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A正确；4 s末质点速度方向未发生改变，B错误；0～5 s内物体的位移等于t轴上的梯形面积，s1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2) ×2×2＋2×2＋×1×2)) m＝7 m, 5～6 s内物体的位移等于t轴下的三角形面积，s2＝－m＝－0.5 m，故0～6 s内物体的位移s＝s1＋s2＝6.5 m，C错误，D正确。
2．(多选)我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验，从水面开始竖直下潜，最后返回水面，其v t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．0～4 min和6～10 min两时间段平均速度大小相等
B．全过程中的最大加速度为0.025 m/s2
C．3～4 min和6～8 min加速度方向相反
D．本次下潜的最大深度为360 m
解析：选AD　根据v t图像与横轴围成的面积表示位移，则0～4 min内的位移大小s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m,6～10 min内位移大小 s′＝×3.0×240 m＝360 m，可知，0～4 min和6～10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；第1 s内加速度最大，大小为a＝＝ m/s2≈0.033 m/s2，故B错误；v t图线的斜率的符号反映加速度的方向，可知3～4 min和6～8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t＝4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度s＝×(120＋240)×2.0 m＝360 m，故D正确。
3.一质点的v t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s内的位移。
解析：位移大小等于v t图像与时间(t)轴所围成的面积。在前2 s内的位移s1＝2×5× m＝5 m，在后2 s内的位移s2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，所以质点在前4 s内的位移s＝s1＋s2＝5 m－5 m＝0。
答案：5 m　0
物理模型探究两类匀减速直线运动
两类运动 轨迹特点 技巧点拨
刹车类问题 (最后状态) 可看成反向的初速度为零的匀加速运动
双向可逆类 (转折状态) 如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后返回，这类运动可对全程列式，注意s、vt、a等矢量的正负号
[示例1]　飞机着陆做匀减速直线运动可获得大小为a＝6 m/s2的加速度，飞机着陆时的速度为v0＝60 m/s，求它着陆后t＝12 s内滑行的距离。
[解析]　设飞机从着陆到停止所需时间为t0，由速度公式vt＝v0－at0，得t0＝10 s。
可见，飞机在t＝12 s内的前10 s内做匀减速直线运动，后2 s内保持静止。
所以有s＝v0t0－at＝300 m或s＝＝300 m。
[答案]　300 m
(1)本题的易错点在于不考虑“刹车”的实际情况，盲目套用位移公式s＝v0t－at2，将t＝12 s直接代入得到s＝288 m。
(2)解答该类问题时应先计算出物体停止运动实际需要的时间，才能判断给定时间内物体的运动情况。　　　　
[示例2]　如图所示，小球以6 m/s的速度由足够长的光滑斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2 m/s2。分别求出经过2 s、3 s、4 s、6 s、8 s小球的位移。(提示：小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不变)
[解析]　以小球的初速度方向，即沿斜面向上为正方向，则小球的加速度沿斜面向下，为负值。将t2＝2 s，t3＝3 s，t4＝4 s，t6＝6 s，t8＝8 s代入s＝v0t＋at2，解得s2＝8 m，s3＝9 m，s4＝8 m，s6＝0，s8＝－16 m。
[答案]　8 m　9 m　8 m　0　－16 m　其中负号表示小球位移沿斜面向下
1．关于公式s＝，下列说法正确的是(　　)
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、s同时为负值的情况
解析：选B　公式s＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、s就会同时为负值，选项D错误。
2．一物体的位移与时间的关系式为s＝6t－2t2＋5(m)，那么它的初速度和加速度分别是(　　)
A．4 m/s, 6 m/s2　　　　　 B．6 m/s, 4m/s2
C．6 m/s，－4 m/s2 D．－4 m/s, 6 m/s2
解析：选C　将关系式s＝6t－2t2＋5(m)和位移公式s＝v0t＋at2进行对比，可知物体的初速度v0＝6 m/s，加速度为－4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。
3．一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则(　　)
A．物体的加速度为2 m/s2
B．4 s内的平均速度为6 m/s
C．4 s末的瞬时速度为6 m/s
D．第1 s内的位移为1.5 m
解析：选C　物体做匀加速直线运动的位移时间关系x＝v0t＋at2，解得a＝1 m/s2，故A错误；平均速度为＝＝4 m/s，故B错误；由速度时间公式可得v＝v0＋at＝6 m/s，故C正确；第1 s内的位移为x1＝v0t1＋at＝2.5 m，故D错误。
4．随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违规事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。
解析：(1)设货车刹车时的速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为vt，刹车距离为s，根据匀变速直线运动的位移与速度的关系式得s＝
代入数据，得超载时s1＝45 m
不超载时s2＝22.5 m。
(2)超载货车与轿车碰撞时，由v－v＝－2as知
相撞时货车的速度vt＝＝ m/s＝10 m/s。
答案：(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s
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第2章
匀变速直线运动
灯
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N0:20110721154226535147实验中的误差和有效数字
核心素养目标 新课程标准
1.通过实验误差的学习，了解误差产生的原因，培养科学探究、实事求是的科学态度。2．通过有效数字的学习，培养科学探究的习惯，养成严谨认真、尊重科学的态度 1.认识误差问题在实验中的重要性。了解误差的概念。2．知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差。3．能在实验中分析误差的主要来源。4．知道有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果
知识点一　科学测量中的误差
[情境导学]
春天到了，某校园的迎春花开了。小梅想了解迎春花的大体尺寸，她捡了一朵掉落的迎春花，测量两花瓣顶端相隔的距离。分析导致测量误差的原因可能有哪些？
