资源简介

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之
第三单元圆锥的体积问题提高部分（解析版）
编者的话：
《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第三单元圆锥的体积问题提高部分。本部分内容主要选取圆锥体积常考的较难题型，内容相对困难，考点众多，共划分为十三个考点，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，欢迎使用。
【考点一】圆锥的旋转构成法。
【方法点拨】
直角三角形与圆锥之间的联系
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题1】
以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形 所得的图形的底面直径和高各是多少厘米
解析：
（1）以6cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为16cm，高为6cm的圆锥。
（2）以8cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为12cm，高为8cm的圆锥。
【典型例题2】
下图是一个直角三角形，如果以边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是
多少立方厘米？
解析：
3.14×2×2×3÷3
＝12.56×3÷3
＝12.56（立方厘米）
【对应练习1】
一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是( )cm、( )cm、( )立方厘米。
解析：
据分析知，高是6厘米
底面直径：6×2＝12（厘米）
体积：（3.14×6×6）×6÷3
＝113.04×6
＝678.24÷3
＝226.08（立方厘米）
【对应练习2】
一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边AB与BC的长度比是3∶2，AB长9cm。如果以其中一条直角边为轴旋转一周，那么形成的圆锥体积最大是( )立方厘米。
解析：
2×9÷3＝6（厘米）
3.14×92×6÷3
＝3.14×81×6÷3
＝508.68（立方厘米）
所以，形成的圆锥体积最大是508.68立方厘米。
【对应练习3】
下图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。
解析：
×3.14×32×2
＝9.42×2
＝18.84（立方厘米）
【考点二】圆锥的切面积问题一。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米
解析：沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是4厘米，高是7厘米，所以每个切面的面积是14平方厘米。
【对应练习1】
将一个底面直径18厘米，高是8厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米
解析：将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是18厘米，高是8厘米，所以每个切面的面积是72平方厘米，而现在的表面积比原来增加了2个切面，所以增加了144平方厘米。
【对应练习2】
一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加( )平方厘米。
解析：
24×12÷2×2
＝144×2
＝288（平方厘米）
【对应练习3】
一个底面直径是12厘米的圆锥，从顶点沿高将它切成两半后，表面积增加了96平方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
解析：96÷2×2÷12＝8（厘米）
【考点三】圆锥的切面积问题二。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
把一个底面直径是10cm的圆锥沿着高切开后，表面积增加了60cm2，这个圆锥的体积是多少cm3？
解析：
60÷2×2÷10＝6（厘米）
3.14×（10÷2） ×6÷3
＝3.14×25×2
＝157（立方厘米）
【对应练习1】
把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？
解析：
一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米）
圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米）
×3.14×（20÷2）2×15
＝314×5
＝1570（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。
【对应练习2】
将一个圆锥沿着高垂直于底面切成两半，表面积比原来增加了108cm2。若圆锥的高为18cm，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
解析：
圆锥的底面直径：
108÷2×2÷18＝6（cm）
圆锥的底面半径：
6÷2＝3（cm）
圆锥的体积：
3.14×32×18×
＝3.14×54
＝169.56（cm3）
答：这个圆锥的体积是169.56立方厘米。
【考点四】比在圆锥体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（ ）。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。
（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少
解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12
【对应练习1】
有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少
解析：40
【对应练习2】
一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。
解析：6
【对应练习3】
已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？
解析：8:27
【对应练习4】
如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？
