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陕西省安康市2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷
1．（2021高二下·安康期中）已知全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，又集合 ，
所以 ，
故答案为：B．
【分析】由集合的交、补运算即可求解。
2．（2021高二下·安康期中）若复数为纯虚数，则实数的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，
因为复数为纯虚数，可得 ，解得 .
故答案为：B
【分析】由复数的四则运算化简，再由纯虚数的概念即可求解。
3．（2021高二下·安康期中）设向量，，若与的夹角为，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ，而 ， ， ，
所以 ，解得 ，∴.
故答案为：C.
【分析】由向量的夹角公式 ，列出方程即可求解。
4．（2021高二下·安康期中）已知双曲线()的一个焦点为，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由条件知： ，
则 ，
即 ，
∴渐近线方程为 .
故答案为：D.
【分析】由焦点坐标，即可求a，从而解决问题。
5．（2021高二下·安康期中）已知，满足约束条件，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出可行域，函数 可化为 ， 可看作函数 的截距，
由图知，当直线 平移到过点 时，截距最小且等于2，所以 的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。
6．（2021高二下·安康期中）函数的部分图象大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数图象的作法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据题意， ，其定义域为 ，
则有 ，即函数 为奇函数，排除 、 ；
又由当 上时， ， ， ，则有 ，排除 ；
故答案为：A．
【分析】先确定函数奇偶性，再通过 ，函数值的正负，即可求解。
7．（2021高二下·安康期中）某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】注意到乙、丁说的同真或同假，当同真时，甲说的也真，不成立，故同假，所以甲、丙说的同真，故甲未及格.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合演绎推理的方法，进而找出未及格的同学。
8．（2021高二下·安康期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由题意可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，故 .
故答案为：D
【分析】由函数单调性与导数的联系，可得 在 上恒成立，即可求解。
9．（2021高二下·安康期中）某小区的道路网如图所示，则由A到的最短路径中，经过的条数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】由 到 最短路径有 种，
由 到 最短路径有 种，
故经过 的最短路径有 种.
故答案为：D.
【分析】先确定A到B， B到C的种数，由乘法原理即可求解。
10．（2021高二下·安康期中）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（　　）
A．168种 B．240种 C．264种 D．336种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】根据题意，可分为两种情况：
若甲乙其中一人参加，有 种情况；
若甲乙两人都参加，有 种情况，
所以不同的发言顺序有 种.
故答案为：C.
【分析】分甲乙其中一人参加和甲乙两人都参加，讨论计数即可求解。
11．（2021高二下·安康期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】偶函数；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意知， ， ， .当 时， ， ，因为 ，所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，因为 ，∴.
故答案为：D
【分析】由函数的奇偶性可得 ， ，及 ，再确定函数在 的单调性，即可求解。
12．（2021高二下·安康期中）圆锥的底面圆周及顶点均在半径为3的球面上，则该圆锥体积的最大值为（　　）
A．8π B． C．12π D．24π
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图，
设， ，则 ，则
所以 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值为 .
故答案为：B
【分析】如图，设 ，可得 ，求其导函数，确定单调区间，即可求解。
13．（2021高二下·安康期中）在正方体中，则异面直线与的夹角为　 　．
【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】在正方体 中，
，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 或其补角即为异面直线 与 所成的角，
连接 ，由 为正方体可得 是等边三角形，
所以 .
故答案为：
【分析】由正方体的结构特点，如图，可知 或其补角即为异面直线 与 所成的角，即可求解。
14．（2021高二下·安康期中）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；概率的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】所求概率 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合对立事件求概率公式结合古典概型求概率公式，进而求出从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率。
15．（2021高二下·安康期中）函数的极小值为　 　.
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时， 有极小值
故答案为：1
【分析】求其导函数，由 ， 求出单调区间，即可求解。
16．（2021高二下·安康期中）已知，分别是椭圆的上，下焦点，若椭圆上存在四个不同点，使得的面积为，则的离心率的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知可得 ，
∵椭圆 上存在四个不同点 ，使得 的面积为 ，
∴，即 ，解得 ，
∴离心率 .
故答案为：
【分析】由题意，结合存在四个不同点使得焦点三角形面积为 ，可得 ，即可求m的范围，从而解决问题。
17．（2021高二下·安康期中）已知，，分别为内角，，的对边，，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：，，
由正弦定理得，∴.
（2）解：由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），
的面积.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由条件易得B，再由正弦定理即可求sinA；
(2)由余弦定理可求c，代入面积公式即可求解。
18．（2021高二下·安康期中）已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
【答案】（1）证明：当时， ；当时， .
当时， 也符合上式， 故.因为 ，故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由 ，结合n=1，验证即可求解；
（2）由裂项相消即可求和。
19．（2021高二下·安康期中）已知函数（，，）的部分图像如图所示.