提示：导致误差的原因有两方面，一是刻度尺刻度不会完全准确、刻度尺未完全测量到两花瓣顶端等因素会带来系统误差，二是读数存在偶然误差。
[知识梳理]
1．绝对误差和相对误差
(1)绝对误差
①定义：绝对误差是测量值与真实值之差。
②表达式：绝对误差＝|测量值－真实值|，即Δx＝x－a。
③物理意义：表示测量值与真实值的偏离程度。
(2)相对误差
①定义：相对误差等于绝对误差与真实值的比值，常用百分数表示，也叫百分误差。
②表达式：δ＝×100%。
③物理意义：它反映了实验结果的精确程度，可以比较不同测量结果的可靠程度。
2．系统误差与偶然误差
(1)系统误差
①定义：由于测量原理不完善或仪器本身缺陷等造成的误差。
②特点：测量结果总是偏大，或者总是偏小。
③减小误差的方法：根据具体的测量情况，找出产生系统误差的主要原因，采用适当措施降低它的影响。
(2)偶然误差
①定义：对同一物理量进行多次测量时，由于各种偶然因素而产生的误差。
②特点：测量结果时而偏大，时而偏小。
③减小误差的方法：采用多次测量取平均值的方法减小偶然误差。
[初试小题]
1. 判断正误。
(1)用毫米刻度尺测量物体长度，毫米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差是偶然误差。(√)
(2)改进实验方法，认真操作，可以消除误差。(×)
(3)多次测量，反复求平均值，总能够消除误差。(×)
(4)系统误差的特点是测量值比真实值总是偏大或总是偏小。(√)
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．偶然误差是不可避免的
B．多次测量求平均值可以减小偶然误差
C．相对误差反映实验结果的可靠程度
D．选用更精密的仪器可以避免系统误差
解析：选ABC　误差是不可避免的，A正确，D错误；多次测量求平均值可减小偶然误差，B正确；相对误差反映实验结果的可靠程度，C正确。
知识点二　科学测量中的有效数字
[情境导学]
如图所示，木板的长度记录为10.4 cm，还是记录为10.40 cm
提示：10.40 cm，因为精确度为0.1 cm，需估读至下一位。
[知识梳理]
1．有效数字：能反映被测量大小的带有一位估读数字的全部数字叫有效数字。
2．可靠数字：通过直接读取获得的准确数字。
3．估读数字：通过估读获得的数字称为存疑数字，也称为估读数字。
4．有效数字的位数：从一个数的左侧第一个非零的数字起，到末位数字止所有的数字。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)测出一个物体长为123.6 cm，采用的测量工具的最小刻度是1厘米(√)
(2)0.92 cm与0.920 cm含义是一样的(×)
(3)0.092 3、0.092 30、2.014 0有效数字的位数依次为3位、4位和5位。(√)
2．下列几个数据中，有效数字位数最小的是(　　)
A．1.0×105　　　　　　　 B．2.3×103
C．2.35 D．5×106
解析：选D　科学计数法中，决定有效数字位数的是前面的数字，与乘方项无关。
对误差的理解
　　[问题探究]
两名同学用刻度尺分别测量不同长度的两个物体，测量值分别为85.73 cm和1.28 cm，绝对误差都是0.1 mm，问题：哪个同学测量得更精确？ 为什么？
提示：两同学测量结果的绝对误差都为0.1 mm，但前者误差是测量值的0.01%，后者误差是测量值的0.78%，所以测量值为85.73 cm的同学测量得更精确。
[要点归纳]
1．误差的绝对性：误差是不可避免的，只能想办法减小，不能消除。
2．误差分类
(1)从误差来源分类
系统误差 偶然误差
产生原因 仪器结构缺陷；实验方法不完善 由偶然因素造成的
基本特点 多次重复测量的结果总是大于(或小于)被测量的真实值，呈现单一倾向 当多次重复同一测量，偏大和偏小的机会比较接近
减小方法 改进实验原理和方法，选用更精密的仪器 多次测量取平均值
(2)从分析数据分类
相对误差 绝对误差
计算公式 相对误差＝ 绝对误差＝|测量值－真实值|
意义 反映实验结果的可靠程度 反映测量值偏离真实值的大小
[例题1]　关于实验误差，以下说法正确的是(　　)
A．测量值与被测物理量的真实值之间的差异叫误差
B．偶然误差是由实验仪器缺陷而造成的误差
C．实验时可以采用多次测量取平均值的方法来减小系统误差
D．在相同的条件下为了提高测量的准确度，应考虑尽量减小绝对误差
[解析]　误差实际就是测量结果和实际结果之间的差异，A正确；偶然误差是由读数不准或环境因素造成的误差，B错误；实验时可以采用多次测量取平均值的方法来减小偶然误差，C错误；在相同的条件下为了提高测量的准确度，应考虑尽量减小相对误差，D错误。
[答案]　A
[针对训练]
1．(多选)以下关于误差的说法中，正确的是(　　)
A．在实验中，选用更高级别标准的仪器进行测量，可以消除测量误差
B．绝对误差和相对误差一样，都是具有大小、正负和单位的数值
C．绝对误差不能正确反映测量的可靠程度和准确程度
D．相对误差越小，测量结果的可靠性越大
解析：选CD　在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，不同时间所测得的结果不一定完全相同，即存在误差，选项A错误；根据绝对误差与相对误差的定义可知，绝对误差具有大小、正负和单位，而相对误差没有单位，只是一个百分数，选项B错误；绝对误差反映测量值偏离真实值的大小，不能反映测量的可靠程度和准确程度，选项C正确；相对误差是绝对误差与真实值的百分比，显然百分比越小，测量结果就越准确可靠，选项D正确。
2．(多选)以下关于系统误差的说法正确的是(　　)
A．由于选用测量仪器不精密而产生的误差是系统误差
B．系统误差偏大、偏小的机会相同
C．可以通过多次测量取平均值的方法来减小系统误差
D．可以通过校准仪器、改进实验方法、设计更完善的实验方案等方式减小系统误差
解析：选AD　系统误差是由仪器本身不够精密、所选实验方法粗略或者实验原理、实验方案不完善等造成的，在进行多次测量时，误差总会同样偏大或偏小，所以不能用多次测量求平均值的方法来减小系统误差，只能从产生误差的原因方面分析，采用相应的改进措施来减小系统误差。综上所述，选项A、D正确，选项B、C错误。
3．某同学用量程为3 V的电压表和量程为0.6 A的电流表测量一阻值为10 Ω的电阻，共测了四次，测量结果依次为9.74 Ω、9.68 Ω、9.80 Ω和9.76 Ω，求：
(1)这个同学的测量值多大；
(2)相对误差和绝对误差分别多大。
解析：(1)测量值为
R测＝ Ω≈9.75 Ω。
(2)绝对误差ΔR＝|R测－R真|＝0.25 Ω
相对误差δ＝×100%＝2.5%。
答案：(1)9.75 Ω　(2)2.5%　0.25 Ω
对有效数字的理解
[问题探究]
某物体的长度在14 cm和15 cm之间。
(1)若用最小分度为毫米的刻度尺测量该物体的长度，记录数据应用几位有效数字？
(2)若用最小分度为厘米的刻度尺测量该物体的长度，记录数据应用几位有效数字？
提示：对于直接测量结果来说，有效数字的位数由被测量的值和所用测量仪器的最小分度决定。一般情况下，读数要读到最小分度的后一位。因此，(1)用毫米刻度尺测量时，记录的有效数字是4位；(2)用厘米刻度尺测量时，记录的有效数字是3位。
[要点归纳]
1．有效数字的位数反映了测量的相对误差(如称量某物体的质量是0.518 0 g，表示该物体质量是0.518 0±0.000 1，其相对误差为0.02%，如果少取一位有效数字，表示该物体的质量是0.518±0.001，其相对误差为0.2%)。
2．有效数字的位数与量的使用单位无关。(如称得某物的质量是12 g，两位有效数字，若以mg为单位时，应记为1.2×104 mg，而不应记为12 000 mg。)
3．数字前的零不是有效数字(0.025)，起定位作用；数字后的零都是有效数字(120、0.500 0)。
4．若被舍弃的第一位大于5，则其前一位数字加1(如28.264 5，取三位有效数字为28.3)；若被舍弃的第一位小于5，则舍弃。