解析：1:2
【对应练习5】
一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
解析：18
【对应练习6】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？
解析：5:2
【考点五】等积转化问题一：圆柱与圆锥的等积转化。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥的体积关系是：圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。
【典型例题】
一块圆柱形橡皮泥，体积是200，把这块橡皮泥重新捏成一个圆锥，已知圆锥的底面半径是10，求圆锥的高。（π取3）
解析：2
【对应练习1】
把一个体积是800的圆柱体铁块，熔铸成一个底面积是600的圆锥体，这个圆锥体的高是多少 （π取3）
解析：4
【对应练习2】
一个圆柱的底面半径是6厘米，体积是1130.4立方厘米，一个圆锥与它的体积相等， 底面积也相等。这个圆锥高是多少厘米？
解析：30厘米。
【对应练习3】
一个圆锥形谷堆，绕着谷堆的外围走一圈是25.12米，高3米。如果把这些稻谷装进一个底面直径为40米的圆柱形容器中，稻谷高多少米？
解析：
25.12÷3.14÷2＝4（米）
×3.14×42×3＝50.24（立方米）
3.14×（40÷2）2
＝3.14×400
＝1256（平方米）
50.24÷1256＝0.04（米）
答：稻谷高0.04米。
【对应练习4】
一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？
解析：
圆锥体积：50.24÷（3﹣1）
＝50.24÷2
＝25.12（立方厘米）
高：25.12×3÷（3.14×22）
＝75.36÷12.56
＝6（厘米）
答：圆锥的高是6厘米。
【对应练习5】
一个圆柱和与它等底等高的圆锥的体积之和是24平方分米。圆柱和圆锥的体积分别是多少？
解析：
圆锥的体积：
24÷（1＋3）
＝24÷4
＝6（立方分米）
圆柱的体积：6×3＝18（立方分米）
答：圆柱的体积是18立方分米，圆锥的体积是6立方分米。
【考点六】等积转化问题二：正方体与圆锥的等积转化。
【方法点拨】
等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？
解析：
4×4×4×3÷12=16（dm）
【对应练习1】
将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
解析：
5×5×5×3÷60=6.25（分米）
【对应练习2】
一个正方体的体积是216立方厘米，和它底面积相等，高也相等的圆锥的体积是多少立方厘米？
解析：
216×＝72（立方厘米）
答：圆锥的体积是72立方厘米。
【对应练习3】
一个正方体铁块的棱长为4厘米。如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？（结果保留整数，π取3.14）
解析：
6÷2＝3（厘米）
4×4×4÷÷（3.14×32）
＝64×3÷（3.14×9）
＝192÷28.26
≈7（厘米）
答：这个圆锥的高约是7厘米。
【考点七】等积转化问题三：长方体与圆锥的等积转化。
【方法点拨】
等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？
解析：
20厘米＝0.2米
12.56×3×
＝12.56÷2
＝6.28（米）
答：能铺6.28米。
【对应练习1】
一辆货车车厢是一个长方体，车厢里面量得长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完沙后，堆成一个高是2米的圆锥形，圆锥底面积是多少平方米？
解析：
4×1.5×4×3÷2
＝6×4×3÷2
＝24×3÷2
＝72÷2
＝36（平方米）
答：圆锥底面积是36平方米。
【对应练习2】
一个圆锥形沙堆，底面积是平方米，高是米。把这堆沙均匀地铺在一个面积平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？
解析：
×10×1.2÷20
＝×12÷20
＝4÷20
＝0.2（米）
＝20（厘米）
答：沙坑里的沙厚20厘米。
【对应练习3】
一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米，把这些沙子铺在一条长31.4米、宽8米的道路上，能铺多厚？
解析：
（m）
答：能铺0.8米厚。
【考点八】求组合立体图形的体积。
【方法点拨】
组合图形的体积等于各规则立体图形的体积之和。
【典型例题】
测量一个粮仓，从里面量得的数据如图所示，如果每立方米的粮食约重800干克，这个粮仓能装粮食多少干克？（π取3.14）
解析：6280千克。
【对应练习1】
计算下面立体图形的体积。
解析：169.56立方厘米。
【对应练习2】
下图的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
解析:
3.14×（12÷2） ×2＋3.14×（12÷2） ×1×
＝226.08＋37.68
＝263.76（立方米）
答：这个蒙古包所占的空间是263.76立方米。
【对应练习3】
一个陀螺，上部是圆柱形，下部是圆锥形，如下图。这个陀螺的体积是多少立方厘米？
解析：
10÷2＝5（厘米）
3.14×5 ×8＋3.14×5 ×（11－8）÷3
＝628＋78.5×3÷3
＝628＋78.5
＝706.5（立方厘米）
答：这个陀螺的体积是706.5立方厘米。
【对应练习4】
一种儿童玩具——陀螺（如下图）。上面是圆柱体，下面是圆锥体，经过测试，当圆柱直径4厘米，高6厘米，圆锥的高是圆柱高的时，陀螺旋转得又快又稳，求这时陀螺的体积是多少立方厘米？
解析：
6×＝（厘米）
3.14×（4÷2） ×6＋3.14×（4÷2） ×÷3
＝3.14×4×6＋3.14×4×
＝75.36＋18.84
＝94.2（立方厘米）
答：这时陀螺的体积是94.2立方厘米。
【考点九】排水法在圆锥体积中的应用一：求圆锥的高。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来
②V物体=S×(h现在- h原来)
③V物体=S×h升高
【典型例题】
有一个底面直径是20cm的圆柱形容器，容器内盛了一些水。把一个底面周长是18.84cm的圆锥放入容器内，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，这个圆锥的高是多少cm？
解析：