（1）求的解析式；
（2）讨论在区间上的单调性.
【答案】（1）解：观察函数图象知，，
即，则，
∵的图象过点，∴，
∴，
又，∴，∴.
（2）解：的单调递增区间为
即为，
单调递减区间为
即为，
因为求上的单调区间，
令得到单调递增区间为，
令得到单调递减区间为，，
所以函数在上的单调递减区间为，，
单调递增区间为.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由最大值可确定A，由周期确定 ，最后代入最高点，即可求解；
（2）由 求出增区间，再通过对k赋值，求其与 的交集即可。
20．（2021高二下·安康期中）如图，几何体中，平面平面，平面，且.
（1）证明：平面；
（2）若，平面，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又由平面，平面，所以平面.
（2）解：因为平面，可得，所以，
又因为，所以，可得，所以是的中点，
连接，则，所以平面，所以，，
所以四边形是矩形.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设，则，，，
可得，.
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，所以；
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则，
因为二面角是钝角，所以二面的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得 平面 ，进而得到 ，从而求证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
21．（2021高二下·安康期中）过抛物线的焦点且斜率为2的直线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆交抛物线于，两点，若是圆的直径，求圆的面积.
【答案】（1）解：抛物线的方程为，抛物线的焦点，
设，，直线的方程为：
由得：，，，
抛物线的方程为.
（2）解：设，，
圆的方程为，且是圆的直径，，，
，，
，直线的方程为，
联立得：，
不妨设，，
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1） 设， ，由抛物线过焦点的弦长公式即可求解；
（2）由（1）知 ，设 ，， 结合点在抛物线上，可得 直线的方程为 ，联立抛物线方程，即可求N，从而求解。
22．（2021高二下·安康期中）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数的值；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）解：由，∴，
又，∴切线方程为，（）.
当时，；当时，，
由题意可得，解得或.
（2）解：，，
当时，，
令，则，
设的零点为，则，即且，
∴在上递减，上递增，
∴，
∴时，恒成立，从而恒成立，
∴当时，.
（或根据证明）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义，求出切线方程，进而得到在两坐标轴上的交点，从而解决问题；
（2） 当时，通过放缩可得， 构造函数 ，求其导函数，确定隐零点，得到g(x)的单调区间，求得最小值，即可求解。
1 / 1陕西省安康市2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷
1．（2021高二下·安康期中）已知全集，集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高二下·安康期中）若复数为纯虚数，则实数的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021高二下·安康期中）设向量，，若与的夹角为，则（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2021高二下·安康期中）已知双曲线()的一个焦点为，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·安康期中）已知，满足约束条件，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021高二下·安康期中）函数的部分图象大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021高二下·安康期中）某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2021高二下·安康期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2021高二下·安康期中）某小区的道路网如图所示，则由A到的最短路径中，经过的条数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2021高二下·安康期中）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（　　）
A．168种 B．240种 C．264种 D．336种
11．（2021高二下·安康期中）已知是定义在上的偶函数，当时，，设，，，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2021高二下·安康期中）圆锥的底面圆周及顶点均在半径为3的球面上，则该圆锥体积的最大值为（　　）
A．8π B． C．12π D．24π
13．（2021高二下·安康期中）在正方体中，则异面直线与的夹角为　 　．
14．（2021高二下·安康期中）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是　 　.
15．（2021高二下·安康期中）函数的极小值为　 　.
16．（2021高二下·安康期中）已知，分别是椭圆的上，下焦点，若椭圆上存在四个不同点，使得的面积为，则的离心率的取值范围是　 　.
17．（2021高二下·安康期中）已知，，分别为内角，，的对边，，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
18．（2021高二下·安康期中）已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
19．（2021高二下·安康期中）已知函数（，，）的部分图像如图所示.
（1）求的解析式；
（2）讨论在区间上的单调性.
20．（2021高二下·安康期中）如图，几何体中，平面平面，平面，且.
（1）证明：平面；
（2）若，平面，求二面角的余弦值.
21．（2021高二下·安康期中）过抛物线的焦点且斜率为2的直线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆交抛物线于，两点，若是圆的直径，求圆的面积.
22．（2021高二下·安康期中）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数的值；
（2）当时，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，又集合 ，
所以 ，
故答案为：B．
【分析】由集合的交、补运算即可求解。
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 ，
因为复数为纯虚数，可得 ，解得 .
故答案为：B
【分析】由复数的四则运算化简，再由纯虚数的概念即可求解。
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 ，而 ， ， ，
所以 ，解得 ，∴.
故答案为：C.
【分析】由向量的夹角公式 ，列出方程即可求解。
4．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由条件知： ，
则 ，
即 ，
∴渐近线方程为 .
故答案为：D.