5．科学记数法
数据过大或过小时，可以用科学计数法。如36 500 km，如果第3位数5已不可靠时，应记作3.65×104 km；如果是在第4位数不可靠时，应记作3.650×104 km。又如数据为0.000 032 5 m，使用科学记数法写成3.25×10－5 m。
[例题2]　在测量长度的实验中某同学的测量结果为8.246 cm，请问该同学用的测量工具可能是(　　)
A．毫米刻度尺
B．精度为0.1 mm的测量工具
C．精度为0.01 mm的测量工具
D．精度为0.02 mm的测量工具
[解析]　测量结果为8.246 cm，最后的一位0.006 cm是估读的，所以采用的测量工具的最小刻度是0.01 cm＝0.1 mm，故B正确，A、C、D错误。
[答案]　B
[针对训练]
1.某同学用毫米刻度尺测量一物体的长度，如图所示，下述记录结果正确的是(　　)
A．3 cm　　　　　　　　 B．30 mm
C．3.00 cm D．0.03 m
解析：选C　刻度尺的最小分度为1 mm，需再估读一位数字，所以记录的数据应读到毫米的十分位。
2．(多选)以下测量值中，有五位有效数字的是(　　)
A．50.007 mm B．0.005 014 m
C．50.140 mm D．5.014×103 dm
解析：选AC　有效数字位数的判定是从左边第一位非零数字起到末位数字的个数，数值中末位的零与非零数字之间的零都是有效数字，第一位非零数字左边的零是无效数字，所以50.007 mm是五位有效数字，0.005 014 m是四位有效数字，50.140 mm是五位有效数字，5.014×103 dm是四位有效数字，综上所述，选项A、C正确，选项B、D错误。
3．(多选)下列数字中是三位有效数字的有(　　)
A．0.03 B．3.00
C．1.03×104 D．1.03×10－3
解析：选BCD　有效数字的位数是从左边第一个不为0的数字开始算起，到末尾数字为止的数字的个数，科学计数法表示的有效数字仅仅与前面的数字有关。0.03的有效数字是1位，故A错误；3.00的有效数字是3位，故B正确；1.06×104的有效数字是3位，故C正确；1.03×10－3的有效数字是3位，故D正确。
1．下列关于误差的说法中正确的是(　　)
A．认真细致的测量可以避免误差
B．测量时未遵守操作规则会引起偶然误差
C．测量时的错误就是误差太大
D．测量中错误是可以避免的，而误差也是可以避免的
解析：选B　误差与测量的人、测量工具、测量环境有关，因此，任何测量中的误差是不可避免的，只能努力减小误差，不可能消除误差，则A、D错误；错误与误差是两个不同的概念，则C错误；测量时未遵守操作规则产生的误差是偶然误差，则B正确。
2．关于测量误差、有效数字的问题，下列说法中正确的是(　　)
A．若仔细地多测量几次，就能避免误差
B．系统误差的特点是测量值比真实值总是偏大或总是偏小
C．3.20 cm,0.032 cm,3.20×102 cm的有效数字位数相同
D．要减小系统误差就得多次测量取平均值
解析：选B　在实验过程中，由于受所用仪器和测量方法的限制，测量值和真实值会有差异，这就是误差，误差和错误不同，作为误差来说不可避免，只能尽量减小，系统误差的特点是测量值比真实值总是偏大或总是偏小，在实际中经常用多次测量求平均值的办法来减小偶然误差，但是由系统的原因造成的误差只能通过使用更精密的仪器或者改进实验方法来减小，故B正确，A、D错误；3.20 cm和3.20×102 cm有三位有效数字，0.032 cm有两位有效数字，故C错误。
3．用毫米刻度尺测量一物体的直径，下列数据中正确的是(　　)
A．21.4 cm　　　　　　　 B．21.420 cm
C．21 cm D．21.42 cm
解析：选D　最小刻度为1 mm的刻度尺测量的数据若用cm作单位，小数点后面有两位，则D正确。
4.某同学用毫米刻度尺测量一物体的长度，如图所示，下述记录四次结果：2.99 cm,3.00 cm,2.99 cm,2.98 cm，下列说法中不正确的是(　　)
A．该刻度尺的最小刻度是1 mm
B．物体的真实值是2.99 cm
C．测量结果为3.00 cm的绝对误差是0.01 cm
D．本次测量的相对误差为0.32 %
解析：选D　刻度尺的最小分度为mm，再估读一位数字，所以记录数据应到毫米的十分位上，A正确；物体的真实值是上述四次的测量值的平均值，B正确；Δx＝x－a＝3.00 cm－2.99 cm＝0.01 cm，C正确；相对误差δ＝×100%＝0.334 %，则D错误。
5．如图所示，用塑料毫米刻度尺测量某一矩形工件的长度时，有如下操作：
A．刻度尺与被测工件平行时有偏差
B．测量时，刻度尺的刻度线紧贴被测工件时有偏差
C．刻度尺的“0”刻度线处有磨损
D．读数时视线正对刻度线时有偏差
E．刻度尺的“0”点与被测工件起点对齐有偏差
F．读数时估读有偏差
G．测量时因工件过热将塑料刻度尺烤弯
(1)以上误差中，属于系统误差的是________；
(2)以上误差中，属于偶然误差的是________。
解析：(1)当“0”刻度线处有磨损时，无法使“0”刻度线与被测起点重合，故C是系统误差；塑料刻度尺被工件烤变形，无法使刻度尺紧贴工件或与工件平行，故G也是系统误差。
(2)A、B、D、E、F都是因各种偶然因素而产生的误差，故为偶然误差。
答案：(1)C、G　(2)A、B、D、E、F
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8(共33张PPT)
第2章
匀变速直线运动
灯
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y
B S
E
E
b
d
e
0
元
甲
乙科学测量：做直线运动物体的瞬时速度
一、实验目的
1．学习使用打点计时器。
2．测量小车的瞬时速度。
3．判断沿斜面下滑的小车是否做匀变速直线运动。
4．能利用实验数据作出v t图像并会求加速度。
二、实验原理
1．运动时间和位移的记录
(1)应用打点计时器记录运动的时间和位移
①纸带记录的信息
打点计时器打出的点迹记录了物体运动的时间和位移信息。
②两种打点计时器的比较
电火花打点计时器 电磁打点计时器
结构图示
工作电压 220 V交流电 4～6 V交流电
打点方式 周期性产生电火花 振针周期性上下振动
打点周期 0.02 s 0.02 s
打点原理 电火花激发碳粉打点 振针挤压纸带打点
阻力大小 阻力较小 阻力较大
记录信息 位移、时间
(2)应用频闪照相法记录物体运动的时间和位移
①频闪灯每隔相等的时间曝光一次，当物体运动时利用照相机可以拍下物体每隔相等的时间到达的位置。频闪照相法与打点计时器使用的效果一样，都是既记录了物体的位移又记录了运动的时间，只不过打点计时器用点表示了物体的位置，频闪照相法得到的是物体像的位置。
②频闪照相法与打点计时器法的比较
频闪照相法与打点计时器法相比，频闪灯的闪光频率相当于打点计时器交变电源的频率；频闪照片上相同的时间间隔的影像则与打点计时器在纸带上打出的点相当。频闪照片既记录了物体运动的时间信息，又记录了物体运动的位移信息。通过对照片的研究，就可以分析物体运动的速度变化规律。
2．瞬时速度的计算
小车下滑过程中打点计时器打出的纸带如图所示，在纸带上，选取便于测量的某点作为计时的起点，记为0，依次向后每5个点选取一个计数点，分别记为1,2,3，…，用刻度尺量出相邻计数点间的长度，分别记为s1，s2，s3，…。
(1)若打点计时器的工作周期为0.02 s，那么相邻计数点间隔的时间T＝5×0.02 s＝0.1 s。
(2)在间隔时间很短的情况下，平均速度可近似视为瞬时速度。各计数点对应的瞬时速度可近似用平均速度来代替，即v1＝，v2＝，…，vn＝。
3．判断物体是否做匀变速直线运动的方法
(1)利用v t图像判断物体是否做匀变速直线运动。
(2)利用Δs＝s2－s1＝s3－s2＝…＝sn－sn－1＝aT2判断物体是否做匀变速直线运动。
4．加速度的计算
(1)应用v t图像的斜率求加速度。
(2)逐差法求加速度。
