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1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图 教案
课题 1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.推理论证“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”这一性质。2.利用尺规作图确定三角形三边垂直平分线交点的位置，并会作出已知底边和底边上的高的等腰三角形。3.利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题。
重点 利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.
难点 能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 思考自议学生归纳三角形三边垂直平分线的性质并作三种三角形三边垂直平分线图形，观察后说出交点的位置.并尝试转化为几何符号语言. 通过回顾线段的垂直平分线的性质和判定，为证明三角形三边的垂直平分线的性质的探究做好铺垫。
讲授新课 提炼概念三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.三、典例精讲例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB（线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等）同理，PB=PC.∴PA=PB=PC∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即 边AC的垂直平分线经过点P.归纳：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.追问：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点一定在三角形内部吗？答案：如图所示(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．议一议已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？答：如图所示，能画出来，能画无数个，它们不一定全等（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．【例3】已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.已知：如图，线段 a，h.求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.作法：（1）作线段 BC=a.（2）作线段BC的垂直平分线 l，交BC于点 D.（3）在 l 上作线段DA，使DA=h.（4）连接 AB，AC.△ABC 为所求的等腰三角形. 学生根据问题作图，回答问题（1）后，然后在老师的引导下对问题（2）进行尺规作图画满足条件的等腰三角形. 应用三角形三边垂直平分线的性质解决实际问题.探究利用尺规作图画满足条件的等腰三角形的作法.
课堂检测 四、巩固训练 1.三角形三边的垂直平分线的交点(　　)A．到三角形三边的距离相等B．到三角形三个顶点的距离相等C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等D．不能确定B2．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在(　　)A．△ABC三边垂直平分线的交点处B．△ABC三条角平分线的交点处C．△ABC三条高所在直线的交点处D．△ABC三条中线的交点处A3.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)D4.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,则AD垂直平分BC.5.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F . (1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.（1）解：∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC,∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm.（2）解：∵MD⊥AC,NE⊥BC,∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,∴∠A+∠B=70°,∵MA=MC,NB=NC,∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,∴∠MCN=40°.
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题1、说一说三角形三条边的垂直平分线有什么特点？答案：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．问题2、如何过一点作已知直线的垂线？答案：核心作图是作线段的垂直平分线
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北师大版 八年级下
1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图
情境引入
线段的垂直平分线
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合
互为
逆定理
合作学习
导入新课
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
·
·
·
A
B
C
猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。
画一画：
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
怎样证明这个结论呢？
做一做：
思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
结论证明：
提炼概念
典例精讲
例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上 的点到这条
线段两个端点的距离相等）
同理，PB=PC.
∴PA=PB=PC
∴点P在线段AC的垂直平分线上
（到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上），
即 边AC的垂直平分线经过点P.
A
B
C
P
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
应用格式：
∵　点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴　PA =PB=PC．
A
B
C
P
归纳概念
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
┐
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点
做一做：
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
这样的等腰三角形有无数多个.
根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
（3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
例3 已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.
已知：线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
a
h
N
M
D
C
B
A
作法：
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
课堂练习
1.三角形三边的垂直平分线的交点(　　)
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
B
2．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在(　　)
A．△ABC三边垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
A
3.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)
D
4.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,
则AD垂直平分BC.
5.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边
的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F .
解：∵DM是AC边的垂直平分线,
∴MA=MC,
∵EN是BC边的垂直平分线,
∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC
=△CMN的周长=20 cm.
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
解：∵MD⊥AC,NE⊥BC,
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,
∴∠A+∠B=70°,
∵MA=MC,NB=NC,
∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,
∴∠MCN=40°.
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
课堂总结
线段的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线的性质
尺规作图
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
作业布置
教材课后配套作业题。
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1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图 学案
课题 1.3.2 三角形三边的垂直平分线及作图 单元 第1单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.推理论证“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”这一性质。2.利用尺规作图确定三角形三边垂直平分线交点的位置，并会作出已知底边和底边上的高的等腰三角形。3.利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题。
重点 利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.
难点 能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
教学过程
导入新课 【引入思考】 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？画一画： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离 。
新知讲解 提炼概念三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.典例精讲 例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.追问：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点一定在三角形内部吗？议一议已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？【例3】已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.已知：如图，线段 a，h.求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
课堂练习 巩固训练1.三角形三边的垂直平分线的交点(　　)A．到三角形三边的距离相等B．到三角形三个顶点的距离相等C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等D．不能确定2．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在(　　)A．△ABC三边垂直平分线的交点处B．△ABC三条角平分线的交点处C．△ABC三条高所在直线的交点处D．△ABC三条中线的交点处3.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)4.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.5.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F . (1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数. 答案引入思考 猜想：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。提炼概念典例精讲 例2 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB（线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等）同理，PB=PC.∴PA=PB=PC∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即 边AC的垂直平分线经过点P.追问：如图所示(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．议一议（1）答：如图所示，能画出来，能画无数个，它们不一定全等（2）这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．例3 作法：（1）作线段 BC=a.（2）作线段BC的垂直平分线 l，交BC于点 D.（3）在 l 上作线段DA，使DA=h.（4）连接 AB，AC.△ABC 为所求的等腰三角形.巩固训练 1. B2.A3.D4.证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,则AD垂直平分BC.5.（1）解：∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC,∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm.（2）解：∵MD⊥AC,NE⊥BC,∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,∴∠A+∠B=70°,∵MA=MC,NB=NC,∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,∴∠MCN=40°.
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题1、说一说三角形三条边的垂直平分线有什么特点？答案：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．问题2、如何过一点作已知直线的垂线？答案：核心作图是作线段的垂直平分线
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