圆锥底面半径：18.84÷2÷3.14＝3（厘米）
圆锥底面积：3.14×32＝28.26（平方厘米）
圆锥高：
3.14×（20÷2）2×0.6×3÷28.26
＝3.14×100×0.6×3÷28.26
＝565.2÷28.26
＝20（厘米）
答：这个圆锥的高是20厘米。
【对应练习2】
有一个长方体水箱，底面是边长为4分米的正方形，水箱内原有3.5分米深的水。现在把一个底面积为8平方分米的圆锥形铜块完全浸没在水中，这时水面升高了0.5分米，求这个圆锥形铜块的高。
解析：
4×4×0.5×3÷8
＝16×0.5×3÷8
＝8×3÷8
＝24÷8
＝3（分米）
答：这个圆锥形铜块的高是3分米。
【对应练习3】
一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？
解析：
37.68÷3.14÷2＝6（厘米）
3.14×92×2÷÷（3.14×62）
＝
＝13.5（厘米）
答：圆锥形铅锤的高是13.5厘米。
【考点十】排水法在圆锥体积中的应用二：求水面下降高度。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来
②V物体=S×(h现在- h原来)
③V物体=S×h升高
【典型例题】
一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放着一个底面直径是6厘米、高是20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出时，杯里的水面会下降多少厘米？
解析：
3.14×（6÷2） ×20÷3
＝3.14×9×20÷3
＝188.4（立方厘米）
188.4÷
＝188.4÷
＝188.4÷314
＝0.6（厘米）
答：杯里的水面会下降0.6厘米。
【对应练习1】
一个底面半径是12厘米的圆柱形玻璃缸中装有水，里面放有一个底面半径是6厘米、高是18厘米的圆锥形铁块，全部被水淹没，当把铁块从水中取出后，水面会下降多少厘米？
解析：
3.14×6 ×18×÷（3.14×12 ）
＝678.24÷452.16
＝1.5（厘米）
答：水面会下降1.5厘米。
【对应练习2】
在一个底面周长是125.6厘米，水面高度为30厘米的圆柱形水桶里，完全浸没着一个圆锥形零件，零件底面半径是10cm，高是6cm，当把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？
解析：
答：把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了0.5厘米。
【对应练习3】
一个底面直径是20厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是10厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面会下降多少厘米？
解析：
×3.14××18÷
＝×3.14×25×18÷
＝3.14×25×6÷314
＝1.5（厘米）
答：杯里的水面会下降1.5厘米。
【考点十一】排水法在圆锥体积中的应用三：溢水问题。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来
②V物体=S×(h现在- h原来)
③V物体=S×h升高
【典型例题】
一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径，高是的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？
解析：
（立方厘米）
157立方厘米＝157毫升
答：会溢出157毫升的水。
【对应练习1】
把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？
解析：
×3.14×42×6
＝×3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）
答：将有100.48立方厘米的水溢出。
【对应练习2】
有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）
解析：
圆锥形铁块的体积：×3.14×6 ×10＝376.8（cm ）
水的体积：3.14×8 ×6＝1205.76（cm ）
45 mL＝45 cm
376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm ）
玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8 ）≈8（cm）
答：这个玻璃容器的高约8cm。
【考点十二】求正方体削成最大圆锥的体积。
【方法点拨】
将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。
【典型例题】
把一个正方体木块加工成最大的圆锥体，它的底面半径是5厘米，这个正方体的体积是多少立方厘米？
解析：
5×2＝10（厘米）
10×10×10
＝100×10
＝1000（立方厘米）
【对应练习1】
如下图一块立方体木料，体积是64立方厘米，以它的一面为底面加工成一个最大的圆锥体，体积是多少立方厘米？
解析：
＝
＝（立方厘米）
所以圆锥体的体积为＝立方厘米。
【对应练习2】
一个正方体木块的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？
解析：
3.14×（6÷2）2×6×
＝3.14×9×2
＝56.52（立方厘米）
答：这个圆锥体的体积是56.52立方厘米。
【对应练习3】
把棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆锥，削下部分的体积是多少立方厘米？
解析：
×3.14×（6÷2）2×6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
6×6×6﹣56.52
＝216﹣56.52
＝159.48（立方厘米）
答：削下部分的体积是159.48立方厘米。
【考点十三】圆锥中的倒水问题。
【方法点拨】
圆锥中的倒水问题
圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m2;n2，此时体积之比就是m3：n3。
【典型例题】
如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
解析：
水与圆锥高之比为1:2，所以，体积之比为1:8。
40×8=320（升）
【对应练习1】