以如图所示的纸带为例：
根据s4－s1＝(s4－s3)＋(s3－s2)＋(s2－s1)＝3a1T2。同理有s5－s2＝3a2T2，s6－s3＝3a3T2，求出a1＝，a2＝，a3＝，再算出a1，a2，a3的平均值，即所求加速度a＝＝＝。
三、实验器材
电磁打点计时器(或电火花打点计时器)、纸带、低压交流电源(或220 V交流电源)、小车、U形夹、长木板(或轨道)、毫米刻度尺。
四、实验步骤
1．将打点计时器固定在长木板的一端，并用垫片垫高此端，使木板倾斜。
2．将长60 cm左右的纸带一端穿过打点计时器，另一端固定于小车，尽量让小车靠近打点计时器。
3．闭合电路开关，稍后释放小车，待小车滑到斜面底端时止住小车，关闭开关，取下纸带，检查点迹。
4．选择一条点迹最清晰的纸带，舍掉开头一些过于密集的点，找一适当的点记为点0。在该点后面，依次标出间隔时间相等的计数点1,2,3,4,5，…。
5．根据打点计时器的周期，计算各计数点到0点对应的时间t，测量各计数点与下一相邻计数点间的距离s，并将数据填入设计好的表格中。
五、数据分析
1．表格法
计数点 0 1 2 3 4 5 6
时间t/s
s/m
v/(m·s－1)
(1)利用vn＝，求得计数点1,2,3,4，…的瞬时速度，填入上面的表格中。
(2)根据表格的数据，分析小车速度随时间怎样变化。
2．图像法
(1)在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标系中描点。
(2)画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在直线的两侧，偏差比较大的点忽略，如图所示。
(3)观察所得到的直线，分析小车的速度随时间变化的规律。
六、误差分析
误差 产生原因 减小方法
偶然误差 ①纸带上计数点间距离的测量不准确②作出的v t图像并非一条直线 ①多次测量求平均值②大多数点在图线上，不在图线上的点尽可能均匀分布在图线两侧
系统误差 ①小车、纸带运动过程中有摩擦②电源的不稳定性 ①使用电火花打点计时器②使用稳压电源
七、注意事项
1．实验中长木板不宜垫得过高，以免加速度过大而使纸带上的点太少；也不宜垫得过低，以免加速度太小而使各段位移差别不大。
2．开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器。
3．先接通电源，等打点稳定后，再释放小车。
4．取下纸带前，先断开电源。
5．选取一条点迹清晰的纸带，适当舍弃点迹密集的部分，选取适当的计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚所选的时间间隔T的数值。
6．在坐标纸上画v t图像时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图像尽量占满坐标纸。
实验原理与操作
　　[例题1]　(1)在做用打点计时器测速度的实验时，要用到打点计时器，打点计时器是一种计时仪器，其电源频率为50 Hz，常用的“电磁打点计时器”使用的电压是________ V的________(填“直流电”或“交流电”)，它每隔________ s打一个点。
(2)接通打点计时器电源和让纸带开始运动，这两个操作之间的时间顺序关系是________。
A．先接通电源，再让纸带运动
B．先让纸带运动，再接通电源
C．让纸带运动的同时接通电源
D．先让纸带运动或先接通电源都可以
(3)用打点计时器测定物体的速度，当电源频率低于50 Hz时，如果仍按50 Hz的时间间隔打一个点计算，则测出的速度数值将比物体的真实数值________。
[解析]　(1)电磁打点计时器的工作电压是6 V以下的交流电，一般是4～6 V。打点周期为交流电的频率的倒数，当电源的频率是50 Hz时，打点周期是0.02 s。
(2)使用打点计时器时，应先接通电源让打点计时器工作，再让纸带运动，使打点计时器在上面打出点迹，故A项正确。
(3)当交流电的频率低于50 Hz时，打点计时器打一次点的时间间隔T将大于0.02 s，利用公式v＝计算时，T取0.02 s时Δt比真实值偏小，因此测出的速度将比真实值偏大。
[答案]　(1)4～6　交流电　0.02　(2)A　(3)偏大
数据处理与分析
　　[例题2]　在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，如图(甲)所示为一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点(A点为第一个点)，相邻计数点间的时间间隔T＝0.1 s。
(1)根据_____________________________________________________________________
________________________计算各点的瞬时速度，则vD＝________m/s，vC＝________m/s，vB＝________m/s。
(2)在如图(乙)所示坐标系中画出小车的v t图线，并根据图线求出a＝________。
(3)将图线延长与纵轴相交，交点的物理意义是_______________________________
________________________________________________________________________。
[解析]　(1)若时间较短，那么这段时间内的平均速度可以代替中间时刻的瞬时速度。
D点的瞬时速度
vD＝＝＝3.90 m/s
C点的瞬时速度
vC＝＝＝2.64 m/s
B点的瞬时速度
vB＝＝＝1.38 m/s。
(2)由上述数据描点，画出小车的v t图线如图所示，
由图线的斜率可求得它的加速度大小
a＝＝＝12.6 m/s2。
(3)将图线延长后，与纵轴的交点表示零时刻小车经过A点的速度大小。
[答案]　(1)某段较短时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度　3.90　2.64　1.38
(2)图线见解析　12.6 m/s2
(3)表示小车经过A点的速度大小
实验拓展与创新
[例题3]　在做“测量直线运动物体的瞬时速度”的实验中，打点计时器接在50 Hz的低压交变电源上，某同学在打出的纸带上每5点取一个计数点，共取了A、B、C、D、E、F六个计数点(每相邻两个计数点间的四个点未画出)，如图甲所示。从每一个计数点处将纸带剪开分成五段(分别为a、b、c、d、e段)，将这五段纸带由短到长紧靠但不重叠地粘在xOy坐标系中，如图乙所示，由此可以得到一条表示v t关系的图线，从而求出加速度的大小。
(1)请你在xOy坐标系中用最简洁的方法作出能表示v t关系的图线(作答在图上)，其________(填“x”或“y”)轴相当于v轴。
(2)从第一个计数点开始计时，为求出0.15 s时刻的瞬时速度，需要测出________段纸带的长度。
(3)若测得a段纸带的长度为2.0 cm，e段纸带的长度为10.0 cm，则可求出加速度的大小为________m/s2。
[解析]　(1)分别取a、b、c、d、e五段的上方中点，并连线，得到的即为v t图线，如图所示，y轴相当于v轴。
(2)t＝0.15 s是BC时间段的中间时刻，要求t＝0.15 s时的瞬时速度，只需要测b段纸带的长度sb，然后用＝即可求出t＝0.15 s时的速度。
(3)a、e段各自中间时刻的速度分别为va＝，ve＝，根据a＝，得a＝2 m/s2。
[答案]　(1)图见解析　y　(2)b　(3)2
1．用打点计时器可测纸带运动的时间和位移。下面是没有按操作顺序写的不完整的实验步骤，按照你对实验的理解，在各步骤空白处填上适当的内容，然后按实际操作的合理顺序，将各步骤的字母代号按顺序写在空白处。
A．在电磁打点计时器的两接线柱上分别接上导线，导线的另一端分别接在低压__________(填“交流”或“直流”)电源的两个接线柱上。
B．把电磁打点计时器固定在桌子上，让纸带穿过__________，并压在__________下面。
