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典型问题与易错问题

典型问题
1．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，则△ABC的形状为（ B ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2.“”是“”的 条件。（答：充分非必要条件）
3．已知平面上三点A、B、C满足的值等于（ C ）A．25 B．24 C．－25 D．－24
4.函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）
5、已知两圆方程分别为：，，则两圆的公切线方程为（A）
A、 B、 C、 D、
6、已知动点满足，为坐标原点，则的取值范围是_______
16、对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，则数列的前项和为__—n(n+1)________
7．正实数x1，x2及函数，f (x)满足，则的最小值为 （ B ）
A．4 B． C．2 D．
8．已知函数，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为的值为 （ A ）
A． B． C． D．
10.已知：是直线，是平面，给出下列四个命题：（1）若垂直于内的两条直线，则；（2）若，则平行于内的所有直线；（3）若且则；（4）若且则；（5）若且则。其中正确命题的个数是 （ B ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内
有一动点P到平面A1C1的距离是直线BC的距离的2
倍，点M是棱BB1的中点，则动点P所在曲线的大致
形状为 （ C ）
12．一次研究性课堂上，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x)的值域为（－1，1）； 乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；
丙：若规定对任意恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有（ D ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：))；
14. 在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若=m，=n，则
= mn. 拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若= m，=n，= p，则= .
15．已知双曲线的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，
△OAF的面积为(O为坐标原点)，则双曲线的两条渐近线的夹角为 60°
16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①；②；③；④其中是一阶格点函数的有 ①②④ .（填上所有满足题意的序号）
17．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则C
A．∠A=900 B．∠B＝900 C．∠C＝900 D．∠A＝∠B＝∠C＝600
18．等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当（）时，有（填“>”、“<”、“=”）．
(6)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，则 ，，…， 中最大的是 （B）
(A)  (B)  (C)  (D) 
19．定义在N*上的函数满足：f(0) = 2，f(1) = 3，且．
（Ⅰ）求f(n)（n(N*）；（Ⅱ）求．
（Ⅰ）由题意：，所以有：，又，所以，即，故．
（Ⅱ）．
20．已知数列{an}满足a1=1，a2=－13，
（Ⅰ）设的通项公式；
（Ⅱ）求n为何值时，最小（不需要求的最小值）
解：（I）
即数列{bn}的通项公式为
（Ⅱ）若an最小，则
注意n是正整数，解得8≤n≤9
∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小
21．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．
　 （Ⅰ)求函数f(x)的表达式； （Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)
求证：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1
解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，对由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2+3x．
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)·(a3－1)+(a2－a3)·(a4－1)+…+(an－an+1)·(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
22．设函数．
（Ⅰ）如果,点P曲线上一个动点,求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；
（Ⅱ）若时,恒成立,求的取值范围．
．解(Ⅰ)设切线斜率为则当时最小值为．
所以切线方程为即
(Ⅱ)由>0 <0得．
函数在为增函数,在减函数
(1),无解； (2) 无解；
(3)，解得．综上所述 ．
23.已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足（），，，．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．
解：（Ⅰ）∵，，∴ MN垂直平分AF．
又，∴ 点M在AE上，∴ ，，
∴ ， ∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距， ∴ ．
∴ 点M的轨迹W的方程为（）．
（Ⅱ）设∵ ，，
∴ ∴
由点P、Q均在椭圆W上，
∴
消去并整理，得，由及，解得．
24．已知函数的定义域为，导数满足0＜＜2 且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根．
（Ⅰ）若对任意，存在，使等式成立．试问：方程有几个实数根；
（Ⅱ）求证：当时，总有成立；
（Ⅲ）对任意，若满足，求证：。
21、（I）假设方程有异于的实根m，即．则有
成立 ．
因为，所以必有，但这与≠1矛盾，
因此方程不存在异于c1的实数根．
∴方程只有一个实数根．
（II）令，∴函数为减函数．
又，∴当时，，即成立．
（III）不妨设，为增函数，
即．又，∴函数为减函数
即．，
即．，
．
25、平面直角坐标系中，已知、、，满足向量
与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上．
（1）试用与n来表示；
（2）设，且12＜a≤15，求数列中的最小值的项．
解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，
，即，于是数列是等差数列，故．
，，又与共线，