如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
解析：400升。
【对应练习2】
圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半.这个容器还能装水多少升
解析：42升。
【对应练习3】
如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水
解析：35升。2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之
第三单元圆锥的体积问题提高部分（原卷版）
编者的话：
《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第三单元圆锥的体积问题提高部分。本部分内容主要选取圆锥体积常考的较难题型，内容相对困难，考点众多，共划分为十三个考点，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，欢迎使用。
【考点一】圆锥的旋转构成法。
【方法点拨】
直角三角形与圆锥之间的联系
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题1】
以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形 所得的图形的底面直径和高各是多少厘米
【典型例题2】
下图是一个直角三角形，如果以边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？
【对应练习1】
一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是( )cm、( )cm、( )立方厘米。
【对应练习2】
一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边AB与BC的长度比是3∶2，AB长9cm。如果以其中一条直角边为轴旋转一周，那么形成的圆锥体积最大是( )立方厘米。
【对应练习3】
下图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。
【考点二】圆锥的切面积问题一。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米
【对应练习1】
将一个底面直径18厘米，高是8厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米
【对应练习2】
一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加( )平方厘米。
【对应练习3】
一个底面直径是12厘米的圆锥，从顶点沿高将它切成两半后，表面积增加了96平方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
【考点三】圆锥的切面积问题二。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
把一个底面直径是10cm的圆锥沿着高切开后，表面积增加了60cm2，这个圆锥的体积是多少cm3？
【对应练习1】
把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？
【对应练习2】
将一个圆锥沿着高垂直于底面切成两半，表面积比原来增加了108cm2。若圆锥的高为18cm，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【考点四】比在圆锥体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（ ）。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。
（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少
【对应练习1】
有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少
【对应练习2】
一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。
【对应练习3】
已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？
【对应练习4】
如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？
【对应练习5】
一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
【对应练习6】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？
【考点五】等积转化问题一：圆柱与圆锥的等积转化。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥的体积关系是：圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。
【典型例题】
一块圆柱形橡皮泥，体积是200，把这块橡皮泥重新捏成一个圆锥，已知圆锥的底面半径是10，求圆锥的高。（π取3）
【对应练习1】
把一个体积是800的圆柱体铁块，熔铸成一个底面积是600的圆锥体，这个圆锥体的高是多少 （π取3）
【对应练习2】
一个圆柱的底面半径是6厘米，体积是1130.4立方厘米，一个圆锥与它的体积相等， 底面积也相等。这个圆锥高是多少厘米？
【对应练习3】
一个圆锥形谷堆，绕着谷堆的外围走一圈是25.12米，高3米。如果把这些稻谷装进一个底面直径为40米的圆柱形容器中，稻谷高多少米？
【对应练习4】
一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？
【对应练习5】
一个圆柱和与它等底等高的圆锥的体积之和是24平方分米。圆柱和圆锥的体积分别是多少？
【考点六】等积转化问题二：正方体与圆锥的等积转化。
【方法点拨】
等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？
【对应练习1】
将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
【对应练习2】
一个正方体的体积是216立方厘米，和它底面积相等，高也相等的圆锥的体积是多少立方厘米？
【对应练习3】
一个正方体铁块的棱长为4厘米。如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？（结果保留整数，π取3.14）