C．用刻度尺测量从计时开始点到最后一个点间的距离Δs。
D．切断电源，取下纸带，如果共有n个清晰的点，则这段纸带记录的时间Δt＝__________。
E．打开电源开关，再用手水平地拉动纸带，纸带上打下一系列小点。
F．利用公式v＝计算纸带运动的平均速度。
实验步骤的合理顺序是____________。
解析：A项中电磁打点计时器应使用低压交流电源；B项中应将纸带穿过电磁打点计时器的限位孔，并压在复写纸的下方；D项中纸带上记录的时间Δt＝(n－1)×0.02 s。合理的实验步骤为BAEDCF。
答案：交流　限位孔　复写纸　(n－1)×0.02 s　BAEDCF
2．一小球在桌面上从静止开始做加速直线运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下小球每次曝光的位置，并将小球的位置编号。如图甲所示，1位置恰为小球刚开始运动的瞬间，作为零时刻。摄影机连续两次曝光的时间间隔均相同，小球从1位置到6位置的运动过程中经过各位置的速度分别为v1＝0，v2＝0.06 m/s，v3＝________m/s，v4＝0.18 m/s，v5＝________m/s。在图乙所示的坐标纸上作出小球的速度—时间图像(保留描点痕迹)。
解析：如题图所示，s1＋s2＝0.06 m，而v2＝＝0.06 m/s，故T＝0.5 s，
则v3＝＝ m/s＝0.12 m/s；
v5＝＝ m/s＝0.24 m/s。
其v t图像如图所示。
答案：0.12　0.24　图见解析
3．为了测定气垫导轨上滑块的加速度大小，在滑块上安装了宽度为L＝3.0 cm的遮光板，如图所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的设备记录了遮光板通过光电门1的时间Δt1＝0.30 s，通过光电门2的时间Δt2＝0.10 s，遮光板从开始遮住光电门1到开始遮住光电门2的时间间隔为Δt＝3.0 s，则滑块的加速度为多大？(计算结果保留两位有效数字)
解析：遮光板通过光电门1的速度v1＝＝ m/s＝0.10 m/s，遮光板通过光电门2的速度v2＝＝ m/s＝0.30 m/s，故滑块的加速度大小a＝＝ m/s2＝0.067 m/s2。
答案：0.067 m/s2
4．某小组利用打点计时器对物块沿倾斜的长木板加速下滑时的运动进行探究。物块拖动纸带下滑，打出的纸带一部分如图所示。已知打点计时器所用交流电的频率为50 Hz，纸带上标出的每两个相邻点之间还有4个打出的点未画出。在A、B、C、D、E五个点中，打点计时器最先打出的是________点。在打出C点时物块的速度大小为________m/s(保留3位有效数字)；物块下滑的加速度大小为________m/s2(保留2位有效数字)。
解析：物块加速下滑，因此打点间距逐渐增大，故先打A点。C点的速度vC＝＝ m/s≈0.233 m/s，由题图知sAB＝1.20 cm，sBC＝sAC－sAB＝1.95 cm，sCD＝sAD－sAC＝2.70 cm，sDE＝sAE－sAD＝3.45 cm得Δs＝sBC－sAB＝sCD－sBC＝sDE－sCD＝aT2，解得物块下滑的加速度a＝0.75 m/s2。
答案：A　0.233　0.75
5．在做“探究小车瞬时速度”的实验中。
(1)下列仪器需要用到的有________。
(2)某同学进行了以下实验操作步骤，其中有误的步骤是________。
A．将电火花打点计时器固定在长铝板的一端，并接在220 V交流电源上
B．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着适当重的槽码
D．将小车移到靠近打点计时器的一端后，放开小车，再接通电源
(3)在实验中得到一条如图所示的纸带，已知电源频率为50 Hz，相邻计数点间的时间间隔为0.1 s，测量出s5＝4.44 cm，s6＝4.78 cm，则打下“F”点时小车的瞬时速度v＝_______m/s。(结果保留两位有效数字)
(4)若实验时电源频率大于50 Hz，则打下“F”点时小车的实际速度________(选填“大于”“小于”或“等于”)测量速度。
解析：(1)在做“探究小车速度随时间变化”的实验中，依据实验原理，通过打点计时器在纸带上打点，借助刻度尺来测量长度，从而研究小车的速度与时间的关系，故选项A、B正确，选项C、D错误。
(2)将电火花打点计时器固定在长铝板的一端，并接在220 V交流电源上，A正确；将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔，B正确；把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面吊着适当重的槽码，C正确；将小车移到靠近打点计时器的一端后，应先接通电源，后放开小车，D错误。
(3)根据匀变速直线运动中某段时间内中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度，可以求出打下纸带上“F”点时小车的瞬时速度大小为v＝＝＝0.46 m/s。
(4)若实验时电源频率大于50 Hz，则相邻计数点间的时间间隔T＜0.1 s，由F点的瞬时速度表达式v＝可知，其实际速度大于测量速度。
答案：(1)AB　(2)D　(3)0.46　(4)大于
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10(共56张PPT)
第2章
匀变速直线运动
灯
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N0:20110721154226535147自由落体运动
核心素养目标 新课程标准
1.通过实验，知道自由落体运动的特点，体会科学探究的重要性。2．通过自由落体加速度及运动规律的形成，体会科学思维在物理规律形成过程中的作用。3．结合物理学史，认识物理实验与科学推理在物理学研究中的作用 1.知道物体做自由落体运动的条件。2．通过实验认识自由落体运动加速度的特点，建立重力加速度的概念。知道重力加速度的大小、方向。3．通过实验认识自由落体运动的规律，并能解决相关实际问题
知识点一　自由落体运动的特点
[情境导学]
如图所示，在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快；在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛下落快慢相同。
(1)为什么物体在抽掉空气的玻璃管中下落快慢相同？
(2)空气中的落体运动在什么条件下可看作自由落体运动？
提示：(1)没有空气阻力影响。
(2)物体由静止开始下落，空气的阻力作用可以忽略。
[知识梳理]
1．自由落体运动：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
2．自由落体运动的条件：
3．实际落体运动的处理
(1)通常情况下由于受空气阻力的影响，物体的下落运动不是自由落体运动；
(2)当空气阻力的影响可以忽略时，物体的下落运动可视为自由落体运动。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)竖直下落的运动就是自由落体运动。(×)
(2)物体只在重力作用下的运动是自由落体运动。(×)
(3)高空雨滴下落的运动是自由落体运动。(×)
(4)屋檐滴下的水滴下落可视为自由落体运动。(√)
2．关于自由落体运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体从静止开始下落的运动就是自由落体运动
B．如果空气阻力比重力小得多，空气阻力可以忽略不计，这时由静止开始下落的运动可以看成自由落体运动
C．一个棉花团由静止开始下落的运动是自由落体运动
D．雨滴经过窗子的这段运动可以看作是自由落体运动
解析：选B　自由落体运动是只在重力作用下从静止开始下落的运动。A选项中没有明确物体只受重力作用，故A错误；D选项中雨滴经过窗子的这段运动的初速度不为零，因而不是自由落体运动，D错误；如果空气阻力可以忽略不计，从静止下落的物体的运动可以看成自由落体运动，B正确，C错误。