．
当n＝1时，上式也成立．所以an．
（2）把代入上式，
得
12＜a≤15，，
当n=4时，取最小值， 最小值为a4=18－2a．
26．已知二次函数为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切.
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数上是单调减函数，求k的取值范围.
（1）∵f（x+1）为偶函数，∴
恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a∴
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，∴二次方程有两相等实数根，
∴
（2）∵
故k的取值范围为
27．已知AB是抛物线的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m是过点A且以向量为方向向量的直线.
（1）若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|；
（2）若异于原点），直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程；
（3）若AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证：且T在直线l上.
解：（1）设A（，因为导数，
则直线AC的方程：
由抛物线定义知，|AF|=+，又|CF|=－（－）=+，故|AF|=|CF|.
（2）设
由
得. ① 直线OB方程： ②
直线m的方程:， ③由①②③得y=－p，故点P的轨迹方程为y=－p（x≠0）.
（3）设则
因为AB是焦点弦，设AB的方程为：
得
由（1）知直线AT方程：
同理直线BT方程：
所以直线AB方程：，
又因为AB过焦点，，故T在准线上.
28． 如图，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足
，
求以P、G、D为项点的三角形的面积.
解：（Ⅰ）
∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.
由
以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.
∴所求点P的轨迹方程为
（Ⅱ）G为椭圆的左焦点.
又
由题意，（否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾）

又∵点P在椭圆上，
又
29．设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；
（Ⅱ）若，其中，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：
解：（Ⅰ）令，
则无穷数列{an}可由a1 = 1，给出.
显然，该数列满足，且

（Ⅱ）

又




30、已知函数为偶函数，且其
图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若 的值。
31．设分别为的重心和外心，，且。
（I）求点的轨迹的方程；
（II）若是过点且垂直于轴的直线，是否存在直线，使得与曲线交于两个不同的点，且恰被平分？若存在，求出的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。
13．解：（I）设，则，因为 ，可得；又由，
可得点的轨迹的方程为。
（II）假设存在直线，代入并整理得，
设，则 又
，解得或
特别地，若，代入得，，此方程无解，即。
综上，的斜率的取值范围是或。
18．已知△ABC中，三个内角是A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，且
（I）求证：△ABC是直角三角形；
（II）设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°,.求四边形ABCP的面积.
18．解：（Ⅰ）证明：根据正弦定理得，
整理为，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A+2B= ∴.
∴舍去A=B. ∴即.
故△ABC是直角三角形.
（Ⅱ）解：由（1）可得：a=6，b=8.
在Rt△ACB中，
∴
=
=
连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5.
∴四边形ABCP的面积
=24+=18+.
32.已知三次函数在和时取极值，且．
(1) 求函数的表达式；
(2) 求函数的单调区间和极值；
(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．
解：(1) ，
由题意得，是的两个根，
解得，．
再由可得．
∴．
(2) ，
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
∴函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数．函数的极大值是，极小值是．
(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，
所以，函数在区间上的值域为（）．
而，∴，即．
于是，函数在区间上的值域为．
令得或．
由的单调性知，，即．
综上所述，、应满足的条件是：，且．
易错问题
1.定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为____ (答：)；
2.函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)
3.如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是__ (答：)．
4.(1)设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。
(2)设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。
5.已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。
6.已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大，）
7.函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）
8.已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；
9.若点是的外心，且，则的内角为____（答：）；