【考点七】等积转化问题三：长方体与圆锥的等积转化。
【方法点拨】
等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？
【对应练习1】
一辆货车车厢是一个长方体，车厢里面量得长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完沙后，堆成一个高是2米的圆锥形，圆锥底面积是多少平方米？
【对应练习2】
一个圆锥形沙堆，底面积是平方米，高是米。把这堆沙均匀地铺在一个面积平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？
【对应练习3】
一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米，把这些沙子铺在一条长31.4米、宽8米的道路上，能铺多厚？
【考点八】求组合立体图形的体积。
【方法点拨】
组合图形的体积等于各规则立体图形的体积之和。
【典型例题】
测量一个粮仓，从里面量得的数据如图所示，如果每立方米的粮食约重800干克，这个粮仓能装粮食多少干克？（π取3.14）
【对应练习1】
计算下面立体图形的体积。
【对应练习2】
下图的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
【对应练习3】
一个陀螺，上部是圆柱形，下部是圆锥形，如下图。这个陀螺的体积是多少立方厘米？
【对应练习4】
一种儿童玩具——陀螺（如下图）。上面是圆柱体，下面是圆锥体，经过测试，当圆柱直径4厘米，高6厘米，圆锥的高是圆柱高的时，陀螺旋转得又快又稳，求这时陀螺的体积是多少立方厘米？
【考点九】排水法在圆锥体积中的应用一：求圆锥的高。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来
②V物体=S×(h现在- h原来)
③V物体=S×h升高
【典型例题】
有一个底面直径是20cm的圆柱形容器，容器内盛了一些水。把一个底面周长是18.84cm的圆锥放入容器内，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，这个圆锥的高是多少cm？
【对应练习2】
有一个长方体水箱，底面是边长为4分米的正方形，水箱内原有3.5分米深的水。现在把一个底面积为8平方分米的圆锥形铜块完全浸没在水中，这时水面升高了0.5分米，求这个圆锥形铜块的高。
【对应练习3】
一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？
【考点十】排水法在圆锥体积中的应用二：求水面下降高度。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来
②V物体=S×(h现在- h原来)
③V物体=S×h升高
【典型例题】
一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放着一个底面直径是6厘米、高是20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出时，杯里的水面会下降多少厘米？
【对应练习1】
一个底面半径是12厘米的圆柱形玻璃缸中装有水，里面放有一个底面半径是6厘米、高是18厘米的圆锥形铁块，全部被水淹没，当把铁块从水中取出后，水面会下降多少厘米？
【对应练习2】
在一个底面周长是125.6厘米，水面高度为30厘米的圆柱形水桶里，完全浸没着一个圆锥形零件，零件底面半径是10cm，高是6cm，当把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？
【对应练习3】
一个底面直径是20厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是10厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面会下降多少厘米？
【考点十一】排水法在圆锥体积中的应用三：溢水问题。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来
②V物体=S×(h现在- h原来)
③V物体=S×h升高
【典型例题】
一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径，高是的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？
【对应练习1】
把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？
【对应练习2】
有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）
【考点十二】求正方体削成最大圆锥的体积。
【方法点拨】
将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。
【典型例题】
把一个正方体木块加工成最大的圆锥体，它的底面半径是5厘米，这个正方体的体积是多少立方厘米？
【对应练习1】
如下图一块立方体木料，体积是64立方厘米，以它的一面为底面加工成一个最大的圆锥体，体积是多少立方厘米？
【对应练习2】
一个正方体木块的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？
【对应练习3】
把棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆锥，削下部分的体积是多少立方厘米？
【考点十三】圆锥中的倒水问题。
【方法点拨】
圆锥中的倒水问题
圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m2;n2，此时体积之比就是m3：n3。
【典型例题】
如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
【对应练习1】
如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升
【对应练习2】
圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半.这个容器还能装水多少升
【对应练习3】
如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水

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