知识点二　自由落体运动的加速度
[情境导学]
如图所示是月球表面的图片，在其表面没有空气，在月球表面附近自由下落的物体的运动规律与地球上的自由落体运动有什么区别？为什么？
提示：月球上物体自由下落得慢，因为月球上的重力加速度小。
[知识梳理]
1．自由落体运动的加速度
(1)定义：物体自由下落时具有的加速度源于物体所受的重力作用，称为重力加速度。
(2)方向：总是竖直向下。
(3)大小：在地球上同一个地点，g的大小一定；在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在一般情况下，取g＝9.8_m/s2，粗略计算时可取g＝10_m/s2。
2．自由落体运动的规律
(1)运动性质：自由落体运动是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动。
(2)规律
①速度公式：v＝gt；
②位移公式：h＝gt2；
③位移—速度公式：v2＝2gh。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)重力加速度的方向总是垂直向下。(×)
(2)月球上的重力加速度也是9.8 m/s2。(×)
(3)自由落体运动的速度大小与时间成正比。(√)
(4)自由落体运动的位移大小与时间成正比。(×)
2．一个物体从20米高处开始做自由落体运动，已知g取10 m/s2，求：
(1)物体的下落时间；
(2)物体着地时的速度大小。
解析：(1)由h＝gt2得
t＝＝ s＝2 s。
(2)v＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s。
答案：(1)2 s　(2)20 m/s
知识点三　自由落体运动规律探索回眸
[情境导学]
伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的沿斜面运动的实验，这是为什么？
提示：自由落体下落时间很短，伽利略时代，没有先进的测量手段和工具，为了“冲淡”重力作用，采用斜面实验，其实就是为了使物体下落时间长些，减小实验误差。
[知识梳理]
1．亚里士多德的观点
重物比轻物下落得快，即物体下落速度与重力成正比。
2．伽利略关于自由落体运动规律的探索
(1)问题：推理否定了亚里士多德关于重物比轻物下落得的论断；
(2)猜想：自由落体运动是匀变速直线运动；
(3)数学推理：如果a为常数，s与t2成正比；
(4)间接实验：小球在斜面上做匀变速直线运动，在倾角变大时其运动性质不变；
(5)合理外推：当倾角为90°(即小球自由下落)时，小球仍做匀变速直线运动。
[初试小题]
1．判断正误。
(1)亚里士多德研究自然规律的方法是实验的方法。(×)
(2)伽利略研究自然规律的方法是猜想和假设、数学推理和科学实验相结合的方法。(√)
(3)理想斜面实验是通过“合理外推”得出自由落体运动的规律的，并没有直接验证自由落体运动的规律。(√)
(4)伽利略将“研究自由落体运动”转换为“研究物体在斜面上的运动”，巧妙克服了测量“时间”的困难。(√)
2．思考题：伽利略在比萨斜塔上做过实验：让重的铁球和轻的铁球同时下落，发现两球几乎同时落地。请你简单解释这是为什么？
提示：忽略空气阻力的影响，两球都做自由落体运动，下落快慢与铁球轻重无关。
对自由落体运动的理解
[问题探究]
如图所示，在玻璃管中放入木块、铁球和羽毛，请同学们观察并思考以下问题：
(1)把木块、羽毛和铁球放入有空气的玻璃管中，让它们同时下落，你能看到什么现象？
(2)把玻璃管抽成真空，重新操作，你能看到什么现象？
(3)那物体在真空中是一种什么运动呢？我们如何定义？
提示：(1)铁球下落得最快，羽毛下落得最慢。
(2)木块、羽毛和铁球下落的快慢相同。
(3)自由落体运动。物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，称为自由落体运动。
[要点归纳]
1．物体做自由落体运动的两个条件
(1)初速度为零；
(2)除重力之外不受其他力的作用。
2．自由落体运动是一种理想化模型
(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。实际上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。
(2)当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如石块在空气中自由下落的运动可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。
3．自由落体运动的实质
自由落体运动是初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动，它只是匀变速直线运动的特例。
[例题1]　在真空中，将苹果和羽毛同时从同一高度由静止释放，下列频闪照片中符合事实的是(　　)
[解析]　在真空中物体只受重力作用，都做自由落体运动，根据h＝gt2可知，苹果和羽毛从同一高度同时下落时，任意时刻都在同一高度，并且频闪间距不断变大，故C正确，A、B、D错误。
[答案]　C
[针对训练]
1．关于自由落体运动，下列说法中正确的是(　　)
A．不考虑空气阻力的运动是自由落体运动
B．物体做自由落体运动时不受任何外力作用
C．被运动员推出去的铅球的运动是自由落体运动
D．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
解析：选D　自由落体运动的特点是初速度为零，仅受重力，不考虑空气阻力的运动不一定是自由落体运动，故A、B错误；被运动员推出去的铅球具有水平初速度，不满足自由落体运动的条件，C错误；自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D正确。
2．关于自由落体运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B．加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动
C．在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同
D．物体做自由落体运动时位移与时间成反比
解析：选C　自由落体运动是初速度为零、加速度为g、竖直向下的匀加速直线运动。A选项加速度不一定为g，故A错误。B选项中物体的初速度不一定为0，运动方向也不一定竖直向下，不符合自由落体运动的特点，故B错误。加速度g与质量无关，则运动规律也与质量无关，故C正确。自由落体运动的位移h＝gt2，h与t2成正比，故D错误。
3．(多选)对于从苹果树上同一高度同时落下的苹果和树叶，下列说法正确的是(　　)
A．苹果和树叶下落的运动都可以看成自由落体运动
B．苹果下落的运动可以近似地看成自由落体运动，树叶下落的运动不能看成自由落体运动
C．假如地球上没有空气，则苹果和树叶将同时落地
D．苹果先落地是因为其重力加速度比树叶的大
解析：选BC　从树上落下的苹果所受阻力相对重力很小，苹果下落的运动可看成自由落体运动，而从树上落下的树叶所受阻力相对重力较大，树叶下落的运动不能看成自由落体运动，A、D错误，B正确；假如地球上没有空气，则苹果和树叶都不受空气阻力，都做自由落体运动，下落快慢相同，同时落地，C正确。
自由落体运动的加速度及规律
[问题探究]
频闪照相机可以每隔相等的时间拍摄一次。利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置(如图所示为一小球做自由落体运动的频闪照片)，根据频闪照片可以测出自由落体运动的加速度。思考以下问题：
(1)怎样判断上述自由落体运动是否是匀变速直线运动？
(2)如何求出自由落体运动的加速度？