【分析】由焦点坐标，即可求a，从而解决问题。
5．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出可行域，函数 可化为 ， 可看作函数 的截距，
由图知，当直线 平移到过点 时，截距最小且等于2，所以 的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】画出可行域，由z的几何意义即可求解。
6．【答案】A
【知识点】函数图象的作法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：根据题意， ，其定义域为 ，
则有 ，即函数 为奇函数，排除 、 ；
又由当 上时， ， ， ，则有 ，排除 ；
故答案为：A．
【分析】先确定函数奇偶性，再通过 ，函数值的正负，即可求解。
7．【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】注意到乙、丁说的同真或同假，当同真时，甲说的也真，不成立，故同假，所以甲、丙说的同真，故甲未及格.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合演绎推理的方法，进而找出未及格的同学。
8．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由题意可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，故 .
故答案为：D
【分析】由函数单调性与导数的联系，可得 在 上恒成立，即可求解。
9．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】由 到 最短路径有 种，
由 到 最短路径有 种，
故经过 的最短路径有 种.
故答案为：D.
【分析】先确定A到B， B到C的种数，由乘法原理即可求解。
10．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】根据题意，可分为两种情况：
若甲乙其中一人参加，有 种情况；
若甲乙两人都参加，有 种情况，
所以不同的发言顺序有 种.
故答案为：C.
【分析】分甲乙其中一人参加和甲乙两人都参加，讨论计数即可求解。
11．【答案】D
【知识点】偶函数；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意知， ， ， .当 时， ， ，因为 ，所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，因为 ，∴.
故答案为：D
【分析】由函数的奇偶性可得 ， ，及 ，再确定函数在 的单调性，即可求解。
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图，
设， ，则 ，则
所以 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值为 .
故答案为：B
【分析】如图，设 ，可得 ，求其导函数，确定单调区间，即可求解。
13．【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】在正方体 中，
，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 或其补角即为异面直线 与 所成的角，
连接 ，由 为正方体可得 是等边三角形，
所以 .
故答案为：
【分析】由正方体的结构特点，如图，可知 或其补角即为异面直线 与 所成的角，即可求解。
14．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；概率的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】所求概率 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合对立事件求概率公式结合古典概型求概率公式，进而求出从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率。
15．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时， 有极小值
故答案为：1
【分析】求其导函数，由 ， 求出单调区间，即可求解。
16．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知可得 ，
∵椭圆 上存在四个不同点 ，使得 的面积为 ，
∴，即 ，解得 ，
∴离心率 .
故答案为：
【分析】由题意，结合存在四个不同点使得焦点三角形面积为 ，可得 ，即可求m的范围，从而解决问题。
17．【答案】（1）解：，，
由正弦定理得，∴.
（2）解：由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），
的面积.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由条件易得B，再由正弦定理即可求sinA；
(2)由余弦定理可求c，代入面积公式即可求解。
18．【答案】（1）证明：当时， ；当时， .
当时， 也符合上式， 故.因为 ，故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）由 ，结合n=1，验证即可求解；
（2）由裂项相消即可求和。
19．【答案】（1）解：观察函数图象知，，
即，则，
∵的图象过点，∴，
∴，
又，∴，∴.
（2）解：的单调递增区间为
即为，
单调递减区间为
即为，
因为求上的单调区间，
令得到单调递增区间为，
令得到单调递减区间为，，
所以函数在上的单调递减区间为，，
单调递增区间为.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）由最大值可确定A，由周期确定 ，最后代入最高点，即可求解；
（2）由 求出增区间，再通过对k赋值，求其与 的交集即可。
20．【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又由平面，平面，所以平面.
（2）解：因为平面，可得，所以，
又因为，所以，可得，所以是的中点，
连接，则，所以平面，所以，，
所以四边形是矩形.
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设，则，，，
可得，.
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，所以；
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则，
因为二面角是钝角，所以二面的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得 平面 ，进而得到 ，从而求证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
21．【答案】（1）解：抛物线的方程为，抛物线的焦点，
设，，直线的方程为：
由得：，，，
抛物线的方程为.
（2）解：设，，
圆的方程为，且是圆的直径，，，
，，
，直线的方程为，
联立得：，
不妨设，，
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1） 设， ，由抛物线过焦点的弦长公式即可求解；
（2）由（1）知 ，设 ，， 结合点在抛物线上，可得 直线的方程为 ，联立抛物线方程，即可求N，从而求解。
22．【答案】（1）解：由，∴，
又，∴切线方程为，（）.
当时，；当时，，
由题意可得，解得或.
（2）解：，，
当时，，
令，则，
设的零点为，则，即且，
∴在上递减，上递增，
∴，
∴时，恒成立，从而恒成立，
∴当时，.
（或根据证明）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义，求出切线方程，进而得到在两坐标轴上的交点，从而解决问题；
（2） 当时，通过放缩可得， 构造函数 ，求其导函数，确定隐零点，得到g(x)的单调区间，求得最小值，即可求解。
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