10.设集合，，，则_____（答：）　
11.，如果，求的取值。（答：a≤0）
已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。　（答：）
12．已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 （D）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
13．如图，从双曲线的左焦
点F引圆的切线，切点为T，延长FT交
双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标
原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为 （B ）
A．|MO|－|MT| > b－a
B．|MO|－|MT| = b－a
C．|MO|－|MT| < b－a
D．不确定
14．如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，且， ， ，，，则点在平面内的轨迹是 （A ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
15若函数的导函数为，则函数的单调递减区间是（C ）
（A） （B） （C） （D）
16．定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：
①对任何
②对任何则 0 .
17．设数列{an}是等比数列，，则a4与a10的等比中项为 （ ）
A． B． C． D．
18.已知数列的前项和为非零常数），则数列为（ ）
（A）等差数列 （B）等比数列
（C）既不是等差数列，又不是等比数列 （D）既是等差数列又是等比数列
19．已知全集U=R，集合，则
A． B．
C．{（1，－2）} D．（ ）
20. 已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：上，
当取最大值时，点P的坐标为 （-10，-4）或（-2，4） 。
21．椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P，F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则P到X轴距离为 1或 .
22．过轴上一点，向圆作切线，切点分别为，则面积的最大值为 。
已知向量是两个不共线的非零向量, 向量满足.则向量用向量一定可以表示为 （C）
A. 且. B.
C. D. , 或
（5）若数列中，，且对任意的正整数、都有，则
（A） （B） （C） （D） ( C)
16.已知x∈N*，f(x)= ，其值域设为D，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D的元素 ___14,65 _ _.(写出所有可能的数值)
23、如图，垂直正方形所在的平面，，动点在线段上，则二面角的取值范围是
A、 B、 C、 D、
24．在△OAB（O为原点）中，，若，则S△AOB的值为 （ ）
A． B． C． D．
25．若y＝3|x|(x∈[a，b])的值域为[1，9]，则a2＋b2－2a的取值范围是（　　）
A．[2，4]　 B．[4，16]　　C．[2，2]　　D．[4，12]
26.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,
则等于（ C ）
(A) (B) (C) (D)
27、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（ D ）
（A）（－2，4） （B）（－30，25） （C）（5，－10） （D）（10，－5）
28、已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是 3 。
29、若函数内为增函数，则实数a的取值范围（A ）
A． B． C． D．
30、如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足( B )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
31．已知双曲线的焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且|PF1| =4|PF2|，则双曲线离心率的最大值为（ B ）
A． B． C．2 D．
8、某班有48名学生，某次数学考试，算术平均分为70分，标准差为s，后来发现成绩记录有误，某甲得80分却误记为50分，某乙得70分却误记为100分，更正后计算得标准差为s1，则s1和s之间的大小关系为　　…………………………………………………（D　　）
(A) s1＞s (B) s1＝s (C) s＋5＜s1 (D) s＞s1
15．在ABC中，若：= = ,则COSA等于___________.
4、已知等差数列{an}的首项a1=120，d=－4，记Sn= a1＋a2＋…＋an，若Sn≤an（n＞1），则n最小值为………………………………………………………………………………（B　　）
(A)60 (B)62 (C)63 (D)70
7．二元函数定义域为，则函数的定义域所表示的平面区域是（B）
9、一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有 （ D）
(A)个 (B) 个 C. 个 (D) 个
(18)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列；
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.
证 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．
由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，
∴am＋2＝－am＋1，即数列{an}的公比q＝－.
∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差数列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列.
设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．
由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.
当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差数列.
逆命题为假.
19. (12分)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，，其中温度的单位是，时间的单位是小时。t=0表示12:00, t取正值表示12:00点以后。若测得该物体在8:00的温度为8,12:00的温度为60,13:00的温度为58,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。
（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00,14:00）何时温度最高？并求出最高温度。
（1）依题意得
解得：a=1,b=0,c=－3,d=60 故T(t)=t3-3t+60
（2）=0,得：
比较T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:0014:00这段时间中，该物体在11:00和14:00的温度最高，且最高温度为62.

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