提示：(1)根据Δs是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。
(2)根据匀变速直线运动的推论Δs＝gT2求出重力加速度g＝。
[要点归纳]
1．对重力加速度的理解
(1)产生原因：由于地球上的物体受到重力作用而产生的。
(2)大小：与地球上的位置及距地面的高度有关，在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大，在赤道处重力加速度最小，在两极处重力加速度最大，但差别很小。在地面上的同一地点，随高度的增加，重力加速度减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变。
(3)方向：竖直向下。由于地球是一个球体，所以各处的重力加速度的方向是不同的。
2．自由落体运动的规律及其应用
匀变速直线运动的规律及推论 自由落体运动的规律及推论
速度公式 vt＝v0＋at vt＝gt
位移公式 s＝v0t＋at2 h＝gt2
速度—位移关系式 v－v＝2as v＝2gh
推论1 ＝＝v ＝＝v
推论2 Δs＝at2 Δh＝gt2
3.关于自由落体运动的几个比例关系式
(1)第1 s末、第2 s末、第3 s末……第n s末速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)前1 s内、前2 s内、前3 s内……前n s内的位移之比为h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶4∶9∶…∶n2。
(3)连续相等时间内的位移之比为hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(4)连续相等位移上所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
[例题2]　屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图所示。问：(g取10 m/s2)　
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
[解析]　方法一　用基本公式法求解
设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为Δt。则
第2滴的位移h2＝g(3Δt)2①
第3滴的位移h3＝g(2Δt)2②
又由于h2－h3＝1 m③
由①②③得Δt＝0.2 s
屋檐高h＝g(4Δt)2＝×10×(4×0.2)2 m＝3.2 m。
方法二　用平均速度法求解
设滴水间隔为Δt，水滴经过窗子过程中的平均速度
＝＝
由v＝gt得，下落2.5Δt时的速度v＝2.5gΔt
由于＝v，故＝2.5gΔt，则Δt＝0.2 s
屋檐高h＝g(4Δt)2＝3.2 m。
方法三　用比例法求解
由于相邻的两水滴的时间间隔相等，设从上到下两相邻水滴的距离为h1、h2、h3、h4。
则＝，由题知h3＝1 m，则h1＝0.2 m
由h1＝gt2得，t＝＝ s＝0.2 s
t总＝4t＝0.8 s，则h总＝gt＝3.2 m。
[答案]　(1)3.2 m　(2)0.2 s
自由落体运动的求解方法
(1)基本公式法：v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh。
(2)平均速度法：＝＝v＝。
(3)比例法：hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…＝1∶3∶5∶…。　　　　
[针对训练]
1．(多选)关于自由落体运动的加速度，下列说法正确的是(　　)
A．同一地点，轻、重物体的g值一样大
B．北京市区的g值比上海市区的g值略大
C．g值在海拔高的地方大
D．物体速度越快，g值越大
解析：选AB　在地球表面的同一地点，不管是轻的物体还是重的物体，g值都相同，与速度大小无关，所以A项正确，D项错误；在同一纬度，海拔越高，g值越小，故C错误；在地球表面不同的地方，随纬度升高，g值逐渐增大，北京所处的纬度高于上海所处的纬度，故B项正确。
2．宇航员在离月球表面高10 m处由静止释放一片羽毛，羽毛落到月球表面上的时间大约是(月球表面的重力加速度约为地球的)(　　)
A．1.0 s　　　　　　　 B．1.4 s
C．3.5 s D．12 s
解析：选C　月球表面的重力加速度约为地球的，因此由h＝×t2，知t＝≈3.5 s，C正确。
3．一物体从高h处自由下落，经过最后196 m所用的时间是4 s，若不计空气阻力，求物体下落的总时间t和下落的高度h，(g取9.8 m/s2)。
解析：方法一　根据自由落体运动的规律可得
h＝gt2，h′＝g(t－4 s)2，Δh＝h－h′＝196 m
联立以上三式，代入数据可得t＝7 s，h＝240.1 m。
方法二　物体在最后4 s内的平均速度等于(t－2 s)时刻的瞬时速度，则有
v＝g(t－2 s)＝
代入数据解得t＝7 s，h＝gt2＝240.1 m。
答案：7 s　240.1 m
自由落体运动探索回眸
　　[问题探究]
(1)伽利略在研究自由落体运动时，主要遇到了哪几个问题？
(2)伽利略是采用什么方法来解决上述问题的。
提示：(1)两个问题：①无精确的计时仪器；②无测瞬时速度的工具。
(2)利用斜面上小球的运动替代自由落体运动解决了问题①。
利用x∝t2替代v∝t解决了问题②。
[要点归纳]
1．对自由落体运动的两种观点
(1)亚里士多德的错误观点：物体下落的快慢是由它们的重量来决定的。
(2)伽利略的观点：(归谬法)重物与轻物应该下落得一样快。
2．伽利略的猜想和假设
伽利略猜想自由落体是一种简单的变速运动，即速度应该均匀变化。
两种可能性
3．伽利略的实验验证
伽利略采用间接的验证方法
(1)让小球沿阻力很小的斜面滚下。
(2)小球通过的位移跟所用时间的平方之比是不变的，即＝＝＝…。
(3)结论：小球沿斜面做匀加速直线运动。
(4)只要斜面倾角一定，小球的加速度是相同的。
4．伽利略的结论
伽利略将上述结果合理外推到倾角为90°的情况，此情况下是自由落体运动，是加速度都一样的匀加速直线运动。
5．伽利略的科学方法
→→→→→
[例题3]　(多选)如图所示，大致地表示了伽利略探究自由落体运动的实验和思维过程，对于此过程的分析，以下说法正确的是(　　)
A．其中甲图是实验现象，丁图是经过合理的外推得出的结论
B．其中丁图是实验现象，甲图是经过合理的外推得出的结论
C．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显
D．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显
[解析]　伽利略探究自由落体运动时，让小球从斜面上滚下，此时可以“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显，然后合理外推到斜面竖直的状态，则A、C正确，B、D错误。
[答案]　AC
[针对训练]
1．在学习物理知识的同时，还应当十分注意学习物理学研究问题的思想和方法，从一定意义上说，后一点甚至更重要。伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义。请你回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列哪个过程是伽利略的探究过程(　　)
A．猜想—问题—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
B．问题—猜想—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
C．问题—猜想—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
D．猜想—问题—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
解析：选C　伽利略探究物体下落规律的过程：先对亚里士多德对落体运动的观察得出的结论提出质疑——大小石块捆在一起下落得出矛盾的结论；猜想——落体的运动是最简单的运动，速度与时间成正比；数学推理——如果v∝t，则有h∝t2；实验验证——设计出斜面实验并进行研究，得出光滑斜面上滑下的物体的规律h∝t2；合理外推——将光滑斜面上滑下的物体的规律h∝t2推广到落体运动。从探究的过程看，C项正确，A、B、D错误。
2．如图所示，是伽利略为了研究自由落体运动的规律，将落体实验转化为著名的沿斜面运动的实验，当时利用斜面做实验主要是考虑到(　　)
A．实验时便于测量小球运动的速度
B．实验时便于测量小球运动的路程
C．实验时便于测量小球运动的时间
D．实验时便于测量小球运动的加速度
解析：选C　自由落体下落时间很短，在伽利略时代，没有先进的测量手段和工具，为了“冲淡”重力作用，采用斜面做实验，其实就是为了使小球下落时间长些，减小实验误差，故选C。
探究测量重力加速度的方法
方法一　打点计时器法
(1)实验装置如图所示。打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过打点计时器。用夹子夹住纸带，启动打点计时器，松开夹子后重物自由下落，打点计时器在纸带上留下一串小点。
(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用g＝求出重力加速度。
[特别提醒]
(1)为尽量减小空气阻力的影响，重物应选密度大的，如铁锤等。
(2)打点计时器应竖直固定好。
(3)重物应靠近打点计时器释放，且要先打开打点计时器的电源再放开重物。
(4)改变重物的质量，重复打出几条纸带。
(5)选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带分析、探究。
方法二　频闪照相法
频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δs是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的推论Δs＝aT2可求出重力加速度g＝。由g＝也可求出重力加速度g。
方法三　滴水法
(1)如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去。
(2)用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h。
(3)测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1,2,3，…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝。
(4)由h＝gT2，得g＝＝。
[特别提醒]　(1)打点计时器法的误差主要来自阻力的影响和测量误差。
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差。
[示例]　利用如图甲所示的装置测量重物做自由落体运动的加速度。
(1)对该实验装置及操作的要求，下列说法正确的是________(填写字母序号)。
A．电磁打点计时器应接220 V交流电源
B．打点计时器的两个限位孔应在同一条竖直线上
C．开始时应使重物靠近打点计时器处并保持静止
D．操作时，应先放开纸带后接通电源
E．为了便于测量，一定要找到打点计时器打下的第一个点，并选取其以后各连续的点作为计数点
(2)图乙是某同学在实验中得到的一条较为理想的纸带。把开头几个模糊不清的点去掉，以较清晰的某一个点作为计数点1，随后连续的几个点依次标记为点2,3,4。测量出各点间的距离已标在纸带上，已知打点计时器的打点周期为0.02 s。打点计时器打出点2时重物的瞬时速度为________m/s，重物做自由落体运动的加速度约为______m/s2。(结果保留三位有效数字)
[解析]　(1)电磁打点计时器应接4～6 V交流电源，故A错误；打点计时器的两个限位孔应在同一条竖直线上，故B正确；开始时应使重物靠近打点计时器处并保持静止，故C正确；操作时，应先接通电源，再释放纸带，故D错误；为了便于测量，不一定找打出的第一个点，可以从比较清晰的点开始，故E错误。
(2)打出点2时的瞬时速度等于1、3间的平均速度，则
v2＝＝×10－3 m/s＝0.385 m/s。
根据Δs＝aT2，
a＝＝ m/s2＝9.50 m/s2。
[答案]　(1)BC　(2)0.385　9.50
1．BBC科学节目《HumanUniverse》曾经在世界最大的真空实验室里做了这样的实验：在真空环境下，从同一高度同时由静止释放铁球和羽毛，根据已学知识判断，我们会看到的现象是(　　)
A．铁球下落快　　　　　 B．羽毛下落快
C．铁球和羽毛下落一样快 D．铁球和羽毛都不会下落
解析：选C　如果室内充满空气时，由于空气阻力的影响，二者均不做自由落体运动，同时因羽毛受空气阻力的影响较大，故铁球下落得快；在真空环境下，由于两者均只受重力作用而做自由落体运动，铁球和羽毛下落一样快，故C正确，A、B、D错误。
2．(多选)下列关于自由落体运动的说法，正确的是(　　)
A．在真空条件下，石头将比纸片先落地
B．自由落体运动是初速度为0、加速度大小为g、方向竖直向下的匀加速直线运动
C．离地20 m的高度，物体在赤道落下所用的时间比在北极落下所用的时间长
D．随着高度的增加，重力加速度大小不变
解析：选BC　在真空条件下，石头与纸片都做自由落体运动，它们下落的速度一样快，A错。由自由落体运动的条件知，B对。由于赤道附近的重力加速度小于地球两极处的重力加速度，由h＝gt2得下落同样的高度，在赤道附近用时较长，C对。随着高度的增加，重力加速度减小，D错。
3．(多选)伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，对这一过程的分析，下列说法正确的是(　　)
A．运用逻辑推理的方法否定了亚里士多德关于“重的物体下落快，轻的物体下落慢”的论断
B．提出了落体运动一定是一种最简单的变速运动，即加速度随时间应该是均匀变化的
C．通过对斜面上小球运动的研究，得出小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动，合理外推出当倾角增大到90°时，即自由落体运动也会保持匀加速运动的性质
D．伽利略通过数学推演并用小球在斜面上运动验证了位移与时间的二次方成正比
解析：选ACD　伽利略运用逻辑推理的方法否定了亚里士多德关于“重的物体下落快、轻的物体下落慢”的论断，选项A正确；伽利略提出了自由落体运动是一种匀变速直线运动，选项B错误；通过对斜面上小球运动的研究，得出小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动，合理外推出当倾角增大到90°时，即自由落体运动也会保持匀加速运动的性质，选项C正确；伽利略通过数学推演并用小球在斜面上运动验证了位移与时间的二次方成正比，选项D正确。
4．某人从井口静止释放一颗小石子，不计空气阻力，为表示小石子落水前的运动，下列四幅图像可能正确的是(　　)
解析：选D　释放后小石子做自由落体运动，根据v＝gt，s＝gt2可知，选项D正确。
5.如图所示，一小球从离地面高度h＝45 m的空中自由落下，不计一切阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)小球下落的时间；
(2)小球落地时的速度；
(3)小球下落过程的平均速度。
解析：(1)根据公式h＝gt2可得小球下落的时间t＝＝ s＝3 s。
(2)根据v2＝2gh可求小球落地时的速度v＝＝ m/s＝30 m/s。
(3)小球下落过程的平均速度＝＝15 m/s。
答案：(1)3 s　(2)30 m/s　(3)15 m/s
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